2022-2023學年甘肅省金昌市永昌第一高級中學高二（上）期中數(shù)學試卷（附答案詳解）

2022-2023學年甘肅省金昌市永昌第一高級中學高二（上）期中

數(shù)學試卷

I.直線工一By+3=0的傾斜角是（）

A1B亞C-D—

6633

2.若方程/+V++2y+2=0表示圓，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<—2B.a>2C.a<-2或a>2D.aW—2或a>2

3.如圖，直線"，l2,l3〃,的斜率分另1J為心，k2,自，七，

則()

A.k4<k3<k2<h

B.々3<Vk2<k]

C.V攵3Vk]Vk2

D.k3<k4<<k2

4.數(shù)列反，一黑，一與焉…的一個通項公式為（）

Z4o1O5Z

2n-l

A.丁B.(-1尸竽C.(-1嚴緩D,名

5.已知等差數(shù)列｛a.｝的前”項和為立,若與。9方程好一8萬-20=0的兩個實根，則

Su=()

A.46B.44C.42D.40

6.過兩直線x+y-3=0,2x-y=0的交點，且與直線丫=gx平行的直線方程為（）

A.x+3y+5=0B.x+3y—5=0C.x—3y+5=0D.x—3y-5=0

7.已知等比數(shù)列｛an｝的前3項和為168,-。2=-42,貝期=（）

A.24B.12C.6D.3

8.若數(shù)列｛a“｝滿足a1=1,=2-—（n>2）,則為。=（）

an-ln

Q9Q7Q6

A—B—C—D—

10987

9.若直線/：V3x-y-3=0,則下列說法正確的是（）

A.直線/的縱截距為3B.（1,8）是直線/方向向量

C.直線/過點（遮,0）D.（6,一1）是直線/的法向量

10.若｛aj為等差數(shù)列，。2=11，。5=5,則下列說法正確的是（）

A.an=15-2nB.-20是數(shù)列｛oj中的項

C.數(shù)列｛冊｝單調(diào)遞減D.數(shù)列｛aj前7項和最大

11.已知直線/：cosa-x+sina-y-1=0,圓C：/+/=1，點”(cosa,sina),則下列說

法正確的是()

A.點M在直線上/B.點M在圓C上C.直線/與圓C相離D.直線/與圓C相切

12.設數(shù)列｛%｝的前項〃和為%，若%=1,an+1=2Sn(neN*),則下列說法正確的是()

A.Sn=3"TB.｛Sn｝為等比數(shù)列

n2

C-an=2-3~D.an=

tZ,D,71Z

13.數(shù)列｛n+同的前”項和為.

14.在平面直角坐標系中，曲線y=尤2-6x+l與坐標軸的交點都在圓C上，則圓C的

方程為.

15.關于x的方程=x+k有實數(shù)解，則實數(shù)A的取值范圍是.

16.冰墩墩作為北京冬奧會的吉祥物特別受歡迎，官方旗艦店售賣冰墩墩運動造型多功能徽章,

若每天售出件數(shù)成遞增的等差數(shù)列，其中第1天售出10000件，第21天售出15000件；價格

每天成遞減的等差數(shù)列，第1天每件100元，第21天每件60元，則該店第天收入達

到最高.

17.若2a=3,2b=6,2c=12,判斷“，h,c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并證明.

18.已知直線ax+3y+1=0,l2-.x+(a—2)y—1=0.

(助若k求實數(shù)a的值;

(團)當二〃"時，求直線k與％之間的距離.

19.已知直線/過點P(-1,0),圓C：x2+y2-2x=0.

(1)若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

(2)若直線/與圓C相交于A,8兩點，且|48|=6，求直線/的方程.

20.已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和為%=n2+n,

(1)求｛an｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛(5%_])｝的前〃項和電

2222

21.己知兩圓6：x+y-2x-6y-l=0,C2：x+y-10x-12y+45=0.

(1)求證：圓G和圓Cz相交；

(2)求圓G和圓的公共弦所在直線方程和公共弦長.

22.已知過點4(0,1)且斜率為左的直線/與圓C：(x-2/+(y-3>=1相交于M,N兩點.

(1)求實數(shù)&的取值范圍；

(2)若麗?西=12,其中。為坐標原點，求直線/的方程.

答案和解析

1.【答案】A

【解析1解：將已知直線化為y=^x+V5,

所以直線的斜率為冬

所以直線的傾斜角為%

故選：A.

