【解析】遼寧省阜新市2023年中考真題數(shù)學試卷

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遼寧省阜新市2023年中考真題數(shù)學試卷

一、單選題

1．（2023·東莞模擬）的相反數(shù)是（）

A．2B．C．D．

2．（2023·阜新）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的立方塊搭成的，它的左視圖是（）

A．B．C．D．

3．（2023·阜新）在下列計算中，正確的是（）

A．B．C．D．

4．（2023·阜新）某中學甲、乙兩支國旗護衛(wèi)隊的隊員身高（單位：）數(shù)據(jù)如下：

甲隊：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179；

乙隊：178，177，177，176，178，175，177，181，180，181．

若要判斷哪支護衛(wèi)隊隊員身高更為整齊，應該比較兩組數(shù)據(jù)的（）

A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差

5．（2023·阜新）某中學舉辦“傳承紅色精神，講好阜新故事”演講比賽，共設置“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題，每位選手隨機選取一個主題參賽．如果小明和小宇都參加比賽，他們同時選中主題“海州礦精神”的概率是（）

A．B．C．D．

6．（2023·阜新）不等式的解集是（）

A．B．C．D．

7．（2023·阜新）如圖，A，B，C是上的三點，若，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

8．（2023·阜新）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元．設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則所列方程正確的是（）

A．B．

C．D．

9．（2023·阜新）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，對稱軸是直線，下列結論正確的是（）

A．B．

C．D．點在函數(shù)圖象上

10．（2023·阜新）如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當時，點的坐標是（）

A．B．

C．D．

二、填空題

11．（2023·阜新）計算：．

12．（2023·阜新）將一個三角尺按如圖所示的位置擺放，直線，若，則的度數(shù)是．

13．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2：3，則△ABC與△DEF的面積比為

14．（2023·阜新）正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，過點A作軸，垂足為點C，連接，則的面積是．

15．（2023·阜新）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點E和點F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G．作射線交于點H，則線段的長是．

16．（2023·阜新）德力格爾草原位于彰武縣境內(nèi)，以草場資源豐富，景色優(yōu)美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內(nèi)外選手參加．甲、乙兩名選手同時參加了往返（單程）的業(yè)余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時間（h）之間的函數(shù)關系如圖所示，那么當甲到達終點時，乙距離終點．

三、解答題

17．（2023·阜新）先化簡，再求值：，其中．

18．（2023·阜新）某中學數(shù)學興趣小組的同學們，對函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的性質進行了初步探究，部分過程如下，請你將其補充完整．

（1）當，時，即，當時，函數(shù)化簡為；當時，函數(shù)化簡為．

（2）當，，時，即．

①該函數(shù)自變量x和函數(shù)值y的若干組對應值如下表：

…01234…

…620246…

其中▲．

②在圖1所示的平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．

（3）當時，即．

①當時，函數(shù)化簡為▲．

②在圖2所示的平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．

（4）請寫出函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的一條性質：．（若所列性質多于一條，則僅以第一條為準）

19．（2023·阜新）如圖，是的直徑，點C，D是上異側的兩點，，交的延長線于點E，且平分．

（1）求證：是的切線．

（2）若，，求圖中陰影部分的面積．

20．（2023·阜新）端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，節(jié)日里吃粽子是傳統(tǒng)習俗．為了了解附近居民對A（肉粽子），B（蛋黃粽子）．C（紅棗粽子），D（葡萄干粽子）四種口味粽子的喜愛情況，某商場隨機抽取了某小區(qū)的部分居民進行問卷調查（每人只能選一種口味），并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）參加此次問卷調查的居民共有人．

（2）通過計算將條形統(tǒng)計圖補充完整．

（3）若該小區(qū)共有2000名居民，請估計喜愛A（肉粽子）的居民約有多少人．

21．（2023·阜新）如圖，小穎家所在居民樓高為，從樓頂A處測得另一座大廈頂部C的仰角是，而大廈底部D的俯角是．

（1）求兩樓之間的距離．

（2）求大廈的高度．

（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

22．（2023·阜新）為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元．

（1）求：足球和排球的單價各是多少元？

（2）根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多可以購買多少個足球？

23．（2023·阜新）如圖，在正方形中，線段繞點C逆時針旋轉到處，旋轉角為，點F在直線上，且，連接．

（1）如圖1，當時，

①求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?/p>

②求證：．

（2）如圖2，取線段的中點G，連接，已知，請直接寫出在線段旋轉過程中（）面積的最大值．

24．（2023·阜新）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數(shù)的表達式．

（2）如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．

（3）如圖2，點是直線上的一個動點，過點的直線與平行，則在直線上是否存在點，使點與點關于直線對稱？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

【知識點】相反數(shù)及有理數(shù)的相反數(shù)

【解析】【解答】解：的相反數(shù)是：，

故答案為：A．

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可。

2．【答案】C

【知識點】簡單組合體的三視圖

【解析】【解答】解：從左邊看，第一層是兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，

故A、B、D三個選項錯誤，不符合題意，只有C選項正確，符合題意.

故答案為：C.

【分析】左視圖，就是從左面看得到的圖形，弄清層數(shù)及各層小正方形的個數(shù)即可.

