2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題講次02 圖形的運動（教師版）

專題02圖形的運動

模塊一：圖形的平移

例1.如圖，RfAABC中直角邊4?=6,6c=8,沿邊47將向下平移至RrATB'C.已知陰

影部分兩邊長4r=3,徵=4,則陰影部分的面積為.

【難度】★

【答案】18.

【解析】由題意可知：A'8=6—3=3,BD=S-4=4,

?^AABC=5x6x8=24,S&DBA'=]x3x4=6,

陰影部分的面積為24-6=18.

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì)的運用.

例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點/的坐標(biāo)為（0,6）,將AQA8沿x軸向左平移得到

4

△02，*,點/的對應(yīng)點4落在直線y=上,則點6與其對應(yīng)點9間的距離為

【難度】★★

【答案】8.

【解析】由平移的規(guī)律可知A'的縱坐標(biāo)為6,

?.?點4在y二-1彳上，A'（-8,6）.

AA'=8,，由平移的規(guī)律可知B8，=4A'=8.

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì)及點的坐標(biāo)的確定.

例3.（2020崇明二模）如圖，將AA8C沿BC邊上的中線AO平移到AA'B'C'的位置,

己知MBC的面積為16,陰影部分三角形的面積為9,如果AA'=1,那么A'O的長為

【答案】3

分析】先證明aDA'E^ADAB,再利用相似三角形的性質(zhì)求得AD便可.

【詳解】如圖,

VSAABC=16,SAA，EF=9,且AD為BC邊的中線，

ADE

S，=5SA.EF=4.5,SABD=—SABC=8,

?.?將4ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△ABC,

：.A'E〃AB,

.'△DA'E^ADAB,

貝一回＜A'DV4.5

'IAfJSJ140+J8

3

解得A'D=3或A?D--（舍），

7

故答案為3.

【點睛】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.

例4.如圖，AA8C和AO8C是兩個具有公共邊的全等的等腰三角形，AB=AC=3cm,BC=

2cm.將SBC沿射線比平移一定的距離得到的四弓，連接AC,、BDt.如果四邊形

是矩形，那么平移的距離為cm.

AA

【難度】★★★

【答案】7.

【解析】作"，必于公

ZAEB=ZAEC；=90°,

ZBAE+ZABC=90°.

48=AC,BC=2cm,

JBE=CE=-BC=\.

2

???四邊形48RG是矩形，

NBA6=90°

???ZABC+Z/iqB=90°,

/BAE=ZAC】B,

RFAR

：.AABESAGBA，：.——=——，則8G=9,

AB8cl

CG=BC「BC=9-2=L

【總結(jié)】考察平移和矩形的性質(zhì)的綜合運用.

例5.己知A48C中，AC=5,比'=6（如圖所示），將&4BC沿射線比方向平移卬個

單位得到AD防，頂點4、B、。分別與久E、尸對應(yīng)，若以點4D、￡為頂點的三角形是

等腰三角形，且總■為腰，則仍的值是.

【難度】★★★

【答案】6或紀(jì).

6

【解析】當(dāng)OE=AE時，

作垂足為也作/1A'J_6C于"

則四邊形4恰V是平行四邊形，；.AM=NE.

AM=-AD=-m,CN=-BC=3.

222

'：AC//DF,AD//CF,二四邊形力江》是平行四邊形，

'.AD-CF,即4"?+1，"=6-（3-1加］,解得："z=6；

22\2）

當(dāng)A￡>=AE=機時，

?.?將△/6C沿射線8C方向平移了小個單位得到△戚，

.,?四邊形4喇是平行四邊形，

BE=AD=tnf

：.NE=m-3.

,：AN2+NE2=AE2,

42+(m-3)2=m2?解得：in=.

綜上所述，當(dāng)雨=6或紀(jì)時，△力加是等腰三角形.

6

【總結(jié)】本題主要考察平移的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用.

