2023年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納(全國通用版)：專題13 最值模型-瓜豆原理（解析版）

專題13最值模型-瓜豆原理動點軌跡問題是中考的重要題型，受學(xué)生解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學(xué)生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學(xué)生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型）進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。【模型解讀】瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運動軌跡為直線模型1-1如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．模型1-2如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？解析：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段?！咀钪翟怼縿狱c軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。1）當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；2）當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定：=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線；=2\*GB3②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；=3\*GB3③當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④若動點軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉(zhuǎn)化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在中，，，，且，若，點是線段上的動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到，，過B作于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，當時，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，解得：（負值舍去），，，，，，，，過B作于H，，，，，當時，PQ的值最小，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·四川廣元·中考真題）如圖，在中，，，點D是邊的中點，點P是邊上一個動點，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接．則的最小值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，由題意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，進而可得△PCD≌△QED，則有∠PCD=∠QED=90°，然后可得點Q是在QE所在直線上運動，所以CQ的最小值為CQ⊥QE時，最后問題可求解．【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDE，連接EQ，如圖所示：∵是等邊三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，點D是邊的中點，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴點Q是在QE所在直線上運動，∴當CQ⊥QE時，CQ取的最小值，∴，∴；故選B．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵．例3．（2022·湖北·鄂州市三模）如圖，在邊長為的正方形中，是邊的中點，是邊上的一個動點不與重合，以線段為邊在正方形內(nèi)作等邊，是邊的中點，連接，則在點運動過程中，的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接AM，在點運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，所以當AM⊥PM時，PM取得最小值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，進而即可得到PM最小值．【詳解】解：∵P是邊AD的中點，AD=6，∴AP=3，如圖，連接AM，∵等邊，是邊的中點，∴AM平分∠EAF，∴在點運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，∴當AM⊥PM時，PM取得最小值，∵是等邊的邊的中點，∴PM⊥AM，∠EAM=30°，∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，等邊三角形的性質(zhì)，推出在點E運動過程中，點M在∠EAF的平分線上，是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是__________．【答案】2【分析】點F運動所形成的圖象是一條直線，當OF⊥F1F2時，垂線段OF最短，當點F1在x軸上時，由勾股定理得：，進而得，求得點F1的坐標為，當點F2在y軸上時，求得點F2的坐標為（0，-4），最后根據(jù)待定系數(shù)法，求得直線F1F2的解析式為y=x-4，再由線段中垂線性質(zhì)得出，在Rt△OF1F2中，設(shè)點O到F1F2的距離為h，則根據(jù)面積法得，即，解得h=2，根據(jù)垂線段最短，即可得到線段OF的最小值為2．【詳解】解：∵將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等邊三角形，∴AP=AF，如圖，當點F1在x軸上時，△P1AF1為等邊三角形，則P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，由勾股定理得：，∴，∴點F1的坐標為，如圖，當點F2在y軸上時，∵△P2AF2為等邊三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴點F2的坐標為（0，-4），∵，∴∠OF1F2=60°，∴點F運動所形成的圖象是一條直線，∴當OF⊥F1F2時，線段OF最短，設(shè)直線F1F2的解析式為y=kx+b，則，解得，∴直線F1F2的解析式為y=x-4，∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，設(shè)點O到F1F2的距離為h，則，∴，解得h=2，即線段OF的最小值為2，故答案為2．【點睛】本題屬于三角形的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法的運用等，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及面積法求最短距離，解題時注意勾股定理、等邊三角形三線合一以及方程思想的靈活運用．例5．（2022·福建福州模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，是直線上的一個動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點，連接，則最小值為______．