3．【答案】A

【知識點】分母有理化；特殊角的三角函數(shù)值；有理數(shù)的加法；有理數(shù)的乘法

【解析】【解答】解：A、5+（-6）=-（6-5）=-1，故此選項計算正確，符合題意；

B、，故此選項計算錯誤，不符合題意；

C、3×（-2）=-（3×2）=-6，故此選項計算錯誤，不符合題意；

D、，故此選項計算錯誤，不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則“絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”進行計算可判斷A選項；根據(jù)分母有理化“在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式”進行計算可判斷B選項；由有理數(shù)的乘法法則“異號兩數(shù)相乘，積為負，并把絕對值相乘”進行計算可判斷C選項；根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可判斷D選項.

4．【答案】D

【知識點】常用統(tǒng)計量的選擇

【解析】【解答】解：若要判斷哪支護衛(wèi)隊隊員身高更為整齊，應該比較兩組數(shù)據(jù)的方差.

故答案為：D.

【分析】平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)之和，除以這組數(shù)的個數(shù)，平均數(shù)是反應一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量；眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，(眾數(shù)可能有多個)，簡單的說，就是一組數(shù)據(jù)中占比最多的那個數(shù)，反應的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到小）的順序排列后，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)個時，則處在最中間的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，則處在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)組中，一半的數(shù)據(jù)比中位數(shù)大，另一半的數(shù)據(jù)比中位數(shù)小，中位數(shù)是一種衡量集中趨勢的量；方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好，據(jù)此一一判斷得出答案.

5．【答案】D

【知識點】列表法與樹狀圖法；概率公式

【解析】【解答】解：用1、2、3分別表示“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題，畫樹狀圖為：

由樹狀圖可知：共有9種等可能的結果，其中他們同時選中主題“海州礦精神”的結果數(shù)為1，

所以他們同時選中主題“海州礦精神”的概率為：.

故答案為：D.

【分析】用1、2、3分別表示“海州礦精神”、“三溝精神”、“治沙精神”三個主題，畫樹數(shù)狀圖列舉出所有9種等可能的結果，再找出他們同時選中主題“海州礦精神”的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算即可.

6．【答案】B

【知識點】解一元一次不等式

【解析】【解答】解：x+8＜4x-1，

移項，得x-4x＜-1-8，

合并同類項，得-3x＜-9，

系數(shù)化為1，得x＞3.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：移項，合并同類項，系數(shù)化為1，求解即可.

7．【答案】C

【知識點】圓周角定理

【解析】【解答】解：∵∠ACB=25°，

∴∠AOB=2∠ACB=50°，

∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角2倍可求出∠AOB=50°，進而根據(jù)∠BOC=∠AOC-∠AOB即可算出答案.

8．【答案】B

【知識點】列一元二次方程

【解析】【解答】解：設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，

由題意可得23（1-x）2=16.

故答案為：B.

【分析】此題是一道平均降低率的問題，根據(jù)公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低開始的量，x是降低率，n是降低次數(shù)，P是降低結束達到的量，根據(jù)公式即可列出方程即可.

9．【答案】B

【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

【解析】【解答】解：A、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，

∴a＞0，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸在y軸的右側，

∴a、b異號，

∴b＜0，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交y軸的負半軸，

∴c＜0，

∴abc＞0，故A選項錯誤，不符合題意；

B、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，

∴，

∴-b=2a，

∴2a+b=0，故B選項正確，符合題意；

C、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個不同的交點，

∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，故C選項錯誤，不符合題意；

D、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，且與x軸的一個交點為（3，0），

∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為（-1，0），故D選項錯誤，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的開口方向向上判斷出a＞0，由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸在y軸右側，根據(jù)“左同右異”判斷出b＜0，根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交y軸的負半軸，判斷出c＜0，進而根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可判斷A選項；由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，結合對稱軸直線公式可判斷B選項；由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的于x軸的交點個數(shù)是2兩個可得b2-4ac＞0，據(jù)此可判斷C選項；根據(jù)拋物線的對稱性判斷出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為（-1，0），據(jù)此可判斷D選項.

10．【答案】A

【知識點】坐標與圖形性質；探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：由圖可得C1（0，1），C2（1，0），C3（-1，-2），C4（-4，0），C5（0，5），C6（5，0），C7（-1，-5），……，

點C的位置每4個一循環(huán)，

而2023÷4=505……3，

∴C2023在第三象限，與C3，C7，C11，……符合規(guī)律（-1，-n+1），

∴C2023的坐標為（-1，-2022）.

故答案為：A.

【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)點C的位置每4個一循環(huán)，由坐標系讀出前幾個點的坐標，就會發(fā)現(xiàn)C2023在第三象限，與C3，C7，C11，……符合規(guī)律（-1，-n+1），將n=2023代入可得答案.

11．【答案】3

【知識點】實數(shù)的運算

【解析】【解答】解：.

故答案為：3.

【分析】先根據(jù)立方根的定義及零指數(shù)冪的性質“任何一個不為0的數(shù)的零次冪都等于1”分別計算，再計算有理數(shù)的加法即可.

12．【答案】50°

【知識點】平行線的性質；三角形內(nèi)角和定理

【解析】【解答】解：如圖，

∵∠A=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°，

又∵∠ABD=20°，

∴∠1=∠ABC-∠ABD=40°，

∵a∥b，

∴∠2=∠1=40°，

∴=180°-∠2-∠ACB=180°-90°-40°=50°.

