江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)模擬試卷（17）（含解析）新人教A版

PAGEPAGE18江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級(jí)中學(xué)2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（17）一、填空題（共16小題，每題3分，總分值48分）1．假設(shè)，那么a+b的值是__________．2．設(shè)集合A={x|ax+2=0}，B={﹣1，2}，滿足A?B，那么實(shí)數(shù)a的所有可能取值集合為__________．3．假設(shè)命題“?x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命題，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．4．已知角α，β的終邊在第一象限，那么“α＞β”是“sinα＞sinβ”的__________條件．5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足|a2﹣a3|=14，a1a2a3=343，那么數(shù)列{an6．設(shè)α為銳角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且?=，那么sin（α+）=__________．7．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的圖象與x正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，將該函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么m的最小值為__________．8．已知，那么2x2﹣3y的最大值為__________．9．已知二次不等式ax2+2x+b＞0的解集{x|x}，且a＞b，那么的最小值為__________．10．△ABC中，角A，B滿足tan（A+B）=3tanA，那么tanB取到最大值時(shí)角C=__________．11．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，首項(xiàng)a1＞1，a2014a2023﹣1＞0，＜0，那么使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n=__________．12．已知、是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，且（3﹣）?（4﹣）=0，那么||的最大值為__________．13．計(jì)算cos80°的值等于__________．14．函數(shù)f（x）=（m﹣4）x3+10x在[1，2]上最大值為4，那么實(shí)數(shù)m=__________．15．設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，an+1=2Sn，a1=1，求通項(xiàng)an=__________．16．設(shè)函數(shù)f（x）=3sinx+2cosx+1．假設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么的值等于__________．二、解答題（共6小題，總分值47分）17．已知集合A=，分別根據(jù)以下條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（1）A∩B=A；（2）A∩B≠?18．已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos（2x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，假設(shè)a=1，b=，B為銳角，且f（B）=，求邊c的長(zhǎng)．19．在△ABC中，AB邊上的中線CO=2（1）假設(shè)||=||，求（+）?的值；（2）假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足=sin2θ?+cos2θ?（θ∈R），求（+）?的最小值．20．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶△ECF，其中動(dòng)點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且△ECF的周長(zhǎng)為常數(shù)a（單位：百米）．（1）求景觀帶面積的最大值；（2）當(dāng)a=2時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即∠EAF）．21．（16分）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，前n項(xiàng)的積為Tn，且滿足Tn=2n（1﹣n）．①求a1；②求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a，使得（Sn+1﹣a）2=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）對(duì)n∈N+都成立？假設(shè)存在，求出a，假設(shè)不存在，說明理由．22．（16分）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）．（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）假設(shè)在區(qū)間[1，e]上，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線y=1的上方，求a的取值范圍；（3）設(shè)g（x）=x3﹣2bx+1，當(dāng)a=時(shí)，假設(shè)對(duì)于任意的x1∈[1，e]，總存在x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2）成立，求b的取值范圍．江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級(jí)中學(xué)2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（17）一、填空題（共16小題，每題3分，總分值48分）1．假設(shè)，那么a+b的值是2．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)相等的充要條件．專題：計(jì)算題．