市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型

市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型摘要一個時期以來，某種消費品如豬肉的上市量遠(yuǎn)大于需求，由于銷售不暢導(dǎo)致價格下降，生產(chǎn)者發(fā)現(xiàn)養(yǎng)豬賠錢，于是開始轉(zhuǎn)業(yè)，使豬肉上市量大減，價格上漲，生產(chǎn)者看到有利可圖，便從操舊業(yè)，使價格下降。在無外界干預(yù)情況下，這種現(xiàn)象將如此循環(huán)下去。問題重述因為商品的價格是有消費者的需求關(guān)系決定，商品數(shù)量越多，價格越低，而下一時期商品的數(shù)量由生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系決定，商品價格越低，生產(chǎn)的數(shù)量就越少。這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場經(jīng)濟(jì)中商品的價格和數(shù)量必然是震蕩的。本題先用圖形方法建立蛛網(wǎng)模型，對上述現(xiàn)象進(jìn)行分析，給出市場經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的條件；再用差分方程建模，對結(jié)果進(jìn)行解釋，并討論當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府可以采取什么樣的干預(yù)措施；最后對上述模型作適當(dāng)推廣。關(guān)鍵字圖形方法蛛網(wǎng)模型經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定差分方程政府干預(yù)推廣市場經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模模型建立

蛛網(wǎng)模型記第k時段商品的數(shù)量為％,價格為y,k=l,2,…把時間TOC\o"1-5"\h\zk?k離散化為時段，1個時段相當(dāng)于商品的一個生產(chǎn)周期、種植周期或飼養(yǎng)周期。同一時段，商品的價格y=f（x）（1）kk下一段商品的數(shù)量x由上一時段價格y決定，設(shè)k+1kx=h（y）或『=g（x）（2）k+1kkk+1這里g是h的反函數(shù)。如下面兩個圖。交點p（x，y）是平衡點。000記f在p點斜率的絕對值（因為它是下降的，為K，g在p點的斜率0f0為k。由圖形知，當(dāng)K〈K時，p是穩(wěn)定的（圖1）,當(dāng)K〉K時，pgfg0fg0點不是穩(wěn)定點。差分方程模型在p點附近可以用直線來近似曲線f和h,設(shè)⑴，（2）式分別近似0為y一y=-a（x一x）,a〉0（5）x一x（y一y）,B〉0（6）k0k0k+10k07）7）整理二式得x-X=-郵k+10k0由（7）當(dāng)kT由（7）當(dāng)kTg時XTxk0而kTg時XTg，knX-X二（一郵）k（X-X）k+1010，即p點穩(wěn)定的條件是郵〈1或^〈1p即p點不穩(wěn)定的條件是郵〉1或a〉1/p8）（9）（10）注意（5）和⑹中a,卩的定義，有k=a,k=1^，所以（9）,（10）與蛛網(wǎng)模型中直觀結(jié)果（3），（4）是一致的。模型結(jié)果分析說明：a表示商品供應(yīng)量減少1個單位時價格的上漲幅度，p表示價格上漲1個單位時商品供應(yīng)的增加。a的數(shù)值反應(yīng)消費者對商品需求的敏感程度，p的數(shù)值反應(yīng)生產(chǎn)經(jīng)營者對商品價格的敏感程度。解釋：當(dāng)供應(yīng)函數(shù)g即p固定時，a越小，需求曲線越平，表明消費者對商品需求的敏感程度越小,（9）越容易成立,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。當(dāng)a固定時，p越小，供應(yīng)曲線越陡，表明生產(chǎn)者對價格的敏感程度越小，（9）也越容易成立，有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。反之，當(dāng)a，p較大，表明消費者對商品的需求和生產(chǎn)者對商品的價格都很敏感，會導(dǎo)致（10）成立，經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定。經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時的干預(yù)辦法由上述分析可知，當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時，政府有兩種干預(yù)辦法。1使a盡量小，考慮a=0，即需求曲線水平。此時無論p多大，（9）式總成立，經(jīng)濟(jì)總是穩(wěn)定的。實際這種方法相當(dāng)于政府控制物價，無論商品數(shù)量多少，命令價格不得改變。2使p盡量小，考慮0=0，即供應(yīng)曲線豎直。此時無論?多大，也總是穩(wěn)定。實際這相當(dāng)于控制市場上的商品數(shù)量，當(dāng)供應(yīng)量小于少于需求時，從外地收購或調(diào)撥，投入市場；當(dāng)供過于求時收購過剩部分，維持商品上市不變。顯然，這種辦法需要政府具有相當(dāng)強的經(jīng)濟(jì)實力。模型推廣如果生產(chǎn)者的管理水平和素質(zhì)更高一些,他們在決定商品數(shù)量x時,k+1不僅根據(jù)前一時期的價格y，而是根據(jù)前兩個時期的價格y和y。kkk-1為簡單計算，設(shè)根據(jù)二者的平均值臥+『』2，于是供應(yīng)函數(shù)⑵表示為x=g（二（11）TOC\o"1-5"\h\zk+12相應(yīng)的（2）的線性近似表達(dá)式（6）改為x-x丄（y+y-2y）（12）k+102kk-10其中p表示平均價格上漲一個單位時X的增量。又設(shè)需求函數(shù)不變,k+1由（5）（12）n2X+apX+apx二（1+a0）x,k二1,2,…（13）k+2k+1k0（13）是二階線性常系數(shù)差分方程。求p點穩(wěn)定的條件，只需利用0方程特征根均在單位圓內(nèi)。由（13）的特征方程2九2+a0九+a0二0容易算出其特征根為1,2-ap1,2-ap±(ap)2—8ap

414)當(dāng)ap〉8時，顯然有九=-ap-J（鄧）2-8他＜-0P從而IX〉2,九在單位圓24422外。下面設(shè)郵〈8，由（⑷可以算出（15）要使特征根均在單位圓內(nèi)，即hJ〈i，必須有郵〈2（16）這就是p點穩(wěn)定的條件。與原有模型中p點穩(wěn)定的條件（9）相比，00參數(shù)g卩的范圍放大了。因此，生產(chǎn)者的管理水平和素質(zhì)提高，對市場經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定起著有利影響的必然結(jié)果。模型優(yōu)缺點參考文獻(xiàn)：姜啟源:數(shù)學(xué)模型?高等教育出版社，2003梁國業(yè):數(shù)學(xué)建模?北京冶金工業(yè)出版社，2004周異?基于繁殖規(guī)律的生豬市場供應(yīng)模型[J].華南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報，2009，1（8）：47-51.竇愛麗，趙蕾，孫志強.近十年我國生豬市場的“蛛網(wǎng)紊亂”現(xiàn)象[J]?中國畜牧雜志，2007,43（14）:1-5.李秉龍，何秋紅?中國豬肉價格短期波動及其原因分析[J]?