故答案為：50°.

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理算出∠ABC=60°，由角的和差算出∠1=40°，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠2=40°，最后根據(jù)平角定義算出答案.

13．【答案】4：9

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF是關于點O的位似圖形，△ABC與△DEF的位似比為：2：3，

∴△ABC與△DEF的相似比為：2：3，

∴△ABC與△DEF的面積比為：4：9．

故答案為：4：9．

【分析】由△ABC與△DEF是關于點O的位似圖形，且位似比為2：3，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABC與△DEF的面積比．

14．【答案】5

【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【解析】【解答】解：如圖，

解，

得或，

∴，，

∵AC⊥x軸，垂足為C，

∴，

∴，

∴S△ABC=.

故答案為：5.

【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式組成方程組求解可得點A、B的坐標，根據(jù)點的坐標與圖形性質可得點C的坐標，以AC為底，高為A、B兩點間的水平距離，三角形面積計算公式可算出答案.

15．【答案】

【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；勾股定理；矩形的性質；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：如圖，過點H作HM⊥AC于點M，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，DC=AB=6，

在Rt△ADC中，由勾股定理得，

由題意得AH是∠DAC的角平分線，∵∠D=90°，HM⊥AC，

∴DH=HM，

∵S△ADC=S△ADH+S△AHC，

∴，

∴AD×DC=AD×DH+AC×DH，即6×8=8DH+10DH，

∴DH=.

故答案為：.

【分析】過點H作HM⊥AC于點M，由矩形性質得∠D=90°，DC=AB=6，在Rt△ADC中，由勾股定理算出AC的長，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得DH=HM，進而根據(jù)S△ADC=S△ADH+S△AHC建立方程可求出DH的長.

16．【答案】4

【知識點】通過函數(shù)圖象獲取信息并解決問題；用圖象表示變量間的關系

【解析】【解答】解：由圖象可得開跑0.25小時后甲乙兩人相距1千米，

∴甲的速度比乙的速度快4千米/小時，

設乙的速度為x千米/小時，則甲的速度為（x+4）千米/小時，由圖象可得開跑0.625小時后，甲乙相遇了，

∴0.625×（x+x+4）=10，

解得x=6，

∴甲的速度為6+4=10千米/小時，

所以甲跑完全程需要的時間為10÷10=1小時，

當甲到達終點時，乙距離終點的距離為：10-6×1=4千米.

故答案為：4.

【分析】由圖象可得甲的速度比乙的速度快4千米/小時，設乙的速度為x千米/小時，則甲的速度為（x+4）千米/小時，由圖象可得開跑0.625小時后，甲乙相遇了，根據(jù)相遇問題列出方程求解可得乙的速度，進而算出甲的速度及甲跑完全程所用的時間，從而即可算出當甲到達終點時，乙距離終點的距離.

17．【答案】解：

，

當時，原式．

【知識點】分式的化簡求值

【解析】【分析】先通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，同時將除式的分子、分母分別分解因式，并根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法轉變?yōu)槌朔ǎ缓蠹s分化成最簡形式，最后將a的值代入化簡結果進行分母有理化可得答案.

18．【答案】（1）

（2）解：①4；

②根據(jù)表格描點再連接起來，如圖所示，

；

（3）解：①；

②當時，

，

當時，，

當時，，

當時，，

描點如圖所示，

；

（4）當時，時，y隨x增大而增大；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而減小；當時，時，y隨x增大而增大

【知識點】一次函數(shù)的性質；描點法畫函數(shù)圖象

【解析】【解答】解：（1）y=|x|，當x＜0時，函數(shù)化簡為y=-x，

故答案為：-x；

（2）①當x=-1時，y=2|x-1|=2|-1-1|=2|-2|=2×2=4，

∴m=4；

故答案為：4；

（3）①當x≥1時，y=-2|x-1|+2=-2（x-1）+2=-2x+4，

故答案為：-2x+4；

（4）當時，時，y隨x增大而增大；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而增大.

故答案為：當時，時，y隨x增大而增大；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而減?。划敃r，時，y隨x增大而增大.

【分析】（1）根據(jù)一個負數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)化簡即可；

（2）①將x=-1代入解析式y(tǒng)=2|x-1|計算出對應的y的值，從而得出m的值；

②根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

（3）①當x≥1時，x-1≥0，從而根據(jù)一個非負數(shù)的絕對值等于其本身化簡，進而再去括號，合并同類項即可；

②當x＜1時，x-1＜0，根據(jù)一個負數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)化簡，進而再去括號，合并同類項化為最簡形式，然后算出x=1，x=0，x=2時，對應的函數(shù)值，再利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

（4）開放性命題，答案不唯一，根據(jù)圖象，由增減性或最值等方面作答即可.

