空間幾何體的表面積與體積習(xí)題附答案

空間幾何體的表面積與體積習(xí)題附答案1.圓柱的側(cè)面積可以通過展開圖計算，展開圖是一個正方形，邊長為2πr，所以側(cè)面積為4πr^2，即4πS，因此選項為A。2.根據(jù)三視圖可以看出該幾何體由兩個同底的半圓錐組成，底面半徑為1，高為3，因此體積為2×(1/3)πr^2h=π，因此選項為D。3.根據(jù)三視圖可以看出該幾何體是一個組合體，由一個底面為等腰直角三角形的直三棱柱和一個底面為等腰直角三角形的三棱錐組成。直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，因此梯形的高為2，底邊為2和4，面積為(2+4)×2/2=6，共有2個梯形，因此梯形的面積之和為12，因此選項為B。4.根據(jù)三視圖可以看出該幾何體為一個圓柱挖去一個同底的圓錐，圓錐的高為圓柱高的一半，因此圓錐的高為2，圓柱的底面積為π，側(cè)面積為4π，圓錐的側(cè)面積為2π×5/2=5π，因此表面積為π+4π+5π=9π+5π，因此選項為A。5.根據(jù)三視圖可以看出該幾何體為一個直三棱柱削去一個同底的三棱錐，三棱柱的高為5，三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面均為兩直角邊分別為3和4的直角三角形，因此三棱柱的體積為底面積×高=3×4×5=60，三棱錐的體積為1/3×底面積×高=1/3×3×4×3=4，因此該幾何體的體積為60-4=56，因此選項為C。C1F＝4，連接EF，交AD于點G，求三角形AEF和四邊形ABCG的面積和長方體ABCD-A1B1C1D1的體積．解：首先可以求出AE＝BF＝6，EF＝8，再根據(jù)三角形相似可以求出AG＝12，GD＝4，因此AD＝16，AGD為等腰直角三角形，所以GD＝DG＝4，因此CG＝10，BG＝AB－AG＝4，所以ABCG為梯形，其面積為(AB＋CG)×4＝56.三角形AEF的面積為1/2×AE×EF＝24.長方體ABCD-A1B1C1D1的體積為16×10×8＝1280.題目1：一長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值。解析：首先，交線圍成的正方形EHGF的邊長為10，因為EH=EF=BC=10。然后，作EM⊥AB，垂足為M，則AM=AE=4，EB=12，EM=8。因為四邊形EHGF為正方形，所以MH=EH2-EM2=6，AH=10，HB=6。所以四邊形AEHF的面積為56，四邊形BCHF的面積為72。因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為56:72=7:9。答案：7:9。題目2：某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為多少？解析：由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，其底面面積為3，高為2/3。所以該幾何體的體積為1/3×3×2/3=2/3。答案：2/3。題目3：已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長為4的等邊三角形，三棱錐P-ABC的體積為V，求此三棱錐的外接球的表面積。解析：記三棱錐P-ABC的外接球的球心為O，半徑為R，點P到平面ABC的距離為h。首先，由已知可得，h=V/[(1/3)×4]=V/4。然后，PC為球O的直徑，因此球心O到平面ABC的距離等于h。又正△ABC的外接圓半徑為r=2√3，因此R2=r2+h2=12+V2/16。所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為4πR2=4π(12+V2/16)。答案：4π(12+V2/16)。(已刪除無效段落)4.根據(jù)題意，這個幾何體為一個五棱錐P-ABCDE，側(cè)(左)視圖是一個等邊三角形。根據(jù)五棱錐的公式，體積V=1/3×底面積×高。因為側(cè)視圖是等邊三角形，所以底面為正五邊形，底面積為15，高為2，代入公式得體積V=3。5.(1)根據(jù)題意，圓錐內(nèi)有一個高為x的內(nèi)接圓柱，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則根據(jù)勾股定理可得r=√(R^2-(H-x)^2)。由于圓柱的側(cè)面積S=2πrx，代入r的表達(dá)式得S=2πx√(R^2-(H-x)^2)/H。對S求導(dǎo)可得S'=(2π(H-x)^2(R^2-2xH))/H^2√(R^2-(H-x)^2)，令S'=0得x=H/2，此時S取得最大值，最大值為πRH/2。(2)根據(jù)題意，將圓錐分成小圓錐和圓臺，且兩幾何體的體積相等。設(shè)小圓錐的底面半徑為a，高為b，則小圓錐的體積為1/3πa^2b。由于小圓錐與圓臺的體積相等，設(shè)圓臺的高為c，則圓臺的體積為1/3π(R+a)^2(H-b-c)。根據(jù)題意可得1/3πa^2b=1/3π(R+a)^2(H-b-c)，化簡得b=H(R/(R+a))^2，c=H(2a/(R+a))^2。因此，小圓錐的高與圓臺的高的比值為(2a/(R+a))^2/(R/(R+a))^2=4/9。6.(1)根據(jù)題意，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，且AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°。因為AB=BC=AD，所以四邊形ABCM為正方形，CM⊥AD。又因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD。因為CM?底面ABCD，所以PM⊥CM。綜上可得，BC∥平面PAD。(2)根據(jù)題意，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，且AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，△PCD的面積為27。由于側(cè)面PAD為等邊三角形，所以AP=PD=AD/2，PC=PD=2CD，因此PC=PD=6。根據(jù)勾股定理可得PA=√(AD^2-AP^2)=√(3AD^2)/2，CD=PD/2=3，因此PC=√(PA^2-CD^2)=6。根據(jù)四棱錐的公式可得體積V=1/3×底面積×高，底面為正方形，底面積為