高中數(shù)學第1章空間向量與立體幾何1.1.2空間向量的數(shù)量積運算訓練提升新人教版選修1

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算課后·訓練提升基礎鞏固1.若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a與b共線的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案:A解析:a·b=|a||b|?cos<a,b>=1?<a,b>=0°,即a與b共線.反之不成立,當a與b反向共線時,a·b=-|a||b|.2.已知向量a,b滿足條件:|a|=2,|b|=2,且a與2b-a互相垂直,則<a,b>等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案:B解析:由已知得,a·(2b-a)=0,即2a·b=|a|2=4,所以a·b=2,所以cos<a,b>=a·又0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=45°.3.已知四面體ABCD的所有棱長都等于2,E是棱AB的中點,F是棱CD靠近C的四等分點,則EF·AC等于(A.-12 B.1C.-52 D.答案:D解析:由題意知EF=因為AB·AC=|AB|·|AC|cos<AB,AC>=2,BC·AC=|BC|·|AC|cos<BC,AC>=2,CD·AC=|CD|·|AC|cos<CD,AC>=-2,所以EF·AC=14.已知A,B,C,D是空間中不共面的四點,若(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,則△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形答案:B解析:∵(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(DB-DA+DC-DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(AB-AC)=|AB|2-|AC|2=5.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,關于下列四個結論,正確的是()A.(AA1+AD+B.A1C·(A1C.AD1與D.正方體的體積為|AB·答案:AB解析:如圖所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1DA1C·(A1B1-A1AAD1與A1B的夾角是D1C與D1A夾角的補角,而D1C與D1A的夾角為60°,故AD1與A16.已知空間向量a,b,|a|=32,|b|=5,m=a+b,n=a+λb(λ∈R),<a,b>=135°,若m⊥n,則λ的值為.

答案:-3解析:由題意知a·b=|a||b|cos<a,b>=32×5×-22=-15.由m⊥n,得m·n=(a+b)·(a+λb)=0,即|a|2+(λ+1)a·b+λ|b|2=18-15(λ+1)+25λ=0,解得λ=-7.如圖,四面體ABCD的每條棱長都等于2,點E,F分別為棱AB,AD的中點,則|BC-EF|=,EF與AC答案:3解析:因為EF=12BD,BD·BC=所以|BC-EF|2=BC-12BD2=|BC|2-BC·BD+14|所以|BC-EF|=因為EF=所以AC·EF=12AC·(AD-又<EF,AC>∈[0,π],所以<EF,8.已知空間向量a,b滿足|a|=3,|b|=2,且(a-2b)·(a+b)=5,則a+b在a上的投影向量為.

答案:59解析:∵(a-2b)·(a+b)=5,∴|a|2-a·b-2|b|2=5,∴a·b=-4.∴a·(a+b)=|a|2+a·b=5,|a+b|=|a∴cos<a,a+b>=a·∴a+b在a上的投影向量為|a+b|cos<a,a+b>·a|a|=59.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側面ABB1A1的中心,F為A1D1的中點.試計算:(1)BC·(2)BF·(3)EF·解:設AB=a,AD=b,AA1=則|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)∵ED1=EA1+A1D1∴BC·ED1=b·12c-(2)∵BF=BB1+B1A1+A1F=∴BF·AB1=c-a+12b(a+c(3)∵EF=EA1+A1FFC1=F∴EF·FC1=12c-12a+10.如圖,在四面體OACB中,OB=OC,AB=AC,求證:OA⊥BC.證明:因為OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAB≌△OAC,所以∠AOB=∠AOC.所以OA·BC=OA·(OC-OB)=OA·OC-OA·OB=|OA||OC|cos∠AOC-|OA||OB|能力提升1.已知兩條異面直線的方向向量分別為a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-12,則這兩條異面直線所成的角為(A.30° B.60° C.120° D.150°答案:B2.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,則A1C的長為()A.5 B.22C.14 D.17答案:A解析:∵A1C=∴|A1C|2=(-AA1+AB+AD)2=|AA1|2+|AB|2+|AD|2-2AA1·AB-2AA1·AD+2AB·AD=9+1+1∴|A1C|=3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=2,則BA1在ACA.-22 B.-2C.-12 D.-答案:D解析:∵BA且BA·BC∴BA1·AC=-又|AC|=2,|BA1|=∴cos<BA1,AC>=∴BA1在AC上的投影向量為|BA1|cos<BA14.如圖,直二面角α-AB-β的棱上有兩點A,B,AC,BD分別是這個二面角的兩個面內垂直于AB的線段,且AB=4,AC=6,BD=8,則CD的長為.

答案:229解析:由題意可知,CA⊥AB,AB⊥BD,CA⊥BD,|CA則|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CA·AB+2故|CD|=229,即CD的長為229.5.已知正三棱柱ABC-DEF的側棱長為2,底面邊長為1,M是BC的中點,若CF上有一點N,使MN⊥AE,則CNCF=.答案:1解析:設CNCF=m.∵AE=AB∴AE·MN=(AB+BE)·12BC+mAD=1∴m=1166.在四面體OABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G為△ABC的重心,則OG·(OA+OB+OC)答案:14解析:由已知得OA·OB=如圖,取BC的中點D,連接OD,AD,則AD經(jīng)過點G,且AG=23AD,所以OG=OA+AG=OA所以OG·(OA+OB+OC)=13(OA+OB+OC)2=13(|OA|2+|OB|2+|OC|27.如圖,在四面體ABCD中,AB=CD,AC=BD,E,F分別是AD,BC的中點,求證:EF⊥AD,且EF⊥BC.證明:∵F是BC的中點,∴AF=1又E是AD的中點,∴AE=∴EF=AF-AE=∵|AC|=|BD|=|AD-AB∴AC2=AD2同理AB2=AD2∴2AD2-2AD·AB-2即(AB+AC-AD)·∴EF·AD=12∴EF⊥AD.同理∴EF⊥AD,且EF⊥BC.8.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,∠BAA1=∠DAA1=π3,AC1=26(1)求側棱AA1的長;(2)若M,N分別為D1C1,C1B1的中點,求AC1·M