2022二輪小專題“放縮”有度

2022二輪小專題：“放縮”有度做了很多題目，有一個小小的發(fā)現(xiàn)：很多題目難住自己的，實際上就難在一兩步上甚至是在一兩個點上，要是有有一步突破不了，丟掉的不僅僅是一道題的分?jǐn)?shù)，還有繼續(xù)往答題的信心。比如涉及到函數(shù)與數(shù)列綜合題目中的大小比較，用放縮法證明就是較為常見的難點。這類題目就是很多人的心病，一遇到這類題就心生畏懼。即便很多人在“稀里糊涂”中把題目做出來了，還是不知道所以然，這樣在云里霧里生活是很危險的?！久魑x】：指若直接證明不等式較困難，而借助一個或多個中間變量（函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式）通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，而達(dá)到證明不等式成立的一種方法。敘述方式為：要證明，可構(gòu)造出函數(shù)式，使，且，其中數(shù)學(xué)式，常通過將放大，或?qū)⒖s小而構(gòu)成。放縮法證明不等式的依據(jù)：①不等式的傳遞性，即若則；②等量加不等量為不等量；③同分子異分母（或同分母異分子）的兩個分式大小的比較等。一般用于兩邊差別較大的不等式。放縮法的實質(zhì)是非等價轉(zhuǎn)化，放縮沒有確定的準(zhǔn)則和程序，放縮目的性很強，需按題意適當(dāng)放縮.即通過放縮將復(fù)雜的一邊化簡，湊出另一邊的形式。放縮法的尺度：根據(jù)不等式兩端的特點及已知特點，謹(jǐn)慎的采取措施，進行適當(dāng)?shù)姆趴s，任何不適宜都會導(dǎo)致推證的失??；這就需要認(rèn)真的分析結(jié)論特點，由結(jié)論的特點探究解題規(guī)律；放縮標(biāo)準(zhǔn)：放縮到可裂項，放縮到可用公式，放縮到可控的范圍……【常用結(jié)論】：（1）變形類：若（2）添舍類：，（3）分式類：；或（4）基本不等式類：；；（5）綜合運用類：i、；ii、（程度大）；（程度?。?；iii、；，則.注意：，等特例.還有：【解題方法】①一邊為無限項的和或積，另一邊為定值；②在證明涉及求和的不等式時，通過逐項放縮的手段，一方面放縮，另一方面使放縮之后便于求和，以達(dá)到求和目的；③恰當(dāng)引入輔助函數(shù)，通過函數(shù)單調(diào)性達(dá)到放縮目的；④對涉及正整數(shù)的不等式，可以先考慮用數(shù)學(xué)歸納法進行整體放縮；⑤運用公式性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性；⑥運用絕對值不等式；⑦運用二項式定理，利用三角有界性放縮，利用三角形的三邊關(guān)系進行放縮；⑧舍棄或添加一些項進行放縮.將部分項放縮，或每項放縮；⑨裂項利用一些熟悉的關(guān)系式放縮；【常見題型】放縮法影射到具體問題中，涉及到不等式證明，數(shù)列比較大小等。（此項有待進一步拓展）【例析技巧】說明：此處只是在方法上，從一些小的點上切入，沒有專題性的那么全面。1、添加或舍棄一些正項（或負(fù)項） 例1、已知求證：證明： 若多項式中加上一些正的值，多項式的值變大，多項式中加上一些負(fù)的值，多項式的值變小。由于證明不等式的需要，有時需要舍去或添加一些項，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時就舍去了，從而是使和式得到化簡.2、先放縮再求和（或先求和再放縮）例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+.證明：由f(n)==1-得f（1）+f（2）+…+f（n）>.此題不等式左邊不易求和,此時根據(jù)不等式右邊特征,先將分子變?yōu)槌?shù)，再對分母進行放縮，從而對左邊可以進行求和.若分子,分母如果同時存在變量時,要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。3、先放縮，后裂項（或先裂項再放縮）例3、已知an=n，求證：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))eq\f(eq\r(k),eqa\o(2,k))＜3．證明：eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))=eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1))＜1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(1,eq\r((k－1)k(k＋1)))＜１＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))eq\f(2,eq\r((k－1)(k＋1))(eq\r(k＋1)＋eq\r(k－1)))==1＋eq\o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2))(eq\f(1,eq\r((k－1)))－eq\f(1,eq\r((k＋1))))=1＋1＋－－eq\f(1,eq\r((n＋1)))＜2＋＜3．本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).4、放大或縮小“因式”；例4、已知數(shù)列滿足求證：證明本題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.5、逐項放大或縮小例5、設(shè)求證：證明：∵∴∴，∴本題利用，對中每項都進行了放縮，從而得到可以求和的數(shù)列，達(dá)到化簡的目的。6、固定一部分項，放縮另外的項；例6、求證：證明：此題采用了從第三項開始拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據(jù)具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。7、利用基本不等式放縮例7、已知，證明：不等式對任何正整數(shù)都成立.證明：要證，只要證.因為，，故只要證，即只要證.因為，所以命題得證.本題通過化簡整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先適當(dāng)組合,排序,再逐項比較或放縮例8、.已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niA＜miA；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m證明：(1)對于1＜i≤m，且A=m·…·(m－i+1)，，由于m＜n，對于整數(shù)k=1，2，…，i－1，有，所以(2)由二項式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+…+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+…+Cnm，由(1)知miA＞niA(1＜i≤m＜n，而C=∴miCin＞niCim(1＜m＜n∴m0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2C＞n2C，…，mmC＞nmC，mm+1C＞0，…，mnC＞0，∴1+Cm+Cm2+…+Cmn＞1+Cn+C2mn2+…+Cnm，即(1+m)n＞(1+n)m成立.