彈性力學簡明教程(第三版)課后習題及答案

6*6*性力舉藺明敦枚（歸三股）金校&券及習題全解本章學習垂點與難點直點一、兩類平面問題的療念名稱平面應(yīng)力何題平面應(yīng)交問題未知量已知量未知量已知捷位移u9vw工0u?vw==0應(yīng)變@?上?yp仁=_￥（6+°,）=7xc-et=0應(yīng)力6,0y?Sr>,r“=6=0°八6?r”了”=丫”=0.6=〃（6+dy）外力體力、面力的作州Iffl平行于iry平面，外力沿板厚均勻分布?體力、面力的作用面平行于*yr面,外力沿Z軸無變化.形狀物體在一個方向的幾何尺寸遠小于其它兩個方向的幾何尺寸（等厚度薄板兒沿-個方向（通常取為r軸）很長的等截面棱住體（等截面長柱體九二、平面問題的基本方程平面問題的基本方程共有人個，見下表。其中E「G分別昴禪性棋SL泊松比和切變模凰?6=詰活。名稱茶本方程表達式應(yīng)用基本假宦平衡微分方程警十需乜=。，警+躱十"0?連續(xù)性，小變形,均勻性幾何方程Ou2*Um.一=喬"石?、=齊+石?連續(xù)性?小變形?均勻性公稱基本方程表達式應(yīng)用基木假定飭理方程彳平面應(yīng)力問題—=卡（心一叱人1—V■乙平面應(yīng)變問題_■-G芒討），*>~E~（a>倉6），y”=吉J。連續(xù)性?小變形?均勻性.完全彈竹>各向何性三.平面問題的邊界條件彈性力學半面問題的邊界條件有三類?如卜裁其中S“S.分別表示面力、位移已知的邊界舁和加則是邊界面的方向余弦?位移邊界條件應(yīng)力邊界條件混合邊界條件lu—a,I5.上Id—叭（仏+叱”=7\<上1"巧+皿，=幾??U=U?V—TeS.上巴+巾—”=幾?S上l/r*4叫y=了,。?四、平面問題的兩條求解途徑處理平面何題時?常用按位移求解和按應(yīng)力球解這兩條途徑。在滿足相應(yīng)的求解方程和邊界條件之后，前祥先求出位移再用兒何方程、物理方程分別來出版變和應(yīng)力‘后者先求岀應(yīng)力再由物理方程、幾何方程分別求出應(yīng)變和位移.I.按位移求解平回問題?歸結(jié)為在給定邊界條件下，求解以位移表示的平衡徵分方程（平面應(yīng)力情況人E,1d2v.廠二7lay十23.按應(yīng)力求解平聞何題?除運用平衡微分方稈外?還需補充應(yīng)變相容方程，該方程可用應(yīng)變或應(yīng)力分最表示?用燉力表示的相容方程：一般侑況下，+叭）=-（1S鶴亠鬻）?平面應(yīng)力問題ba十①）=一（亍±）（警十駕）。平面應(yīng)變問題第二*平血的鼻本理論常體力悄況2V（6）n03用應(yīng)變表云的相容方程：?叫t班"=3嘰dy｝〒dx2djdy^按師力求斛第體力情況卜?的胸類平面問題?歸結(jié)為在給定邊界條件下?求解如下的偏徴分方程組，若是多違通（開孔）物體，相應(yīng)的位移分也襦滿足位移單值條件:+A=0,+幾=0,）=0oZ■關(guān)于位移解法、應(yīng)力解法及應(yīng)變相容方程弾性力學問題按位移求解（或按付移、應(yīng)變.應(yīng)力同時求解）時?應(yīng)變相容方程能自行滿足「按應(yīng)力求解時?為保證從幾何方程求得連續(xù)的位移分董，需補充應(yīng)變相客方程■是保證物體（單連體）連續(xù)的充分和必要條件。對于多連體?只有在加卜位移單值條件?才能便物體變形后仍保持為連續(xù)體.按位移求解時需聯(lián)立求解二階偏微分方丙?戰(zhàn)吞理論卜講適用于各類邊界條件，但實際運用時較難得到蒂確滿足位移邊畀條件的餅析解，因此，使其在尋找梢確解時受到了限制，然而，這一方法在數(shù)血解去中得到了廣泛應(yīng)用。3?應(yīng)力解法通常適用于應(yīng)力邊界條件或僅A局部給定位移的混合邊界條件.由于可引入應(yīng)力函數(shù)求解?故在尋找平面問題的解析解時?用此法求解比按位移求解客易。4?住按應(yīng)力解袪求解的方程組中并不隱含彈性常數(shù)?因此?按網(wǎng)力求解單連通半面弾性體的應(yīng)力邊界問題時，其應(yīng)力解答與無關(guān)（但應(yīng)變?位朽分址與彈性常數(shù)有關(guān)）?閃應(yīng)力対材料性質(zhì)無關(guān)。這意味看不同彈性材料的物體（不論足屬于平面應(yīng)力問題?還是屬丁平面應(yīng)變問題〉?只妥在丄＞平面內(nèi)具有相冋的形狀■約束和佶載?揶么.廠“八仁,的分布情況就相同（不考慮體力人可以證明：對于多逢通（開孔）物體，若作用在同…邊界上外力的主矢為零?上述結(jié)論也成立?難點一、兩類平面問題的異冋點.二、圣饗南原理的適用范國?對其定義的耙握.布利用條維南原躥在小邊界（次要邊界〉上局部放松?使直力邊界條件近似滿足時，注意主矢（主矩）的正負號規(guī)定:應(yīng)力合成的主矢（主矩〉與外力主矢（主矩〉方向?致時取正號?反之取負號。三、列出應(yīng)力邊界條件，弟二平?眉題的鼻本俚論9弟二平?眉題的鼻本俚論9弟二平?眉題的鼻本俚論9弟二平?眉題的鼻本俚論98力仔航巧三私）金枉8力仔航巧三私）金枉5字及刁超金解典型例題講解例2?1已知薄板有下列形變關(guān)系心=Aq心=Eb?e=C-Db.式中A.B.C.D皆為常數(shù)?試檢査在形變過程中是杏符合連續(xù)條件?若満足并列出應(yīng)力分雖表達式?！窘狻浚?）相容條件：將形變分隸代人形變協(xié)謂萬祥（相容方輕）兒嚴，二嘰2yz2才*cirdy其中其中所以満足相容方程?符合連續(xù)性條件。（2）在半面應(yīng)力問題中?用形變分量表示的應(yīng)力分量為眄=[&*匕—叫)=,E-^CAxy+沖y、＞,1—ft1—p5=j&“J+",)=y-—(pAry4-By3)?1—ftI—pj=G“=G(C—Dy?（3）平衛(wèi)微分方稈其中=-ZGDyc其中=-ZGDyc若演足半緬微分方稅?必須有若演足半緬微分方稅?必須有分析;用形變分址表示的應(yīng)力分址，滿足了相客方程和平衡徽分方程條件?若要求出常數(shù)A』.C,D還需應(yīng)力邊界條件.例2?2如陽所示為-?矩形截面水壩，其右側(cè)面受粹水壓力（水的密度為”?頂部受集中力P作用.試寫岀水壩的應(yīng)力邊界條件。【解】根鋸在邊界上應(yīng)力與面力的關(guān)系左側(cè)面=了心、=0?〈—，〉「■F丫3=0.右側(cè)面x（“兒乂一人—fa?y〉=—pay、（tjrv）j=-a=/＞（，〉=0?上下端而為小邊界面?應(yīng)用圣維南原理?可列出三個枳分的應(yīng)力邊界條件。上瑞面的面力向截面形心c簡化?得面力的主矢鈕和主矩分別為Fk-F?.mo幾=Psina,Fs=—PoosatMo=^sinav?=0坐標面，應(yīng)力主矢歸符號與面力主欠繪符號相反$應(yīng)力主矩與面力主矩的轉(zhuǎn)向相反。所以（Ov兒=n"=—Fn——Psinat0<a>)x=<lJ：dr-=—Mo=--x-PAsina?J—A乙(t>兒=tdr=—=Feosa0丿—A下端面的面力向截面形心D簡化,得到主矢徴和主矩為嚴

