第6章6 2 2課時(shí)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用

第6章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)6.2

指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用第2課時(shí)成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期會(huì)用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決相關(guān)的問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．能應(yīng)用指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)解決實(shí)際應(yīng)用題．(難點(diǎn))1．能掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，1．借助指數(shù)函數(shù)的定義域、值域的求法，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．2．通過指數(shù)函數(shù)研究實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．01必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

指數(shù)型函數(shù)形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函數(shù)是一種指數(shù)型函數(shù)，這是一種非常有用的函數(shù)模型．設(shè)原有量為N，每次的增長(zhǎng)率為p，經(jīng)過x次增長(zhǎng)，該量增長(zhǎng)到．y，則y＝

N(1＋p)x(x∈N)[一個(gè)月后a(1＋p)，二個(gè)月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋a(1＋p)20p)2，…，今年9

月1

日還款時(shí)共20

個(gè)月，則連本帶利共需要還款金額為a(1＋p)20

萬元．]02關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難類型1

類型2類型3類型4[解]

由

x－4≠0，得

x≠4，故y＝21x－4的定義域?yàn)閧x|x≠4}．又

1

x－4

1

≠0，即2x－4≠1，

1

故y＝2x－4的值域?yàn)閧y|y>0，且y≠1}．(2)y＝

1－2x；[解]

由

1－2x≥0，得

2x≤1，∴x≤0，∴y＝

1－2x的定義域?yàn)?－∞，0]．由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，∴y＝

1－2x的值域?yàn)閇0,1)．(3)y＝

1

2

2x

－2x－3；[解]

y＝

1

2

2x

－2x－3的定義域?yàn)镽．∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，

∴

1

2

2x

－2x－3

≤

1

2

－4＝16．又∵

1

2

2x

－2x－3>0，故函數(shù)y＝

1

2

2x

－2x－3的值域?yàn)?0,16]．(4)y＝4x＋2x＋2－3．[解]

函數(shù)

y＝4x＋2x＋2－3

的定義域?yàn)?/p>

R．設(shè)t＝2x，則t>0．所以y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7，t>0．因?yàn)楹瘮?shù)y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在(0，＋∞)為增函數(shù)，所以y>－3，即函數(shù)的值域?yàn)?－3，＋∞)．[母題探究]1．若將本例(2)中函數(shù)換為y＝

1

3

x

－1，求其定義域．[解]由

3

－1≥0

得

3

1

x

1

x

≥

3

1

0

，∴x≤0，即函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0]．2．若將本例(4)增加條件“0≤x≤2”，再求函數(shù)的值域．[解]由于x∈[0,2]，則2x＝t∈[1,4]，∴y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－

7，t∈[1,4]，∵函數(shù)y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7

在[1,4]為增函數(shù)，故

y∈[2,29]．1．對(duì)于y＝af(x)這類函數(shù)定義域是指使f(x)有意義的x

的取值范圍．值域問題，應(yīng)分以下兩步求解：①由定義域求出u＝f(x)的值域；②利用指數(shù)函數(shù)y＝au

的單調(diào)性或利用圖象求得函數(shù)的值域．2．對(duì)于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)這類函數(shù)值域問題，利用換元法，借助二次函數(shù)求解．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)函數(shù)

f(x)＝

1－2x＋1x＋3的定義域?yàn)椋?－3,0]

[由

1－2x≥0，

x＋3>0，得－3<x≤0．所以函數(shù)的定義域是(－3,0]．](2)求函數(shù)y＝4－x－21－x＋1

在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．[解]

y＝4－x－21－x＋1＝

1

2

2x－2·

2

＋1＝

1

x

1

2

2

x－1

，∵x∈[－3,2]，

∴

∈

1

x

1

2

4，8

，

1

x

1

2

4

令

t＝

，得

y＝(t－1)2，其中

t∈

，8

，∴y∈[0,49]，即最大值為49，最小值為0．[思路點(diǎn)撥]

本題考查有關(guān)增長(zhǎng)率的問題，若設(shè)原來人口總數(shù)為N，年平均增長(zhǎng)率為p，則對(duì)于x

年后的人口總數(shù)y，可以用y＝N(1＋p)x

表示．[解]

(1)1

年后城市人口總數(shù)為：y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)，2

年后城市人口總數(shù)為：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2，同理3

年后城市人口總數(shù)為y＝100(1＋1.2%)3，…故x

年后的城市人口總數(shù)為y＝100(1＋1.2%)x．(2)10

年后該城市人口總數(shù)為：y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127≈113(萬人)．故10

年后該城市人口總數(shù)約為113

萬人．解決實(shí)際應(yīng)用題的步驟領(lǐng)會(huì)題意，并把題中的普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言；根據(jù)題目要求，分析量與量之間的關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并注意對(duì)變量的限制條件，加以概括； 對(duì)已經(jīng)“數(shù)學(xué)化”的問題用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)處理，求出解；

(4)檢驗(yàn)，將數(shù)學(xué)問題的解代入實(shí)際問題檢查，舍去不符合題意的解，并作答.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360

千克，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長(zhǎng)1.2%，糧食總產(chǎn)量平均每年增長(zhǎng)4%，那么x年后若人均一年占有y

千克糧食，求出y

關(guān)于x

的函數(shù)解析式．[解]