模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)

例1.在下列圖形中，中心對稱圖形是()

A.等腰梯形B.平行四邊形C.正五邊形D.等腰三角形

【難度】★

【答案】B

【解析】某一圖形繞著一點旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對稱圖形.

【總結(jié)】考察中心對稱圖形的定義.

例2.如圖，\ABC是等邊三角形，若點4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)30°至點4,聯(lián)結(jié)A'B,則ZABA,

度數(shù)是

【難度】★★

【答案】15°.

【解析】由題意可得：AC=A'C,ZACA'=30°.

’.?△4式1為等邊三角形，

，NACB=NABC=60°,AC=BC,

ABC=A'C,NA'BC=NBA'C=75°,

ZABA'=750-60°=15°.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)的綜合運用.

例3.將矩形四徵（如圖）繞點力旋轉(zhuǎn)后，點。落在對角線”■上的點。，點C落到C；如

果4?=3,BC=4,那么CC的長為.

【難度】★★

【答案】V10.

【解析】???四邊形/版為矩形，

NB=NO=90。，AD=BC=4,則AC=7^不=5.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NA￡>'C=ND=90。，AC'=AC=5,AD=AD=4.

D'C'=DC=3,：.D'C=5-4=1.AC'C2=C'D,2+DC2,即CC'=7L5.

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理的綜合運用.

例4.（2020閔行二模）如圖，已知在△4BC中，AB=AC=4,ZBAC=30°,將△Z8C繞點Z

順時針旋轉(zhuǎn)，使點8落在點與處，點C落在點Ci處，且聯(lián)結(jié)BC和CC,那么

△BiCiC面積等于.

B

【答案】8-46

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一得出口45c繞點“順時針旋

轉(zhuǎn)的角度，然后證明△ACC；是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得出CG=AC和

AB,1eq,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出用尸的長度，最后利用S8,Gc=gcC/4/求面積

即可.

【詳解】如圖,

AB=AB],BBi±AC,

:.ZDABi=ZBAD=3Q°,

:.ZBAB}=60°,

□ABC繞點/順時針旋轉(zhuǎn)60。得到口B]AC,,

.-.ZCAC,=60°.

AC=AC1,

??.△ACC；是等邊三角形，

:.CC[=AC=4,AB11.CC].

?.?AC=4,NC4F=30。,

AF=AC-cos30°=2V3，

:.B]F=A31-AF=4—26，

:.SMGC=；CCi，4F=；x4x（4—2岔）=8一4如,

故答案為：8-4>/3.

【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，解直角

三角形，能夠畫出圖形并求出旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

例5.（2020長寧、金山區(qū)一模）如圖，在&DABC中，NA8C=90°,AB=2,8c=4,

點尸在邊上，聯(lián)結(jié)AP,將△ABP繞著點A旋轉(zhuǎn)，使得點P與邊AC的中點M重合，

點8的對應(yīng)點是點3,，則8B'的長等于.

【答案】|Vio

【分析】如圖，延長AB，交BC于E,過點B，作BDJ_AB于點D,由勾股定理可求AC的長，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求AP=AM=石，NPAB=NCAE,AB=AB，=2,通過證明△ABPs△CBA,

可得NPAB=NC,可得CE=AE,由勾股定理可求CE,BE的長，由相似三角形的性質(zhì)可

求BD,BD的長，即可求解.

【詳解】如圖，延長AB咬BC于E,過點B作BD_LAB于點D,

VZABC=90°,AB=2,BC=4,

AC=J74^2+BC?—J16+4=275>

?.?點M是AC中點,

.,.AM=V5?