Fn=~Fsin。?F§=Poosa—?Md=Md=Picosa—》=/坐標面?應(yīng)力主矢田?主矩的符號與向力主矢址、圭矩的符號相同。所以Ia〉y=“dr=Mp=PZcceaPysina陽,「I2,F5HPcosa—空分析：（D與坐標軸平行的主要邊界只能建立兩個等式?而且與邊界平行的應(yīng)力分輩不會出現(xiàn).如在左、右甸面?不要加人5Q—=0或=0。（2〉在大邊界上必須帝確滿足應(yīng)力邊界條件?當在小邊界（次芙邊界）上無法赫確滿足時?可以應(yīng)用圣維南原理使應(yīng)力邊界條件近似滿足，使問題的求解大為簡化.應(yīng)力合成的主矢（主矩〉符號的取法亦可用外力主矢（主矩）的方向判斷■二者方向一致時取正號?反之取負號。習題全解2?1如果某一冋題中?“=r..=r“=0?只存在半fiHS力分斌e2,w”?且它們不沿乂方向變化，僅為z?了的函數(shù)?試考慮此冋題是否就是平面應(yīng)力問題？第二食平面同超的基*理論第二食平面同超的基*理論15第二食平面同超的基*理論第二食平面同超的基*理論151414泄怯■刀學簡MtMX（第二版）左桂今學及弓超主解在主要邊界工=0“二"上?應(yīng)植呦滿足下列邊界條件,（6）.。=—pf!y.Q”）.。=0：?S〉—A=一附屮（Try.）,^=0。在小邊界（次要邊界）y=O上?能栢碓滿足下列邊界條件：O_c=—斷，（t.Q=0?在小邊界（次要邊界b—航上?冇位移邊畀條件=0,S）y匕=0。這兩個位移邊界條件可以應(yīng)用圣維南原理，改用三個積分的應(yīng)為邊界條件*代祎?當板眾3=1時.(6d-r=—加川(6(6d-r=—加川(6>Z-A2rclr—0.題2?8圖（2〉對于圖（b）所示問題在主要邊界y=±h/2t?應(yīng)稻確満足下列邊界條件：'yi口=O,=—fl\IOv〉v—>/?二—q?《「u〉v=-a.2=0。在次耍邊界F=0上?應(yīng)用圣維南原理列出二個枳分的應(yīng)力邊界條件?肖板厚6=1時,(c兒s$dy=—M.(c兒s$dy=—M.在次婆邊界r=/上?有位移邊界條件=0.（v）x=/=（）?這関個位林邊界條件可以改用三個積分的應(yīng)力邊界條件來代替2-9試應(yīng)用走維南原理?列出題2-9圖所示的兩個何題中OA邊的二個積分的應(yīng)力邊界條件?并比軟兩者的面力是停柞力W.廠—0?/.41Vh一+r*().44V>?{h?kd=l)(o)(??)EA2?g圖【解】(1)對于圈("?上端面的面力向截面形心簡化?得4矢和■￡矩分別為F、="/2?幾=0,M=「罟(號一工)"=一0/12。應(yīng)用圣維南原理?列出三個積分的應(yīng)力邊界條件?當板P?$=】時?[(6人.odz=—<?6/ZtJo、[(6兒=oFcLr=<j^712?|Jo|02(r”人.(di二0。iJr?2(2)対于圖(b)?M用圣維南燒理冽岀三個積分的山力邊界條件?當板犀力=1時.[(①打idr=—qh/2.Jo[(6),-oT(lr=qb'J12.Jo[(r>兒=o(Lr=0°所以?在小邊界(M邊上?陰個問題的二個枳分的應(yīng)力邊界條杵相同?這兩個問22列性力鄴藺糾徹*欽韓三扳〉仝校與耶及勺題仝紀22列性力鄴藺糾徹*欽韓三扳〉仝校與耶及勺題仝紀22列性力鄴藺糾徹*欽韓三扳〉仝校與耶及勺題仝紀22列性力鄴藺糾徹*欽韓三扳〉仝校與耶及勺題仝紀16隊牡力學簡明數(shù)極（篥三版）余桜與?學；16隊牡力學簡明數(shù)極（篥三版）余桜與?學；8.習H金列題為靜力竽效的，210檢驗平面問題中的位移分量足否為正確解答的條件是什么?【解】（】）用位移表示的平鶯徴分方程（2）用位移衣示的應(yīng)力邊界條件（2）用位移衣示的應(yīng)力邊界條件丙［嚕+唏M中（計韻，"&冷［刃僚+唸屮1^僚埸）］."?（3）位移邊界條件(v),=Vo〈在S.上〉2?11檢験平曲何題中的應(yīng)力分81足否為正確解答的條件是什么？【解】（1）半範微分方稅（2）相容方稗%+Qi+R(許+鬻).（3）應(yīng)力邊界*件（假定全部為應(yīng)力邊界條件?s=2'（在S=S.（4）若為多連體，還須滿足位移單值條件.2-12檢驗平面問題中的應(yīng)力函數(shù)4>是否為正確解答的條件是什么？【解】應(yīng)力甌數(shù)須滿足以下條件（1）根容方程V4?>-0.（2）應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件u=$J（3）若為多連體，還須満足位移單值條件.求出應(yīng)力柬數(shù)。岳?可以按F（3）若為多連體，還須満足位移單值條件.求出應(yīng)力柬數(shù)。岳?可以按F式求岀應(yīng)力分董.dxdy°前二式的積分得到?-幺臣丄―』十/iO〉，V=(/f￡1\.y-t-/2<^>?(D其中的￡和.6分別是，和』的待定函數(shù)?町以通過兒何方程的第三式求出。將式(f)代入式Q)的第三式?得■■■-MBBdydr'M(y)df.(r)fi(y>^—u)yM(y)df.(r)fi(y>^—u)y十?!>?fz<x>?Ai*十積分以后得代人式⑴得位移分址其中叭心為表示剛體位移雖的常數(shù)?須由約束條件球得。從式(g)可見?位移是朋標的紙值連純函數(shù)?滿足位移樂值條件"因向?應(yīng)力分就是正確的解答?217設(shè)有矩形截面的懇臂梁?在白由端受巾集中荷載F?如題217圖所示,HiHi題Z-17圖體力可以不計。試根據(jù)材料力學公式?寫出彎應(yīng)力6和切應(yīng)力的表達式?并取擠壓應(yīng)力幾=0?然后證明?這些表達式滿足平衡倣分方程和相容方程,再說明?這些衣達式是否就農(nóng)示在純的解答.【解】(1〉矩形懸宵梁發(fā)生彎曲變形?任意橫截面上的彎矩方程為AI(,r>=

&?橫截面對乂軸(中性軸〉的慣性矩為人■召，根擁材料力學公式，彎應(yīng)力弟二章平面血此的晏奉理謔弟二章平面血此的晏奉理謔23弟二章平面血此的晏奉理謔弟二章平面血此的晏奉理謔23MC"V__\2FL一h3XV：誡截啣上的膽力為KJ.r）=-F.$9應(yīng)力「。一3尸3=-晉（罟P）幷取擠慮應(yīng)力6MC"V__\2F（2）經(jīng)臉證?1:述表達式能滿繪平衡澈分方程也能滿足忸容方程冷）5,+/=—（］+“（警+鬻）=0.再考察邊界條件:在）=±h!2的上婆邊界上?應(yīng)軻確滿足應(yīng)力邊界條件:

Qy、尸心=Q?（fy,=Q$3v》,=f?Z=0，（T>t=a<>能満足。隹次建邊界.r=0卜?列出三個枳分的應(yīng)力邊界條件’A.2滿定應(yīng)力邊界條件.在次要邊界E上，列出三個積分的應(yīng)力邊界條件,(久\=,dy=—(久\=,dy=—滿足應(yīng)力邊界條件’因此?它們是該問題的正確解答。2?18試證明?如果體力雖然不足常越?但卻是冇勢的力?即休力分京可以衷示為fw,.）v人=一亦’幾"一石?其中V是勢函數(shù)?則應(yīng)力分繪亦可以表示為6亠麗+匕刊=左+幾5=一24強忸力24強忸力=.4*）全祖曇學巫$卻余解24強忸力24強忸力=.4*）全祖曇學巫$卻余解試導出相應(yīng)的相容方程?！窘狻竣艑⑷?兀代入平衡微分方程?教材中武（22〉■得a為了滿足式（小9可以取v護oua?護0.V護?IV"■對十匕乃_疋+匕5（2）對體力、應(yīng)力分僮/r」小??6求僞導數(shù)?得3幾__^V3x￡3y*a4?.d2v護sa??丄mm=V■歹+鏟=聲藝Y少—血_十遼a?z°。工八dyQ3xJ3y2dyz^將式（b）代人獨材中式（2?21）得半聞應(yīng)力情況卜的相容方程：券"券—（諾+券）.—（1-“>*?將式5）代人教材中式（2-22）得平面應(yīng)変悄況下的相容方程:礬+2瑯一（豈）（諾+雰）.2—忖）訊注:將式（c）中的戸替換為弋;?也可以導出式（d人2?19試證明?教材§2-4中所述的剛體位移分fit叭?s及⑺實際上就魁彈性體中坐標原點的位移分塑和轉(zhuǎn)動角度?！咀C明】根克教豺中式<2-9）,得任一點P（x,j）的位移分雖表達式為u=utf—coy.=+oit.將原點的坐標X-0“?o代人上式?得警骼気!■|<1(d)（“）#=o.，=o=“o?（”兒4〃=0—所以■剛體位移分雖叭是彈性休中坐標原點的位移分fib圖中，P為P點至乙軸的垂直距離，合成位移叩的方向與徑向線段OP垂直?也就是沿著切向.OF線上的所有各點移動的方向祁是沿著切向，而且移動的距離篥二笈平面曲兄馳鼻本理論25篥二笈平面曲兄馳鼻本理論25篥二笈平面曲兄馳鼻本理論25篥二笈平面曲兄馳鼻本理論25等十徑向片離°乘以3心代表物體澆：軸的剛體轉(zhuǎn)動.各點轉(zhuǎn)動的角度相同?所以也是坐標晅點的轉(zhuǎn)動角度"解2-19M第三章年面問範的亢角殳株斛備本章學習重點與難點燮點一?按應(yīng)力噸數(shù)3丁°）求解半面間題用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力分就通解；同吋應(yīng)力函數(shù)?5,0需滿足雙載和方程?即相容方程:二■逆解法、半逆無法的基本步驟1?逆無法;首先設(shè)定各種形式的應(yīng)力函數(shù)QSq，便之淸妃相容方程I然后.再求出應(yīng)力分凰,晟后*考察這些應(yīng)力分雖適用于何種邊界問題?從而得知該應(yīng)力聞數(shù)能斛決什么何8L逆解法的另-?種含義是通過材料力學或具它途住得知某些問題的可能解答，然后檢杳它是否滿足仝部方程和邊界條件?2?半逆解法:根據(jù)那性力學的具體幾何形狀和受力特征或某種問題的解答，湊出應(yīng)力函數(shù)0Cz?W的形式?然后再根煙甚本方程和邊界條件確定該函數(shù)。若不能満足或?qū)绗F(xiàn)矛盾?則須修改試選的西數(shù)?并啟新檢含?直到橫定為止.三、多項式解答一次式=^0十不論系數(shù)取任何值?相容力程總能鴻足?且對應(yīng)的應(yīng)力均為零.線性應(yīng)力丙數(shù)對應(yīng)于無面力、無應(yīng)力狀態(tài)，多項式的應(yīng)力函數(shù)加上或減去一個線性應(yīng)力函數(shù)?不影響應(yīng)力的大小。二次式十Qzy十cyS上式恒能滿足相容方程，且可得到=2cc=2q,”=-￡>?這一結(jié)果代表均勻應(yīng)力狀態(tài)。三次式0匕*〉=久^+〃才\十5屮十"?『。上式怕能滿足相容方程?貝口I得到，6=2cx+6dy.<3y=6oz+26y?rn二—2（必+^>o這圧一個復雜應(yīng)力狀態(tài)?又能由卷加原理分解為簡單應(yīng)力狀態(tài).若a二h=c=0MKO?則血=&/y?5=j=0能解決矩形截面梁的純彎曲