【真題精選18題】最難的放縮法涉及到的試題都在這里，不妨做做看看，有沒有！1．（本小題滿分14分）（2022江蘇卷）設(shè)如圖，已知直線及曲線C：，C上的點Q1的橫坐標(biāo)為（）.從C上的點Qn（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點，再從點作直線平行于y軸，交曲線C于點Qn+（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列OcylxQ1OcylxQ1Q2Q3a1a2a3r2r1（Ⅱ）當(dāng)時，證明；（Ⅲ）當(dāng)a=1時，證明（Ⅰ）解：∵∴∴，∴（Ⅱ）證明：由a=1知∵∴∵當(dāng)∴（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)a=1時，因此=（在形式上借助圖像，在知識上綜合數(shù)列，在方法上重點考查精準(zhǔn)的變形放縮。）2．（本小題滿分12分）（2022重慶卷） 數(shù)列{an}滿足.（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：；（Ⅱ）已知不等式，其中無理數(shù)e=….（Ⅱ）證法一：由遞推公式及（Ⅰ）的結(jié)論有兩邊取對數(shù)并利用已知不等式得故上式從1到求和可得即（Ⅱ）證法二：由數(shù)學(xué)歸納法易證成立，故令取對數(shù)并利用已知不等式得上式從2到n求和得因故成立.3.（本小題滿分14分）（2022天津卷）已知數(shù)列滿足，，并且，（為非零參數(shù)，2，3，4，…）（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；（2）當(dāng)時，證明（）（3）當(dāng)時，證明（）。（1）解：由已知，且，，若、、成等比數(shù)列，則，即，而，解得（2）證明：由已知，，及，可得，。由不等式的性質(zhì)，有另一方面，因此，，故（3）證明：當(dāng)時，由（2）可知又由（2），則從而因此，4.（本小題滿分14分）（2022天津卷）已知數(shù)列滿足，，并且，（為非零參數(shù)，2，3，4，…）（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；（2）當(dāng)時，證明（）（3）當(dāng)時，證明（）。（1）解：由已知，且，，若、、成等比數(shù)列，則，即，而，解得（2）證明：由已知，，及，可得，。由不等式的性質(zhì)，有另一方面，因此，，故（3）證明：當(dāng)時，由（2）可知又由（2），則從而因此，5．（本小題滿分14分）（2022福建卷）已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．解：（Ⅰ）由得，所以． 由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是， 由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是． （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)． 于是對任意成立等價于對任意成立． 由得． ①當(dāng)時，． 此時在上單調(diào)遞增． 故，符合題意． ②當(dāng)時，． 當(dāng)變化時的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．（Ⅲ），，，由此得，故．6．（本小題滿分14分）（2022湖北卷）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，；（II）對于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)．解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，，，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時，不等式也成立．綜合（ⅰ）（ⅱ）知，對一切正整數(shù)，不等式都成立．（Ⅱ）證：當(dāng)時，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時，，．即．即當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．故只需要討論的情形：當(dāng)時，，等式不成立；當(dāng)時，，等式成立；當(dāng)時，，等式成立；當(dāng)時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當(dāng)時，同的情形可分析出，等式不成立．綜上，所求的只有．解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，且時，，．①（?。┊?dāng)時，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式①成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式①成立，即，則當(dāng)時，因為，所以．又因為，所以．于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時，不等式①也成立．綜上所述，所證不等式成立．（Ⅱ）證：當(dāng)，時，，，而由（Ⅰ），，．（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得，與②式矛盾．故當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．下同解法1．7.(本小題滿分14分)（2022四川卷）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)x=6時,求的展開式中二項式系數(shù)最大的項;(Ⅱ)對任意的實數(shù)x,證明＞(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.（Ⅰ）解：展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項，這項是（Ⅱ）證法一：因證法二：因而故只需對和進行比較。令，有由，得因為當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時，，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（Ⅲ）對，且有又因，故∵，從而有成立，即存在，使得恒成立。8.