?..將4ABP繞著點A旋轉(zhuǎn)，使得點P與邊AC的中點M重合,

AAP=AM=75-ZPAB=ZCAE,AB=AB'=2,

VAP2=AB2+PB2,

；.PB=1,

3又親2

.BABC

且NABP=/ABC=90°,

?,.△ABP^ACBA,

.\ZPAB=ZC,

；.NC=/CAE,

，CE=AE,

VAE2=AB2+BE2,

；.CE2=4+(4-CE)2,

5

.'.CE=AE=—,

2

3

.?.BE=一,

：B'D〃BC,

.,.△AB'D^AAEB,

?_A__B_'__A__D___B__'_D_

"AE~AB~BE

2ADB'D

22

86

；.AD=—，B'D=-,

55

82

BD=AB-AD=2--=—

55

：.BB'^^B'D2+BD2

故答案為：-Vio.

【點睛】本題考查/旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理

等知識，求出CE的長是本題的關(guān)鍵.

例6.如圖，底角為0的等腰AABC繞著點6順時針旋轉(zhuǎn)，使得點/與邊8c上的點，重合,

3

點。與點后重合，聯(lián)結(jié)力〃、CE.已知tana=—,AB=5,則"二—

4

c

【難度】★★★

【答案】:廂.

【解析】作AfLLBC于H,EFLBC千F,則BH=CH.

AHa

在直角△力切中，tanNA3H=tana==—

BH4

設(shè)4H=3，，則BH=4z,/.AB=>jAH2+BH2=5t,A5r=5,即"1,

?,.BC=2BH=S.

??,等腰△/1比繞著點8順時針旋轉(zhuǎn)，使得點力與邊比上的點〃重合，

/.ZCBE=a,BE=BC=8.

FFq

在直角△應(yīng)下中，tanNEAF=tana=---=—,

BF4

設(shè)EF=3x,則BF=4x,/.BE=EF2+BF2=5x,；.5x=8,即1=?,

5

.2432lic?328

..EF=—,BF=—,1則nCF=8---=—，

5555

【總結(jié)】考察等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合運用.

模塊三：圖形的翻折

1、翻折與軸對稱圖形

（1）把-一個圖形沿一條直線翻折過來，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對

稱圖形，這條直線叫做對稱軸，兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于這條直線的對稱點.

（2）軸對稱圖形是一個圖形關(guān)于某直線對稱；軸對稱是兩個圖形關(guān)于某條直線對稱.

2、軸對稱

（1）軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這

兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱.

（2）軸對稱的圖形的性質(zhì)：兩個圖形關(guān)于一條直線成軸對稱，這兩個圖形對應(yīng)線段的長度

和對應(yīng)角的大小相等，它們的形狀相同，大小不變；在成軸對稱的兩個圖形中，分別連接兩

對對應(yīng)點，取中點，連接兩個中點所得的直線就是對稱軸.

例1.窗花是我國的傳統(tǒng)藝術(shù)，下列四個窗花圖案中，不是軸對稱圖形的是（

【難度】★

【答案】D

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對稱圖形的定義.

例2.下列圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【難度】★

【答案】A

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對稱圖形；某一圖形繞

著一點旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義.

例3.下列四邊形中，是軸對稱但不是中心對稱的圖形是（）

A.矩形B.菱形C.平行四邊形D.等腰梯形

【難度】★

【答案】D

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對稱圖形；某一圖形繞著一

點旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義.

例4.（2020松江二模）如圖，四邊形488是。。的內(nèi)接矩形，將矩形/18CD沿著直線

BC翻折，點/、點。的對應(yīng)點分別為A\D',如果直線A'D'與OO相切，那么力；的值

DC

為.

【分析】設(shè)直線H。'與相切于G,連接OC,OG交.BC于E,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

AD=BC^A'D',AB^CD^CD'=HB,過。作O〃_LC。，根據(jù)垂徑定理得到?！?工

2

CD,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OGLHD',設(shè)4B=CD=C6=A'B=x,根據(jù)勾股定理即

可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)直線HD'與。。相切于G,連接OC,OG交BC于E,

將矩形ABCD沿著直線BC翻折，

：.AD=BC=A'D',AB=CD=CD'=A'B,

過。作OHLCD,

：.CH=^CD,

2

:直線HD'與OO相切，

AOG±A'D',

'：BC//A'D',

OGLBC,

則四邊形OECH是矩形，CE=BE=LBC,

2

：.CH=OE,

設(shè)/8=CQ=C?=A'B=x,

：.OE=^x,

2

0C=0G=2x,

2

CE=VOC2-OE2=^(-^)2-(yx)2=上，

：.BC=2CE=2yf2s，

.AB_X

'BC2A/2X4

故答案為：返.