27冋題（注怠坐你糸變換?所能解決的問題也耍變化幾4?四次或四次以上的多項式。H各項系數(shù)之間需閩足一定的關(guān)系時?才能満足相容方程?各項代表的應(yīng)力分布呈一種曲線分布.四■設(shè)置應(yīng)力丙數(shù)1-山多項式査加湊出.當物體受力情況井不復雜時?可用此法。2.從歟綱分析法得岀，此法適用于懊形體■三角形懸臂梁等以龍址綱的角度來描述丿L何形狀的物體.3?由材料力學解答導岀。此法可適用于已知該物體的材料力學解答的侑況.但用此方法得到的應(yīng)力函數(shù)往往不能滿足雙誠令方程，必須加以修正才得以滿足?右時需經(jīng)過彩次試算才能便應(yīng)力函敎是型。根據(jù)邊界上的受力性質(zhì)椎得解題所用應(yīng)力函數(shù).難點一、應(yīng)用逆解法.半逆解法求解平面何題，〔、如何設(shè)習應(yīng)力函教.典型例題講解例3】圖【解】（1〉相容條件:UAxy+)20Bry=Ot例3】圖【解】（1〉相容條件:UAxy+)20Bry=Ot需十2?鶴十代入應(yīng)力困數(shù)?得由此得十是，應(yīng)力床數(shù)町以改弓為①=—+旳\/4-Gr3y一D工亍十E"十Ery?幫三車平面冏■的幫三車平面冏■的JL角堂標解苓29幫三車平面冏■的幫三車平面冏■的JL角堂標解苓2928主力勇三28主力勇三XH1全校導那欣習11全解F=“=15山2,_5〃乂_3Cxi-3D，_F。（3）考察邊界條件:確定應(yīng)力分最中的各系數(shù)（dv）y?-A/2=—yx,得—3CA+6E=*-y;（5）…-“=0?得（30_￥閉）護+（壽射十汕臚+F）=0；（b）…得一汕“卄―0人十=0,得（3C-乎附）才十（希酬十扌M+F）=0。（d）若式（b）怛成立?必須満足3C-￥眈=。；聯(lián)立求解以上各式?得q°n一％r=坐尸=一牡

無T3湘'C4刃E12Z*再根據(jù)覽支梁的端面條件確定常數(shù)DA\由圣維南原理?得可得。=-蹴十辭;再代人式（皿F=-曙十貉。（4）應(yīng)力分試表達式“=魯了（2屮7+"-辭），=誅3-臚）（3a2-/-I2十務(wù)）。分析:在工=0處4能梢確滿足?由此可得e在8）支梁左端為箱確解;應(yīng)力函數(shù)含冇囤階或四階以上的項時?耍滿足相容方程是有條件的，如式例3-2圖示懸臂梁，梁的橫裁面為矩形，其寬度取為】，右端因定、左端自由，荷裁分布在自右端上，其合力為P（不計體力幾求架的應(yīng)力分J&〉例3?2圖【解】這是一個平面應(yīng)力冋題?采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)①。由材料力學可知?懸習梁任一截面上的彎矩方胃MGr〉與截向位fit坐標才成正比?而該藏面上某點處的正應(yīng)力又與諫點的坐標y戍正比,因此可設(shè)5=aixy9（a）式中的S為待左常數(shù)c將式Gz）對丿積分兩次?得O=+MG+川“（b）式中的門（工）,人（工》為工的待定函數(shù)，可由相容方程確定.將式（b）代入相容方程vS=0?得巒+弩p上式是V的一次方程?梁內(nèi)所冇的，値祁應(yīng)滿足它?可見它的系數(shù)和自由項都必須為零?即%3_oMS_ordr枳分上二式?得fl（工、=sP4-fljJ：24d?r+a>?A（x>—a訂3+a心4-ugx+引?式中乩一血為侍定的積分常數(shù).將人“兒幾（工）代人式（b）?得應(yīng)力鬧數(shù)為CP=半么丿‘+（血工？+a工十a(chǎn)jy+（弘疋―山工'+心玄+血）。（c）□（2）應(yīng)力分凰的表達式<7X—釘巧2，—6（cj.y4a6>x*2（a3>-Fa?>>-1：.,.⑹Tjy=—空5，—3a2x*—2a3x—⑶考察應(yīng)力邊界條件:以確定各系數(shù)?白由端無水平力;上、下部無荷栽；白由端的JW力之和為F?得邊界條件（6兒?。=0?自然滿足；（—■>一甘=0?得一a}h2/2—3a2x9—2a^x—a4=0；30弾哇力學30弾哇力學H明皴杭（菓三JU丿余覽華￥艮習辺金解30弾哇力學30弾哇力學H明皴杭（菓三JU丿余覽華￥艮習辺金解上式對乂的任何值均應(yīng)清足?因此得3=s=0?一⑷滬/2-如=0?即計算得（6）x-±a=6得Gyj十加；-0;T計算得（6）x-±a=6得Gyj十加；-0;T取任何值的應(yīng)滿足?因此得佻=心=0.將式5〉代入上式積分?得fa(4"-4")dv其中人一1X⑵N/12-丹/3?橫截面對?柚的慣性矩。酬后得網(wǎng)力分卸為分析,1）半逆解達是針對實際間題來求耕的?根據(jù)彈性休受力情況和邊界條件?假設(shè)應(yīng)力分呈的函數(shù)形式，由應(yīng)力推出應(yīng)力亟數(shù)0的形式。（2）本題中如心5為應(yīng)力陌數(shù)中線性項的殺數(shù)?對應(yīng)無體力.兀面力.無應(yīng)力的狀態(tài)?所以對應(yīng)力的分布沒右影響?不需求岀.習題全解3?1試考察應(yīng)力函數(shù)O=?y在題31圖所示的矩形板和坐標系中能梆決什么問題（體力不計人\)11■■?\)11■■?1]g■丫(1>)解3?1圖笫三笫三JI半面問題的標“苓31笫三笫三JI半面問題的標“苓31【解】(】)相容條件，不論糸數(shù)。聯(lián)何值?應(yīng)力網(wǎng)數(shù)總能滿足相容方札(2〉當體力不計時?將O代人應(yīng)力分城公或?得當a當a>0時?考察左右兩廉的6分布惜況:?Ot'jz=O.ya&?=O'〉/—O?.Y—A=f(-Try)孑—J=。1右端)j=/,.v=o=59『兒=6?h■"“兒日=°。應(yīng)力分布如解3-1圈(G所示?當r?h時皿用?圣維南原理可以解決各種偏心拉伸的問題.因為在A點的應(yīng)力為零。設(shè)板寬為"?集中荷栽P的偏心更為",、P斤c。>"=甌-碎=s所以?如解3?1圖(b)所示。同理町知?當a<(1時?可以解決偏心壓張問題?3-2取滿足+0容方程的應(yīng)力函數(shù)為心2=處2八⑵⑶e=“y試求岀應(yīng)力分曲不il體力幾畫岀題3?2圖所示弼性體邊界上的面力分布?并在次雯邊界卜.去示出面力的壬矢世和主孫.-rTnr>*解3-2ffl【解】("應(yīng)力函數(shù)①二心、,苗應(yīng)力分就農(nóng)達武c=0.6=lay.rJr—=—2a幾在主要邊界)=±"2上，即上、下邊?面力為<6兒亠井.2=土uh■<r^>r-j.A22cur?在次耍邊界2=()?#=/1>面力的主矢械和杞矩為32彈性刀字32彈性刀字3?叭欽松(界三版)全塩&護炭刁*8全孵32彈性刀字32彈性刀字3?叭欽松(界三版)全塩&護炭刁*8全孵??h佗=0>宀〉"?=0.M2"IA(6兒“ydy=0,J~hz2fqA/2fh/Z<rx3z=/dv=—2aldy=—Zalh972J-A/I彈性體邊界土的面力分布及在枕翌邊界工=(]*=(上面力的主矢食和主矩如解3-2RJ?所示.⑵應(yīng)力函數(shù)—T得應(yīng)力分雖表達式cx=2bx90^=0,tlf=i在主要邊界y-土人/2上，即上、下邊?面力為(dy片一±JtfZ=0.Ct)Z—屮2=H弘.在次要邊界上一0山一/上，面力的主矢量和主矩為W2(ar>r-cdy=0>-A/2A/2(rx,)?-ndy=—Jr<(6兒^dy=2Mdy=2WA?Jt‘2(6兒E，dy—「2blydy=0.Jf/2(j)<=/dj=—J弾件體邊界上的面力分布及在次要邊界工=0,工=1上面力的主矢蚩和主矩如解3?2圖(b)所示。(3)應(yīng)力函&<J>-cry\得應(yīng)力分雅表達式6=6cry,6=0,vty=—3夕。在主要邊界y=±A/2上，即上、下邊.面力為I」-*/zr*/2f2hitZbyAyOe一A/23J-A/2rvzZbydy=■0—ft?22<(ry)x-tA/7=士3c尼r?(丫”〉十±3=—7■旳'?在次要邊界工=0心=2上，面力的主矢量和主矩為1(5兒=0込=0,JT"嚴<IJ—*々刊>」=ody=-0,A‘2—VZ3cy2dy-一手滬。3434彈性刀帕商明敎4跖第三版金&與舉&習址主弊3434彈性刀帕商明敎4跖第三版金&與舉&習址主弊第二*半面問題的JLJtl第二*半面問題的JLJtl生林解備33兒=,dy=6cZydv=0,(6人亠〃的=[6djr2dy=JT/22(j)…dy=—Jtt3。伽=_咎.卻性體邊界上的兩力分布&在次要邊界丁=0"=/上面力的主矢fit和主矩如解3-2ffl<c）所示，3-3試考察應(yīng)力函數(shù)e—赤巧⑶/一能滿足相容方程,并求出應(yīng)力分fit（不計體力人畫出題3?2圖所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上表示出面力的主矢■?和主矩）?指出該應(yīng)力換數(shù)所能鮮決的何起*【解】（1〉相容條件*將<P代入相容方程礬于2十等=0.顯然滿足。（2）應(yīng)力分宦表達式=_誓巧，9,=0,5=_芬（1_等）°（3）邊界條件:在y=±M2的主耍邊界上，應(yīng)精魂滿足應(yīng)力邊界條件（叭兒=卻2=0,Tw=—張（1—労）=°。在次翌邊界尸=0口=/上?應(yīng)用圣維南廉理?可列出三個積分的應(yīng)力邊界條件(6),gdy=0>(6兒一*dy=0.(6),gdy=0>(6兒一*dy=0.=-F仁(b)Js<rTy>r=o.rdy=—F?Q）對于如圖所示矩形板和坐標系，當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時?由應(yīng)力邊界條件式（a）.（b）Jc）可知上邊.下邊無面力；而左邊界上受有鉛直力■右邊界上有按線性變