【答案】【分析】設(shè)，作軸，作，作，根據(jù)可證明，由此可求，令，，可得在直線上運動，當時，的值最小，再由得，進而得出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，過點作軸，過點作交于點，過點作交于點，∵，∴.∵，∴.∵，∴，∴，.∵，∴，，∴，令，，∴，∴點在直線上運動，當時，的值最小.在中，令，則，令，則，∴，，∴．∵，∴，∴，在中，令，則，∴，∴.∵，即，解得，所以的最小值為.故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，確定點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．例6．（2022·河南南陽·二模）如圖所示，，，于點B，點D是線段BC上一個動點，且于點D，，連接CE，則CE長的最小值是______．【答案】3【分析】在BC上截取，構(gòu)造相似，可得出，過C點作CH⊥EQ可得出即可求出CE的長【詳解】解：在BC上截取，則，中，，∵，∴在中，，∴∴，，∴，∴，∴，∴的角度固定不變，∴CH為CE的最小值．過C點作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°∵∴∠CQH=∠QAB∴，∵，∴，CE的最小值是3.【點睛】本題主要考查相似的性質(zhì)與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【模型解讀】模型2、運動軌跡為圓弧模型2-1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．【總結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=AO．Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放．根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．模型2-2.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q點軌跡是？【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．模型2-3.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．【模型原理】動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法：1）動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。2）當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下：=1\*GB3①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形；=2\*GB3②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形。例1．（2022·四川樂山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】連接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，從而知點E在以AC為直徑的⊙Q上，繼而知點Q、E、B共線時BE最小，根據(jù)勾股定理求得QB的長，即可得答案．【詳解】解：如圖，連接CE，∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴點E在以AC為直徑的⊙Q上，∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，當點Q、E、B共線時BE最小，∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理和勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是確定E點運動的規(guī)律，從而把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題．例2．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________________．【答案】．【分析】根據(jù)SAS證明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再證明∠DGA=90°，進一步可得點G在以AD為直徑的半圓上，且O，G，B三點共線時BG取得最小值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，∠ADE+∠DAF=90°∴∠DGA=90°∴點G在以AD為直徑的圓上移動，連接OB，OG，如圖：∴在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=∵∴當且公當O，G，B三點共線時BG取得最小值．∴BG的最小值為：．【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，圓周角定理等相關(guān)知識，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．例3．（2021·四川達州·中考真題）如圖，在邊長為6的等邊中，點，分別是邊，上的動點，且，連接，交于點，連接，則的最小值為___________．【答案】．【分析】首先證明，推出點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧．連接CO交⊙O于，當點P運動到時，CP取到最小值．【詳解】如圖所示，∵邊長為6的等邊，∴，又∵∴∴∴∴∴點P的運動軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的弧此時連接CO交⊙O于，當點P運動到時，CP取到最小值∵，，∴∴，∴又∵∴，∴即故答案為：【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓、特殊角的三角函數(shù)等相關(guān)知識．關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，該題綜合性較強．例4．（2022·廣東·二模）如圖，在中，AB是的直徑，，AD，BC交于點E，點D為的中點，點G為平面內(nèi)一動點，且，則AG的最小值為__________．【答案】##【分析】連接AC，以BE為直徑作，先證明點G在上，連接AM，當AM于交于點G時，此時AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，則MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．【詳解】解：連接AC，以BE為直徑作，∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴點G在上，連接AM，當AM于交于點G時，此時AG最短，如圖，∵AD＝BC，∴，∵點D為的中點，∴，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，∵AB為的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，即AG的最小值為，故答案為：【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識，作輔助圓是解題的關(guān)鍵．例5．（2022·山東·二模）如圖，中，，，，點是上的點，將沿翻折，得到，過點作交的平分線于點，連接，則長度的最小值為______．