將直線方程化為斜截式，求出斜率再求傾斜角.

本題考察直線的傾斜角，屬基礎題,涉及到直線的斜率和傾斜角問題時注意特殊角對應的斜率值，

不要混淆.

2.【答案】C

【解析】解：由題意得：a2+4-4x2>0,化為a2>4,

解得a>2或a<-2.

故選：C.

利用圓的一般式方程，D2+E2-4F>。即可求出〃的范圍.

本題考查圓的一般式方程的應用，不等式的解法，考查計算能力.

3.【答案】D

【解析】解：知，當傾斜角a在這一變化時，直線的斜率力逐漸增大，所以0<自<心,

當傾斜角a在第二象限變化時，直線的斜率k逐漸增大，所以七<fc4<0.

所以卜3<卜4<k]<卜2.

故選：D.

根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關系，即可得解.

本題考查直線的斜率與傾斜角的關系，熟練掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵，屬于基礎

題.

4.【答案】C

【解析】解：數(shù)列目，一盆,一住,焉…的各項分子依次是：3,5,7,9…即(2n+l),

L4O1OOZ

分母依次是：2,4,8,16...即2n,

又正負交替出現(xiàn)，故數(shù)列的通項公式為：(-1)"1碧，

故選：C.

分別觀察數(shù)列中各項的分子與分母的特點，可得結論.

本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意，。3+。9=8,

???數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，二品1=眄+y11=g+?)xll=竽=44.

故選：B.

由已知求得=8,再由等差數(shù)列的前〃項和與性質(zhì)求解.

本題考查等差數(shù)列的通項公式與前“項和，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎題.

6.【答案】C

【解析】解:聯(lián)立方程解得：|；片，

.??直線％+y-3=0,2x-y=0的交點坐標為(1,2),

設所求直線方程為y=|x+k(k豐0),

代入點(1,2)得，2=g+k,

?1-fc=|.

二所求直線方程為y=3+母，即x—3y+5=0,

故選：C.

先聯(lián)立兩直線方程，求出兩直線的交點坐標，依題意可設所求直線方程為y=gx+k(k片0),代

入交點坐標，即可求出后的值，從而得到直線方程.

本題主要考查了直線的一般方程，考查了兩直線平行的位置關系，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：設等比數(shù)列｛時｝的公比為q,

lph+a+a=168即(如+aIq+aq2=168

則1m匕―。2=-342'即-a1q=r—42'

解得q=|>%=96,

,1

?*,Q4=a、q—96xG=12.

o

故選：B.

將等比數(shù)列通項公式代入已知兩個關系式，求得由和q即可.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題.

8.【答案】A

【解析】解：?.?數(shù)列｛的｝滿足臼=1，區(qū)=2--(n＞2),

an-ln

??Qn=2'—a_,

nx

909c8c9c81129

a=n=o

'io2x—a9=2x—x2x-a8=....2x—x2x-x....2x-at=2x—xa1=—,

JLUJLUVJLUx乙JLUX\J

故選：A.

根據(jù)數(shù)列的遞推關系式得到an=2-^an_1,再依次代入即可.

本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用，考查推理能力和計算能力，屬于基礎題.

9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)直線/：V3x-y-3=0,即y=百K一3,可得直線/的縱截距為一3,故4錯

誤；

由于直線經(jīng)過點(0,-3)、(百,0),故它的一個方向向量為(6,3)=75(1,g)，

故B正確；

令x=V5,求得y=0,可得直線/過點(V5,0),故C正確；

?.?(V3,-l).(l,V3)=0,故(次，一1)是直線/的一個法向量，故。正確，

故選：BCD.

由題意，根據(jù)直線的截距、直線的方向向量和法向量，逐一檢驗各個選項是否正確，從而得出結

論.

本題主要考查直線的截距、直線經(jīng)過定點，直線的方向向量和法向量，屬于基礎題.

10.【答案】AC

【解析】解：在等差數(shù)列｛即｝中，由。2=11，。5=5,

得d=R7=5=-2,則的=a2-d=11-2)=13,

???an=13-2(n-1)=15-2n,則數(shù)列｛a九｝單調(diào)遞減，故AC正確；

由15—2n=—20,解得九=與，故B錯誤；

由即20，解得nS岑，a”＞。，％8＜。，則數(shù)列5｝前17項和最大，故。錯誤.