分析：由已知中，根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法那么，我們結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件易構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b的值，進(jìn)而即可得到答案．解答： 解：∵====a+bi∴a=，b=∴a+b=2故答案為：2點(diǎn)評(píng)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件，其中根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件易構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于a，b的方程組，是解答此題的關(guān)鍵．2．設(shè)集合A={x|ax+2=0}，B={﹣1，2}，滿足A?B，那么實(shí)數(shù)a的所有可能取值集合為{﹣1，0，2}．考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．專題：計(jì)算題；集合．分析：由題意，討論集合是否為空集，從而求實(shí)數(shù)a的所有可能取值集合．解答： 解：假設(shè)A=?，那么a=0；A?B成立；假設(shè)A≠?；假設(shè)A={﹣1}，那么﹣a+2=0，解得a=2；假設(shè)A={2}，那么2a+2=0，故a=﹣1；故實(shí)數(shù)a的所有可能取值集合為{﹣1，0，2}；故答案為：{﹣1，0，2}．點(diǎn)評(píng)：此題考察了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于根底題．3．假設(shè)命題“?x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命題，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣4，0）．考點(diǎn)：特稱命題．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：寫出該命題的否認(rèn)命題，根據(jù)否認(rèn)命題求出m的取值范圍即可．解答： 解：命題“?x∈R，有x2﹣mx﹣m≤0”是假命題，它的否認(rèn)命題是“?x∈R，有x2﹣mx﹣m＞0”，是真命題，即m2+4m＜0；解得﹣4＜m＜0，∴m的取值范圍是（﹣4，0）．故答案為：（﹣4，0）．點(diǎn)評(píng)：此題考察了特稱命題與全稱命題之間的關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意特稱命題的否認(rèn)是全稱命題，全稱命題的否認(rèn)是特稱命題，是根底題．4．已知角α，β的終邊在第一象限，那么“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不充分也不必要條件．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：根據(jù)三件函數(shù)的定義和關(guān)系式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)展判斷．解答： 解：∵角α，β的終邊在第一象限，∴當(dāng)α=+2π，β=，滿足α＞β，但sinα=sinβ，那么sinα＞sinβ不成立，即充分性不成立，假設(shè)當(dāng)α=，β=+2π，滿足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分條件，故答案為：既不必要也不充分條件．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察充分條件和必要條件的判斷，比擬根底．5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足|a2﹣a3|=14，a1a2a3=343，那么數(shù)列{an考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由|a2﹣a3|=14得到a2﹣a3=14或a3﹣a2=14，再由a1a2a3解答： 解：由|a2﹣a3|=14，得a2﹣a3=14或a3﹣a2=14．由a1a2a3=343，得，∴a當(dāng)a2﹣a3=14時(shí)，a3=a2﹣14=﹣7不合題意；當(dāng)a3﹣a2=14時(shí)，a3=a2+14=21，∴q=3．那么．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考察了等比數(shù)列的性質(zhì)，考察了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．6．設(shè)α為銳角，=（cosα，sinα），=（1，﹣1）且?=，那么sin（α+）=．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．分析：先求sin2α的值，從而可求cos2α，由半角公式即可求sin（α+）的值．解答： 解：∵?=cosα﹣sinα=，∴1﹣sin2α=，得sin2α=，∵α為銳角，cosα﹣sinα=?α∈（0，），從而cos2α取正值，∴cos2α==，∵α為銳角，sin（α+）＞0，∴sin（α+）====．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于根本知識(shí)的考察．7．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的圖象與x正半軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，將該函數(shù)的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么m的最小值為．考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由條件再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，可得2m﹣=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．解答： 解：由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為=2×，可得ω=2．把函數(shù)f（x）=sin（2x﹣）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=sin[2（x+m）﹣]=sin（2x+2m﹣），再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得2m﹣=kπ，k∈z，即m=+，故m的最小值為，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于根底題．8．已知，那么2x2﹣3y的最大值為5．