例5.（2020寶山二模）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF,

若AB=4,BC=2,那么線段EF的長為.

【答案】B

【詳解】如圖所示，AC交EF于點O,

由勾股定理知AC=2j^,

又；折疊矩形使C與A重合時有EFJ_AC,

貝ljRtAAOE^RtAABC,

OEAO

.,.0E=2^

2

故EF=2OE=5

故答案為6.

考點：翻折變換、勾股定理及矩形的性質(zhì).

例6.（2020黃浦區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將ABCE沿BE折疊

后得到ABEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點G.若學(xué)=[,則必

GA7AB

【答案】V2

分析】連接GE[根據(jù)中點定義可得DE=CE,再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=EF1/BFE=90?？?/p>

DG[

利用"HL”證明R3EDGM2RtAEFG,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FG—DG,根據(jù)——=-

GA7

設(shè)DG=FG=a,則AG=7a,故AD=BC=8a,貝I」BG=BF+FG=9a,由勾股定理求得AB=475a

再求比值即可.

【詳解】連接GE

,/點E是CD的中點，EC=DE口

?.?將^BCE沿BE折疊后得到ABEF、且點F在矩形ABCD的內(nèi)部,

；.EF=DEZBFE=90°

GE=GE

在RtAEDG和RtAEFG中<

DE=EF

.,.RtAEDG^RtAEFGHL

，F(xiàn)G=DG

,,_D__G___—1

'GA~7

.,.設(shè)DG=FG=a,則AG=7a,故AD=BC=8a,則BG=BF+FG=9a

???AB=J（9a）2-（7a『=4垃a

AD8。

故---=夜

AB4缶

故答案為J5

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及翻折變

換的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

例7.（2020楊浦區(qū)一模）如圖，在等腰aABC中，AB=AC=4,BC=6點D在底邊BC上，

且/DAC=/ACD,將4ACD沿著AD所在直線翻折，使得點C落到點E處，聯(lián)結(jié)BE,

那么BE的長為.

【答案】1

【分析】只要證明△ABDs^MBE,得坐二處，只要求出BM、BD即可解決問題.

BMBE

【詳解】

VAB=AC,

AZABC=ZC,

VZDAC=ZACD,

.'.ZDAC=ZABC,

vzc=zc,

/.△CAD^ACBA,

.CACD

^~CB~~AC

?4_C。

??一，

64

8810

???CD=一，BD=BC-CD=6--=—,

333

VZDAM=ZDAC=ZDBA,ZADM=ZADB,

.'.△ADM^ABDA,

8

ADDMn?3DM

BDDA108

T3

3210326

.,.DM=vf,MB=BD-DM=--落一，

153155

VZABM=ZC=ZMED,

:.A、B、E,D四點共圓,

.\ZADB=ZBEM,ZEBM=ZEAD=ZABD,

.ABBD

610

BE=BM.BD=d[.

AB4

【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，本題需要三次相似解決問題.

例8.如圖，梯形屈力中，AD//BC,NB=90。，AD=2,BC=5,￡是16上一點，將ABCE

沿著直線位翻折，點6恰好與。點重合，則跖=.

【難度】★★★

【答案】--

2

【解析】作DM1BC交BC于點M.

'：NA=NB=NDMB=90。,四邊形ABMD是矩形，

；.AD=MB=2,AB=DM,,:BC=CD=5,：.DM=AB=4CD1-CM2=4.

