北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊1.2.2 矩形的性質(zhì)與判定 課件（3份打包）

第第頁北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊1.2.2矩形的性質(zhì)與判定課件（3份打包）(共19張PPT)

1.2.1矩形的性質(zhì)與判定（1）

平行四邊形的性質(zhì)：

邊

平行四邊形的對邊平行；

平行四邊形的對邊相等；

角

平行四邊形的對角相等；

平行四邊形的鄰角互補(bǔ)；

對角線

平行四邊形的對角線互相平分；

平行四邊形的判定：

邊

兩組對邊分別平行的四邊形；

兩組對邊分別相等的四邊形；

角

兩組對角分別相等的四邊形；

對角線

對角線互相平分的四邊形；

一組對邊平行且相等的四邊形；

平行四邊形的判定定理：

與左圖相比較，這種平行四邊形特殊在哪里？它們有什么共同特征呢？

情景引入

平行四邊形

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形.

矩形

有一個(gè)角是直角

下面的圖形中有你熟悉的嗎？

能舉出一些生活中矩形的例子嗎？

矩形具有工整,勻稱,美觀等許多優(yōu)點(diǎn),常被人們用在圖案設(shè)計(jì)上.

教室里的黑板，門窗，課桌的桌面，信封明信片等都是矩形的形狀。

你是否了解這種幾何圖形的性質(zhì)呢？

矩形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？

矩形還具有哪些特殊的性質(zhì)

邊

對邊平行；

對邊相等；

角

對角相等；

鄰角互補(bǔ)；

對角線

對角線互相平分；

矩形是中心對稱圖形。

矩形的性質(zhì)的研究：

（1）矩形是軸對稱圖形嗎？如果是，它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？

做一做

（2）矩形中有還哪些性質(zhì)呢？

請同學(xué)們用矩形紙片折一折，回答下列問題：

D

B

C

A

1、矩形是軸對稱圖形，

有兩條對稱軸，

是矩形兩組對邊的中垂線。

兩條對稱軸互相垂直。

2、矩形的四個(gè)角都是直角，

對角線相等。

結(jié)論

D

B

C

A

1、矩形的四個(gè)角都是直角.

已知:如圖,四邊形ABCD是矩形

證明:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠C=∠A=900,∠B=∠D

AB∥CD.

求證:∠A=∠B=∠C=∠D=900.

D

B

C

A

矩形的性質(zhì)

∠A=900.

∴∠C+∠B=1800,

∴∠B=900,

∴∠A=∠B=∠C=∠D=900.

2、矩形的兩條對角線相等.

已知:AC,BD是矩形ABCD的兩條對角線.

求證:AC=BD.

證明:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=900.

∵BC=CB,

∴△ABC≌△DCB(SAS).

∴AC=DB.

矩形的性質(zhì)

D

B

C

A

E

邊

對角線

角

A

B

C

D

O

矩形對邊平行且相等；

矩形的四個(gè)角都是直角；

矩形的對角線相等且平分；

2、矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

設(shè)矩形的對角線AC與BD交于點(diǎn)E,那么,BE是Rt△ABC中一條怎樣的特殊線段

它與AC有什么大小關(guān)系為什么

D

B

C

A

E

由此可得推論:

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

BE是Rt△ABC中斜邊AC上的中線.

∵在矩形ABCD中AC=BD,BE=DE,

議一議:

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

已知：△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD

證明：CD=AB

證明：延長CD到E使DE=CD，

連結(jié)AE、BE.

A

B

C

D

∵AD=BD，DE=CD

∴四邊形ACBE是平行四邊形

E

又∵∠ACB=90°

∴ACBE是矩形

∴CE=AB

∵CD=CE，∴CD=AB

矩形性質(zhì)的應(yīng)用

已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條線,AC,BD

相交于點(diǎn)O,∠AOD=1200,AB=2.5，求這個(gè)

矩形對角線的長.

解:

∵四邊形ABCD是矩形,

∴在Rt△ABD中，BD=2AB=2×2.5=5(cm).