化的水半面力合成為??力偲?利鉛且面力?所以?能辭決懇臂能在自由瑙送企中力作用的問題，3-4試證0=竽（一4治十3十一1）十雪（2器—于）能滿足相容方程?并考察它在題3?2圖所示知形板和坐標系中能解決什么問題（飲嵐形板的長友為丿?深度為兒休力不計九【解】（1>相客條件'將?代入相容方程;乎+2衆(zhòng)+詳=0,鼠然滿足。（2）應(yīng)力分量表達式。一琴-帑-鄂-=4（YV-）?“一器件-心上述應(yīng)力分餡町以寫成6=氣也燈壬（4話一斗），6=一號（】4齊）（1一字）?5=雖嚴.其中,S為靜矩,M（x>—一■q八Fs<jr）=—v^e（3）考察邊界條件；上要邊界，=士嘉‘2上.應(yīng)梢確滿足應(yīng)力邊界條件Oy〉yNT"N_q、（Oy〉y■“一0?>y=i*2L0?在次要邊界r=01：?應(yīng)用圣維由原理?可列出二個積分的應(yīng)力邊界條件：2"―心=匚（讐-警）3"?匚（誓-般—Jrz〉丄=*4>_：2"―心=匚（讐-警）3"?匚（誓-般—Jrz〉丄=*4>_<r^>/=<ldy=2T,G在次要邊界，一/上?應(yīng)用圣維南原理?可列出二個積分的應(yīng)力邊界條件Jt?（“兒-川》(a)b/：0。"（普十警-簣）—0，（_警+警一韻軸一％⑹w譽件_旳2=_爪f‘2-At「加2（5）—dy=—JT々對于如圖所示矩形板和坐標系?當板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時.由應(yīng)力邊界條件式（a）、（b）可知左邊、下邊無而力$而上邊界上受冇向下的均布爪力；右邊界匕冇按線性變化的水平向力合成為一力偶?和鉛貞面力.所以能解決右端為固定端約束的懸皆梁在I:邊界熒均布荷我g的冋題"3-5設(shè)有矩形截面的長豈注，密度為p,在-邊測面上受均布剪力g.如題3-S圖所示，試求應(yīng)力分審，35【解】采川半逆解法求解?丙為在材料力學穹關(guān)的華本公式中，假設(shè)材料是符合簡虹的胡克定律?所以可以認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓?即6*0,假設(shè)用力分域的函數(shù)形式。6=D.(2》推求應(yīng)力因數(shù)的形式。此時,體力為35【解】采川半逆解法求解?丙為在材料力學穹關(guān)的華本公式中，假設(shè)材料是符合簡虹的胡克定律?所以可以認為矩形截面豎柱的縱向纖維間無擠壓?即6*0,假設(shè)用力分域的函數(shù)形式。6=D.(2》推求應(yīng)力因數(shù)的形式。此時,體力為A-o>A=pgc將C=0代人應(yīng)力公式，教材中式(2?Z4)有彗=0。對r積分?得學=f(才)?(計4>=y/(jr)4/\(才〉?(b)其中/2),/山?！刀际枪さ拇ê瘮?shù),由相容方稈求解應(yīng)力廉數(shù)<將式(b)代入相容方程?教材中式(2?Z5),得卄〈小.dV.Cx)八-一°?這是7的一次方程?相容方程要求它有無數(shù)多的根(全豎柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)?可見它的系數(shù)和自由項都必須等于零<瞬=0.<^2=0,dr*dr*兩個方程要求/5〉=A?+Bx2+Or,/、“)=￡?+Fr\<c)/(才〉中的常數(shù)項屮的常數(shù)項和一次項已被略去?囚為這三項在G的表達式中成為了的一次項及常數(shù)頊?不影響應(yīng)力分最?得應(yīng)力匣數(shù)O-丿⑷3+&2+Cc〉+(EF+Fj2>.(d)由庇力函數(shù)求應(yīng)力分凰。將朮(0代入教材中式(224)的應(yīng)力分凰6,=—/.』=6Arv+2B.v+6Er+2F—pgyi(f)djcdy=_3Ardjcdy=_3Ar2_ZBr_C.考察邊界條件》利用邊界條件磺定待定條效先來考察左右怖邊￡一0"的主要邊界條件:將應(yīng)力分量式2)和式(g)代人?這些邊界條件復求〉zko?.=0,白然庸足$36鄧快刀鏗血咽孜甘，(算三從)全梶$■手及刀題全解36鄧快刀鏗血咽孜甘，(算三從)全梶$■手及刀題全解36鄧快刀鏗血咽孜甘，(算三從)全梶$■手及刀題全解36鄧快刀鏗血咽孜甘，(算三從)全梶$■手及刀題全解(r^),-0=—C=0：(h)<r^)x=6=—3A62—2Bb-C?g。(i)現(xiàn)在來考慮次要邊界y=0的邊界條件?應(yīng)用圣堆南原理?三個積分的應(yīng)力邊界條件為<-JArz-2Hr-C>dr=一?鑼一防-Ch=0.（1）J：O丿尸。dx=J：（66+2E〉（Lr=3Db2+2E6=0；Js片=?（才一務(wù)）血=［（6Dr+2E）G<-JArz-2Hr-C>dr=一?鑼一防-Ch=0.（1）Jc(rx)^dr由式(h).(i).(j).(k).⑴聯(lián)立求解猬C—D—E—OtB=*■人=—養(yǎng)可得應(yīng)力分址為pgy、=°?刀=2?7(1_3pgy、=g亍(3亍_2)。下部分的邊界條弊?由圣維南原理可知満足平術(shù)條件.3-6如題36圖所示的增，島度為乩寬度為b,h》b,在網(wǎng)側(cè)IS］上受到均布剪力q的作用■試用應(yīng)力西數(shù)?=Ary+B^y求解應(yīng)力分址。【解】(1)相客條件：將應(yīng)力函數(shù)?代入相容方程Bo=0,其中眨頑=5吋=。?很星然滿足相容方程.-A一3-A一3曲。-需-0，0廠甥=6加)，畑再察邊界條件:在主妾邊界丄■土血2上，各有兩個應(yīng)箱逾滿足的邊界條件■即(6土啟=?！?了卩>■<—±>/：=—g°在次要邊界y—0上■(%={)?*(),而<rMo=0的條件不可能箱確滿足dr=0.(否則只倉人=￡=dr=0.Jf2把各肢力分fit代人邊界條件?擔3838隊血力掌M咽數(shù)樁〔廉三版I全疲忌*及習越金圻3838隊血力掌M咽數(shù)樁〔廉三版I全疲忌*及習越金圻3737八=一為笳多（17多（17令）。<Tt=0,3-7設(shè)單位厚發(fā)的懇臂梁在左端受到集中力和力矩作用,體力可以不計“》/1?如題3?7賀所示?試用應(yīng)力函數(shù)O=A.ry+Byi+Cb+Drj?求解應(yīng)力分■??【解】（1）相容條件：將<P=Aq+Bb+Cb+Dry3代人相容方程?顯然滿足.（2）應(yīng)力分最表達式“—需~2B4-6Cy+66〉，av=雰=0,TjJ=一=—（人4-3￡>>^>,（3〉考察邊界條件:主要邊界j=±A/2上,應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件，（“），?仝7,=0?演足：<7^>z=±a/i=°>得A+#W"=0.（Q40B=(d■人=edy=—M?在次更邊畀X=0上，只給出了面力的主矢最和主矩?應(yīng)用圣維南原理,用三個積分的應(yīng)力邊界條件代替。注意2—0是負40B=(d■人=edy=—M?2Mftk/t(j)a-orfy=—FB?T/t由式（8）.（b）無出最后一個次要邊界條件（X=/上〉，在平衡微分方程和上述邊界條件均已滿足的條件下■是必然満足的?故不必再枚孩。代入應(yīng)力公式，得

12M12?\r$6=一萬一審^一亍，=_埶_412M12?\r$6=一萬一審^一亍，=_埶_4器)。3-8諭題3?8國中的一:角形懸臂梁只受巫力作用?而梁的密度為°試用純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)。求解?！窘狻浚?）相容條件，設(shè)G=Ar'+B.rzy-hCTy2+〃3?（a）不論匕式中的系數(shù)収何值?純?nèi)问降膽?yīng)力函數(shù)總能滿足相容方程。（2）體力分垃人=0?幾=朋?由應(yīng)力函數(shù)訝應(yīng)力分垃的表達式Qi—詳一/“=204-6D>*,°=詳-川=6Az十2?-呻,（3）考嚓邊界條件:利用邊界條件確定待定系數(shù)先考煞主要邊界上邊界，=0的邊界條件I（0、）y.o=0,<ry,>y=^j—Oo將應(yīng)力分肚式（h）和式（c）代入?這展邊界條件耍求（空），_.=GAx=0.（??>,二°=—2Bx=0。得A=0,B—0<式（b）、（c）、（d）戌為(c)(f)8)a*=(c)(f)8)g=—*八

TJy=—2Cy.根據(jù)斜邊界的邊界條件?它的邊界線方程&y-^na9在斜面上沒有任何面力?即幾=人=0?按照一般的應(yīng)力邊界條件教林中式（2?15人有77?(幾兒?孑77?(幾兒?孑5。+Z(r">jr=zunQ=Qo(h)(h)(i)I<2Cjc4-6Dztan?>+rzt(—2Crtana)=0.