設(shè)BE=￡?E=x,AE2+AD2=DE2,A（4-x）2+22=x2,則x=g,ABE=-.

【總結(jié)】考察翻折的性質(zhì)與勾股定理的結(jié)合運用.

壓軸精練

L下列圖形中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

A.正五邊形B.正六邊形C.等腰三角形D.等腰梯形

【難度】★

【答案】B

【解析】某圖形沿著一條直線翻折后可以完全重合的圖形成為軸對稱圖形：某一圖形繞著一

點旋轉(zhuǎn)180°后可以與本身重合，這該圖形為中心對稱圖形.

【總結(jié)】考察軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義.

2.如圖，將周長為8的AABC沿優(yōu)方向平移1個單位長度得到ADEF,則四邊形47/。的周

長為

【難度】★★

【答案】10.

【解析】由題意可得：4）=1,

BF=BC+CF=BC+\,DF=AC,

：AB+BC+AC=S

四邊形力力力的周長為40+48+8尸+。尸=1+AB+BC+1+4C=1O

【總結(jié)】考察平移的性質(zhì)的運用.

3

3.（2020寶山二模）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,tan5=-,將△ABC繞點B逆時

4

針旋轉(zhuǎn)，得到的BCy,當(dāng)點G在線段CA延長線上時AABJ的面積為.

【分析】過B作BDLAG,過A作AFLBC于F,解直角三角形求出BC和BD,進而得出

CD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式即可解答.

【詳解】解：如圖，過B作BDLAG,過A作AFLBC于F,

.,.BC=BCi,

.,.ZBCiC=ZC,

3

tanZABC=—,

4

…「AF3

tanZABC=-----=—,

BF4

設(shè)AF=3x,BF=4x,則AB=5x,

VAB=5,

/.x=l,即AF=3，BF=4,

BC=8,

BD3

.".sinZC=----=—

BC5

24

???BD=—

5

4qBD3

(V.RtAABD中，tanNC=-----=—,

DC4

24

?*,5-3,

~DC~4

VBC=BCi,BDlACi,

.e.CCi=2DC=—,

5

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換和解直角三角形，通過做輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的

關(guān)鍵.

4.（2020奉賢二模）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,/B=35°,CD是斜邊AB上的

中線，如果將ABCD沿CD所在直線翻折，點B落在點E處，聯(lián)結(jié)AE,那么/CAE的度數(shù)是

度.

C*2----------—^5

【分析】依據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到NDAE的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到/BAC

的度數(shù)，進而得出/CAE的度數(shù).

解：如圖所示，YCD是斜邊AB上的中線，

，CD=BD=AD,

/.ZBCD=ZB=35°,

.,.ZBDC=110°,

由折疊可得，ZCDE=ZCDB=110°,DE=DB=AD,

.\ZBDE=360°-110°X2=140°,

.".ZDAE=—ZBDE=70°,

2

又；RtZ\ABC中，ZBAC=90°-35°=55°,

.,.ZCAE=55°+70°=125°,

故答案為：125.

E

5.（2020金山二模）如圖，在aABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,把△ABC繞C點旋轉(zhuǎn)

得到△A'B'C,其中點A'在線段AB上，那么NA'B'B的正切值等于.

PAAA7-----

【分析】證明ACAA'^△CBB，,得出黑=黑，，設(shè)A'B=a,貝ijAA'=5-a,BB'

CBBBvaa

35-a

得出解方程求出A'B,則BB'可求出，則答案可得出.

解：把AABC繞C點旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,點A'在線段AB上，

...NACA'=NBCB',CA=CA(,CB=CB',

，/A=/CA'A,/CBB'=NCB'B,

.*.ZA=ZCBB',

.".△CAA's/\CBB',

.CA_AA?

