專題09 解析幾何之探索性問(wèn)題 -《2022年高考數(shù)學(xué)解答題預(yù)測(cè)》全國(guó)通用

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)聯(lián)系刪除僅供參考【猜想與對(duì)策】《2022【猜想與對(duì)策】《2022年高考數(shù)學(xué)解答題預(yù)測(cè)》(全國(guó)通用）專題09解析幾何之探索性問(wèn)題【真題體驗(yàn)】1．（2022·上?！じ呖颊骖}）在橢圓中，直線上有兩點(diǎn)C、D(C點(diǎn)在第一象限)，左頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F.(1)若∠AFB，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，則BC與AD的交點(diǎn)是否在橢圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知直線BC與橢圓相交于點(diǎn)P，直線AD與橢圓相交于點(diǎn)Q，若P與Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值.【點(diǎn)評(píng)】第（3）小題中，以三角函數(shù)形式（參數(shù)方程）設(shè)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，進(jìn)而利用三角恒等變換和同角三角函數(shù)關(guān)系（二次齊次分式化正余弦為正切）將化簡(jiǎn)，最終利用重要不等式求出其最小值.2．（2010·陜西·高考真題（理））已知拋物線，直線交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交于點(diǎn).（Ⅰ）證明：拋物線在點(diǎn)處的切線與平行；（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與拋物線的位置關(guān)系，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．求解第一問(wèn)時(shí)聯(lián)立直線與拋物線的方程組，運(yùn)用斜率相等證明命題的成立；第二問(wèn)求解的思路是先假設(shè)符合題設(shè)條件的參數(shù)存在，然后再依據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行分析探求，最終求出滿足題設(shè)條件的在，使得問(wèn)題獲解．3．（2021·全國(guó)·高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【點(diǎn)評(píng)】本題（2）從充分性、必要性兩個(gè)方面給出證明，其中充分性證明中，通過(guò)先由兩點(diǎn)確定一條直線，求得直線方程，從而證明了其過(guò)第三點(diǎn).解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.4．（2021·全國(guó)·高考真題（文））拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【點(diǎn)評(píng)】第二問(wèn)關(guān)鍵點(diǎn)：過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡(jiǎn)單，開拓學(xué)生思路5．（2015·廣東·高考真題（理））已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求圓的圓心坐標(biāo)；（2）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．6．（2017·全國(guó)·高考真題（文））在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說(shuō)明理由；（2）證明過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長(zhǎng)為定值.【命題規(guī)律】縱觀近幾年的高考試題，考查圓錐曲線的題目有小有大，其中小題以考查圓、橢圓、雙曲線的方程及幾何性質(zhì)為主，離心率問(wèn)題居多，難度在中等以下；大題則是對(duì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考查，較多的考查直線與拋物線和橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，橢圓出現(xiàn)的更多，近年出現(xiàn)了直線與雙曲線位置關(guān)系或與圓綜合的題目，難度、位置比較穩(wěn)定；命題的主要特點(diǎn)有：一是結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（軌跡方程），進(jìn)一步研究弦長(zhǎng)、圖形面積、最值、取值范圍等；二是以不同曲線（圓、橢圓、拋物線）的位置關(guān)系為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)“連環(huán)題”，結(jié)合曲線的定義及幾何性質(zhì)，利用待定系數(shù)法先行確定曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步研究直線方程、斜率、弦長(zhǎng)、圖形面積等，比如中點(diǎn)弦（弦中點(diǎn)）問(wèn)題、定點(diǎn)問(wèn)題、定值問(wèn)題、定直線問(wèn)題、范圍與最值問(wèn)題、探索性問(wèn)題等；三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，往往與向量（共線、垂直、數(shù)量積）結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題等.【知識(shí)技能方法】（一）探索、存在性問(wèn)題1．存在性問(wèn)題的解法：2．先假設(shè)存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿足條件的結(jié)論，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在．要注意的是：(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；(3)當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要開放思維，采取另外合適的方法.3.探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．4.解題的一般步驟為:（1）設(shè)出直線的方程或、點(diǎn)的坐標(biāo);（2）通過(guò)題干所給的已知條件,進(jìn)行正確的運(yùn)算,將需要用到的所有中間結(jié)果(如弦長(zhǎng)、距離等)表示成直線方程中引入的變量，通過(guò)計(jì)算得出目標(biāo)變量為定值（二）三點(diǎn)共線問(wèn)題1.處理方法一般來(lái)說(shuō)有三個(gè)：①斜率相等；②向量共線；=3\*GB3③先由其中兩點(diǎn)確定直線方程，證明其過(guò)第三點(diǎn).2.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的解題步驟：（1）求出要證明共線的三點(diǎn)的坐標(biāo)；（如果已給出，則無(wú)需這一步）（2）運(yùn)用斜率相等或向量共線來(lái)證明三點(diǎn)共線，或先由其中兩點(diǎn)確定直線方程，證明其過(guò)第三點(diǎn)（2021·全國(guó)·高考真題巧妙利用韋達(dá)定理）特別提醒：三點(diǎn)共線問(wèn)題的兩個(gè)處理方法中，向量共線往往更方便，因?yàn)闊o(wú)需考慮斜率不存在的情形，所以大題一般用向量共線，小題用斜率相等。（三）求軌跡方程的方法：1.定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2.直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3.