設(shè)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人口數(shù)量為

M，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在一年的糧食總產(chǎn)量為360M

千克．經(jīng)過

1

年后，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產(chǎn)量為

360M(1＋4%)千克，人口數(shù)量為

M(1＋1.2%)．360M(1＋4%)則人均占有糧食為M(1＋1.2%)千克，經(jīng)過2

年后，人均占有糧食為360M(1＋4%)2M(1＋1.2%)2

千克，…經(jīng)過x

年后，人均占有糧食為360M(1＋4%)xy＝

M(1＋1.2%)x

千克，

即所求函數(shù)解析式為y＝360

1.04

1.012

x(x∈N*)．[思路點(diǎn)撥]

(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，求出

a，b．(2)利用單調(diào)性和奇偶性去掉“f”解不等式求k

的范圍．(3)利用(2)中單調(diào)性求f(x)的值域．[解]

(1)∵函數(shù)

y＝f(x)是定義域

R

上的奇函數(shù)，∴

f(0)＝0，

f(－1)＝－f(1)，

∴

－1＋b

2＋a＝0，－1

－2

＋b20＋a1－2

＋b＝－

22＋a

，∴b＝1，a＝2．(2)由(1)知f(x)＝1－2xx2(2

＋1)2＝－

＋1

1x2

＋1，設(shè)x1，x2∈R

且x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝112x1－2x22x2＋1

2x1＋1

(2x2＋1)(2x1＋1)—

＝

<0，∴f(x)在定義域R

上為減函數(shù)，由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0

恒成立，可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2t>k－2t2，∴3t2－2t－k>0

恒成立，1∴Δ＝(－2)2＋12k<0，解得k<－3，

∴k

的取值范圍為

－∞，－1

3

．(3)由(2)知f(x)在R

上為減函數(shù)，∴f(x)在[－1,2]上為減函數(shù)，max∴f(x)

＝f(－1)＝－2＋1＋21

1

11＝6，f(x)min＝f(2)

1＋

1

＝－＝－2

4＋13

，10

∴f(x)在[－1,2]上的值域?yàn)?/p>

－

3

10，1

6

．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合應(yīng)用問題往往涉及到指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、最值(值域)等問題，求解時(shí)可充分借助已學(xué)的知識(shí)逐項(xiàng)求解.[跟進(jìn)訓(xùn)練]4xa3．設(shè)a>0，函數(shù)f(x)＝

a

＋4x是定義域?yàn)镽

的偶函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)a

的值；[解]

由

f(x)＝f(－x)，4x4－xa

a得a

＋4x＝

a

＋4－x，

a

即

4x

－a

＋4x

1

1

1

a

a－

＝0，

所以

4x－

x

1

14

a

－a

＝0，1根據(jù)題意，可得a－a＝0，又a>0，所以a＝1．(2)證明：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．于是知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

3

1

xy＝

與y＝x2－2x的單調(diào)性分別如何？

3

1

x[提示]

y＝

在R上是減函數(shù)．y＝x2－2x在(－∞，1]上是減函數(shù)，在[1，＋∞)上是增函數(shù)．[解]

令u＝x2－2x，則原函數(shù)變?yōu)閥＝

3

1

u．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是減函數(shù)，在[1，＋∞)上是增函數(shù)，又∵y＝

3

1

u在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，∴y＝

1

3

2x

－2x在(－∞，1]上是增函數(shù)，在[1，＋∞)上是減函數(shù)．∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝

3

1

u，u∈[－1，＋∞)，∴0<

3

1

u

≤

3

1

－1＝3，∴原函數(shù)的值域?yàn)?0,3]．關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．其單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性．求這種指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性，其規(guī)則是“同增異減”．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．函數(shù)y＝3

x－x2的減區(qū)間是

，值域?yàn)?/p>

．

1

2，1

[1，

3]

[由

x－x2≥0

得函數(shù)y＝3x－x2的定義域?yàn)?≤x≤1，令

y＝3u，u＝

x－x2，

1

2

因?yàn)?/p>

y＝3u

在

R

上是增函數(shù)，

u＝

x－x2在

，1

上是減函數(shù)，

1

2

所以函數(shù)

y＝3

x－x2的減區(qū)間是

，1

，14

－

x－

2

1

2

1

2

∈

0，

，所以函數(shù)y又

0≤x≤1

時(shí)，u＝

x－x2＝＝3

x－x2的值域?yàn)閇1，3]．]學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)031．函數(shù)f(x)＝1－3x＋1x＋5的定義域?yàn)?)A．(－5,0)C．(－5,0]B．[－5,0)D．[－5,0]C

[令

1－3x≥0，

x＋5>0，∴－5<x≤0．]2．已知函數(shù)f(x)＝

2

1

|x|，則f(x)的值域?yàn)?)A．(0,1]C．(0，＋∞)B．(1,2]D．(－∞，0)A

[因?yàn)閒(x)＝

1

2

|x|

＝

2

1

x

，x≥0，

1

2

－x，x<0所以其圖象由y＝

1

2

x(x≥0和y＝2x(x<0)的圖象合并而成．3．函數(shù)y＝32－2x2的減區(qū)間是

．[0，＋∞)

[令y＝3u，u＝2－2x2，因?yàn)閥＝3u在R上是增函數(shù)，u＝2－2x2在[0，＋∞)上是減函數(shù)，所以y＝32－2x2的減區(qū)間是[0，＋∞)．]4．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入．若該公司2018年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)