"CB"BB7'

VZC=90°,AC=3,BC=4,

22

?*-AB=VAC+BC=V32+42=5;/A+/CBA=90°，

.?.NCBB'+/CBA=90°,

NA'BB'=90°,

設(shè)A'B=a,則AA'=5-a,BB'=^25-a2,

35-a

7

解得，a=—（a=5舍去），

5

7

???A'B=g

5

725c）2=號

7_

.?.tanNA'B"二.

BB2424

V

故答案為：

24

6.（2020靜安二模）如果一條直線把一個四邊形分成兩部分，這兩部分圖形的周長相等，那

么這條直線稱為這個四邊形的''等分周長線”.在直角梯形N5CZ）中，/5〃S,N4=90°,

DC=AD,N8是銳角，cotB=W,48=17.如果點E在梯形的邊上，CE是梯形的

12

“等分周長線”，那么△8CE的周長為.

【分析】作C〃_L/8于，，設(shè)8"=5〃，證明四邊形為矩形，得到/￡>=C〃=12a,

根據(jù)題意求出m根據(jù)勾股定理求出8C,根據(jù)“等分周長線”計算，得到答案.

【解答］解：作。“1/8于〃，

設(shè)BH=5a,

CH五’

:?CH=T2a,

,:AB〃CD,

：.ZD=ZA=90°,又CHLAB,

???四邊形力為矩形，

：?AD=CH=12a,CD=AH,

■:DC=AD,

：.AH=CD=l2a,

由題意得，12a+5a=17,

解得，〃=1,

：?AD=CD=AH=12,BH—5,

在RtZ\C〃8中，fiC=7cH2+BH2=13,

...四邊形XBC。的周長=12+12+17+13=54,

?：CE是梯形ABCD的“等分周長線”，

二點E在上,

17+13-27=3,

:.EH=12-3=9,

=22=15,

由勾股定理得，^CVCH+EH

.?.△8CE的周長=14+13+15=42,

故答案為：42.

7.（2020黃浦二模）已知等邊aABC的重心為G,ADEF與aABC關(guān)于點G成中心對稱，將

它們重疊部分的面積記作S?AABC的面積記作S2,那么廿的值是

【分析】如圖，根據(jù)點G是等邊aABC的重心，得到AD垂直平分BC,AD是NBAC的角平分

線，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)得到△DEFgZXABC,AG=DG,EF〃BC,推出△AQH是等邊三角形,

得到AQ=HQ=AH,求得它們重疊部分為邊長=QH的正六邊形，設(shè)AB=3a,則QH=a,根據(jù)

等邊三角形的面積健康得到結(jié)論.

解：如圖，,??點G是等邊△ABC的重心，

；.AD垂直平分BC,AD是NBAC的角平分線，

；.AG=2GN,

設(shè)AB=3a,則AN=^X3a=^^a,

44

VADEF與AABC關(guān)于點G成中心對稱，

.,.△DEF^AABC,AG=DG,EF〃BC,

；./AQH=/ABC=/AHQ=/ACB=60°,

...△AQH是等邊三角形，

.,.AQ=HQ=AIl=-yAB=a,

.?.AP=叵i,

4

它們重疊部分為邊長=QH的正六邊形,

.?.S|=6X返a「，S?=叵義(3a)2,

44

2

.S-6X『_2

"s7323，

2號X9a"

4

故答案為：得.

O

8.(2020黃浦二模)已知00的直徑AB=4,OD與半徑為1的。C外切，且(DC與(DD均

與直徑AB相切、與。0內(nèi)切，那么。D的半徑是.

【分析】分。D與。C在直徑AB的同側(cè)、OD與。C在直徑AB的兩側(cè)兩種情況，根據(jù)圓心距

與兩圓半徑的數(shù)量關(guān)系、勾股定理列方程計算，得到答案.

