14.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)B

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、選擇題1．（2016湖南懷化，7，4分）二次函數(shù)y=x2+2x﹣3的開口方向、頂點坐標分別是（）A．開口向上，頂點坐標為（﹣1，﹣4）B．開口向下，頂點坐標為（1，4）C．開口向上，頂點坐標為（1，4）D．開口向下，頂點坐標為（﹣1，﹣4）【分析】根據(jù)a＞0確定出二次函數(shù)開口向上，再將函數(shù)解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標．【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2+2x﹣3的二次項系數(shù)為a=1＞0，∴函數(shù)圖象開口向上，∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴頂點坐標為（﹣1，﹣4）．故選A．2.（2016湖南永州，8，4分）拋物線y=x2+2x+m﹣1與x軸有兩個不同的交點，則m的取值范圍是（）A．m＜2B．m＞2C．0＜m≤2D．m＜﹣2【分析】由拋物線與x軸有兩個交點，則△=b2﹣4ac＞0，從而求出m的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y=x2+2x+m﹣1與x軸有兩個交點，∴△=b2﹣4ac＞0，即4﹣4m+4＞0，解得m＜2，故選A．3.（2016新疆內(nèi)高班，7，5分）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0B．c＜0C．3是方程ax2+bx+c=0的一個根D．當x＜1時，y隨x的增大而減小【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可以做出判斷．【解答】解：（A）圖象開口向下，所以a＜0，故（A）錯誤；（B）圖象與y軸交點在y軸的正半軸，所以C＞0，故（B）錯誤；（C）因為對稱軸為x=1，所以（﹣1，0）與（3，0）關(guān)于x=1對稱，故x=3是ax2+bx+c=0的一個根；故（C）正確；（D）由圖象可知：當x＜1時，y隨x的增大而增大；故（D）錯誤．故選（C）4．（2016四川資陽，10，3分）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且圖象過A（x1，m）、B（x1+n，m）兩點，則m、n的關(guān)系為（）A．m=nB．m=nC．m=n2D．m=n2【分析】由“拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點”推知x=﹣時，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根據(jù)拋物線對稱軸的定義知點A、B關(guān)于對稱軸對稱，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，∴當x=﹣時，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．又∵點A（x1，m），B（x1+n，m），∴點A、B關(guān)于直線x=﹣對稱，∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），將A點坐標代入拋物線解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，∵b2=4c，∴m=n2，故選D．5．（2016廣西賀州，10，3分）拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax＋b與反比例函數(shù)y＝eq\F(c,x)在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖像大致為（）A．（2，5）B．（5，2）C．（2，－5）D．（5，－2）【答案】B6．（2016江蘇宿遷，8，3分）若二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，0），則方程ax2﹣2ax+c=0的解為（） A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1【分析】直接利用拋物線與x軸交點求法以及結(jié)合二次函數(shù)對稱性得出答案． 【解答】解：∵二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c的圖象經(jīng)過點（﹣1，0）， ∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一個解為：x=﹣1， ∵拋物線的對稱軸為：直線x=1， ∴二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c的圖象與x軸的另一個交點為：（3，0）， ∴方程ax2﹣2ax+c=0的解為：x1=﹣1，x2=3． 故選：C． 【點評】此題主要考查了拋物線與x軸的交點，正確應用二次函數(shù)對稱性是解題關(guān)鍵．7．（2016?四川達州，10，3分）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤【分析】根據(jù)對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④的正誤．【解答】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴a＞0；∵對稱軸在原點左側(cè)∴ab異號，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣1，∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0），∴當x=2時，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②錯誤；③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），∴當x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵對稱軸為直線x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正確④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正確⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正確；故選：D．【點評】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系．解題關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用．8．（2016?四川涼山州，9，4分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=bx﹣c在同一坐標系內(nèi)的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象找出a、b、c的正負，再結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：觀察二次函數(shù)圖象可知：開口向上，a＞0；對稱軸大于0，﹣＞0，b＜0；二次函數(shù)圖象與y軸交點在y軸的正半軸，c＞0．