2018小學(xué)六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解第6課最大與最小問題試題附答案

笫六講最大與最小問題先看一個(gè)簡單的問題；媽媽讓小明給客人燒水沏茶?洗開水壺要期1分鐘，燒開水要用15分種，洗茶壺要托1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘’小明估算了一下，完成這些工作要花浙分鐘.為了使客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？這個(gè)題目，取材于華羅庚教授1965年發(fā)表的《統(tǒng)籌方法平話》.開水壺不洗，不能燒開水，因而洗開水壺是燒開水的先決條件，沒開水*沒茶葉、不樁壺杯則不能泡茶，這些又是泡茶的先決條件?因此找們可以列出它們的相互關(guān)系圖從上圖中很容易看岀，最省時(shí)間的辦法是；先洗開水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，在等待水開的過程中，可以完成洗茶壺、洗茶杯、拿荼葉，水開了就沏茶，這祥僅用16分鐘就能沏茶了，這是沒有“窩工"的最臺(tái)理的安排，坤最少的時(shí)間完成了工作.像這樣，研究某種量（或幾科量）在一定條件下取得最大值或最小值的問題，我們稱為最大與最小問題.在日常生活、科學(xué)研究和注產(chǎn)實(shí)踐中，存在大量的最大與最小問題.姒把一些物資從一個(gè)地方運(yùn)到另一個(gè)地方，怎樣運(yùn)才能使路程盡可能甄運(yùn)費(fèi)最??；一項(xiàng)〔或多項(xiàng)）工作*如何安排調(diào)配.才能使工期最無效率最高等等，都是最大與最小問題?這里貫穿了一種統(tǒng)籌的數(shù)學(xué)思想-最優(yōu)化原則?概括起來就是：要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間的前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最隹效杲.這一原則在生產(chǎn)*科學(xué)研究及日常生活中有廣泛的應(yīng)用-一、數(shù)*式.方程（組）中的最大最小問題例1把14拆成幾個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？例2已知廠寂=心其中》q為質(zhì)數(shù)且均小于1000,x是奇數(shù)，那么m的最大值是 ?例3己知關(guān)于x的方程|--a=y+142,當(dāng)a為某些自然數(shù)時(shí)，方程的根為自然數(shù)，則最小自然數(shù)a二—.例55個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘.如果只有一個(gè)水龍頭，試問怎樣適當(dāng)安扉他們的打朮順承使所宥人如隊(duì)和打水時(shí)間的總和最小？并求岀最小值.例6—個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的逬水管，當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？例了在一條公路上，每隔100千米有一個(gè)倉庫，共5個(gè)?一號(hào)倉庫存貨10噸，二號(hào)倉庫吞貨20噸，五號(hào)倉庫存貨40噸，三、四號(hào)倉庫空著?現(xiàn)左宴把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉庫里，如果每噸貨物運(yùn)輸1千米需要0.8元運(yùn)費(fèi)，那么最少要花多少運(yùn)費(fèi)？10噸 20噸 40噸例8若干箱貨物總重19.5噸，每箱重量不超過353千克，今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要幾輛，才能把這些箱貨物一次全部運(yùn)走？例9下圖，直線1表示一條公路，乩E表示公路同一側(cè)的兩個(gè)村子，現(xiàn)在要在公嗨1上修建一個(gè)汽車站，問這個(gè)汽車站建在咖一點(diǎn)此A扌扌與B林到詵豐站的距離之和最短？例10設(shè)牧馬營地在厲每天牧馬人更趕著馬群先到河邊飲水，再到草地吃草，然后回營地-問：怎樣的放牧路程最短？答案一.數(shù).式、方程（組）中的最大最小問題例1把第拆成幾個(gè)自然數(shù)的和，再求出這些數(shù)的乘積，如何拆可以使乘積最大？