AC=BD,

∴∠DAB=900,

∵∠AOD=1200,

D

B

C

A

O

∴∠ODA=∠OAD=

∴OA=OD,

你還有其他解法嗎？

四邊形ABCD是矩形

若已知AB=8㎝，AD=6㎝，

則AC＝㎝，OB=㎝

若已知∠CAB=40°，則∠OCB=

∠OBA=∠AOB=∠AOD=

若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，則矩形的周長＝㎝，矩形的面積＝㎝2

4若已知∠DOC=120°，AD＝6㎝，則AC=㎝

O

D

C

B

A

5

50°

10

100°

40°

12

48

28

80°

練一練

2、已知矩形的一條對角線長為8cm，兩條對角線的一個(gè)交角為60°，則矩形的邊長為：______________。

3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，CD=5，則圖中有個(gè)等腰三角形，它們是；AB=______.

4、直角三角形兩直角邊分別為3和4.則斜邊上的高為____斜邊上的中線為____.

2.4

2.5

4cm和

兩

△DAC和△BDC

10

當(dāng)堂訓(xùn)練

1.矩形ABCD的周長是56cm，它的兩條對角線相交于O，△AOB的周長比△BOC的周長短4cm，則AB=______BC=______.

12cm

16cm

C

A

B

D

第3題

如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

證明：在△ABC中,

∵AD=BD=CD,

∴∠DAC=∠DCA，∠DCB=∠DBC

又∵三角形的內(nèi)角和180°

∴∠DCA+∠DCB=90°

∴∠ACB=90°

已知：在△ABC中，AD=BD=CD

求證：∠ACB=90°

幾何表述：

在△ABC中，

∵D是AB的中點(diǎn)

且CD=AB

∴∠ACB=90°

邊

對角線

角

矩形對邊平行且相等；

矩形的四個(gè)角都是直角；

矩形的對角線相等且平分；

矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

小結(jié)

1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形.

2、矩形的性質(zhì)

3、推論(直角三角形性質(zhì)):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

6.如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于H，連接OH，

求證：∠DHO=∠DCO．

選做題

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴OD=OB，∠COD=90°，

∵DH⊥AB，

∴OH=OB，

∴∠OHB=∠OBH，

又∵AB∥CD，

∴∠OBH=∠ODC，

在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，

在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，

∴∠DHO=∠DCO．(共16張PPT)

1.2.2矩形的性質(zhì)與判定（2）

邊

對角線

角

矩形對邊平行且相等；

矩形的四個(gè)角都是直角；

矩形的對角線相等且平分；

矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。

復(fù)習(xí)回顧

1、矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形.

2、矩形的性質(zhì)

3、推論(直角三角形性質(zhì)):直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

情境一

如圖，在一個(gè)平行四邊形活動(dòng)框架上，用兩根橡皮筋分別套在兩個(gè)相對的頂點(diǎn)上，拉動(dòng)一對不相鄰的頂點(diǎn)時(shí)，平行四邊形的形狀會發(fā)生什么變化？

問題（2）:

當(dāng)兩條對角線的長度相等時(shí)平行四邊形有什么特征？由此你能得到一個(gè)怎樣的猜想？

問題（1）:

隨著的變化兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化？

對角線相等的平行四邊形是矩形.

猜想：

對角線的長度發(fā)生變化，平行四邊形的形狀發(fā)生變化

對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

A

B

C

D

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥DC

又∵BC=CB，AC=DB

∴△ABC≌△DCB

∴∠ABC=∠DCB

∵AB∥DC

∴∠ABC+∠DCB=1800

∴∠ABC=∠DCB=×1800=900

∴ABCD是矩形

在ABCD中,AC、DB是兩條對角線,AC=BD.

已知:

ABCD是矩形.

求證:

ABCD

AC=BD

四邊形ABCD是矩形

矩形判定定理一

對角線相等的平行四邊形是矩形.

A

B

C

D

情境二

李芳同學(xué)用四步畫出了一個(gè)四邊形，她的畫法是“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”，她說這就是一個(gè)矩形，她的判斷對嗎？為什么？

猜想：

你能證明上述結(jié)論嗎？

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎

證明:

∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.

∴AD∥BC,AB∥CD.

求證:四邊形ABCD是矩形.

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.

D

B

C

A

∴四邊形ABCD是矩形.