加〈一Qgztana)十/(?-2Cr<aiifl)=0。茅三車屮:fi茅三車屮:fi閥戲的良并主枷解昔39茅三車屮:fi茅三車屮:fi閥戲的良并主枷解昔39由圈町見?f-=cos?r》=f-=cos?r》=+“)=—sin/r?代入式（h）、（i）求解C和D?即得c—^coiG,D=一號coda。將這些系數(shù)代人式（b）.（C.（d）得直力分檢的表達式16="Fcota—2pgc<^a?[spxy?'ro=—gvcot—3-9設(shè)題？?9圖中的簡支梁只受蛋力作用?lfi]梁的密度為q?試用教材§34中的垃力函數(shù)2〉求解應(yīng)力分吐■并麗出裁面上的應(yīng)力分布圖€題「9圖題「9圖【解】（1）應(yīng)力函數(shù)為0=號f十B.y十Cy亠D》十工（時亠Fy2十—晉/—十Ky2。<a）（2）應(yīng)力分就的表達式_=￥（6Ay亠+2F）-2Ay3-2By2+6Hy+2K,（b）4-Bj-2+Cy4-D—pgy.<c）r,.v=—x（3/Ay2十2B.v+C）—<3Ev:十2Fy+G）,（d）這些應(yīng)力分址址満足半衡第分方民和相容方也的.肉此?如果鴕夠選擇適當?shù)某?shù)使所有的邊界條件都滿足，則應(yīng)力分圮式（b）.（c>.（d）就鬼正確的解答，（3）彩慮對稱件。肉為W10是梁和荷藏的對稱UH?所以應(yīng)力分命應(yīng)當刈稱于盧曲。這樣6和6足工的偶函數(shù)而“是上的奇額數(shù)?于是由式（h）和式（出可見E=F=G=?0t（4）考察邊界條件，在主耍邊界y=±h；2上?應(yīng)梢確滿足應(yīng)力邊界條件?6〉▼一yz=0’Tjy=±A?1=0。3〉40=.版)全全:H40將應(yīng)力分董式(c)和式(d)代人?并注總到前面已有E=F=G=0,可見這些邊界條件要求曽A十普時今C+D-停=0；一竽A+與B-%C十D+弓=68422一±(￥臚A4-C)=0即A+hB+C=0：一夂仔臚A-hti+C)=0即^h'AiB+C=0.聯(lián)立求解得到將以上已確定的常數(shù)代人式(M?式(c)和式(d),得①=-警心+警b+6Hy+2K.6=_禪八帥考慮左右兩邊的次要邊界條件。由于何題的對稱性，只需考慮其中的一邊?例如右邊.梁的右邊沒有水平向力,r=l時?不論》取任何值(一時2S，M/i/2)?都有6=0。由式(D可見，這是不可能滿足的，除非足"H.K均為零?因此，用多項式求解?只能妾求"在這部分邊界上合成的主矢戢和主矩均為琴，也就是要求(幾幾—dy(幾幾—dy=0.將式⑴代人式⑴?得?(—磐“2,++2K)dy=0。積分以后得將式⑴代人式(j)?得廠J廠J-A/2枳分以啟得H=怒(符一壽)?42彈忸刀學?綃牧植（祁三牘）金柱號耶及習理全解42彈忸刀學?綃牧植（祁三牘）金柱號耶及習理全解42彈忸刀學?綃牧植（祁三牘）金柱號耶及習理全解42彈忸刀學?綃牧植（祁三牘）金柱號耶及習理全解樂三*平窗間題的JL樂三*平窗間題的JL用生忤腳袴41將的值代入式（f）?得另一方面，梁右邊的切應(yīng)力「"應(yīng)當合成為反力pglh.壯（磐燈一警譏一艸積分以后■可見這-?條件魁滿足的。將式（Q?（h）?（k）昭加整理，得應(yīng)力分蚩的最后解答°，=_讐,y+讐八6宙（纟_紡,沖意咚戒（B1的寬度取為一個緘佗?叮見慣性矩是J=鑰?靜矩是3=*…號。根據(jù)材料力學應(yīng)用截面法求橫截面的內(nèi)力?皿求得律任意蔽面卜的彎審方程和曲力方程分別為MG）=陽人“專"乜，幾（》=_卩妙宀式（1）可以寫成_FgS一~。廠°3?10如題3_FgS一~。廠°3?10如題3?10圖所示的;&習梁?長度為仁髙度為h,n在上邊岸受均布荷載q?試檢驗應(yīng)力函數(shù)?—Ay54-Bjr2y3+Cy34-Dj24-E.r2y能否成為此問題的解?如可以，試求岀皿力分鳳?！窘狻浚?）相容條件：將4-Bx2/+（y+Dxi4-Ex2>代入相容方程?得120A）+24B.y=0,若滿足相容方程?有A=一*乩⑺(1R加?3-10圖（2〉應(yīng)力分雖表達式20Ay3—3O7kr220Ay3—3O7kr2y+6Cy?=—lO.Ay3+2D+2Ey9—霧=30?_2Er.（3）考察邊界條件，主耍邊界y=±h/ZtJ菱箱呦演足應(yīng)力邊界條件

“―得一衍+2十=0：y、、Lfc=—q?得+21）—Eh=—qi—霧=30?_2Er.（3）考察邊界條件，主耍邊界y=±h/ZtJ菱箱呦演足應(yīng)力邊界條件

“―得一衍+2十=0：y、、Lfc=—q?得+21）—Eh=—qi“得一和GO.(h)(d)在次要邊界x=0上，主矢和主矩都為零?應(yīng)用圣維南凍理?用三個積分的應(yīng)力邊界條件代轎f5Jkodv—0,f/t滿足條件;(6兒=oydy=0,Jfftf*za<r?)T=ody=0.

ffz聯(lián)立求解4<a).(b).(c)Jd)和《e>?得A=^?B=-粧C=-將各系數(shù)代人應(yīng)力分量茨達式?得得嘗十C/P=0;満足。10ft-D—牛%=_普于（17卷）.3-11擋水墻的密度為o,厚度為旅如題3?1】圖所示，水的密度為"，試求應(yīng)力分址?！窘狻浚?）假設(shè)用力分斌的險數(shù)形式。因為柱y=-"2邊界上=0；y=6/2邊界上?卩=一宀所以町假設(shè)在區(qū)域內(nèi)?為°=工/3。（2）推求應(yīng)力術(shù)數(shù)的形式。由6樣求①的形式?s=器=刃3，二薯=y/<>>+/（（））?44彈性力舉44彈性力舉ST明敦拄（再三用U金耶從習題金解44彈性力舉44彈性力舉ST明敦拄（再三用U金耶從習題金解艮三章艮三章平面問巫的夏％土樣解袴43血=O）+人5兒（3）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)。將少代入b4>=0?得育器I器十晉十加器=0.要使上式在任意的X處都戍立■必堿=0，得f=小'TBy2+Cy4Di器+2貽=o,^f,=-^y'--fy+G.V1+H.y24-bj晉=0?得人+Fb?代入€>即得應(yīng)力函數(shù)的解答，苴中已略去了與應(yīng)力無關(guān)的一次項"（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量，將e代入教材中式（2?24〉，注意體力幾m，幾=0.求得應(yīng)力分魚表達式G=詳~/>=?（人丿4尋）K-2心一2矽+SCy4-2H）+<6Ev+2D—/y）gz,6=薯一=大（人乂+B『+Cy+D兒Try=—￡^=—專（3/iy-^2Hy+C）+（今W十弓?—3Q/—2Hy—f）.（引考察邊界條件，在主要邊界j▼±0/2上?應(yīng)精確滿足應(yīng)力邊界條件（6人f2=—QK廠狷X（Ay+B=+C纟+D）p—"g"（a）a—f2=—Q叱得工（一A務(wù)十Z3備一C$+D）?0；（b）（r嚴>小S3=0?得_茅（人學±砂乂）+（人務(wù)±8鑰_0學不皿~1）=0。由上式猬到人字士B6+C=0,（cd）八鑰±"卷一°譽干山_】"。<ej）求解備系數(shù)?由（a）十（b）得B牛十D=—寺“g?