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：設(shè)z=2x2﹣3y，那么y=x2﹣，由圖象可知當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，拋物線取得最小值，此時(shí)z最大，由，解得，即B（2，1），此時(shí)z=2×22﹣3=5，故答案為：5點(diǎn)評(píng)：此題主要考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合拋物線以及利用數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵．9．已知二次不等式ax2+2x+b＞0的解集{x|x}，且a＞b，那么的最小值為2．考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．專題：計(jì)算題．分析：由二次不等式和二次方程的根的關(guān)系可得ab=1，而要求的式子可化為：（a﹣b）+，由根本不等式求最值可得結(jié)果．解答： 解：∵二次不等式ax2+2x+b＞0的解集{x|x}，∴a＞0，且對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)根為由根與系數(shù)的故關(guān)系可得，即ab=1故==（a﹣b）+，∵a＞b，∴a﹣b＞0，由根本不等式可得（a﹣b）+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a﹣b=時(shí)取等號(hào)故的最小值為：2故答案為：2點(diǎn)評(píng)：此題為根本不等式求最小值，涉及不等式的解集跟對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系，把要求的式子化簡(jiǎn)成可利用根本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．10．△ABC中，角A，B滿足tan（A+B）=3tanA，那么tanB取到最大值時(shí)角C=．考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)；三角函數(shù)的最值．專題：三角函數(shù)的求值．分析：通過tanB=tan[（A+B）﹣A]利用公式展開，把tan（A+B）=2tanA代入，整理后利用根本不等式求得tanB的最大值，進(jìn)而根據(jù)等號(hào)成立的條件求得tanB的值，即可得出結(jié)果．解答： 解：∵3tanA=tan（A+B），A為銳角，∴tanB=tan（A+B﹣A）===，∵A為銳角，∴tanA＞0≥2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，即tanA=，∴0＜tanB≤∴tanB最大值是：，此時(shí)B=A=，所以C=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了兩角和與差的正切函數(shù)和運(yùn)用根本不等式求最值的問題．考察了學(xué)生對(duì)根底知識(shí)的綜合運(yùn)用和根本的運(yùn)算能力．11．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項(xiàng)的積為Tn，首項(xiàng)a1＞1，a2014a2023﹣1＞0，＜0，那么使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n=4028．考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)．專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合首項(xiàng)a1＞1，a2014a2023﹣1＞0，＜0，即可得出結(jié)論．解答： 解：∵a2014a2023﹣1＞0，∴a2014a又∵＜0，∴a2023＞1，且a2023＜1．T4028=a1?a2…a4028=（a1?a4028）（a2?a4027）…（a2023?a2023）=（a2023?a2023）2023＞1，T4029=a1?a2…a4029=（a1?a4029）（a2?a4028）…（a2023?a2023）a2023＜1，∴使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n=4028．故答案為：4028．點(diǎn)評(píng)：此題考察的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列的性質(zhì)：假設(shè)m+n=p+q那么有am?an=ap?aq．其中根據(jù)已知條件得到a2014a2023＞1，a2023＞1，且a202312．已知、是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，且（3﹣）?（4﹣）=0，那么||的最大值為5．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：由題意可得||=||=1，?=0，再根據(jù)（3﹣）?（4﹣）=0，求得||≤|3+4|?||，即||≤|3+4|==5，從而求得||的最大值．解答： 解：由題意可得||=||=1，?=0，∵（3﹣）?（4﹣）=0，∴=（3+4）?，∴||≤|3+4|?||，∴||≤|3+4|==5，故答案為：5．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求向量的模的方法，屬于根底題．13．計(jì)算cos80°的值等于．考點(diǎn)：同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運(yùn)用；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．專題：三角函數(shù)的求值．分析：原式第一項(xiàng)利用同角三角函數(shù)間根本關(guān)系切化弦后，通分并利用同分母分式的加法法那么計(jì)算，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，約分即可得到結(jié)果．解答： 解：原式=tan10°+4sin10°======．故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考察了同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握根本關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．14．函數(shù)f（x）=（m﹣4）x3+10x在[1，2]上最大值為4，那么實(shí)數(shù)m=﹣2．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）max=f（2）=4，解出即可．