參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量，以此量作為參變數(shù)，分別建立點(diǎn)坐標(biāo)與該參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，，進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程.4.代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。5.點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.【預(yù)測(cè)演練】1．（2021·全國(guó)·高二課前預(yù)習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn).(1)若直線的斜率為，求證：；(2)設(shè)直線，的斜率分別為，，探究與之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.2．（2022·河南·溫縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知橢圓C：的離心率為，其長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)P為橢圓上除A，B外的任意一點(diǎn)，直線AP交直線x＝4于點(diǎn)E，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O且與直線BE垂直的直線記為l，直線BP交y軸于點(diǎn)M，交直線l于點(diǎn)N，求N點(diǎn)的軌跡方程，并探究△BMO與△NMO的面積之比是否為定值．3．（2022·甘肅張掖·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B在C上．當(dāng)時(shí)．不垂直于x軸的直線與雙曲線同一支交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線PQ過(guò)點(diǎn)F，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)的N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．4．（2022·云南·高三階段練習(xí)（理））在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)M滿足以MF為直徑的圓均與y軸相切，記M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)且△的面積是△面積的倍，在x軸上是否存在一點(diǎn)P使得直線l變動(dòng)時(shí)，總有直線PA的斜率與PB的斜率之積為定值，若存在，求出該定值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.5．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，，為E的左?右焦點(diǎn)，M為E上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，其內(nèi)切圓半徑為.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)點(diǎn)作斜率之和為3的兩條直線，，與E交于點(diǎn)A，B，與E交于點(diǎn)C，D，線段AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，過(guò)點(diǎn)作，垂足為H.試問(wèn)：是否存在定點(diǎn)T，使得線段TH的長(zhǎng)度為定值.6．（2022·北京市第一六一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓C：的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是邊長(zhǎng)為2，一內(nèi)角為60°的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程及其離心率；(2)若A、B為橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，試問(wèn)：在直線l：上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為等邊三角形，若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.7．（2022·湖南省隆回縣第二中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F且和x軸垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，，橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，問(wèn)x軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)T，使得，若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.8．（2022·重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線E于A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，求弦的長(zhǎng)度；(2)在x軸的正半軸上是否存在一點(diǎn)P，連接，分別交拋物線E于另外兩點(diǎn)C、D，使得且？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．（2022·北京·人大附中高三階段練習(xí)）已知橢圓C：過(guò)，兩點(diǎn)，點(diǎn)M在第一象限且在橢圓C上，直線MA與y軸交于點(diǎn)P，直線MB與x軸交于點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)橢圓C的右頂點(diǎn)為，則的面積與的面積的比值是否為定值？若是，求該比值；若不是，求該比值的取值范圍．10．（2022·北京順義·高二期末）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；(3)在第（2）問(wèn)的條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)的面積是否達(dá)到最大？并說(shuō)明理由.11．（2022·廣東梅州·高二期末）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，軸，點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且，.(1)求橢圓C的方程；(2)已知M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)，，試探究點(diǎn)M，，N是否一定共線？說(shuō)明理由.12．（2022·湖南益陽(yáng)·高二期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）交橢圓于兩點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，若直線上存在另一點(diǎn)，使.求證：三點(diǎn)共線.13．（2022·山西長(zhǎng)治·高二階段練習(xí)）已知雙曲線.(1)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于S，T兩點(diǎn)，若點(diǎn)N是線段ST的中點(diǎn)，求直線ST的方程；(2)直線：與雙曲線有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線分別交x軸、y軸于，兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明該軌跡是什么曲線.14．（2022·河南·三模（理））已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，，，成等差數(shù)列，過(guò)的直線交雙曲線于?兩點(diǎn)，若雙曲線過(guò)點(diǎn).(1