(a)-(b)得八等+C今=一知1(c)+(d)得B=0./<D(a)-(b)得八等+C今=一知1(c)+(d)得B=0./<D=—?“g.(c)-(d)得A*+C=0.由此得23A=戸Qzg，C—一莎|"g?又有(e)-(f)得H=0.(c)+(f)得A鑰一&學一丿=0。A代人得1=16?&4°。在次喪邊界r=0±?列出三個積分的應(yīng)力邊界條件得F=0；(6),_ody=0.0.得K=0,徊J=編辺_普6由式（g）?h＞解出1=一辭S°二金化.將各系數(shù)代人眉力分址的表達式?得6=警^?丿+警知巧'-卩皿，°,=吟彳2看-參一計S=-血（3器—金）-P2Q（-秩十盞一命）.3-12為什么在主嬰邊界（占邊界絕大部分）上必須備足稱號的應(yīng)力邊界條件?教材中式（2-15）.而在次棗邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南綽理?用三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件〉來代著？如果在主要邊界上用三個積分的應(yīng)力邊界條件代轎教材中式（2-15）.將會發(fā)生什么何題？【解答】彈性力學問題屛于數(shù)學物理方程中的邊值問題?而喪使邊界條件完全得到満足?往往遇到很大的困難°這時，圣維?南原理可為簡化局部邊界上的應(yīng)力第三車平頁問觀的血兔土柝解普45第三車平頁問觀的血兔土柝解普45第三車平頁問觀的血兔土柝解普45第三車平頁問觀的血兔土柝解普45邊界條件捉供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同■但靜力等效的面力（主矢、主矩均相冋）?只影晌近處的應(yīng)力分傷，對遠處的應(yīng)力影晌可以忽略不計.如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個應(yīng)力邊界條件來代替梢饑的邊界條件，教材中式（2?15）■就會形響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會使問題的解容具冇更大的近似性.3-13如果某一個應(yīng)力邊界何題中旳F個主要邊界和"個次耍邊界?試問住主.次要邊界上務(wù)應(yīng)滿足什么類型的應(yīng)力邊界條件’各有幾個條件？【解答】在巾個主要的邊界上，每個邊界應(yīng)冇兩個精鋼的應(yīng)力邊界條件，如教材中式（2?15）.在n個次要邊界上?毎邊的應(yīng)力邊界條件若不能滿足?可以用三個靜力等效的枳分邊界條件來替代兩個稱確的應(yīng)力訪界條件"3-14如果某一個應(yīng)力邊界問題中，除了一個次婆邊界外?所有的方程和邊界條件都已滿足，試證:在最后的這個小邊界上?三個積分的應(yīng)力邊界條件必然是自然満足的?因而可以不必校核.【解答】區(qū)域內(nèi)的毎一微小啦元體均已満足半衡條件?瓦余邊界h的應(yīng)力邊界條件（平衡條件〉也已滿足?那么在最后的這個次哽邊界上，三個積分的應(yīng)力邊界條件自然是滿足的■囚而可以不必儀核，3-15試分析簡支契受均布荷載時■平面栽向假設(shè)是否成立？【解答】彈性力學解答和材料力學解絆的差別，是由于各自解法不同?簡言之?彈性力學的解扶，足嚴格考慮區(qū)域內(nèi)的平績微分方程JL何方程和物理方程?以及在邊界上的邊界條件而求解的?囚而得岀的解答是比較箱確的。而在材料力學中沒有嚴格考慮上述條件?因而得出的是近似腸答.例如，材料力學中引用了平面假設(shè)而簡化了幾何關(guān)系，但這個假設(shè)對-般的梁是近似的.所以，嚴格地說?不成立。第四章年面冋廳的級童標解各本章學習重點與難點更點一、基木方程和基本未知爲對于圓域.岡環(huán)域及楔形體壽具冇弧形邊界的彈性體,宜采用極坐標求解，極坐林形式的歴本方程和莖本未知凰各有八個。紬對稱問越的垂本方程?可由極坐標系中的一絞方稈簡化得到?；痉匠?、墓本未知■、相容方程名稱一般情況軸對稱情況平銜徽分方程喙+￡鄒十寧+幾7焉先+牛+幾=°-魯十羅十—0幾何方程一仏_%,1叫T%’5宀町y=丄啖十也仏pd(pdpp?一d如"莎’J=土?*D?物理方侔(半向應(yīng)力〉s=吉匕一心兒】2?1+“)|冷-GJ-Er-<j=萬5一/"?--皋本未知橫6?e?r檸?1仃d八6俺戶疋八―相容方程(器+十器+步制。F（診+扯）—048蹲訊力學加啊毀松（耶旦板）及48蹲訊力學加啊毀松（耶旦板）及2趙金H48蹲訊力學加啊毀松（耶旦板）及48蹲訊力學加啊毀松（耶旦板）及2趙金H第口卓平西間題的極主特解誓47第口卓平西間題的極主特解誓47二、應(yīng)力分呈的坐懷變換武應(yīng)力分?的坐標變換式直角坐標轉(zhuǎn)換

為極坐標直角坐標轉(zhuǎn)換

為極坐標<rf=d.ccia?卩+d,sin'習+2rp0n（p?極坐標轉(zhuǎn)換為克角坐標（jr—OoCOs?習4o尹肖in'y~2r殲：sinpcos爐9極坐標轉(zhuǎn)換為克角坐標5=6?inz<p+d,cos"卩十2r“sin卩cos^?Fry=〈0*—o$）sinpcos護+tr吟（cos2<p—sin'卩）三?軸對禰應(yīng)力和相應(yīng)的位移將相客方程化成崔｛p芒+器（。屠）補=0,逐次積分?得剁軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力函數(shù)的通解（P=（P=Alnp十/Jp'ln。十Q），十D?代入教材中式（4-9）得竝力分就I：式所示的應(yīng)力分茁號卩無關(guān)■囚而稱為平面軸對成應(yīng)力分布?適用于兩類平面問邈.竹-鳥［_?+吟+2<1-對應(yīng)的位移分昱竹-鳥［_?+吟+2<1-+2（1—“〉Pp（】ng—1）+（1—3//^Bp+上式所示的位移分呈僅適用于平面應(yīng)力問竝（對于平曲應(yīng)變問副可將E換為E/（l換為^/（1-//））□式中的//</?/<&W體位移。顯然?在不療在別體位移或存住軸對稱約束時位移分"也是軸對稱的（此時?叫一0,"=H=J=K=0）,否則與°有關(guān)（?即非軸對稱的問題）.在得到扱坐標形式的基本方稗時，比較與克角坐標形式的基本方程的異同點?注盤各個物理肚在洌個坐標系之問的轉(zhuǎn)換關(guān)系。四、應(yīng)力函數(shù)的選取用出綱分析法.由內(nèi)力恃征確定的方法.用應(yīng)力函數(shù)eg求解平面問題時，注總所研究的彈性體足單連體還足多連體?若是名連體，則求得的向力分皐殊了滿足給定的邊界條件外?還需満足位移單值條件.五、判晰主要邊界和次翌邊界圓壞（㈣筠）及由梁的內(nèi)外弧形邊界、楔形體的兩側(cè)面都是主妥邊界，需精確滿足邊界條件。曲梁的端部為次要邊界?可運用圣堆由原理便邊界條件得到近似滿足.此外?在處理決形體等問題時?經(jīng)當采用離外力作用點較遠處取隔離體平衡的方式，以確定待定系數(shù)，難點一?應(yīng)力分雖的坐標變換式.二、軸對稱問題的應(yīng)力分布和相應(yīng)的位移C三?如何選取應(yīng)力函數(shù)。典型例題講解例4-1如圖所示，矩形障板在四邊受純剪切力作用，切應(yīng)力大小為＜/?如杲離板邊較遠處有…小圓孔?試求孔邊的駅大和最小任應(yīng)力.【解】（1）根據(jù)材料力學公式?求極值應(yīng)力和最大正應(yīng)力的方付角s?n第B第B策平面問題的極寶悻解普49第B第B策平面問題的極寶悻解普49最人正應(yīng)力所在獻面的方位角為antan—=:—=SL^=—].g一。y—o所以"=一代/&.若在該純剪切的矩形薄板中，沿與板邊成n/4方向載取矩形ABCD,則在其邊界上便承受集度為q的拉力和壓力，如圖所示。這樣就把受純剪切作用的板看作與一對邊旻拉?另一對邊受壓的板等效。（2）取極坐標系如圖。應(yīng)用教材中式（4?18〉，得矩形薄板ABCD內(nèi)的應(yīng)力分fit為(8)(b)(c)d嚴qms2卩（1—討（1一3討?

~</ccs(8)(b)(c)J=-*?sin2^（1一話）（1+3》）?其中a為小孔的半徑?而孔邊最大與玄小正應(yīng)力由式（b）?在卩=a處得到

<7$=—g8s2^（l+3^）F—4qcos25P.當卩=0.汛時，孔邊最小正應(yīng)力為（j>?-一4j當卩=土jt/2時，孔邊最大正應(yīng)力為5。〉喚一的。分析：矩形板ABCU邊界上各點的應(yīng)力狀態(tài)與板內(nèi)無孔時的應(yīng)力狀態(tài)相同.也可以應(yīng)用樁加法?求解薄板的各種較復雜的平面應(yīng)力（應(yīng)變》⑸起.W4-2圖例4?2如圖所示楔形體右側(cè)面受均布荷載<?作用,試求應(yīng)力分臥W4-2圖【解】（1）楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分啟決定Tq、pg、其中<7的址綱為NI?S與應(yīng)力的fit綱相同。因此?各應(yīng)力分歯的茨達式只可能取Kq的形式?而K是以a呼表示的無量綱函數(shù)?亦即應(yīng)力表達式中不能出現(xiàn)宀再由心?應(yīng)力函數(shù)。應(yīng)繪卩的函數(shù)乘以卩S可設(shè)<i>=p2fg）（a）將式（a）代入XX凋和方程+4啥dp+4啥dp=0,上式的通解為50彈忸力繆簡明敎趣（第三肢）金機孚出及習更全斛50彈忸力繆簡明敎趣（第三肢）金機孚出及習更全斛50彈忸力繆簡明敎趣（第三肢）金機孚出及習更全斛50彈忸力繆簡明敎趣（第三肢）金機孚出及習更全斛f—A8,2卑十Bisin2卩十C申+D,將上式代入式(a),得應(yīng)力函數(shù)為TOC\o"1-5"\h\z<P=pc(AcosZ^+fisin2<p+(?+”>?(b)(2)應(yīng)力表達式為a,=十+*=2(-Acos2年-Bsin2鄉(xiāng)+C乎4-D)?p.=尋孚=2(Acos2手4-Bsin2卩斗C卩4-D),(c)>=寺器一亦益=2A$in2護一2B88引Y?(3)應(yīng)力邊界朵件C(j9>?—og.得2(A4~D)—~g；(d)(“)—=0?得Acos2a+Bsin2a+Q十D=0；(e)(S》.?o=O,購一2E-C=0?(f)(z>〉.=?=0，得2Asin2a—2Bcos2a—C=0。(g)聯(lián)立求解式(d)—(g).得各系數(shù)gtana(tangtana(tana—a)4(tano—a)2（tana—a）將系數(shù)代入式（c〉?得應(yīng)力分量q(tana—2（tana—a）將系數(shù)代入式（c〉?得應(yīng)力分量q(tana—2ar〉4(tana—a)°=_Q+iana(1+cos2卩》一(2卩+sin2卩)2(iancr—a)lana(l—cos2?)—(2?—sin2?)