∵反比例函數(shù)中k=﹣a＜0，∴反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)；∵一次函數(shù)y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0，∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限．故選C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象找出a、b、c的正負．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)圖象找出a、b、c的正負，再結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系即可得出結(jié)論．9．（2015?浙江舟山，10，3分）二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5，當m≤x≤n且mn＜0時，y的最小值為2m，最大值為2n，則m+n的值為（）A． B．2 C． D．【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸以及增減性進行解答即可．【解答】解：二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的大致圖象如下：．①當m≤0≤x≤n＜1時，當x=m時y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．當x=n時y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合題意，舍去）；②當當m≤0≤x≤1≤n時，當x=m時y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．當x=1時y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，所以m+n=﹣2+=．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)解析式求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．10.（2016隨州，10，3分）二次函數(shù)y=ax（a≠0）的部分圖像如圖所示，圖象過點（-1,0），對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：（1）4a+b=0;（2）9a＋c＞3b；（3）8a＋7b＋2c＞0；（4）若點A（-3，y）、點B（-y）、點C（y）在該函數(shù)圖象上，且y<y<y；（5）若方程a（x+1）（x-5）=-3的兩根為，且則其中正確的結(jié)論有（）A.2個B.3個C.4個D.5個【答案】B11.(2016四川瀘州，12，3分）已知二次函數(shù)（）的圖象的頂點在第四象限，且過點（-1，0），當為整數(shù)時，的值為A.或1B.或1C.或D.或【答案】A12．(2016上海，3，4分)如果將拋物線y＝x2＋2向下平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是()A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋3．【答案】C；13．(2016湖北襄陽，10，3分）一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=暨同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為()【答案】C二、填空題14．（2015?浙江舟山，14，4分）把拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的表達式是y=（x﹣2）2+3．【分析】先確定y=x2的頂點坐標為（0，0），再根據(jù)點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后對應點的坐標，然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的表達式．【解答】解：拋物線y=x2的頂點坐標為（0，0），點（0，0）向右平移2個單位，再向上平移3個單位所得對應點的坐標為（2，3），所以平移后拋物線的表達式為y=（x﹣2）2+3．故答案為y=（x﹣2）2+3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．14．（2016吉林長春，14，3分）如菱形OABC的頂點A在x軸正半軸△BCD的最大值．【答案】1515.(2016四川瀘州，15，3分）若二次函數(shù)的圖象與軸交于A（，0）、B（，0）兩點，則的值為.【答案】13.（2016河南，13,3分）已知A（0，3），B（2，3）是拋物線y=-x2+bx+c上兩點，該拋物線的頂點坐標是?！敬鸢浮浚海?，4）?！窘馕觥浚罕绢}考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法及已知二次函數(shù)解析式求頂點的方法，所求y=-x2+2x+3，頂點坐標是（1，4），填（1，4）16．（2016?四川涼山州，16，4分）將拋物線y=﹣x2先向下平移2個單位，再向右平移3個單位后所得拋物線的解析式為y=﹣x2﹣6x﹣11．【分析】根據(jù)平移規(guī)律：上加下減，左加右減寫出解析式即可．【解答】解：拋物線y=﹣x2先向下平移2個單位，再向右平移3個單位后所得拋物線的解析式為y=﹣（x﹣3）2﹣2即y=﹣x2+6x﹣11，故答案為y=﹣x2﹣6x﹣11．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與坐標變換，記住上加下減，左加右減這個規(guī)律，屬于中考常考題型．24．（2016四川內(nèi)江，23，6分）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖11所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，則P，Q的大小關(guān)系是______．xxyO－11圖11[答案]P＞Q[解析]∵拋物線的開口向下，∴a＜0．∵－＝1，∴b＞0且a＝－．∴|2a＋b|＝0，|2a－b|＝b－2a．∵拋物線與y軸的正半軸相交，∴c＞0．∴|3b＋2c|＝3b＋2c．由圖象可知當x＝－1時，y＜0，即a－b＋c＜0．∴－－b＋c＜0，即3b－2c＞0．∴|3b－2c|＝3b－2c．∴P＝0＋3b－2c＝3b－2c＞0，Q＝b－2a－(3b＋2c)＝－(b＋2c)＜0．∴P＞Q．故答案為：P＞Q．10.（2016鎮(zhèn)江，10,2分）a、b、c實數(shù)，點A（a＋1，b）、B（a＋2，c）在二次函數(shù)y=x2－2ax＋3的圖像上，則b、c的大小關(guān)系式是bc(用“＞”或“＜”號填空).答案：＜三、解答題21.（2016河南，21,9分）某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)y=x2-2的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整。