19．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，

∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，即，

∴是的切線；

（2）解：連接OC，過點O作OF⊥BC于點F，

∵，

∴．

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，．

∵，，，

∴．

∴．

【知識點】等邊三角形的判定與性質；切線的判定；扇形面積的計算；解直角三角形

【解析】【分析】（1）由等邊對等角及角平分線定義推出∠EBD=∠ODB，由三角形的內(nèi)角和定理及等量代換得∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，即OD⊥DE，從而根據(jù)切線的判定方法可得結論；

（2）連接OC，過點O作OF⊥BC于點F，易得△OBC是等邊三角形，則∠BOC=60°，再由∠OBC的正弦函數(shù)可求出OF的長，然后根據(jù)扇形面積計算公式及三角形面積計算公式，由列式計算即可.

20．【答案】（1）50

（2）解：喜愛蛋黃粽子人數(shù)：（人），

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（3）解：（人），

答：喜愛A（肉粽子）的居民約有400人．

【知識點】用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖

【解析】【解答】解：（1）參加此次問卷調查的居民人數(shù)為：20÷40％=50（人）；

故答案為：50；

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，用喜愛“紅棗粽子”的人數(shù)除以其所占的百分比可求出參加此次問卷調查的居民人數(shù)；

（2）用參加此次問卷調查的居民人數(shù)分別減去喜愛A、C、D三類口味粽子的人數(shù)可求出喜愛B類口味粽子的人數(shù)，據(jù)此可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）用該小區(qū)居民的總人數(shù)乘以樣本中喜愛A類口味粽子人數(shù)所占的百分比可估算出該小區(qū)居民喜愛A類口味粽子的人數(shù).

21．【答案】（1）解：過點A作AE⊥CD于點E，

根據(jù)題意可得：，

∴，

∴，

∵，，

∴，即，

解得：，

答：兩樓之間的距離約為；

（2）解：根據(jù)題意可得：，

∴四邊形ABDE為矩形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

答：大廈的高度CD為．

【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題

【解析】【分析】（1）過點A作AE⊥CD于點E，由同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行得AE∥BD，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠ADB=37°，然后利用∠ADB的正切函數(shù)可求出BD的長；

（2）易得四邊形ABDE為矩形，則AE=BD=61.3m，AB=DE=46m，由等腰直角三角形性質得AE=CE=61.3m，最后根據(jù)CD=CE+DE可算出CD的長，從而得出答案.

22．【答案】（1）解：設足球的單價是x元，則排球的單價是（x-15）元，

依題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，

∴．

答：足球的單價是80元，排球的單價是65元；

（2）解：設學?？梢再徺Im個足球，則可以購買（100-m）個排球，

依題意得：，

解得：．

又∵m為正整數(shù)，

∴m可以取的最大值為70．

答：學校最多可以購買70個足球．

【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用

【解析】【分析】（1）設足球的單價是x元，則排球的單價是（x-15）元，根據(jù)總價除以單價等于數(shù)量及用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同建立方程，求解并檢驗可得答案；

（2）設學?？梢再徺Im個足球，則可以購買（100-m）個排球，由購買m個足球的費用+購買（100-m）個排球的費用不超過7550元建立不等式，求出該不等式的最大整數(shù)解即可.

23．【答案】（1）解：①∵四邊形ABCD是正方形，

∴，，

由題意得，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

證明：②連接BE，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴；

（2）解：過點G作AD的垂直，交直線AD于點H，連接AC、BD相交于點O，連接OG，

由（1）得是等腰直角三角形，又點G為斜邊EF的中點，

∴，即，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，

∴，

∴點G在以點O為圓心，OB為半徑的一段弧上，

當點H、O、G在同一直線上時，GH有最大值，則△ADG面積的最大值，

∴，

∴面積的最大值為．

【知識點】四邊形的綜合

【解析】【分析】（1）①由正方形的性質得AB=BC=CD=DA，∠ADC=∠BCD=∠DAB=90°，由等邊對等角及三角形的內(nèi)角和定理可得∠CDE=∠CED=90°-，進而利用角的和差可得∠ADF=，再由等邊對等角得∠AFD=∠ADF=，最后再由三角形的內(nèi)角和定理及角的和差可用表示出∠BAF的度數(shù)；

②連接BE，根據(jù)角的和差可得∠BCE=∠BAF=90°-，由正方形的性質、旋轉的性質及已知得CD=CE=AD=AF=BC，從而用SAS判斷出△BCE≌△BAF，由全等三角形的性質得BF=BE，∠ABF=∠CBE，進而根據(jù)等式的性質及正方形的性質可推出∠EBF=90°，則△EBF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質得出結論；

（2）過點G作AD的垂直，交直線AD于點H，連接AC、BD相交于點O，連接OG，由等腰直角三角形的性質得BG⊥EF，由正方形的性質及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得OB=OD=OG，點G在以點O為圓心，OB為半徑的一段弧上，由圓中最長的弦是直徑得當點H、O、G在同一直線上時，GH有最大值，則△ADG面積的最大值，從而就不難求出答案了.