解答： 解：∵f′（x）=3（m﹣4）x2+10，①m﹣4=0，即m=4時(shí)，f′（x）=10＞0，∴f（x）max=f（2）=20≠4，不合題意；②m﹣4＞0，即m＞4時(shí)：f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]遞增，∴f（x）max=f（2）=8（m﹣4）+20=4，解得：m=﹣2（舍），③m﹣4＜0時(shí)，令g（x）=3（m﹣4）x2+10，g（x）在（0，+∞）遞減，假設(shè)在[1，2]上，g（x）＞0，那么g（2）=12（m﹣4）+10＞0，解得：m＞，∴＜m＜4時(shí)，g（x）在[1，2]上的最小值為g（2）＞0，即f′（x）＞0，同②得：m=﹣2不合題意，假設(shè)在[1，2]上，g（x）＜0，那么g（1）=3（m﹣4）+10＜0，解得：m＜，∴m＜時(shí)，g（x）在[1，2]上的最大值為g（1）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在[1，2]遞減，∴f（x）max=f（1）=m﹣4+10=4，解得：m=﹣2，＜m＜時(shí)，g（1）＞0，g（2）＜0，令g（x）=0，解得：x=，∴在[1，）上，g（x）＞0，f（x）遞增，在[，2]上，g（x）＜0，f（x）遞減，∴f（x）在[1，2]上的最大值是f（）=4，解得：m=4，m=746，不合題意，綜上：m=﹣2．故答案為：﹣2．點(diǎn)評(píng)：此題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察分類討論思想，是一道中檔題．15．設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，an+1=2Sn，a1=1，求通項(xiàng)an=．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：an+1=2Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．可得數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．解答： 解：∵an+1=2Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1，∴an+1﹣an=2an，即an+1=3an．又a2=2a1=2，∴數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列，∴（n≥2）．∴an=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考察了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考察了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16．設(shè)函數(shù)f（x）=3sinx+2cosx+1．假設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，那么的值等于﹣1．考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題；正弦定理．專題：計(jì)算題．分析：作為一個(gè)選擇題，可以令C取特殊值來求值，作為一個(gè)解答題，需將af（x）+bf（x﹣c）=1用和差角公式進(jìn)展變形，利用恒成立的意義轉(zhuǎn)化成關(guān)于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，進(jìn)而求解．解答： 解：令c=π，那么對(duì)任意的x∈R，都有f（x）+f（x﹣c）=2，于是取a=b=，c=π，那么對(duì)任意的x∈R，af（x）+bf（x﹣c）=1，由此得=﹣1．一般地，由題設(shè)可得f（x）=sin（x+?）+1，f（x﹣c）=sin（x+?﹣c）+1，其中0＜?＜且tan?=，，于是af（x）+bf（x﹣c）=1可化為asin（x+?）+bsin（x+?﹣c）+a+b=1，即asin（x+?）+bsin（x+?）cosC﹣bcos（x+?）sinC+a+b﹣1=0，所以（a+bcosC）sin（x+?）﹣sinCcos（x+?）++a+b﹣1=0，由已知條件，上式對(duì)任意x∈R恒成立，故必有，假設(shè)b=0，那么由（1）知a=0，顯然不滿足（3）式，故b≠0．所以，由（2）知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ（k∈Z）．當(dāng)c=2kπ時(shí)，cosc=1，那么（1）、（3）兩式矛盾，故c=2kπ+π（k∈Z），cosc=﹣1．由（1）、（3）知a=b=，所以=﹣1．點(diǎn)評(píng)：此題考察三角函數(shù)和差角公式的運(yùn)用與恒成立條件的轉(zhuǎn)化．解題過程中對(duì)不確定的情況要善于分類討論．二、解答題（共6小題，總分值47分）17．已知集合A=，分別根據(jù)以下條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（1）A∩B=A；（2）A∩B≠?考點(diǎn)：其他不等式的解法；交集及其運(yùn)算．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：（1）解分式不等式求出A，再求出B，由條件A∩B=A可得A?B，考察集合的端點(diǎn)間的大小關(guān)系，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）求出當(dāng)A∩B=φ時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，再取補(bǔ)集，即得所求．解答： 解（1）由，可得≤0，即x（x+1）≤0，且x≠﹣1，解得，故A=（﹣1，0]．∵B={x|[x﹣（a+4）][x﹣（a+1）]＜0}=（a+1，a+4）．∵A∩B=A，∴A?B，∴a+1≤﹣1，且a+4＞0，解得﹣4＜a≤﹣2，故a的取值范圍是（﹣4，﹣2]．…（2）由上可得，A=（﹣1，0]，B=（a+1，a+4），當(dāng)A∩B=φ，a+1≥0或a+4≤﹣1，解得a≥﹣1或a≤﹣5．故當(dāng)A∩B≠φ時(shí)，﹣5＜a＜﹣1，故a的取值范圍（﹣5，﹣1）…．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察分式不等式的解法，兩個(gè)集合的交集運(yùn)算，表達(dá)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．18．已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos（2x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，假設(shè)a=1，b=，B為銳角，且f（B）=，求邊c的長(zhǎng)．