解：當(dāng)。D與。C在直徑AB的同側(cè)時，作DHJ_0C于H,DN_L0B于N,連接CD,連接()D

并延長交。。于G,

設(shè)③D的半徑為r,則0D=2-r,CD=l+r,

???。0的直徑AB=4,0C的半徑為1,0C與。0內(nèi)切,

與。。內(nèi)切于點0,

.\C01AB,

VC01AB,D1I±OC,DN10B,

???四邊形H0ND為矩形，

.\0H=DN=r,DH=ON=J)2-2,

/.CH=1-r,

在Rtz^CDH中，CH2+DH2=CD2,即(1-r)2+(2-r)2-r2=(1+r)

解得,rg,

當(dāng)OD與OC在直徑AB的兩側(cè)時，OC與。D的半徑相等，都是1,

故答案為：■或L

9.（2020虹口區(qū)一模）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD〃BC,sinC=A,AB=9,AD=6,點

5

E、F分別在邊AB、BC±,聯(lián)結(jié)EF,將aBEF沿著EF所在直線翻折，使BF的對應(yīng)線段B'F

經(jīng)過頂點A,B'F交對角線BD于點P,當(dāng)B'F_LAB時，AP的長為.

【分析】解直角三角形求出BF,AF,再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：如圖，

VFBZ1AB,

???NBAF=90°,

???四邊形ABCD是等腰梯形，

AZABC=ZC,

/.sinZABC=sinZC=-^=—,

BF5

設(shè)AF=4k,BF=5k,則AB=9=3k,

???k=3,

AAF=12,BF=15,

VAD/7BF,

AAAPD^AFPB,

.PA=AD=_6_=2

"PF而元可

；.PA=2PA="

77

故答案為絲.

7

10.（2020松江區(qū)一模）如圖，矩形中，AD=\,48=左.將矩形繞著點8順

時針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形A'BC'D'.聯(lián)結(jié)AD'，分別交邊CD,A'B于瓜凡如果AE=^D'F,

那么k=.

【答案】k=V2+1

【分析】由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求AD=A'D'=1,AB=A'B=k,ZA'=ZDAB=90°=Z

AQDEAE

DCB=ZABC,通過證明△ADEs^FATT,可得F=B=可求DE,AF的長，

AFADDF

通過證明△ADTs^CEF,由相似三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：???將矩形ABCD繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到矩形ABCD,

???AD=AD=1,AB=A，B=k,ZA*=ZDAB=90°=ZDCB=ZABC,

???A'D'〃BA〃CD

JZA'DT=ZFEC=ZDEA,且ND=NA'=90。,

AAADE^AFAV,

,ADDEAE1—l

…---=---=---,且AE=D

AFA'。'D'FO7'F,

DE=^A'D'=>/2,4尸=討當(dāng),

VZA,=ZDCF=90°,ZATD^ZEFC,

.'.△A^F^ACEF,

.ECFC

kQ

2

2

k—\f2+1

故答案為：垃+1

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用相似三角形

的性質(zhì)求DE,AT的長是本題的關(guān)鍵.

11.如圖，鈍角A48C中，tanNE4C=二，BC=4,將三角形繞著點力旋轉(zhuǎn)，點C落在直線

4

股上的點C'處，點呂落在點夕處，若C、B、5,恰好在一直線上，則四的長為______.

【難度】★★★

【答案】|VTo.

【解析】作5'肛4C'于點M,作CNLAC'與點N,

則△/；：監(jiān)'<^ABNC.

'：ZB'AC=ABAC,：.tanZB'AC=tanZBAC=^-=—=-.

AMAN4

設(shè)B'M=3x,CN=3y,則AM=4x,A7V=4y,WOAH=ylAM2+B'M2=5x.

VAB=AB'=5x,Z.BM=x.

■:叢BMB's^BNC,：.—CN=^BL'M=—3x=3.

BNBMx

BN==—=y>則5x+y=4y,B|J%=-y

335

222

BN+CN=BC,即:/+（3y）2=16,解得：y=17nj.

貝ijx」而，AB=5x=-V10

265

【總結(jié)】考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和銳角三角比的綜合應(yīng)用.

12.如圖，RtAABC中，NBAC=90。，將AABC繞