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

∠A=∠B=∠C=90°

四邊形ABCD

是矩形

D

B

C

A

矩形判定定理二

矩形的判定方法:

四邊形

矩形

有三個(gè)角是直角

平行四邊形

一個(gè)角是直角

對角線相等

五種判定方法

生活中的數(shù)學(xué)

給你一根足夠長的繩子，你能檢查教室的門窗或你的桌子是不是矩形嗎？你怎樣檢查？解釋其中的道理。

答：先量兩組對邊的長度是否相等，若相等，是平行四邊形，再量兩條對角線是否等長，若等長，確定是矩形。

理由：

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，

對角線相等的平行四邊形是矩形

∴=AB·BC=4×4=16

ABCD

S

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AC=2OA，BD=2OB。

∵△AOB是等邊三角形

∴OA=OB，

∴AC=BD，

在Rt△ABC中，

∵AB=4cm，AC=2AO=8cm，

例2已知平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于O，△AOB是等邊三角形，AB=4，求這個(gè)平行四邊形的面積.

A

B

C

D

O

∴ABCD是矩形

例題講解

∴BC=

練一練

1、下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？

（1）對角線相等的四邊形是矩形；（）

（2）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形（）

（3）有四個(gè)角相等的四邊形是矩形；（）

×

√

√

2、如圖，M為平行四邊形ABCD邊AD邊的中點(diǎn)，且MB=MC，

求證：四邊形ABCD是矩形.

A

B

C

D

M

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB=CD

又∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)∴AM=DM

又BM=CM∴△ABM≌△DCM

所以∠A=∠D

又∵∠A+∠D=180°

∴∠A=∠D=90°∴ABCD是矩形

已知：如圖，菱形ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，CM∥BD,DM∥AC.

求證:四邊形OCMD是矩形.

A

B

C

D

O

M

練一練

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（定義）

對角線相等的平行四邊形是矩形.

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

矩形的判定方法:

課堂小結(jié)

布置作業(yè)

課本P161,2,3.(共11張PPT)

1.2.3矩形的性質(zhì)與判定（3）

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.進(jìn)一步熟悉矩形的性質(zhì)及其判定定理。

2.會綜合應(yīng)用矩形的性質(zhì)及其判定定理進(jìn)行

相關(guān)計(jì)算或證明。

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.（定義）

對角線相等的平行四邊形是矩形.

有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.

矩形的判定方法:

復(fù)習(xí)回顧

例3在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE.求AE的長.

解∵四邊形ABCD矩形，

∴AO=BO=DO=BD，∠BAD=90°

∵ED=3BE，∴BE=OE

又∵AE⊥BD，∴AB=AO.

∴AB=AO=BO.

即△ABO是等邊三形.∴∠ABO=60°.

∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.

在Rt△AED中，∵∠ADB=30°

∴AE=AD=×6=3.

例題講解

例4如圖,在△ABC中，AB=AC，AD為∠BAC的平分線，AN為△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E.

求證：四邊形ADCE是矩形.

在△ABC中，∵AB=AC，AD為∠BAC的平分線，

∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.

又∵CE⊥AN，∴∠CEA=90°.

∴四邊形ADCE為矩形

證明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，

∴∠CAD=∠BAC，∠CAN=∠CAM.

∴∠DAE=∠CAD+∠CAN

=（∠BAC+∠CAM）

=×180°=90°.

自學(xué)指導(dǎo)

2.延續(xù)完成P18頁想一想。

F

自學(xué)檢測1

1.如圖,在矩形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,∠ACB=30°,BD=4，矩形ABCD的面積_________

2.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD

相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作BD的垂線，垂足為E.

已知∠EAD=3∠BAE，求∠EAO的度數(shù).

第1題

第2題

解：∵∠EAD=3∠BAE，∠BAD=90°∴∠BAE=22.5°∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=67.5°∵AE⊥BD即∠AED=90°∴∠ADE=180-∠AED-∠EAO=22.5°∵矩形的對角線互相平分∴AO=DO∴∠OAD=∠ODA=22.5°∴∠EAO=∠BAD-∠BAE-∠OAD=45°

證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AE=BDAE//BD又∵D為BC中點(diǎn)，

∴BD=CD

∴AE=CDAE//CD∴四邊形ADCE是平行四邊形又在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，

∴A