24．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)y=-x2+bx-c的圖象與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），

∴；

（2）解：如圖1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，

令y=-x2-2x+3中的x=0可得y=3，

∴C（0，3），

又∵A（-3，0）

∴，

∵，

，

，

拋物線的對稱軸是直線：，

，

，

，

，

故只需△MCD的邊CD上的高最大時，△MCD的面積最大，

設過點M與AC平行的直線的解析式為：y=x+m，

當直線y=x+m，與拋物線相切時，△MCD的面積最大，

由得，

，

由△得，

得，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：如圖2，

當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R，

點B和點Q關于CQ對稱，

，

設，

由得，，

，（舍去），

，

∵，

，

，

四邊形BCPQ是平行四邊形，

，，

∴；

如圖3，

當點P在AC的延長線上時，由上可知：，

同理可得：，

綜上所述：或．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的判定與性質；等腰直角三角形；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用；直角坐標系內(nèi)兩點的距離公式

【解析】【分析】（1）由于此題告訴了拋物線與x軸兩交點的坐標，故直接利用交點式可求出拋物線的解析式；

（2）作MG⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，首先求出點C的坐標，由點A、C的坐標易得OA=OC=3，從而由等腰直角三角形性質及對頂角相等可得∠MEQ=45°，利用拋物線的對稱軸直線公式求出對稱軸直線為x=-1，將x=-1代入直線AC的解析式算出對應的函數(shù)值可求出點D的坐標，進而利用兩點間的距離公式算出CD的長；故只需△MCD的邊CD上的高最大時，△MCD的面積最大，設過點M與AC平行的直線的解析式為：y=x+m，當直線y=x+m，與拋物線相切時，△MCD的面積最大，聯(lián)立直線y=x+m與拋物線的解析式得x+m=-x2-2x+3，由兩函數(shù)圖象相切可得該方程有兩相等的實數(shù)根，故根的判別式△=0，據(jù)此建立方程可求出m的值，從而可求出方程x+m=-x2-2x+3的實數(shù)根為x=，將x=分別代入兩函數(shù)解析式算出對應的函數(shù)值即可求出ME的長，再由∠MEQ的正弦函數(shù)可求出MQ的值，最后根據(jù)三角形的面積計算公式可算出答案；

（3）當點P在線段AC上時，連接BP，交CQ于R，根據(jù)點的坐標與圖形的性質設P（t，t+3），由對稱性可得CP=CB，據(jù)此并結合兩點間的距離公式可建立出關于t的方程，求解得出t的值，從而可得點P的坐標，由平行線分線段成比例定理可得出CR=QR，由對角線互相平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形BCPQ是平行四邊形，進而可求得點Q的坐標；當點P在AC的延長線上時，同理可求出點Q的坐標，綜上即可得出答案.

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遼寧省阜新市2023年中考真題數(shù)學試卷

一、單選題

1．（2023·東莞模擬）的相反數(shù)是（）

A．2B．C．D．

【答案】A

【知識點】相反數(shù)及有理數(shù)的相反數(shù)

【解析】【解答】解：的相反數(shù)是：，

故答案為：A．

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可。

2．（2023·阜新）如圖所示的幾何體是由5個大小相同的立方塊搭成的，它的左視圖是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】簡單組合體的三視圖

【解析】【解答】解：從左邊看，第一層是兩個小正方形，第二層左邊一個小正方形，

故A、B、D三個選項錯誤，不符合題意，只有C選項正確，符合題意.

故答案為：C.

【分析】左視圖，就是從左面看得到的圖形，弄清層數(shù)及各層小正方形的個數(shù)即可.

3．（2023·阜新）在下列計算中，正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】分母有理化；特殊角的三角函數(shù)值；有理數(shù)的加法；有理數(shù)的乘法

【解析】【解答】解：A、5+（-6）=-（6-5）=-1，故此選項計算正確，符合題意；

B、，故此選項計算錯誤，不符合題意；

C、3×（-2）=-（3×2）=-6，故此選項計算錯誤，不符合題意；

D、，故此選項計算錯誤，不符合題意.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則“絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值”進行計算可判斷A選項；根據(jù)分母有理化“在式子的分子、分母同乘以分母的有理化因式”進行計算可判斷B選項；由有理數(shù)的乘法法則“異號兩數(shù)相乘，積為負，并把絕對值相乘”進行計算可判斷C選項；根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可判斷D選項.

4．（2023·阜新）某中學甲、乙兩支國旗護衛(wèi)隊的隊員身高（單位：）數(shù)據(jù)如下：

甲隊：178，177，179，179，178，178，177，178，177，179；

乙隊：178，177，177，176，178，175，177，181，180，181．

若要判斷哪支護衛(wèi)隊隊員身高更為整齊，應該比較兩組數(shù)據(jù)的（）

A．平均數(shù)B．眾數(shù)C．中位數(shù)D．方差

【答案】D

【知識點】常用統(tǒng)計量的選擇

【解析】【解答】解：若要判斷哪支護衛(wèi)隊隊員身高更為整齊，應該比較兩組數(shù)據(jù)的方差.

故答案為：D.

【分析】平均數(shù)是指一組數(shù)據(jù)之和，除以這組數(shù)的個數(shù)，平均數(shù)是反應一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量；眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)，(眾數(shù)可能有多個)，簡單的說，就是一組數(shù)據(jù)中占比最多的那個數(shù)，反應的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的量；中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)個時，則處在最中間的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)個時，則處在最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)組中，一半的數(shù)據(jù)比中位數(shù)大，另一半的數(shù)據(jù)比中位數(shù)小，中位數(shù)是一種衡量集中趨勢的量；方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好，據(jù)此一一判斷得出答案.