【答案】【分析】先求出AC=，AB=，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求AB=BF=，由勾股定理可求CF的長，由點A'在以點C為圓心，AC為半徑的圓上，則當點A'在FC上時，A'F有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，，，，，，，，平分，，，，，，，將沿翻折，得到，，點在以點為圓心，為半徑的圓上，則當點在上時，有最小值，最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，銳角三角函數(shù)，直角三角形的性質(zhì)等知識，求出CF的長是本題的關(guān)鍵．例6．（2022·廣西貴港·三模）如圖，在△ABC中，，，，點D在AC邊上，且，動點P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點C的對應(yīng)點為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】連接BD，作點C關(guān)于BD的對稱點N，以點D為圓心，以DC為半徑作，過點D作DM⊥AB于M，交于Q．根據(jù)勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)求出DM的長度，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出QM的長度，根據(jù)點E的運動軌跡確定當點E與點Q重合時，點E到AB的距離最短為QM，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：如下圖所示，連接BD，作點C關(guān)于BD的對稱點N，以點D為圓心，以DC為半徑作，過點D作DM⊥AB于M，交于Q．∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．∴，DQ=DC=1．∴．∴．∵動點P在BC邊上，△PDC沿直線PD翻折，點C的對應(yīng)點為E，∴DE=DC=DN．∴點E在上移動．∴當點E與點Q重合時，點E到AB的距離最短為QM．∴△AEB面積的最小值為．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形面積公式，綜合應(yīng)用這些知識點是解題關(guān)鍵．例7．（2020·四川成都市·中考真題）如圖，在矩形中，，，，分別為，邊的中點．動點從點出發(fā)沿向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿向點運動，連接，過點作于點，連接．若點的速度是點的速度的2倍，在點從點運動至點的過程中，線段長度的最大值為_________，線段長度的最小值為_________．【答案】【分析】連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，由于，而PG=3，所以當GQ最大時PQ最大，由題意可得當P、A重合時GQ最大，據(jù)此即可求出PQ的最大值；設(shè)EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，易證△FQM∽△EPM，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得EM為定值2，于是BM的長度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，于是當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，最小值為DO－OH，為此只需連接DO，求出DO的長即可，可過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，構(gòu)建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的長，進而可得答案．【詳解】解：連接EF，則EF⊥AB，過點P作PG⊥CD于點G，如圖1，則PE=GF，PG=AD=3，設(shè)FQ=t，則GF=PE=2t，GQ=3t，在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，∴當t最大即EP最大時，PQ最大，由題意知：當點P、A重合時，EP最大，此時EP=2，則t=1，∴PQ的最大值=；設(shè)EF與PQ交于點M，連接BM，取BM的中點O，連接HO，如圖2，∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四點共圓，且圓心為點O，∴，∴當D、H、O三點共線時，DH的長度最小，連接DO，過點O作ON⊥CD于點N，作OK⊥BC于點K，如圖3，則OK=BK=1，∴NO=2，CN=1，∴DN=3，則在Rt△DON中，，∴DH的最小值=DO－OH=．故答案為：，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓以及線段的最值等知識，涉及的知識點多、綜合性強、具有相當?shù)碾y度，屬于中考壓軸題，正確添加輔助線、熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1．（2022·安徽·合肥市三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接BF交ED于點0，設(shè)EF與AC交于點G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點F在∠ABC的平分線上運動，從而得到當AF⊥BF時，AF的長最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點O，設(shè)EF與AC交于點G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點F在∠ABC的平分線上運動，∴當AF⊥BF時，AF的長最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴，∴，在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴，∴，∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準確得到點F在∠ABC的平分線上運動是解題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，在中，，點P為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則長度的最小值為_________．【答案】##2.4【分析】利用勾股定理得到BC邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線段最短得到點P的位置，再證明利用對應(yīng)線段的比得到的長度，繼而得到PQ的長度．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過O作BC的垂線，∵,∴,∴，∴，∴，∴則PQ的最小值為，故答案為：．【點睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長度，本題的關(guān)鍵是利用垂線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題．3．（2022·廣東·東莞二模）如圖，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，將三角形放在平面直角坐標系中，若點A（，0），點B在y軸正半軸上，則OP的最小值是_____．【答案】##【分析】把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與線段AP重合，點O的對應(yīng)點為C，直線CP交x軸于點D，證得△ACD為等腰直角三角形，可得點P的運動軌跡在直線CP上，當OP⊥CP時，OP最短，當OP⊥CP時，△OPD為等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與線段AP重合，點O的對應(yīng)點為點C，直線CP交x軸于點D，則△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC=AO=3，∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC+∠PAO=45°，即∠CAO=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，∴點P的運動軌跡在直線CP上，∴當OP⊥CP時，OP最短，當OP⊥CP時，△OPD為等腰直角三角形，∵△ACD為等腰直角三角形，AC=3，∴AD=AC=6，∴OD=6-3，∴OP=3-3．