分析與解答這要考慮到一些隱含著的限制條件，可以這樣思考;要使14拆成的自然數(shù)的乘積最大，所拆成貳數(shù)的個(gè)數(shù)要盡可能多，多一個(gè)可汝多乘一次，但1不應(yīng)岀現(xiàn)，因?yàn)?與任何數(shù)加積仍為原數(shù).拆岀的加數(shù)不要超過4,例如5,它還可以拆成2和3,而2X3〉5,所以加數(shù)大于4的數(shù)還要繼續(xù)拆小.由于4二2+2,又4二2X2,因此拆岀的加數(shù)中可以不岀現(xiàn)4.?拆岀的加數(shù)中2的個(gè)數(shù)不能多于兩個(gè).例如拆成三個(gè)2,不如拆成兩個(gè)3.因?yàn)槿齻€(gè)2的積為&兩個(gè)3的積為9,這就是說，應(yīng)盡可能多拆岀3.因?yàn)?4二3X4+2,所以把14拆成3、3、3、3、2時(shí)，積為3X3X3X3X2=162最大.對(duì)最大與最小問題一要注意變化規(guī)律，即弄清思路，又要注意限制條件，對(duì)于字母則要根據(jù)其特點(diǎn)逬行討論分析.例2己知p?q-l二x,其中p、q為質(zhì)數(shù)且均小于1000,x是奇數(shù)，那么x的最大值是 ?分析與解答由p-q-l=x,X為奇數(shù)可知，q?p=x+l是偶數(shù)又因?yàn)閜、q為質(zhì)數(shù)，所以P、q中必有一個(gè)為偶質(zhì)數(shù)2?不妨設(shè)p二2.為了使X盡可能大，只須取q為最大的三位質(zhì)數(shù)997.這時(shí)X達(dá)到最大值：2X997-1=1993?方程中有參數(shù)和其他條件，也可能出現(xiàn)最大或最小問題.例3己知關(guān)于啲方程^-a=y+142,當(dāng)日為某些自然數(shù)時(shí)，方程的根為自然數(shù)，則最小自然數(shù)a二—.分析與解答由原方程可得因?yàn)閍為自然數(shù)，所以〒應(yīng)為大于142的整數(shù)?又x為自然數(shù)，要3+a9-3a2，解得aC3.3所以a的最大值是3,最小值是亍二、統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的初步應(yīng)用解得(3+a解得(3+ab~9-3aC=2s,|b+c=6-a解：|-b+c=3-2a?.?Qc》0,???寧》字沁3所以a的最大值是3,最小值是亍二、統(tǒng)籌方法中教學(xué)思想方法的初步應(yīng)用在開始引例中弓用了華羅庚教授《統(tǒng)籌方法平話》中的例子，統(tǒng)籌方法是生產(chǎn)建設(shè)和企業(yè)管理中合理安排工作的一種科學(xué)方法,它對(duì)于逬行合理調(diào)度、加快工作進(jìn)展、提高工作效率、保證工作質(zhì)量是十分有效的，所用數(shù)學(xué)思想是樸素而精彩的.例55個(gè)入各拿一個(gè)水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘?如果只有一個(gè)水龍頭，試問怎樣適當(dāng)安排他們的打水順序，使所有人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最小？并求岀最小值.分析這是我們經(jīng)常遇到而不去思考的問題，其中卻有著豐富的數(shù)學(xué)思想.5個(gè)人排隊(duì)一共有5X4X3X2X1=120^順序，要把所有情形的時(shí)間總和都計(jì)算岀來加以比較，就太繁瑣了.憑直覺，應(yīng)該把打水時(shí)間少的人排在前面所費(fèi)的總時(shí)間會(huì)省些?試用"逐步調(diào)整”法求解.W：首先證明要使所用總時(shí)間最省，應(yīng)該把打水時(shí)間需1分鐘的人排在第一位置.假如第一位置的人打水時(shí)間要a分鐘（其中2<a<5）,而打水需1分鐘的人排在第b位（其中2<b<5）,我們將這兩個(gè)人位置交換，其他三人位置不動(dòng).這樣調(diào)整以后第b位后面的人排隊(duì)和打水所費(fèi)時(shí)間與調(diào)整前相同，并且前b個(gè)人打水所費(fèi)時(shí)間也未受影響，但第二位至第b位的人排隊(duì)等候的時(shí)間都減少T（T）分鐘，這說明調(diào)整后五個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和減少了?換言之，要使祈費(fèi)時(shí)間最省，就要把打水需1分鐘的人排在第一位置.