第三章 變換與裁剪

第三章變換與裁剪1第1頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容二維變換三維變換裁剪2第2頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容二維變換齊次坐標表示基本變換其它變換三維變換裁剪3第3頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維變換通過二維變換和裁剪，將定義在二維世界坐標系中的物體變換到以像素為單位的屏幕坐標系中，實現(xiàn)二維物體的光柵顯示矢量圖形、卡通動畫二維圖形中常見的變換齊次坐標表示：基本變換：平移、旋轉(zhuǎn)、放縮其它變換：剪切、對稱、復合4第4頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月用一個n+1維向量表示一個n維向量二維點(x,y)，用(X,Y,

)表示:(2,3)的齊次坐標表示可以是(4,6,2)、(3,4.5,1.5)齊次坐標與普通坐標之間是一一對應關系x=X/

y=Y/

齊次坐標表示點的優(yōu)勢防止浮點數(shù)溢出矩陣變換的統(tǒng)一表示XY

P

=1平面關于齊次坐標5第5頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維平移二維點P(x,y)移動(tx,ty)后，得到點P'(x',y')XO(x,y)(x',y')Y采用齊次坐標:(x,y)(x,y,1)6第6頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維旋轉(zhuǎn)將點P(x,y)繞坐標原點按逆時針旋轉(zhuǎn)角

XY

(x,y)(x',y')7第7頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對于進行放縮的變換公式其中sx和sy分別為x和y分量的放縮比例二維放縮XO(x,y)(x',y')Y8第8頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月剪切變換(Shear)沿X-軸方向的剪切變換

XY(x,y)(x',y')變換過程中,y坐標保持不變,而x坐標值發(fā)生線性變化;平行于X軸的線段變換后仍平行于X軸，平行于Y軸的線段變換后錯切成與Y軸成固定角

的直線9第9頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱變換XOY(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)關于X軸的對稱變換關于Y軸的對稱變換關于坐標原點的對稱變換10第10頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱變換XOYy=x(y,x)(x,y)XOy=-x(x,y)(-y,-x)Y關于直線y=x的對稱變換關于直線y=-x的對稱變換11第11頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月復合二維變換平移、旋轉(zhuǎn)和放縮矩陣通常記為T、R和S二維變換具有結(jié)合性：(AB)C=A(BC)二維變換不具有交換性先旋轉(zhuǎn)，再(非等比例)放縮先(非等比例)放縮，再旋轉(zhuǎn)12第12頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月復合二維變換二維變換不具有交換性先平移，再旋轉(zhuǎn)先旋轉(zhuǎn)，再平移13第13頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月復合二維變換上述變換的組合可以得到特殊的二維變換剛體變換可以分解為：平移和旋轉(zhuǎn)的組合物體的形狀沒有變化，位置和方位有變化仿射變換可以分解為：平移、旋轉(zhuǎn)和放縮的組合保持點的共線性、長度的比例＝>平行線剛體變換仿射變換14第14頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容二維變換三維變換場景坐標系和造型變換視點坐標系和取景變換投影坐標系和投影變換屏幕坐標系和設備變換裁剪15第15頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維變換的基本概念三維變換可以看作照相過程模擬，即如何將場景中的三維幾何物體變換到二維屏幕上真實的照相機計算機中的虛擬照相機16第16頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維變換的基本概念場景造型：場景坐標系：世界坐標系、局部坐標系變換：造型變換放置虛擬照相機坐標系：視點坐標系(虛擬照相機的位置、朝向以及向上的方向)變換：取景變換(在視域四棱錐進行裁剪和背面剔除)17第17頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維變換的基本概念投影(照相、攝影)：坐標系：投影坐標系和窗口坐標系變換：投影變換二維顯示坐標系：窗口坐標系、規(guī)格化設備坐標系與屏幕的物理坐標系變換：設備變換、視窗變換18第18頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維變換流程圖局部坐標系世界坐標系視點坐標系圖像坐標系規(guī)格化設備坐標系屏幕坐標系造型變換取景變換投影變換設備變換視窗變換19第19頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維變換中的各種坐標系20第20頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月場景坐標系和模型變換幾何場景建立于世界坐標系中場景中的具體物體與局部坐標系相聯(lián)系局部坐標系可以簡化物體的定義物體=｛標準體素，變換｝造型變換：物體從局部坐標系到世界坐標系的變換三維線性和非線性變換21第21頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維模型變換：平移三維平移T：三維點P(x,y,z)移動(tx,ty,tz)后，得到點P'(x',y',z')22第22頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維模型變換：放縮三維放縮S：三維點P(x,y,z)放縮(sx,sy,sz)后，得到點P'(x',y',z')23第23頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維造型變換：旋轉(zhuǎn)繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)

角的旋轉(zhuǎn)變換Rx

繞y軸逆時針旋轉(zhuǎn)

角的旋轉(zhuǎn)變換Ry繞z軸逆時針旋轉(zhuǎn)

角的旋轉(zhuǎn)變換Rz24第24頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維造型變換非線性三維模型變換：變換矩陣是空間位置(x,y,z)或者旋轉(zhuǎn)角度

(x,y,z)的函數(shù)。

25第25頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月視點坐標系和取景變換視點坐標系視點坐標系定義于世界坐標系中；其過程類似于拍照片：照相機鏡頭的朝向：視線方向照相機的位置UP方向26第26頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月視點坐標系的交互建立坐標原點C=(Cx,Cy,Cz)：相機的位置單位向量N=(Nx,Ny,Nz)：鏡頭的朝向與N不平行的向量UP：

