將軍飲馬系列-最值問題

將軍飲馬系列---最值問題“將軍飲馬”系列最值問題知識回顧：1.兩點之間，線段最短。2.點到直線的距離，垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4.A、B分別為同一圓心O半徑不等的兩個圓上的一點，R-r≤AB≤R+r當且僅當A、B、O三點共線時能取等號。知識講解：古希臘亞里山大里亞城的學者海倫曾經(jīng)解決過一個叫做“將軍飲馬”問題的難題。有一天，一位將軍向海倫請教，如何在A地出發(fā)，到河邊飲馬，再到B地軍營，使路線最短。海倫利用數(shù)學原理解決了這個問題，后來這個問題被稱為“將軍飲馬”問題。海倫發(fā)現(xiàn)這是一個求折線最短的問題。根據(jù)公理：連接兩點的所有線中，線段最短。如果B在河流的異側(cè)，直接連接AB，AB與l的交點即為所求。如果A、B在河流的同側(cè)，就要把折線變成直線再解。海倫解決這個問題時，利用對稱點把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題。現(xiàn)在人們把凡是用對稱點來實現(xiàn)解題的思想方法叫做對稱原理，即軸對稱思想。軸對稱有如下性質(zhì)：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。如果一個圖形能夠與另一個圖形重合，那么就是說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對稱點。軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；②對稱軸是任何一對對應點所連線的垂直平分線；③兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果他們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上。線段垂直平分線的性質(zhì)是：垂直平分線上點到線段兩個端點的距離相等，到線段兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上。當已知條件出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高，或者求幾條折線段的最小值等情況，通?？紤]作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件。所有的軸對稱圖形（角、線、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓、坐標軸）都可以用來考察“將軍飲馬”問題。這個問題考察的知識點包括“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”、“點關(guān)于線對稱”和“線段的平移”。解決這個問題的總體思路是找到點關(guān)于線的對稱點，實現(xiàn)從“折”到“直”的轉(zhuǎn)化。最近兩年，出現(xiàn)了“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變式問題，也被用來考查學生的能力。構(gòu)建“對稱模型”可以幫助實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。常見的模型包括：（1）求PA+PB的最小值。（2）求PA-PB的最小值或最大值。當點P在同一側(cè)時，可以使用圖1和圖2，當點P在異側(cè)時，可以使用圖4、圖5和圖6。（3）求周長最短。（4）求“過河”最短距離。（5）求線段和的最小值。（6）在直角坐標系中的應用。同步練習：【例1】使用尺規(guī)作圖，作出線段AB的垂直平分線和角COD的角平分線?！纠?】已知點A在直線l的外面，點P在直線l上運動。探究是否存在一個定點B，使得當點P在直線l上運動時，點P與A、B兩點的距離總是相等。如果存在，請作出定點B；如果不存在，請說明理由?！纠?】在公路a的兩旁有倉庫A、B，需要建立一貨物中轉(zhuǎn)站M，使得到A、B兩倉庫的距離和最短。問中轉(zhuǎn)站M應建在公路旁的哪個位置比較合理？【變式練習】在三角形ABC的邊AC、BC上有兩個定點M、N，求一點P在邊AB上，使得三角形PMN的周長最短?！纠?】在45度角AOB內(nèi)，有點P，角內(nèi)的兩邊上分別有點Q和R，求作Q、R，使得三角形PQR的周長最小?！纠?】在角POQ內(nèi)部有點M和N，同時滿足角MOP等于角NOQ。在直線OP上取點A，使得AM和AN的距離和最??；在直線OQ上取點B，使得BM和BN的距離和最小。證明：AM+AN=BM+BN?！纠?】在銳角AOB的內(nèi)部有點M，在OB邊上求作一點P，使得點P到點M的距離與點P到OA邊的距離和最小?！纠?】在直線l上，已知點A、B在同側(cè)。求一點M使得|AM-BM|的最小值和最大值?！咀兪骄毩暋吭谡叫蜛BCD中，AB=8，DM=2，M是DC上的一點，N是AC上的一點。求（1）DN+MN的最小值和最大值；（2）DN-MN的最小值和最大值?！纠?】在三角形ABC中，D、E、F分別是BC、AC、AB邊上的點（均不與點A、B、C重合），周長為p。請作出周長最小的三角形DEF?！玖曨}1】在等腰直角三角形ABC中，CA=CB=3，E在BC上，且BE=2。在斜邊AB上求一點P，使得PC+PE長度之和最小?！玖曨}2】在菱形ABCD中，對角線分別長6和8，點M、N分別是AB、BC的中點。在對角線AC上求一點P，使得PM+PN的值最小。【習題3】在銳角三角形ABC中，AB=42，∠BAC=45度，平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點。求BM+MN的最小值?！玖曨}4】已知直徑為4的圓的直徑CD，以及∠AOD的度數(shù)為60°，點B是CD的中點。在CD上找一點P，使得BP+AP的值最小，并求出BP+AP的最小值?！玖曨}5】如圖所示，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使得PD+PE的和最小。求這個最小值。【習題6】如圖，在平面直角坐標系中，直線l是第一、三象限的角平分線。關(guān)于直線l的對稱點A'的坐標為(2,-3)，請在圖中分別標出點B(5,3)、點C(-2,5)關(guān)于直線l的對稱點B'、C'并寫出它們的坐標：B'(1,-7)、C'(-4,1)；根據(jù)