2(tana—a)cos2y>)—tana$in2卩2<Uno—a)分析:應(yīng)力函數(shù)表達式（"中不出現(xiàn)一這尼因為/'（護）中包含了。角（在應(yīng)用應(yīng)力邊界條件時呻=<r處（"》“■=0,<r^>F=t=0中體現(xiàn)兒習題全解4-1試比較極坐標和直角坐標中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程?指出哪些項足相似的,哪些項足扱坐標中轉(zhuǎn)有的？并說明產(chǎn)生這些項的原因?！窘狻浚ā浚O坐標?宜角坐標中的平衡微分方程Ba*平而問用的檢主怖解祚Ba*平而問用的檢主怖解祚51Ba*平而問用的檢主怖解祚Ba*平而問用的檢主怖解祚51軻極坐標中的平術(shù)微分方程與直角坐標中的平衡微分方程相比較，第一式中,麗兩項與自角電標相似;而牛項是由于正Q面t的面枳大于負p面上的面枳而產(chǎn)生的?一:是由于正負°面上的正應(yīng)力一在通過微分體中心的p方向有投影而引起的°第二式中■前兩項也與直角坐標相似$而'是由于正。面面積大于負Q面而產(chǎn)生的;步是由于正負#面上的切應(yīng)力在通過微分體中心的卩方向冇投影而引起的。由于=r,,,仍可將這兩個切應(yīng)力只作為一個未知函數(shù)處理。（2）極坐標?宜角坐標中的幾何方稈P一丄％e吟duJv’3v|Hu’—牙，J■石.“■石十石?將極坐標中的幾何方程與宜角坐標的幾何方程和比較?第二式中的第一項;是在極坐標屮才有的?表示由于輕向位移而引起的環(huán)形線段的仲長應(yīng)變:第三式中的一歹是由于環(huán)向位移而勰的環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角，這項也是在極坐標中才有的.（3）極坐標，直需坐標中的物理方趕P一丄％e吟duJv’3v|Hu’—牙，J■石.“■石十石?將極坐標中的幾何方程與宜角坐標的幾何方程和比較?第二式中的第一項;是在極坐標屮才有的?表示由于輕向位移而引起的環(huán)形線段的仲長應(yīng)變:第三式中的一歹是由于環(huán)向位移而勰的環(huán)向線段的轉(zhuǎn)角，這項也是在極坐標中才有的.（3）極坐標，直需坐標中的物理方趕如十山〉=占（6_冋），Xr,-rryo極坐標屮的物理方程與宜角坐標的物理萬程是相似的。42試導出極坐標和直角坐標中位移分量的坐標變換式.【解】參看圖?位移矢屋妊服從兒何加減運算法則的.位移矢雖為右它住心＜＞〉和S呼〉坐標系中的分量分別表示為（U.1/）和（“八叫）.所以E第四ji第四ji平as傾視的鍛圭怖解咨53第四ji第四ji平as傾視的鍛圭怖解咨5352=.?）52=.?）全棧畧養(yǎng)及習超金解=“cos<f>+vsin卩.=—irsinp=“cos<f>+vsin卩.=—irsinp+vcos^o寫成知陣形式所UI「”].「WL?9」L—sin5?二］〔:］CO5］〔::〕P?I*cosy—sinp］〔::〕Lp」Lsin甲cosf>若寫成一般形式?則位林分直的變換關(guān)系為u=“卩8$丫—朝gsinp,v=H嚴sin護+必于co$卩.或u.=ucostp+vsinp?=—usiny;-f-vcos^pe4?3在紬對廉位移問題中?試導出按位移求解的甚本方程.并證明-=即十+叫=0可以滿足此基本方程?【解】（I）設(shè)“，=u^p）.ut=0?代入幾何力程，教材中式（4-2》得形變分繪S匸弩’J=\、“=0。3將式（aHt入物理方程?教材中式（43〉得用位移表示的應(yīng)力分最6=呂倚+“：），(1>)“_E/叫宀\(1>)升=「=訥帀+7■卜S』0。將式（2代入平衡褲分方程?教材中式（4?1）.在軸對稱問題中?平衡方程為

占+丄學+^￡^=0.J%p如p0。j丄熱+洛4紐Ip*2p0。式（C）中的第二式自然厲足?第一式為十“?+丄蟲4一士pSp"上式即為求"的基本方程。⑵將ur=Ap十乎叫=0代入武（小?很顯於満足方除4-4試導岀軸対稱值移問題中?按應(yīng)力求僧時的相容方程?【解】（1）在軸對稱的情況下=5=5只有燈為基本未知廉數(shù)?且它們僅為卩的函數(shù)。幾何方程?教材中式（4-2）的耐二式成為

du；.=去斗牛=紅，IP如?對式（"中的第二式求導，得(b)吿=十（魯_歩）,(b)將式（Q中的j?―代入式（h）?得牛=2?—￡f）.SF（2）將物理方程?教材中式〈43＞、（4?4）中的用應(yīng)力分量表示的形變分僮代入式（c）中■就得到按應(yīng)力求解時的相容方程?即平面應(yīng)力的相客方程，￡s_s〉="丁〉平面應(yīng)變的相容方程：d「，?、r5。一“）五II一“九-皿鳥一J*。4-5試由一階導數(shù)的坐標變換式■導出一階導數(shù)的坐標變換式「教材H-3中的（a）Xb）,＜c）］【解】一階導數(shù)的坐標變換公式QppO（p

g,cosome=sln^^+v^二階導數(shù)的變換口I以由一階導數(shù)得出護z0（0（9sined\（g$in＜pd^\（心夕環(huán)麗八心卩石亦丿-詳+弘9（*曙需）一28“叫

診叫誇（爭）=%計尋制的屠十嚴「立（丄西門L%'p「立（丄西門L%'p卯丿」。4-6試由應(yīng)力分量的坐標變換式92=升8$：護+e筍sinZp—2r”.sin年cca護.和二階導數(shù)券的坐標變換武［教材§4-3中的式＜b＞］,導出用應(yīng)力函數(shù)Q（p呼）農(nóng)示應(yīng)力分址兀2.S的表達式［教材§43中的式《45刃。54?=.?）54?=.?）全牲?&緲及習S!全躋54?=.?）54?=.?）全牲?&緲及習S!全躋【解】=諮比較第式兩邊的系數(shù)町得敕材中式55）.即1孫丄1應(yīng)?=萬石+歹破.I_?維T=_2（丄妲）I**dp'p。&丿?4-7【解】實心圓盤在P=r的周界上受有均布壓力q4-7【解】實心圓盤是軸對稱的?可引用軸對稱應(yīng)力解答，教材中武（4?11人即5=令十J3〈1+2lnp>+2Ci《ao=—令+13〈3+21np）+2C,首先?在10盤的周界"=門上，冇邊界條件（譏_，=7由此得p-+B<1*21nr）+2C=-j<b）其次?在圓盤的圓心，當卩一0時式（R中。,升的笫一、笫二項均也F無限大,這是不可能的.按照有限値條件（即，除了應(yīng)力條中點以外,彈性體上的應(yīng)力應(yīng)為冇限值。〉?當時,必皴冇人=“=0?把上述條件代入式（b）中，猬C=—g/2°所以?得應(yīng)力的解答為5三“=—q,V=0,4?8試考察應(yīng)力函數(shù)。一gp'ss3外能解決題4-8圖所示彈性體的何種受力問題?峯E峯E童早簡歸題的4*標解篆55峯E峯E童早簡歸題的4*標解篆55（1〉相容條件；把應(yīng)力甬數(shù)代入相容方程顯燃是滿足的?（z）rtihk力函數(shù)求竝力分槓表達式叭=—cos3卩?aF=^cos3y>?j=^“n3p?求出邊界上的面力卩=士30。面上.升=0,丫卄=士警

Q=c向上.6=—4心3卩?r”=Q0n3卩。面力分布如解4?8圖所示?厭此上述應(yīng)力函數(shù)可解決如圖所示的受力問題.4-9半平面體表面上受有均布水平力</,試用應(yīng)力函數(shù)*-p2（〃拆2卩+心>求鮮應(yīng)力分址?如題4-9圖所示?！窘狻浚↖）相容條件：將應(yīng)力函數(shù)0代入相容方程V^-0,顯然滿足.（2>由6求應(yīng)力分繪表達式=一2B$in2#十2C^h=2Bsin+2C^?'、工z=—2Bcos2p—C.（3>考察邊界條件:注意本題有兩個9面?即題4?9圖0=士于.分別為土箏面。在士貯面上?應(yīng)力符號以正面正向、負面狂向為正.因此?有（八>*=—2—°，得c=o."和片-土“=_—得H=_y?將各系數(shù)代入應(yīng)力分蚩表達式?樹0.—q$i“2p?<=一<?sin2護.=gcos2p°4?10試證應(yīng)力曲數(shù)叭務(wù)能満足柏容方程?并求岀對應(yīng)的應(yīng)力分SL若在內(nèi)半徑為"外半徑為R且厚度為1的圓環(huán)中發(fā)生上述應(yīng)力?試求岀邊界上的面力。【解】（1）極堂標的相容條件：早面間題的極堂標解苓57早面間題的極堂標解苓57早面間題的極堂標解苓57早面間題的極堂標解苓5756弾快力劭簡明裁境（策三版）金殺曇犖及習魁全56弾快力劭簡明裁境（策三版）金殺曇犖及習魁全■將應(yīng)力因數(shù)少=昜￥代入?得（命+*缶+古壽）務(wù)二恥"而V。=V2V2d>=0.應(yīng)力函數(shù)0滿足相容條件。（2）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分載。嚴丄驢十4黔=0.poppd（pS=喬=5旦（丄如\_2M°一環(huán)\p3j_p：Zk（3》內(nèi)、外邊界上對應(yīng)的面力在內(nèi)邊界S=尸）上“?〉"?=o.在外邊界（q=R〉J>S?=k=0、4-11設(shè)上題所述的囪環(huán)在卩=廠處被固定，試求位移分SL【解】本題為平面應(yīng)力的情況?將應(yīng)力分雖5一0“一0心二占翳代入極p—K坐標中平面應(yīng)力問題的物理方程，教材中式（4?3》?得應(yīng)變分星液達式j(luò)=g仏一州）=o,2心"冉將應(yīng)變分總代人幾何方桎?敦材中式（4?Z）?J<pP=亠啓十如一仝。5fid（pdpp°根據(jù)邊界條件?寫°=廠時?邊界是固定的、由s=o?得才=0.dP所以叫=“pS?當Q=r?時■對任意卩角都有u,—0?即u‘S二0,由式（b〉可知

=0.=0.因比再由式（C,可得設(shè)代入式（d人得Mo="卩=j4R?"護=?'?設(shè)代入式（d人得Mo="卩=j4R?"護=?'?所以由此得-B^r—“小=JVC

龍2心B=——也42肚-煤廠=?V~4所以根翳邊界條件，當Q=r時，5o兒=,=0,即54+-懸=0?AM人=^7護由此得位移分蛍為根據(jù)剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系?得叫“M