故選：AC.

由已知求得首項與公差，然后逐一分析四個選項得答案.

本題考查等差數(shù)列的通項公式與前〃項和，考查運算求解能力，是基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：點M(cosa,sina),滿足COS2Q+sin2a=1,因此點M在直線上/，點M在圓C上,

圓心(0,0)到直線/的距離d=L"=1,因此直線與圓相切.

Jcos2a+sin2a

故選：ABD.

根據(jù)點M(cosa,sina)滿足cos2a+sin2a=1,即可判斷出點M與直線上/及其圓C的位置關系，

求出圓心(0,0)到直線/的距離d,即可判斷出直線與圓的位置關系.

本題考查了直線與圓的方程及其位置關系、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能

力，屬于中檔題.

12.【答案】BD

【解析】解：?.?數(shù)列｛即｝的前項”和為%，%=1，On+1=2Sn(ne/V*)>①

???a2—2sl—2,

當n>2時，廝=2s②

①-②整理得：an+1=3an,

HU0-2~~2al短3a1，

數(shù)列｛an｝是首項為1,第二項為2,且從第二項起構成公比為3的等比數(shù)列，

_(l,n=1

"an=l2-3Jl-2,n>2，

?■?Si=1,

S2=3,

n1

nN2時，5n=1an+1=3-,可得：含=3,

故｛Sn｝為等比數(shù)列，

故選：BD.

根據(jù)遞推關系式求得數(shù)列｛an｝是首項為1，第二項為2,且從第二項起構成公比為3的等比數(shù)列,

進而判斷四個選項即可求得結論.

本題主要考查數(shù)列遞推關系式的應用，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題.

13.【答案】Jl+gn+i—寶

【解析】解：由題意，令數(shù)列｛n+方｝的前〃項和為工,

則Sn=(1+1)+(2+()+?11+(n+算)

111

(1+2+…+n)+(尹+/+…+刑

11

n(n+1),尹一萍1

+T"~

1-2

1,11

=2n+2n+1一環(huán)?

故答案為：^n2++1--^n.

先令數(shù)列｛n+3｝的前n項和為多,再運用分組求和法，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的運用,

即可計算出數(shù)列｛n+同的前n項和.

本題主要考查運用分組求和法求前〃項和問題.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列和

等比數(shù)列求和公式的運用，以及邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬中檔題.

14.【答案】(x-3)2+(y-I)2=9

【解析】解：由題意，設圓心坐標為(3,b)

令x=0,則y=1；令y=0,則x=3±2e

???(3-0)2+(6-I)2=[3-(3±2V2)]2+3—0)2,

???b=1

(3-0)2+(b—=9

???圓C的方程為0-3)2+⑶—1)2=9

故答案為：3)2+3-1)2=9

設出圓心坐標，求出曲線y=M—6x+l與坐標軸的交點，利用交點都在圓C上，即可求得圓C

的方程.

本題考查圓的標準方程，考查待定系數(shù)法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

15.【答案】[一1,&]

【解析】解：由題意作出y=x+/c,

y-V1—x2(x2+y2=1的上半圓)

的圖象：

可知當y=x+k介于與半圓相切(直

線在位置①)和過(1,0)時滿足題意，

由號=1得上=四(負值舍去)，過

(1,0)時，顯然上=一1,

故上的范圍是

故答案為：[—1,71].

問題即研究半圓y=中與直線y=x+k有公共點時％的范圍，只需直線與半圓相交或相切即

可.

本題考查方程的根與直線與圓位置關系間的關系，屬于中檔題.

16.【答案】6

【解析】解：記每天售出件數(shù)構成遞增的等差數(shù)列

記價格每天構成遞減的等差數(shù)列仍工，

4=10000,a21=15000,

瓦=100,%=60,

ai-a_15000-10000

故四21250；

21-1=20

1力21一60—100_

d2=HF=F-=-2,

故c1n=10000+250x(n-1)=250x(n4-39),

bn=100-2(n-1)=2x(51-n)；

故冊xbn=250x(n+39)x2x(51—n)

=500x(n4-39)x(51-n)

n+39+51—no

<500x(---------------)2

=1012500,

當且僅當九+39=51—兀，即九=6時，等號成立；

故答案為：6.

記每天售出件數(shù)構成遞增的等差數(shù)列記價格每天構成遞減的等差數(shù)列｛匕b利用等差數(shù)列

可得Qn=250x(九+39),bn=2x(51-n)；結合基本不等式求最大值時的"的值即可.