即OP最小值為3-3．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是得到△ACD和△OPD為等腰直角三角形．4．（2022·廣東·樂昌市二模）如圖，△ABC中，，，，線段DE的兩個端點D，E分別在邊AC，BC上滑動，且，若點M，N分別是DE，AB的中點，則MN的最小值為_________．【答案】【分析】根據(jù)三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，，由當C、M、N在同一直線上時，MN取最小值，即可求得MN的最小值．【詳解】解：如圖，連接CM、CN，中，，，，∴．∵，點M，N分別是DE，AB的中點，∴，．當C，M，N三點在同一條直線上時，MN取最小值，∴MN的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，明確C、M、N在同一直線上時，MN取最小值是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇宿遷·三模）如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一動點，以DC為斜邊向右側(cè)作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，連接BE，則線段BE的最小值為__________________．【答案】【分析】以AC為斜邊在AC右側(cè)作等腰直角三角形AE1C，邊E1C與AB交于點G，連接E1E延長與AB交于點F，作BE2⊥E1F于點E2，由Rt△DCE與Rt△AE1C為等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直線E1E上運動，當BE2⊥E1F時，BE最短，即為BE2的長．【詳解】解：如圖，以AC為斜邊在AC右側(cè)作等腰直角三角形AE1C，邊E1C與AB交于點G，連接E1E延長與AB交于點F，作BE2⊥E1F于點E2，連接CF，∵Rt△DCE與Rt△AE1C為等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，∵D為AB上的動點，∴E在直線E1E上運動，當BE2⊥E1F時，BE最短，即為BE2的長．在△AGC與△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴點A，點C，點F，點E1四點共圓，∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案為：．【點睛】本題旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30°角和45°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·廣東·珠海市三模）如圖正方形的邊長為3，E是上一點且，F(xiàn)是線段上的動點．連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，則的最小值是_____．【答案】【分析】如圖，連接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因為∠CDF是定值，推出點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當EG⊥BG時，EG的長最短．【詳解】解：如圖，作射線BG．∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴點G在射線BG上運動，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根據(jù)垂線段最短可知，當EG⊥BG時，EG的長最短，此時tan∠EBG＝＝，設(shè)EG＝m，則BG＝3m，在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，∴m＝（負根已經(jīng)舍棄），∴EG的最小值為，故答案為．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點作交的延長線于點，證明，是等腰直角三角形，進而根據(jù)垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點作交的延長線于點，正方形中，，將點A繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得到點F，是等腰直角三角形,在射線上運動，則是等腰直角三角形，與點重合時，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江紹興·二模）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，點P從A點出發(fā)沿AB運動到B點，以CP為斜邊作如圖的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，則Rt△PQC的外心運動的路徑長為_____，BQ的最小值為_____．【答案】

；

【分析】根據(jù)直角三角形的外心就是斜邊的中點，可得外心的運動路徑就是以AC、BC的中點為端點的線段；利用特殊位置，斜邊為AC、BC的情形，確定點Q的運用路徑是線段，利用垂線段最短，作出垂線段，利用三角形相似計算即可．【詳解】AB＝5，BC=3，AC＝4，，，，Rt△PQC的外心就是斜邊的中點，設(shè)AC、BC的中點分別是M、N，外心的運動軌跡就是線段MN，即三角形ABC的中位線，，當點P與點A重合時，即點，此時以CA為斜邊作如圖的等腰直角三角形AQ1C，當點P與點B重合時，即點，此時以CB為斜邊作如圖的等腰直角三角形BQ2C，為點Q的運動軌跡，BQ的最小值為點B到的垂線段的長度，過點B作，垂足為E，三角形AQ1C，三角形BQ2C均為等腰直角三角形，AC=4，BC=3，，，，，，，

，即，解得，故答案為：；．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，明確垂線段最短是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇鹽城·三模）如圖，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（-1，0），點C為y軸上一動點，以AC為邊向下作Rt，使得，，連接線段，則線段的最小值為____．【答案】##【分析】連接，作于，當點運動到點時，則點運動到，求得，為動點的運動軌跡，當運動到時，最小，據(jù)為角所對的直角邊，為斜邊即可求得答案．【詳解】解：由題意得，連接，作于，如圖所示：、當點運動到點時，則點運動到，，，由題意可得：直線為動點的運動軌跡，當運動到時，有最小值，，故答案為．【點睛】本題考查了計算線段最值的問題，根據(jù)題意，找準為動點的運動軌跡，當運動到時，有最小值是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇連云港·二模）如圖，在中，，，D是斜邊AC的中點，E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點，且，連接EF，G為EF的中點，則點E，F(xiàn)在運動過程中，DG的最小值為______米．