（1）自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，x與y的幾組對應數(shù)值如下表：x…-3--2-10123…y…3m-10-103…其中m=。（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出來函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分。（3）觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)的性質(zhì)。（4）進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與x軸有個交點，所以對應的方程x2-2=0有個實數(shù)根。②方程x2-2=2有個實數(shù)根。③關(guān)于x的方程x2-2=a有4個實數(shù)根，a的取值范圍是。解：（1）0（2）正確補全圖象。（3）（可從函數(shù)的最值，增減性，圖象對稱性等方面闡述，答案不唯一，合理即可）（4）①3，3；②2；③-1＜a＜024．（2016四川資陽，24，12分）已知拋物線與x軸交于A（6，0）、B（﹣，0）兩點，與y軸交于點C，過拋物線上點M（1，3）作MN⊥x軸于點N，連接OM．（1）求此拋物線的解析式；（2）如圖1，將△OMN沿x軸向右平移t個單位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′與直線AC分別交于點E、F．①當點F為M′O′的中點時，求t的值；②如圖2，若直線M′N′與拋物線相交于點G，過點G作GH∥M′O′交AC于點H，試確定線段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+），把點M（1，3）代入即可求出a，進而解決問題．（2））①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′，首先證明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解決問題．②由△GHE∽△AOC得==，所以EG最大時，EH最大，構(gòu)建二次函數(shù)求出EG的最大值即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+），把點M（1，3）代入得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+），∴y=﹣x2+x+2．（2）①如圖1中，AC與OM交于點G．連接EO′．∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，∴==3，∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，∴△AOC∽△MNO，∴∠OAC=∠NMO，∵∠NMO+∠MON=90°，∴∠MON+∠OAC=90°，∴∠AGO=90°，∴OM⊥AC，∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，∴O′M′∥OM，∴O′M′⊥AC，∵M′F=FO′，∴EM′=EO′，∵EN′∥CO，∴=，∴=，∴EN′=（5﹣t），在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，∴（+t）2=1+（﹣t）2，∴t=1．②如圖2中，∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，∴GH⊥AC，∴∠GHE=90°，∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，∴△GHE∽△AOC，∴==，∴EG最大時，EH最大，∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．∴t=2時，EG最大值=，∴EH最大值=．∴t=2時，EH最大值為．（2016湖南婁底，26，10分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請求出其中某一個點Q的坐標．【分析】（1）拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0），可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣6），代入B（5，﹣6）即可求得函數(shù)的解析式；（2）作輔助線，將四邊形PACB分成三個圖形，兩個三角形和一個梯形，設(shè)P（m，m2﹣5m﹣6），四邊形PACB的面積為S，用字母m表示出四邊形PACB的面積S，發(fā)現(xiàn)是一個二次函數(shù)，利用頂點坐標求極值，從而求出點P的坐標．（3）分三種情況畫圖：①以A為圓心，AB為半徑畫弧，交對稱軸于Q1和Q4，有兩個符合條件的Q1和Q4；②以B為圓心，以BA為半徑畫弧，也有兩個符合條件的Q2和Q5；③作AB的垂直平分線交對稱軸于一點Q3，有一個符合條件的Q3；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q3坐標．【解答】解：（1）設(shè)y=a（x+1）（x﹣6）（a≠0），把B（5，﹣6）代入：a（5+1）（5﹣6）=﹣6，a=1，∴y=（x+1）（x﹣6）=x2﹣5x﹣6；（2）存在，如圖1，分別過P、B向x軸作垂線PM和BN，垂足分別為M、N，設(shè)P（m，m2﹣5m﹣6），四邊形PACB的面積為S，則PM=﹣m2+5m+6，AM=m+1，MN=5﹣m，CN=6﹣5=1，BN=5，∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC=（﹣m2+5m+6）（m+1）+（6﹣m2+5m+6）（5﹣m）+×1×6=﹣3m2+12m+36=﹣3（m﹣2）2+48，當m=2時，S有最大值為48，這時m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12，∴P（2，﹣12），（3）這樣的Q點一共有5個，連接Q3A、Q3B，y=x2﹣5x﹣6=（x﹣）2﹣；因為Q3在對稱軸上，所以設(shè)Q3（，y），∵△Q3AB是等腰三角形，且Q3A=Q3B，由勾股定理得：（+1）2+y2=（﹣5）2+（y+6）2，y=﹣，∴Q3（，﹣）．（2016湖南永州，26，12分）已知拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過（﹣1，0），（3，0）兩點，與y軸交于點C，直線y=kx與拋物線交于A，B兩點．（1）寫出點C的坐標并求出此拋物線的解析式；（2）當原點O為線段AB的中點時，求k的值及A，B兩點的坐標；（3）是否存在實數(shù)k使得△ABC的面積為？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）令拋物線解析式中x=0求出y值即可得出C點的坐標，有點（﹣1，0）、（3，0）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）將正比例函數(shù)解析式代入拋物線解析式中，找出關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出“xA+xB=2+k，xA?xB=﹣3”，結(jié)合點O為線段AB的中點即可得出xA+xB=2+k=0，由此得出k的值，將k的值代入一元二次方程中求出xA、xB，在代入一次函數(shù)解析式中即可得出點A、B的坐標；（3）假設(shè)存在，利用三角形的面積公式以及（2）中得到的“xA+xB=2+k，xA?xB=﹣3”，即可得出關(guān)于k的一元二次方程，結(jié)合方程無解即可得出假設(shè)不成了，從而得出不存在滿足題意的k值．