石一2-需研為求位移分駅“?必須求解式（小■令°=八對式（小進行代換■得込=^JLl匹=色￡x丄dpdtdpdtc*?將上式代人式（小，得將上式簡化?得方程式（d）的通解為4-12楔形體在曲惻面上受冇均布剪力q，如雀4?12陽所示?試求其應(yīng)力分AL58585858【解】⑴應(yīng)用應(yīng)力西數(shù)<Z>-p2CAcos2<p+Bsin2^p+Cp+D>?進行求解'由應(yīng)力函數(shù)Q得應(yīng)力分氫—4-=—2(Acn?2y>+Bsin?.<p—C\p—D)=2(Aoos2爭4~E?in2y4-C晉+D〉?S=_器(+籌)="品29-2Bcos2^-C9(2〉考察邊界條件:根據(jù)對稱性，得(6).々=0;<a)仆兀)山=如(b)仏)-?々—0$(c)(了“)—?‘2=1q?(d)由式(Q得2Acos<p4-2Bsin<f4-Cy-1-2D?0><c)由式(b)得2Asin9>—2Bcos—C=q：(f)由式(C得2Acns—卩一(9+2/J=0；(g)由比(d)得_2/A:si嚇_2Bc8卩一Cg。(h)式(e)XfK(K)Xh)聯(lián)立求解?得人=金，B=C=0-將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分址，得迥一叫),sina/=qsjp迥一叫),sina/=qsjp如

sina595959594?13設(shè)有內(nèi)半徑為r外半徑為R的圓簡受內(nèi)壓力j試求內(nèi)半徑和外半徑的改變，并求圓筒厚度的改變?！窘狻勘绢}為軸對稱問題，只有徑向位移而兀環(huán)向位孩.當圓筒只受內(nèi)壓力g的情況下?取應(yīng)力分匱表這式?教材中式（4?11）?注意到B=0.內(nèi)外的應(yīng)力邊界條件宴求<r^\=:,r0.?“〉一*—0；=_q，=0。由表達式orM.nrw個關(guān)于廠”的條件繪滿足的?而右曲個條件要求令+2C=-Q?奈+2C=0?由上式解得A*-=—把A>B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分*教材中戍《4?⑵-一_E〈臣二？-py（1—“》A*-=—把A>B,C值代入軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下對應(yīng)的位移分*教材中戍《4?⑵-一_E〈臣二？-py（1—“》p十（1+“〉魯］十Icos*十Ksin卩,uf=Hp—/sin?+Kcos?=0?式（0中的宀卩取任何值等式都成之?所以各白由項的系效為零//-J-K-0。所以?紬對稱何題的空向位移式（b）為-=丘腿0）卜】_/心(b)卜（】+増而圜筒是屆于平面應(yīng)變問題?故匕式中卜1吾嚴-占代替?則有…尋a■此時內(nèi)Q改變?yōu)?11■-匕)"亠(】二z一￡"用+r?丄_-E\K€-rr1-p_匸_外徑改變?yōu)閁u（1+總）2（】-咼片第西章平而佝巫的械坐標解答61第西章平而佝巫的械坐標解答61第西章平而佝巫的械坐標解答61第西章平而佝巫的械坐標解答6160愛性力攣斯明教*60愛性力攣斯明教*r寥三扳；全枕鳥挙*習題全解圓環(huán)厚度的枚變?yōu)?lt;?r<l—ul>(R—r.p\￡「&市+旨丿。4-14設(shè)有一剛體?具有半徑為R的呵柱形孔道■孔道內(nèi)放置外半徑為R而內(nèi)半輕為廠的岡筒■圓筒受內(nèi)壓力為S試求岡簡的應(yīng)力.【解】木題為軸對稱問題■故環(huán)向位移WF=0?另外還宴考慮付移的單值條件。(1〉應(yīng)力分雖弓I用軸對林應(yīng)力解答?救材中式(4-II).取59筒無答中的系數(shù)為A.B-C.剛體解答中的系數(shù)為A'JTU由多連休中的位移單值條件?有(b)<d)B二0,(e)(b)<d)B?=0e現(xiàn)在?収圓筒的應(yīng)力表達式為S=令+26?,j=—余4-2C.剛體的應(yīng)力表達武o；二牛十2?,°；?=—牛+2C\PP考慮邊界條件和按觸條件來求解常數(shù)H,/V,C,C‘和相應(yīng)的位移解答°百先，在圓簡的內(nèi)面，有邊界條件)十?=一5由此得%+2C=—g.其次，在遠離圓孔處?應(yīng)當幾乎沒有應(yīng)力，于見有《0；〉—8=0,(“〉廠8=0?由此得再次?列簡和剛休的接觸面上,應(yīng)當有QJ.eR—Ro于是命式(C)及式(小得@)令42(、=語@)(2)平面應(yīng)變問題的位移分址應(yīng)用教材中式(412)的笫一式，稍加簡化可以寫出圓筒和剛體的徑向位移表達式(h)2(12p)Cp?號+"°°s卩+Ksincp、

“；=D.(h)剛體的徑向位移為苓，在接觸面上?圓筒與剛體的位移相同且都為零?即

將式（h）和式⑴代人?得尸2（1—2p^CR—令］+Jcos管+Ksin<p—0方程在接觸面上的任意點都成立呼取任何值都成立?方親兩邊的自由項必須相尊n干是得護［2"-2門心一幻=0.簡化并利用式仃）?得A=2（1—2QR2C。（j）（3）圓筒的應(yīng)力把式（”代人式（e）,得A__宀d二2沁Jc9^匚""曲+小2［（1—2〃）疋+尸」°頃簡的應(yīng)力為丄R:丄R:丄應(yīng)415在溥板內(nèi)距邊界較遠的某一點處，應(yīng)力分&為6=0,=0，?丫?\如該處有一小K1孔?試求孔邊的繪大I臼世力?！琗『—，X『ar\-J—**1V-、、、療和、、—J1■■M4-15WIMJ〔1）求出兩個圭應(yīng)力?即加音J護詢石十原來的問題變?yōu)榫匦伪“逶谧笥覂蛇吺芫祭?而在上下兩邊受均布圧力g?如圖所示.應(yīng)力分St"=q"y=-Qg=0代人坐標變換式?教材中式（4-7）.得到夕卜62弾任力卑藺明獲62弾任力卑藺明獲tii.蕪二版主些尋節(jié)艮刁迎全解62弾任力卑藺明獲62弾任力卑藺明獲tii.蕪二版主些尋節(jié)艮刁迎全解邊界上的邊界條件5兒"=5仰)0_?HQCCK2卩.7sin2円(a)<b)住孔邊?邊界條件是匕兒i=o.(c)?r”、l■o°(d)由邊界條件式(a)Jb).(c)Jd)可見?用半逆解法時?可假設(shè)幾為"的某-甌數(shù)乘以cw2y?而°為?的另一函數(shù)乘以sin2^.iftj1<?4>-1-=萬五+戸祈，。=囚此可般誅<P=/(p)cos2<p^<e)將式(e)代入相容方程?教材中式(4?6),得g［爭廿驢乍爭+3欝卜。.翻大因于cos2^以后?求解這個常微分方程?得/<p)=An*十B/Z+C+g?p其中A.B.C.D為待定常數(shù),代入式(Q?得應(yīng)力換數(shù)@=cos2^(Ao;4-Bp1+C+》)▼由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分鳳的表達式(f)-5=—cos2w⑵3十步+哼)，P?5=cos2p(12A/j2+2B十爭)?°=sin2^(6V十幼_予_労)。將t式代人應(yīng)力邊界條件由式g?2B+肖+外一"<g)由式(2陽GAR22B-後一器(h)111式2)謝2B+埠+卑=0：rcr<i)由式《d)得6Ar2+2B-箏-字=0。<j)聯(lián)立求解式(g)-(j)?并命石一0.得算E算E卓平?磴冋收生標解答63算E算E卓平?磴冋收生標解答63A-0,B一一C-qr\D=—號。將各系數(shù)值代入應(yīng)力分址的表達朮?得5=qcos2?（l_/）（］_3刃，%=_gcos2p（l十3話）.JJ■一Q$in2卩（1一話）（1+3話）.沿看孔邊p=r環(huán)向正應(yīng)力是升―4^CO82^0最大環(huán)向正應(yīng)力為5。）rmw=4gO4-16同習題?<-15?但6=6=r々=q?【解】（1）求出兩個主應(yīng)力?如?寧±丁（寧）5（2〉原來的問題變?yōu)榫匦伪“逯辉谧笥覂蛇厱F均布拉力2g?如解416ftj（2所示.可以將筒載分解為険部分，第一部分是四邊的均布押力空尹=乩尹=&,如解4?16圖（b“第二部分是左右兩邊的均布拉力空尹=空尹和上下兩邊的均布壓力空尹=<?，如解4?16圖（C》。對于第-??分荷載?可應(yīng)用解答，教材中式（417〉；對于第二郵分解答?可應(yīng)用解答■教材中式（4?18）e將兩部分解答樓加，即得原荷載作用下的應(yīng)力分重（基爾斯的解答九“=g（i_$）豐呻2卩（1_：）（】_3$）,升=今（14-”）—08S2^（1亠3：）,J._q肖in2護（1一$）（］43【）。Pr沿若孔邊p■八環(huán)向正應(yīng)力是d,=2q—4qcos2°。最大環(huán)向疋應(yīng)力為（升>“=6仆64彈餞刀學筒咧孜校（爲三版）至樁■&字及習題主解64彈餞刀學筒咧孜校（爲三版）至樁■&字及習題主解64彈餞刀學筒咧孜校（爲三版）至樁■&字及習題主解64彈餞刀學筒咧孜校（爲三版）至樁■&字及習題主解(N(NK4-16ra4-17在距表面為人的彈性地基中?挖一直徑為方的水平圓形孔2L設(shè)人》/彈性地基的密度為°彈性模量為E?泊松比為尸?試求小圓孔附近的最大「最小應(yīng)力.【解】⑴距地表為方處，無孔時的鉛宜應(yīng)力6=—保八由水平向條件仔=j=0,町得x向為水平圓形孔道的軸向,在橫向平面的主應(yīng)力為6=—pgh.PxhlUtlUUUUlUUUp"(W2(3fWW