【答案】2【分析】根據(jù)等腰直角三角形的斜邊中線性質(zhì)得出∠A=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=45°，AC=8，AD=BD，BD⊥AC，進而證得△ADE≌△BDF(SAS)，得到DE=DF，∠ADE=∠BDF，∠EDF=90°，從而證得點G在BD的垂直平分線上，證得點E，F(xiàn)運動過程中，點G經(jīng)過的路線是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理求得結(jié)果．【詳解】解：在中，，，∴∠A=∠C=45°，如圖，連接BD、BG，∵，D是斜邊AC的中點，∴∠ABD=∠CBD=45°，AC=8，AD=BD，BD⊥AC，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠BDF，∴，∵G為EF的中點，∴，∴點G在BD的垂直平分線上，∴在點E、F運動過程中，點G經(jīng)過的路線是的中位線，如圖，∴DG的最小值為DG=BG=BD=2．故答案為：2．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022·河南·二模）如圖，正方形中，，，點坐標為，連接，點為邊上一個動點，連接，過點作于點，連接，當取最小值時，點的縱坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取CD的中點為O1，連接EO1，所以點E的運動軌跡在以點O1為圓心，EO1為半徑的圓上，證明當O1、E、A三點共線時，AE最小，作，，再證明，利用相似性質(zhì)及已知條件求解即可．【詳解】解：∵，∴，取CD的中點為O1，連接EO1，則，∴點E的運動軌跡在以點O1為圓心，EO1為半徑的圓上，∵點為邊上一個動點，∴E從O運動到C（逆時針），∴當O1、E、A三點共線時，AE最小，作，，∵，，點坐標為且OABC為正方形，∴，∵O1為CD中點，∴，，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，解得：．故選：B【點睛】本題考查動點問題，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出當O1、E、A三點共線時，AE最?。?2．（2022·山東臨沂·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為，直線EF經(jīng)過正方形的中心O，并能繞著O轉(zhuǎn)動，分別交AB、CD邊于E、F點，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)正方形的中心為O，可證EF經(jīng)過O點．連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，利用兩點之間線段最短解決問題即可．【詳解】解：設(shè)正方形的中心為O，連接OB，取OB中點M，連接MA，MG，則MA，MG為定長，過點M作MH⊥AB于H．∵正方形ABCD的邊長為，AC是正方形的對角線，∴BD=，∵直線EF經(jīng)過正方形的中心O，∴OB=OD=2，∵M是OB中點，∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，∴，∵Rt△BHM是等腰直角三角形，∴MH=BH=，AH=，由勾股定理可得MA=，∵AG≥AM-MG=，當A，M，G三點共線時，AG最小=，故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是求出AM，MG的值．13．（2022·安徽·三模）如圖，點P是邊長為6的等邊內(nèi)部一動點，連接BP，CP，AP，滿足，D為AP的中點，過點P作，垂足為E，連接DE，則DE長的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】在中，，易得，故點P在的外接圓的弧BC上，當時，AP有最小值，則DE的最小值是．【詳解】解：如圖所示，∵PE⊥AC，∴是直角三角形，∵D為AP的中點，∴DE=AP，∴當AP最小時，DE最?。呤堑冗吶切危唷?+∠PBC=60o，∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60o，∴∠BPC=180o-(∠2+PBC)=120o，∴點P在的外接圓的上，找出的外心點O并作出其外接圓，點P的運動軌跡就是，∴當時，AP有最小值，延長AP與BC交于點F，此時∠PFC=90o，∠PBC=∠PCB=30o，F(xiàn)C=BC==3，∴PF=FC·tan∠PFC=3×=，AF===3，∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，∴DE的最小值=AP=×2=．故選：D【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識；解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線靈活運用知識解題．14．（2022·江蘇·徐州市三模）如圖，中，，，為邊上的一動點，以、為邊作，則線段的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知點在平行的線段上運動，當時，最小，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，則點在平行的線段上運動，當時，最小，，則，在中，，，，即最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，確定點的軌跡是解題的關(guān)鍵．15．（2022·廣東·深圳市二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為邊BC上一動點，F(xiàn)為AE中點，G為DE上一點，BF＝FG，則CG的最小值為______．【答案】【分析】如圖1，連接AG，先證明AF=FG=EF，則∠AGE=∠AGD=90°；再根據(jù)圓周角定理可可得點G在以AD為直徑的圓上運動，取AD的中點O，當O、G、C三點共線時，CG的值最??；連接OG，由圓的性質(zhì)可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的長，即可求得CG的長．【詳解】解：如圖1，連接AG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，∵F是AE的中點∴BF=AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，∴點G在以AD為直徑的圓上運動，取AD的中點O，如圖2：當O，G，C三點共線時，CG的值最小，連接OG，∴OD=OG=2，∴OC=，∴CG的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圓周角定理、線段的性質(zhì)等知識點，正確添加常用輔助線、構(gòu)造動點G的軌跡成為解答本題的關(guān)鍵．16．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點在的左側(cè)，交軸于點，點是線段的中點，點是線段上一個動點，沿折疊得，則線段的最小值是______．【答案】##【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點A，B，坐標，從而得出，，，再根據(jù)勾股定理求出的長度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，當，，在同一直線上時，最??；過點作，垂足為，由中位線定理得出，的長，然后由勾股定理求出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：令，則，解得，，，，，，令，則，，，，為中點，，由沿折疊所得，，在以為圓心，為半徑的圓弧上運動，當，，在同一直線上時，最小，過點作，垂足為，，，，，又，，故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出，，的坐標．17．（2022·河南洛陽·二