5．（2023·阜新）某中學舉辦“傳承紅色精神，講好阜新故事”演講比賽，共設置“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題，每位選手隨機選取一個主題參賽．如果小明和小宇都參加比賽，他們同時選中主題“海州礦精神”的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】列表法與樹狀圖法；概率公式

【解析】【解答】解：用1、2、3分別表示“海州礦精神”“三溝精神”“治沙精神”三個主題，畫樹狀圖為：

由樹狀圖可知：共有9種等可能的結果，其中他們同時選中主題“海州礦精神”的結果數(shù)為1，

所以他們同時選中主題“海州礦精神”的概率為：.

故答案為：D.

【分析】用1、2、3分別表示“海州礦精神”、“三溝精神”、“治沙精神”三個主題，畫樹數(shù)狀圖列舉出所有9種等可能的結果，再找出他們同時選中主題“海州礦精神”的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算即可.

6．（2023·阜新）不等式的解集是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】解一元一次不等式

【解析】【解答】解：x+8＜4x-1，

移項，得x-4x＜-1-8，

合并同類項，得-3x＜-9，

系數(shù)化為1，得x＞3.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)解一元一次不等式的步驟：移項，合并同類項，系數(shù)化為1，求解即可.

7．（2023·阜新）如圖，A，B，C是上的三點，若，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】圓周角定理

【解析】【解答】解：∵∠ACB=25°，

∴∠AOB=2∠ACB=50°，

∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-50°=40°.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角2倍可求出∠AOB=50°，進而根據(jù)∠BOC=∠AOC-∠AOB即可算出答案.

8．（2023·阜新）近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元．設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則所列方程正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】列一元二次方程

【解析】【解答】解：設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，

由題意可得23（1-x）2=16.

故答案為：B.

【分析】此題是一道平均降低率的問題，根據(jù)公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低開始的量，x是降低率，n是降低次數(shù)，P是降低結束達到的量，根據(jù)公式即可列出方程即可.

9．（2023·阜新）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為，對稱軸是直線，下列結論正確的是（）

A．B．

C．D．點在函數(shù)圖象上

【答案】B

【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

【解析】【解答】解：A、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，

∴a＞0，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸在y軸的右側，

∴a、b異號，

∴b＜0，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交y軸的負半軸，

∴c＜0，

∴abc＞0，故A選項錯誤，不符合題意；

B、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，

∴，

∴-b=2a，

∴2a+b=0，故B選項正確，符合題意；

C、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個不同的交點，

∴b2-4ac＞0，即4ac＜b2，故C選項錯誤，不符合題意；

D、∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，且與x軸的一個交點為（3，0），

∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為（-1，0），故D選項錯誤，不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的開口方向向上判斷出a＞0，由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸在y軸右側，根據(jù)“左同右異”判斷出b＜0，根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交y軸的負半軸，判斷出c＜0，進而根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可判斷A選項；由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，結合對稱軸直線公式可判斷B選項；由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的于x軸的交點個數(shù)是2兩個可得b2-4ac＞0，據(jù)此可判斷C選項；根據(jù)拋物線的對稱性判斷出二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為（-1，0），據(jù)此可判斷D選項.

10．（2023·阜新）如圖，四邊形是正方形，曲線叫作“正方形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，循環(huán)．當時，點的坐標是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知識點】坐標與圖形性質；探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：由圖可得C1（0，1），C2（1，0），C3（-1，-2），C4（-4，0），C5（0，5），C6（5，0），C7（-1，-5），……，

點C的位置每4個一循環(huán)，

而2023÷4=505……3，

∴C2023在第三象限，與C3，C7，C11，……符合規(guī)律（-1，-n+1），

∴C2023的坐標為（-1，-2022）.

故答案為：A.

【分析】觀察圖形，發(fā)現(xiàn)點C的位置每4個一循環(huán)，由坐標系讀出前幾個點的坐標，就會發(fā)現(xiàn)C2023在第三象限，與C3，C7，C11，……符合規(guī)律（-1，-n+1），將n=2023代入可得答案.

二、填空題

11．（2023·阜新）計算：．

【答案】3

【知識點】實數(shù)的運算

【解析】【解答】解：.

故答案為：3.

【分析】先根據(jù)立方根的定義及零指數(shù)冪的性質“任何一個不為0的數(shù)的零次冪都等于1”分別計算，再計算有理數(shù)的加法即可.

12．（2023·阜新）將一個三角尺按如圖所示的位置擺放，直線，若，則的度數(shù)是．

【答案】50°

【知識點】平行線的性質；三角形內(nèi)角和定理

【解析】【解答】解：如圖，

∵∠A=30°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=60°，

又∵∠ABD=20°，

∴∠1=∠ABC-∠ABD=40°，

∵a∥b，

∴∠2=∠1=40°，

∴=180°-∠2-∠ACB=180°-90°-40°=50°.

故答案為：50°.

【分析】由三角形的內(nèi)角和定理算出∠ABC=60°，由角的和差算出∠1=40°，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠2=40°，最后根據(jù)平角定義算出答案.