其次，根據(jù)同樣的道理，再將打水需2分鐘的人調(diào)整到第二位置；將打水需3、4、5分鐘的人逐次調(diào)整到三、四、五位.所以，將五人按照打水所需時(shí)間由少到多的順序排隊(duì)，所費(fèi)的總時(shí)間最省，得出5人排隊(duì)和打水時(shí)間總和的最小值是：1X5+2X4+3X3+4X2+5X1=35（分鐘）?本題所用的逐步調(diào)整法是一個(gè)很樸素的數(shù)學(xué)思想，它使我們思考問題過程簡化，更有趣味.例6—個(gè)水池，底部安有一個(gè)常開的排水管，上部安有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管，當(dāng)打開4個(gè)逬水管時(shí)需要5小時(shí)才能注滿術(shù)池；當(dāng)打開2個(gè)逬水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在需要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，那么至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管？分析本題沒給岀排水管的排水速度，因此必須找岀排水管與進(jìn)水管之間的數(shù)量關(guān)系，才能確定至少要打開多少個(gè)進(jìn)水管.解：本題是具有實(shí)際意義的工程問題，因沒給岀注水速度和排水速度，故需引入?yún)?shù)?設(shè)每個(gè)逬水管1小時(shí)注水量為8,排水管1小時(shí)排水量為b,根據(jù)水池的容量不變，我們得方程（4a-b）X5=（2a-b）X15,化簡，得：4a-b=6a-3b,即8二b.這就是說，每個(gè)進(jìn)水管1小時(shí)的注水量等于排水管1小時(shí)的排水量.再設(shè)2小時(shí)注滿水池需要打開x個(gè)逬水管，根據(jù)水池的容量列方程，得(xa-a)X2=(2a-a)X15,化簡，得2ax-2a=15a,即2xa=17a.(a^0)所以x二&5因此至少要打開9個(gè)進(jìn)水管，才能在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿.注意：*二8.5,這里若開8個(gè)水管達(dá)不到2小時(shí)內(nèi)將水池注滿的要求；開8.5個(gè)水管不切實(shí)際?因此至少開9個(gè)進(jìn)水管才行.例7在一條公路上，每隔100千米有一個(gè)倉庫，共5個(gè).一號(hào)倉庫存貨10噸，二號(hào)倉庫存貨20噸，五號(hào)倉庫存貨40噸，三、四號(hào)倉庫空著.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉庫里，如果每噸貨物運(yùn)輸訐米需要0?8元運(yùn)費(fèi)，那么最少要花多少運(yùn)費(fèi)？分析與解答由于運(yùn)費(fèi)是以每噸貨物運(yùn)輸1千米為單位(即噸?千米)計(jì)量的，因此要使運(yùn)費(fèi)最省，就要把所有貨物運(yùn)往離貸物最多的倉庫適當(dāng)近的地方集中.我們依次計(jì)算以一、二、…、五號(hào)倉庫為集中點(diǎn)所需的運(yùn)費(fèi)：0.8X(20X100+40X400)=14400(元)，D.8X(10X100+40X300)=10400(元)，D.8X(100X200+20X100+40X200)=9600(元)，D.8X(10X300+20X200+40X100)=8800(元)，0.8X（10X400+20X300）=8000（元）.因此，把所有貨物集中到五號(hào)倉庫所需的運(yùn)費(fèi)最少，運(yùn)費(fèi)為8000元.說明：①由例7的枚舉解法中我們可以看岀，如果某處貨物的重量大于或等于貨物總重量的一半，那么，把貨物往此處集中花的運(yùn)費(fèi)是最少（或最少之一）的.這可以叫做"小往大處靠”原則.可以解釋如下.把各個(gè)倉庫用Al,A2,…，An表示，A沖的貨物重量為血，扌巴所有貨物集中到A啲運(yùn)輸噸?千米數(shù)為哉（它與集中貨物到儷需的運(yùn)輸費(fèi)用成芷佗）,貨物總重量為M（=ml+m2 mn）.假設(shè)A沖貨物重量不小于總重量的一半，即m>y,那么mz+g/Mal相比較，把貨物集中到A】的運(yùn)輸噸?