得到兩個向量U=(Ux,Uy,Uz)和V=(Vx,Vy,Vz)，然后單位化。27第27頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月視點坐標系的交互建立四個矢量C、U、V、N組成了視點坐標系由世界坐標系到視點坐標系的取景變換：

(x,y,z,1)為世界坐標系中的點

(u,v,n,1)為視點坐標系中的點28第28頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月投影坐標系和投影變換投影變換：三維二維投影變換是在視點坐標系CUVN中進行的透視投影：符合人類的視覺特點，產(chǎn)生的投影效果更為真實平行投影：物體的相對度量保持不變(例如兩個等長線段的投影結(jié)果仍然是等長的)，適用于建筑和機械設計29第29頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月透視投影和平行投影30第30頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月透視投影31第31頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月透視投影投影點：通常取視點坐標系中(0,0,0)點投影平面：取作與視線方向(N方向)垂直的平面n=d。假設在視點坐標系中的點為(u,v,n)，那么在投影面上的對應點坐標(up,vp)為

32第32頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月透視投影齊次坐標表示記投影后的齊次坐標為(U,V,N,W)，則透視投影齊次坐標表示為：33第33頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月關于透視投影一點透視投影兩點透視投影三點透視投影34第34頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月平行投影沿N軸、投影平面在n=0的平行投影

正投影斜投影35第35頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月視域四棱錐裁剪透視投影中視域四棱錐是指位于“前面”和“后面”之間的部分四棱錐在進行透視投影變換時，只有位于視域四棱錐內(nèi)部的幾何物體才會被投影在投影平面上，而位于外部的物體將會被剔除。如果物體部分位于視域四棱錐的內(nèi)部，那么物體將要基于四棱錐進行裁剪平行投影的視域四棱錐是類似的，不過它的形狀一般為長方體36第36頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月視域四棱錐裁剪37第37頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)格化設備坐標和設備變換在投影平面上，有一個矩形區(qū)域稱為視窗上圖坐標系中vovxvy的矩形和“視域四棱錐”圖中的矩形物體投影后：二維齊次坐標表示

設備變換投影后二維齊次坐標除以最后一個坐標分量

，便得到了規(guī)格化設備坐標

38第38頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月屏幕坐標系和視窗變換屏幕坐標系：通常以像素為單位視窗變換二維變換：將定義在視窗中的規(guī)格化設備坐標轉(zhuǎn)換到以像素為單位的屏幕坐標掃描轉(zhuǎn)換：將連續(xù)的幾何物體轉(zhuǎn)換為離散的光柵表示39第39頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容二維變換三維變換裁剪二維線裁剪二維多邊形裁剪文本裁剪三維裁剪關于三維變換與裁剪40第40頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維變換流程圖局部坐標系世界坐標系視點坐標系圖像坐標系規(guī)格化設備坐標系屏幕坐標系造型變換取景變換投影變換設備變換視窗變換二維裁剪？三維裁剪？41第41頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月裁剪(Clipping)裁剪是確定場景或畫面中位于給定區(qū)域(2D或3D裁剪窗口)之內(nèi)的部分裁剪還可用于圖形反走樣、隱藏線、隱藏面、陰影、紋理等算法中裁剪推廣應用：多面體對多面體的裁剪，實體造型系統(tǒng)中執(zhí)行布爾運算在窗口系統(tǒng)中復制、移動或刪除畫面中某一部分(Cut-Copy-Paste)42第42頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月裁剪裁剪算法分類：裁剪窗口的維數(shù)：二維、三維裁剪窗口：規(guī)則(矩形、六面體)和不規(guī)則的(任意多邊形和多面體)對象維數(shù)：點、線、多邊形、多面體實現(xiàn)方式：軟件和硬件實現(xiàn)43第43頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維線裁剪圖形裁剪就是決定畫面中哪些點、線段或部分線段位于裁剪窗口之內(nèi)。位于窗口內(nèi)的點、線段或部分線段被保留用于顯示，而其它的則被拋棄。在一個典型的場景之中，需要對大量的點、線段進行裁剪，因此裁剪算法的效率十分重要(如何快速拒絕和接受)44第44頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維線裁剪實例45第45頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維線裁剪主要方法Sutherland-Cohen裁剪：編碼中點分割裁剪：除以2，移位運算參數(shù)化裁剪與梁友棟-Barsky裁剪：高效率的裁剪Nicholl-Lee-Nicholl裁剪：更為精細的判斷……46第46頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月二維多邊形裁剪簡單的處理方法：對多邊形的每條線段采用線裁剪算法適用于線框圖顯示不適用于多邊形的著色顯示正確的處理方法：裁剪后的多邊形仍為封閉的多邊形可能會并入一部分窗口作為多邊形邊界也可能是多個不相連的多邊形47第47頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月多邊形裁剪后的輸出應該是定義裁剪后的多邊形邊界的頂點序列如何保證裁剪后區(qū)域的封閉性如何確定裁剪后區(qū)域的邊界二維多邊形裁剪實例矩形窗口多邊形裁剪實例48第48頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月文本裁剪矢量文本裁剪：采用前面的多邊形裁剪算法實現(xiàn)文本的裁剪點陣文本裁剪：如果點陣是由軟件生成的，點陣式文本的裁剪可以歸結(jié)為點的裁剪問題；如果點陣式文本是由硬件生成的，裁剪就會變得比較復雜，一個簡單的處理方法是：如果字符完全位于裁剪窗口內(nèi)才會顯示49第49頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月文本裁剪文本裁剪50第50頁，課件共56頁，創(chuàng)作于2023年2月三維裁剪三維裁剪裁剪對象：線裁剪、面裁剪裁剪窗口：規(guī)范的立方體、視域四棱錐Sutherland-Cohen