本題考查了等差數(shù)列的應用及基本不等式的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：a,兒c是等差數(shù)列；

證明如下：因為2a=3,2b=6,2C=12,

根據(jù)對數(shù)定義得：a=log2，b=log2，c=log22;

而b-Q=log,-log9=log21=logi=1；

C-b=log受一log?=log；=1,

所以b—Q=C—b,數(shù)列4、b、C為等差數(shù)列.

而2#5,所以數(shù)列4、6、C?不為等比數(shù)列.

ab

【解析】根據(jù)對數(shù)的定義求出Q=log?,b=log^,c=log^2；b-a=c-b,得到〃、b、c是等

差數(shù)列，而2片5,所以以b、c不是等比數(shù)列.

ab

本題主要考查學生會確定等差、等比數(shù)列的關系，以及會根據(jù)對數(shù)定義化簡求值.

18.【答案】解：(回)丁直線21：QX+3y+1=0,%：x4-(a-2)y-1=0.

若k1l2f則Qx1+3(a—2)=0,

解得實數(shù)a=|.

⑺當4〃%時，戶言力士，

解得a=3,

，直線k：3%+3y+l=0,l2：x+y—1=0,即％：3%+3y-3=0

???直線，i與％之間的距離：d=號瞪=竽.

【解析】本題考查兩平行線間的距離的求法，考查直線與直線垂直、直線與直線平行的性質(zhì)等基

礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

(團)由匕皿，得axl+3(a—2)=0,由此能求出實數(shù)a=|.

(團)當，時，三=為二與求出a=3,由此能求出直線及與％之間的距離.

19.【答案】解：(1)圓C：x2+y2-2x=0,化為(％—1)2+必=1,可得圓心C(l,0),半徑r=1.

可知切線/的斜率存在，設其方程為y=憶。+1),

則4里=i,解得卜=±哮.

河3

???直線/的方程為y=±y(x+l).

(2)V\AB\=V3,

???21-(尋=)2=6，

解得k=±等，

直線I的方程為y=±祟(x+1).

【解析】(1)圓Cx2+y2—2%=0,化為(％-1)2+y2=1,可得圓心C(l,0),半徑r=1.可知

切線/的斜率存在，設其方程為y=軟％+1),可得1,解得鼠即可得出直線/的方程.

J/+1

(2)利用弦長公式可得2=V3,解得匕即可得出直線/的方程.

本題考查了直線與圓的方程及其位置關系、點到直線距離公式、弦長公式，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

2

20.【答案】解：(1)由題意，當幾=1時，a1=S1=l+l=2,

22

當九>2時，an=Sn-Sn_]=n+n—(n—l)—(n—1)=2n,

,?,當幾=1時，的=2也滿足上式，

，an=2n,riWN*.

(2)由(1)‘可得(/+1)(即-1)=(2n+l)(2n-l)=2'(2/-1-2n+P'

則7=------------1-------------1-...-I------------

n

(旬+1)(臼-1)十(a2+l)(a2-l)十十(即+1)(即-1)

11111111

=2,(1-3)+2,(3-5)+"+2-(27^1-27?+1)

111111

=2(1-3+3-5+"+2^1~2^+1)

11

=2?(1-2n+1)

=2n+r

【解析】⑴根據(jù)題干已知條件并結合公式即=｛^2J1n22即可計算出數(shù)列5｝的通項公式;

(2)先根據(jù)第(1)題結果計算出數(shù)列~五｝的通項公式，再運用裂項相消法即可計算出前〃

項和〃.

本題主要考查數(shù)列求通項公式，以及運用裂項相消法求前〃項和.考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化與

化歸，裂項相消法，以及邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，屬中檔題.

21.【答案】證明：(1)圓G：/+y2—2x—6y—1=0的圓心G(1,3),半徑q=我4+36+4=VT1>

C2：/+丫2-10萬-12丫+45=。的圓心。2(5,6),半徑萬=\V100+144—180=4,

IC1C2I=J(5-1)2+(6-3)2:5,

v4-舊<\CrC2\=5<4+Vil,

???圓Ci和圓C2相交.

解：(2),兩圓G：x2+y2-2x-6y-1=0,

22

C2：x+y-10%—12y+45=0,

二兩圓相減，得圓Q