考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法；余弦定理．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理，進(jìn)而根據(jù)周期公式求得函數(shù)的最小正周期．（2）根據(jù)f（B）=求得B，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得c．解答： 解：（1）==．∴f（x）的最小正周期．（2）∵．又∵，∴，故．在△ABC中，由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB，即．∴c2﹣c﹣12=0，解得c=4或c=﹣3（舍去）．∴c=4．點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)根本性質(zhì)．注重了對(duì)學(xué)生根底知識(shí)的考察．19．在△ABC中，AB邊上的中線CO=2（1）假設(shè)||=||，求（+）?的值；（2）假設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足=sin2θ?+cos2θ?（θ∈R），求（+）?的最小值．考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；平面向量及應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)圖形（+）?=2?=2×||×||×=2||求解即可．（2）（+）?=2?=﹣2x（2﹣x）=2x2﹣4x轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解即可．解答： 解：（1）因?yàn)閨|=||，O為AB的中點(diǎn)，所以CO⊥AB，（+）?=2?=2×||×||×=2||2=8（2）因?yàn)?sin2θ?+COS2θ?（θ∈R）所以C，P，O三點(diǎn)共線，令||=x（0≤x≤2），||=2﹣x，∴（+）?=2?=﹣2x（2﹣x）=2x2﹣4x當(dāng)x=1時(shí)（+）?的最小值﹣2．點(diǎn)評(píng)：此題考察了向量的運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，綜合性強(qiáng)．20．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶△ECF，其中動(dòng)點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且△ECF的周長(zhǎng)為常數(shù)a（單位：百米）．（1）求景觀帶面積的最大值；（2）當(dāng)a=2時(shí)，請(qǐng)計(jì)算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即∠EAF）．考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．專題：應(yīng)用題；解三角形．分析：（1）設(shè)EC=x，CF=y，那么x+y+=a，利用根本不等式，結(jié)合△ECF的面積S=xy，即可求出景觀帶面積的最大值；（2）記∠EAD=α，∠FAB=β，α，β∈（0，），α+β∈（0，），利用和角的正切公式，即可得出結(jié)論．解答： 解：（1）設(shè)EC=x，CF=y，那么x+y+=a（※）由根本不等式，x+y+≥2+=（2+），所以，△ECF的面積S=xy≤=，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)等號(hào)成立故景觀帶面積的最大值為，（2）記∠EAD=α，∠FAB=β，α，β∈（0，），α+β∈（0，），那么tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，故tan（α+β）==由（※）可得，xy=a（x+y）﹣，即xy=2（x+y）﹣2，代入上式可得，tan（α+β）=1，所以α+β=，所以∠EAF=﹣（α+β）=，故當(dāng)a=2時(shí)，視角∠EAF為定值點(diǎn)評(píng)：此題考察三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考察和角公式的運(yùn)用，考察面積的最值，考察學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．21．（16分）已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，前n項(xiàng)的積為Tn，且滿足Tn=2n（1﹣n）．①求a1；②求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；③是否存在常數(shù)a，使得（Sn+1﹣a）2=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）對(duì)n∈N+都成立？假設(shè)存在，求出a，假設(shè)不存在，說明理由．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；等比關(guān)系確實(shí)定；數(shù)列與不等式的綜合．專題：計(jì)算題．分析：（1）由“數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，前n項(xiàng)的積為Tn，且滿足Tn=2n（1﹣n）”令n=1可求解．（2）證明：由Tn=2n（1﹣n）解得T（n﹣1）=2（n﹣1）（2﹣n）兩式相除，整理可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（3）由（2）求解得再求得，代入（Sn+1﹣a）2=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）兩端驗(yàn)證可即可．解答： 解：（1）∵數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，前n項(xiàng)的積為Tn，且滿足Tn=2n（1﹣n）．∴a1=T1=21（1﹣1）=1（2）證明：∵Tn=2n（1﹣n）．∴T（n﹣1）=2（n﹣1）（2﹣n）．將上面兩式相除，得：an=2[﹣2（n﹣1）]．∴an=（n﹣1）．∵an+1=（n）．∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（3）∵∴，∵（Sn+1﹣a）2=（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）∴（Sn+1﹣a）2=而：（Sn+2﹣a）（Sn﹣a）=（Sn+2﹣）（Sn﹣）=（Sn+1﹣）2=（Sn+2﹣）（Sn﹣）對(duì)n∈N+都成立即：存在常數(shù)a