13．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2：3，則△ABC與△DEF的面積比為

【答案】4：9

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：∵△ABC與△DEF是關于點O的位似圖形，△ABC與△DEF的位似比為：2：3，

∴△ABC與△DEF的相似比為：2：3，

∴△ABC與△DEF的面積比為：4：9．

故答案為：4：9．

【分析】由△ABC與△DEF是關于點O的位似圖形，且位似比為2：3，又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABC與△DEF的面積比．

14．（2023·阜新）正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，過點A作軸，垂足為點C，連接，則的面積是．

【答案】5

【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

【解析】【解答】解：如圖，

解，

得或，

∴，，

∵AC⊥x軸，垂足為C，

∴，

∴，

∴S△ABC=.

故答案為：5.

【分析】聯(lián)立兩函數(shù)解析式組成方程組求解可得點A、B的坐標，根據(jù)點的坐標與圖形性質可得點C的坐標，以AC為底，高為A、B兩點間的水平距離，三角形面積計算公式可算出答案.

15．（2023·阜新）如圖，在矩形中，．連接，在和上分別截取，使．分別以點E和點F為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G．作射線交于點H，則線段的長是．

【答案】

【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；勾股定理；矩形的性質；作圖-角的平分線

【解析】【解答】解：如圖，過點H作HM⊥AC于點M，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，DC=AB=6，

在Rt△ADC中，由勾股定理得，

由題意得AH是∠DAC的角平分線，∵∠D=90°，HM⊥AC，

∴DH=HM，

∵S△ADC=S△ADH+S△AHC，

∴，

∴AD×DC=AD×DH+AC×DH，即6×8=8DH+10DH，

∴DH=.

故答案為：.

【分析】過點H作HM⊥AC于點M，由矩形性質得∠D=90°，DC=AB=6，在Rt△ADC中，由勾股定理算出AC的長，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得DH=HM，進而根據(jù)S△ADC=S△ADH+S△AHC建立方程可求出DH的長.

16．（2023·阜新）德力格爾草原位于彰武縣境內(nèi)，以草場資源豐富，景色優(yōu)美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內(nèi)外選手參加．甲、乙兩名選手同時參加了往返（單程）的業(yè)余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時間（h）之間的函數(shù)關系如圖所示，那么當甲到達終點時，乙距離終點．

【答案】4

【知識點】通過函數(shù)圖象獲取信息并解決問題；用圖象表示變量間的關系

【解析】【解答】解：由圖象可得開跑0.25小時后甲乙兩人相距1千米，

∴甲的速度比乙的速度快4千米/小時，

設乙的速度為x千米/小時，則甲的速度為（x+4）千米/小時，由圖象可得開跑0.625小時后，甲乙相遇了，

∴0.625×（x+x+4）=10，

解得x=6，

∴甲的速度為6+4=10千米/小時，

所以甲跑完全程需要的時間為10÷10=1小時，

當甲到達終點時，乙距離終點的距離為：10-6×1=4千米.

故答案為：4.

【分析】由圖象可得甲的速度比乙的速度快4千米/小時，設乙的速度為x千米/小時，則甲的速度為（x+4）千米/小時，由圖象可得開跑0.625小時后，甲乙相遇了，根據(jù)相遇問題列出方程求解可得乙的速度，進而算出甲的速度及甲跑完全程所用的時間，從而即可算出當甲到達終點時，乙距離終點的距離.

三、解答題

17．（2023·阜新）先化簡，再求值：，其中．

【答案】解：

，

當時，原式．

【知識點】分式的化簡求值

【解析】【分析】先通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，同時將除式的分子、分母分別分解因式，并根據(jù)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法轉變?yōu)槌朔?，然后約分化成最簡形式，最后將a的值代入化簡結果進行分母有理化可得答案.

18．（2023·阜新）某中學數(shù)學興趣小組的同學們，對函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的性質進行了初步探究，部分過程如下，請你將其補充完整．

（1）當，時，即，當時，函數(shù)化簡為；當時，函數(shù)化簡為．

（2）當，，時，即．

①該函數(shù)自變量x和函數(shù)值y的若干組對應值如下表：

…01234…

…620246…

其中▲．

②在圖1所示的平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．

（3）當時，即．

①當時，函數(shù)化簡為▲．

②在圖2所示的平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．

（4）請寫出函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的一條性質：．（若所列性質多于一條，則僅以第一條為準）

【答案】（1）

（2）解：①4；

②根據(jù)表格描點再連接起來，如圖所示，

；

（3）解：①；

②當時，

，

當時，，

當時，，

當時，，

描點如圖所示，

；

（4）當時，時，y隨x增大而增大；當時，時，y隨x增大而減小；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而增大

【知識點】一次函數(shù)的性質；描點法畫函數(shù)圖象

【解析】【解答】解：（1）y=|x|，當x＜0時，函數(shù)化簡為y=-x，

故答案為：-x；

（2）①當x=-1時，y=2|x-1|=2|-1-1|=2|-2|=2×2=4，

∴m=4；

故答案為：4；

（3）①當x≥1時，y=-2|x-1|+2=-2（x-1）+2=-2x+4，

故答案為：-2x+4；

（4）當時，時，y隨x增大而增大；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而增大.

故答案為：當時，時，y隨x增大而增大；當時，時，y隨x增大而減小；當時，時，y隨x增大而減??；當時，時，y隨x增大而增大.