（本題15分）（2022浙江卷）已知數(shù)列中的相鄰兩項是關(guān)于的方程的兩個根，且．（I）求，，，；（II）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）記，，求證：．（I）解：方程的兩個根為，，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以時；當(dāng)時，，，所以．（II）解：．（III）證明：，所以，．當(dāng)時，，，同時，．綜上，當(dāng)時，．9.(本小題滿分12分)（2022重慶卷）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項和滿足，且（1）求{}的通項公式；(5分)（2）設(shè)數(shù)列{}滿足，并記為{}的前n項和，求證：.(7分)（I）解：由，解得或，由假設(shè)，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，從而是公差為，首項為的等差數(shù)列，故的通項為．（II）證法一：由可解得；從而．因此．令，則．因，故．特別地，從而．即．證法二：同證法一求得及，由二項式定理知，當(dāng)時，不等式成立．由此不等式有．證法三：同證法一求得及．令，．因．因此．從而．證法四：同證法一求得及．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：．當(dāng)時，，，因此，結(jié)論成立．假設(shè)結(jié)論當(dāng)時成立，即．則當(dāng)時，因．故．從而．這就是說，當(dāng)時結(jié)論也成立．綜上對任何成立．10.（本小題滿分13分）（2022安徽卷）設(shè)數(shù)列滿足,其中為實數(shù)。（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是,(Ⅱ)設(shè),證明：;(Ⅲ)設(shè),證明：（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.充分性：設(shè)，對任意用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時，.假設(shè)當(dāng)時，，則，且，.由數(shù)學(xué)歸納法知，對任意成立.(Ⅱ)設(shè)，當(dāng)時，，結(jié)論成立；當(dāng)時，∵，∴.∵，由（Ⅰ）知，∴且，∴，∴.(Ⅲ)設(shè),當(dāng)時，，結(jié)論成立；當(dāng)時，由(Ⅱ)知，∴.∴.11．（本題14分）（2022浙江卷）已知數(shù)列，，，．記：，．求證：當(dāng)時，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（Ⅰ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時，因為是方程的正根，所以．②假設(shè)當(dāng)時，，因為，所以．即當(dāng)時，也成立．根據(jù)①和②，可知對任何都成立．（Ⅱ）證明：由，（），得．因為，所以．由及得，所以．（Ⅲ）證明：由，得所以，于是，故當(dāng)時，，又因為，所以．12.（本小題滿分13分）（2022湖南卷）對于數(shù)列若存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有，則稱數(shù)列為B-數(shù)列（1）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;請以其中一組的一個論斷條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，給出下列兩組論斷；A組：①數(shù)列是B-數(shù)列②數(shù)列不是B-數(shù)列B組：③數(shù)列是B-數(shù)列④數(shù)列不是B-數(shù)列請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題。判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；（3）若數(shù)列都是數(shù)列，證明：數(shù)列也是數(shù)列。解（1）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則，于是因此｜-｜+｜-｜+…+｜-｜=因為所以即故首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列。（2）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列次命題為假命題。事實上，設(shè)，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但由的任意性知，數(shù)列是B-數(shù)列此命題為。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列此命題為真命題事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的有即。于是所以數(shù)列是B-數(shù)列。（III）若數(shù)列{}是數(shù)列，則存在正數(shù)，對任意的有注意到同理：記，則有因此+故數(shù)列是數(shù)列13.(本小題滿分14分)（2022湖北卷）在R上定義運算（b、c為實常數(shù)）。記，，.令.如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值；求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點；記的最大值為.若對任意的b、c恒成立，試示的最大值。（3）當(dāng)?shù)脤ΨQ軸x=b位于區(qū)間之外此時由若于是若，則，于是綜上，對任意的b、c都有而當(dāng)，時，在區(qū)間上的最大值故對任意的b，c恒成立的k的最大值為14．（本小題滿分12分）（2022陜西卷）已知數(shù)列滿足，.猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(Ⅱ)證明：。證（1）由由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，已證命題成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當(dāng)n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立（2）當(dāng)n=1時，，結(jié)論成立當(dāng)時，易知15．（本小題共14分）（2022廣東卷）設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：對于一切正整數(shù)n，解（１）法一：，得，設(shè)，則，設(shè)，則，令，得，，知是等比數(shù)列，，又，，．法二：，，，猜想，下