千米數(shù)俎所増加的至少是ml?AlAi,所減少的至多是（iri2+in3+---+mn）?AlAi,這里AlAi表示Al與Ai之間的距離..?口.?口?AiA?尋? (m2+?°?這說明了'‘小仕大處靠”原則是正確的.②當(dāng)各個(gè)倉庫中的貨物重量都小于所有貨物總重量的土?xí)r，"小往大處靠”原則不成立?例如.在例沖一、二、五號(hào)倉庫中的存貨如杲分別為30噸、10噸、30噸，那么容易知道把貨物集中到二號(hào)倉庫運(yùn)費(fèi)最少.例8若干箱貨物總重19.5噸，每箱重量不超過353千克，今有載重量為1.5噸的汽車，至少需要幾輛，才能把這些箱貨物一次全部運(yùn)走？分析與解答如果認(rèn)為19.5-1.5二13,因此只需13輛汽車就可以把這些箱貨物一次全部運(yùn)走，這就把題意理解錯(cuò)了?因?yàn)樨浳锸钦溲b的，每輛汽車不一定都能滿載.請(qǐng)先看一個(gè)反例，它說明甚至15輛車都不一定能一次運(yùn)完.例如這批貨物共裝有65只箱子，其中64箱的重量都是301千克（不超過353千克），另一箱的重量是236千克，那么總重量為301X64+236=19500（千克）.恰好符合總重為19.5噸的要求由于301X5二1505（千克）即5只重量為301千克的箱子的總和超過1.5噸，因此，每輛汽車最多只能裝4只重量為301千克的箱子，15輛汽車最多只能裝4X15=60（只）重量為301千克妁箱子，這樣，必然有4只重量為301千克的箱子無法再裝運(yùn)了.疣然15輛汽車無論如何無法一次運(yùn)完上例中的65只箱子，那么16輛汽車能不能一次運(yùn)完這些貨物呢？答案是肯定的?事實(shí)上，301X4+236=1440（千克）,不超過1.5噸，這就是說，第16輛汽車可以裝余下的4只重量為301千克的箱子和1只重量為236千克的箱子?所以，16輛汽車可以一次運(yùn)完這些箱貨物.問題到這里仍然沒有徹底解決.因?yàn)槊肯湄浳锏闹亓恐灰蟛怀^353千克，除此別無具體數(shù)量的限制，所以我們還應(yīng)該對(duì)于一般情況（上例僅是一種特殊情況）來驗(yàn)證16輛汽車確實(shí)能一次運(yùn)完全部箱子.首先讓12輛汽車裝貨剛剛超過1?5噸，即若取下最后裝的一只箱子就不超過1.5噸，再從這12輛汽車上把每輛車最后裝的那只箱子卸下來，并把這12只箱子分別裝上另外3輛空車，每車4箱，由于每車誦總重量不超過4X353=1412（千克）.因此也不超過1.5噸.這時(shí)，12+3=15輛車就裝完原來前12輛車上全部貨物，總重量超過1.5X12=18（噸）?而且每輛車載重不超過1.5噸，于是，剩下來裝車的箱子總重量不足19.5-18=1.5（噸），可以把它們?nèi)垦b在第16輛車上運(yùn)走.最短的路線（幾何中的最大最小冋題）例9下圖，直線1表示一條公路，A、B表示公路同一側(cè)的兩個(gè)村子，現(xiàn)在要在公路1上修建一個(gè)汽車站，問這個(gè)汽車站建在哪一點(diǎn)時(shí)，A村與B村到汽車站的距離之和最短？分析與解答如果A、B兩個(gè)村子在公路1的兩側(cè)，問題就簡單了，只要扌巴A、B兩點(diǎn)連接起來，與公路1的交點(diǎn)就是建站的地方，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短.A、B兩村在公路1的同側(cè)的情形，我們用'‘對(duì)稱”的方法來解決，先求岀A點(diǎn)關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)A，,連結(jié)"B與1交點(diǎn)于C點(diǎn)，貝此點(diǎn)就是汽車站應(yīng)建的那個(gè)點(diǎn).為什么AC+BC是距離最短呢？我們假設(shè)不選C點(diǎn)，而選擇C外的一點(diǎn)&,顯然有AC+CB二”C+CB”，B,9+1B二A，C‘+C?B.根據(jù)"連接兩點(diǎn)的線中直線段最短”，有”C+C，B〉A(chǔ)，B,所以選擇C點(diǎn)能使AC+CB距離最短.利用這種對(duì)稱原理可以解決很多復(fù)雜的問題.例10設(shè)牧馬營地在M,每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再到草地吃草，然后回營地?問：怎樣的放牧路程最短？分析與解答依題意，每一條放牧路線都是一個(gè)三角形的三條邊，我們?cè)O(shè)法把這條路線變成兩個(gè)固定點(diǎn)之間的連線.根據(jù)"對(duì)稱”原理，設(shè)草地的邊線是11,河流的岸線是12（下圖）