【分析】（1）根據(jù)一個負數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)化簡即可；

（2）①將x=-1代入解析式y(tǒng)=2|x-1|計算出對應的y的值，從而得出m的值；

②根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

（3）①當x≥1時，x-1≥0，從而根據(jù)一個非負數(shù)的絕對值等于其本身化簡，進而再去括號，合并同類項即可；

②當x＜1時，x-1＜0，根據(jù)一個負數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)化簡，進而再去括號，合并同類項化為最簡形式，然后算出x=1，x=0，x=2時，對應的函數(shù)值，再利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

（4）開放性命題，答案不唯一，根據(jù)圖象，由增減性或最值等方面作答即可.

19．（2023·阜新）如圖，是的直徑，點C，D是上異側的兩點，，交的延長線于點E，且平分．

（1）求證：是的切線．

（2）若，，求圖中陰影部分的面積．

【答案】（1）證明：如圖，連接OD，

∵，

∴．

∵平分，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴，即，

∴是的切線；

（2）解：連接OC，過點O作OF⊥BC于點F，

∵，

∴．

∵，，

∴為等邊三角形，

∴，．

∵，，，

∴．

∴．

【知識點】等邊三角形的判定與性質；切線的判定；扇形面積的計算；解直角三角形

【解析】【分析】（1）由等邊對等角及角平分線定義推出∠EBD=∠ODB，由三角形的內(nèi)角和定理及等量代換得∠ODE=∠ODB+∠BDE=90°，即OD⊥DE，從而根據(jù)切線的判定方法可得結論；

（2）連接OC，過點O作OF⊥BC于點F，易得△OBC是等邊三角形，則∠BOC=60°，再由∠OBC的正弦函數(shù)可求出OF的長，然后根據(jù)扇形面積計算公式及三角形面積計算公式，由列式計算即可.

20．（2023·阜新）端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，節(jié)日里吃粽子是傳統(tǒng)習俗．為了了解附近居民對A（肉粽子），B（蛋黃粽子）．C（紅棗粽子），D（葡萄干粽子）四種口味粽子的喜愛情況，某商場隨機抽取了某小區(qū)的部分居民進行問卷調查（每人只能選一種口味），并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）參加此次問卷調查的居民共有人．

（2）通過計算將條形統(tǒng)計圖補充完整．

（3）若該小區(qū)共有2000名居民，請估計喜愛A（肉粽子）的居民約有多少人．

【答案】（1）50

（2）解：喜愛蛋黃粽子人數(shù)：（人），

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（3）解：（人），

答：喜愛A（肉粽子）的居民約有400人．

【知識點】用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖

【解析】【解答】解：（1）參加此次問卷調查的居民人數(shù)為：20÷40％=50（人）；

故答案為：50；

【分析】（1）根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，用喜愛“紅棗粽子”的人數(shù)除以其所占的百分比可求出參加此次問卷調查的居民人數(shù)；

（2）用參加此次問卷調查的居民人數(shù)分別減去喜愛A、C、D三類口味粽子的人數(shù)可求出喜愛B類口味粽子的人數(shù)，據(jù)此可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）用該小區(qū)居民的總人數(shù)乘以樣本中喜愛A類口味粽子人數(shù)所占的百分比可估算出該小區(qū)居民喜愛A類口味粽子的人數(shù).

21．（2023·阜新）如圖，小穎家所在居民樓高為，從樓頂A處測得另一座大廈頂部C的仰角是，而大廈底部D的俯角是．

（1）求兩樓之間的距離．

（2）求大廈的高度．

（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】（1）解：過點A作AE⊥CD于點E，

根據(jù)題意可得：，

∴，

∴，

∵，，

∴，即，

解得：，

答：兩樓之間的距離約為；

（2）解：根據(jù)題意可得：，

∴四邊形ABDE為矩形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

答：大廈的高度CD為．

【知識點】解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題

【解析】【分析】（1）過點A作AE⊥CD于點E，由同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行得AE∥BD，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠ADB=37°，然后利用∠ADB的正切函數(shù)可求出BD的長；

（2）易得四邊形ABDE為矩形，則AE=BD=61.3m，AB=DE=46m，由等腰直角三角形性質得AE=CE=61.3m，最后根據(jù)CD=CE+DE可算出CD的長，從而得出答案.

22．（2023·阜新）為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元．

（1）求：足球和排球的單價各是多少元？

（2）根據(jù)學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多可以購買多少個足球？

【答案】（1）解：設足球的單價是x元，則排球的單價是（x-15）元，

依題意得：，

解得：，

經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，

∴．

答：足球的單價是80元，排球的單價是65元；

（2）解：設學校可以購買m個足球，則可以購買（100-m）個排球，

依題意得：，

解得：．

又∵m為正整數(shù)，

∴m可以取的最大值為70．

答：學校最多可以購買70個足球．

【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用

【解析】【分析】（1）設足球的單價是x元，則排球的單價是（x-15）元，根據(jù)總價除以單價等于數(shù)量及用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同建立方程，求解并檢驗可得答案；

（2）設學校可以購買m個足球，則可以購買（100-m）個排球，由購買m個足球的費用+購買（100-m）個排球的費用不超過7550元建立不等式，求出該不等式的最大整數(shù)解即可.

23．（2023·阜新）如圖，在正方形中，線段繞點C逆時針旋轉到處，旋轉角為，點F在直線上，且，連接