【解答】解：（1）令拋物線y=ax2+bx﹣3中x=0，則y=﹣3，∴點C的坐標為（0，﹣3）．∵拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過（﹣1，0），（3，0）兩點，∴有，解得：，∴此拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．（2）將y=kx代入y=x2﹣2x﹣3中得：kx=x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣（2+k）x﹣3=0，∴xA+xB=2+k，xA?xB=﹣3．∵原點O為線段AB的中點，∴xA+xB=2+k=0，解得：k=﹣2．當k=﹣2時，x2﹣（2+k）x﹣3=x2﹣3=0，解得：xA=﹣，xB=．∴yA=﹣2xA=2，yB=﹣2xB=2．故當原點O為線段AB的中點時，k的值為﹣2，點A的坐標為（﹣，2），點B的坐標為（，﹣2）．（3）假設(shè)存在．由（2）可知：xA+xB=2+k，xA?xB=﹣3，S△ABC=OC?|xA﹣xB|=×3×=，∴（2+k）2﹣4×（﹣3）=10，即（2+k）2+2=0．∵（2+k）2非負，無解．故假設(shè)不成了．所以不存在實數(shù)k使得△ABC的面積為．（2016江蘇蘇州，28，10分）如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應的位置記為點M′．①寫出點M′的坐標；②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設(shè)點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．【分析】（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數(shù)解析式即可求出a的值；（2）過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，所以△ABM的面積為DM?OB，設(shè)M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），用含m的式子表示DM，然后求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可求出S的最大值，其中m的取值范圍是0＜m＜3；（3）①由（2）可知m=，代入二次函數(shù)解析式即可求出縱坐標的值；②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，所以d1+d2=BF，所以求出BF的最小值即可，由題意可知，點F在以BM′為直徑的圓上，所以當點F與M′重合時，BF可取得最大值．【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函數(shù)解析式為：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴拋物線與x軸的交點橫坐標為﹣1和3，∵M在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，∴0＜m＜3，過點M作ME⊥y軸于點E，交AB于點D，由題意知：M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），∴D的縱坐標為：﹣m2+2m+3，∴把y=﹣m2+2m+3代入y=﹣3x+3，∴x=，∴D的坐標為（，﹣m2+2m+3），∴DM=m﹣=，∴S=DM?BE+DM?OE=DM（BE+OE）=DM?OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴當m=時，S有最大值，最大值為；（3）①由（2）可知：M′的坐標為（，）；②過點M′作直線l1∥l′，過點B作BF⊥l1于點F，根據(jù)題意知：d1+d2=BF，此時只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴點F在以BM′為直徑的圓上，設(shè)直線AM′與該圓相交于點H，∵點C在線段BM′上，∴F在優(yōu)弧上，∴當F與M′重合時，BF可取得最大值，此時BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，過點M′作M′G⊥AB于點G，設(shè)BG=x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2=﹣x2，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°（2016新疆內(nèi)高班，23，13分）如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過點A（6，0）和B（0，﹣4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標；（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第一象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當（2）中的平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形．【分析】（1）根據(jù)對稱軸、A、B點的坐標，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式，可得函數(shù)解析式；（3）根據(jù)函數(shù)值，可得E點坐標，根據(jù)菱形的判定，可得答案．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，將A、B點的坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式為y=﹣x2+x﹣4，配方，得y=﹣（x﹣）2+，頂點坐標為（，）；（2）E點坐標為（x，﹣x2+x﹣4），S=2×OA?yE=3（﹣x2+x﹣4）即S=﹣2x2+14x﹣12；（3）平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF不能為菱形，理由如下：當平行四邊形OEAF的面積為24時，即﹣2x2+14x﹣12=24，化簡，得x2﹣7x+18=0，△=b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×18=﹣23＜0，方程無解，E點不存在，平行四邊形OEAF的面積為24時，平行四邊形OEAF不能為菱形．24.（2016吉林長春，24，12分）如圖，在平面直角坐標系中.有拋物線和.拋物線經(jīng)過原點，與x軸正半軸交于點A，與其對稱軸交于點B.P是拋物線上一點，且在x軸上方.過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q.過點Q作PQ的垂線交拋物線于點(不與點Q重合)，連結(jié).設(shè)點P的橫坐標為m.（1）求a的值.（2）當拋物線經(jīng)過原點時，設(shè)△與△OAB重疊部分圖形的周長為l.①求的值.②求l與m之間的函數(shù)關(guān)系式.（3）當h為何值時，存在點P，使以點O、A、Q、為頂點的四邊形是軸對稱圖形？直接寫出h的值.(第24題)解.（1）把O（0,0）代入y=a（x-3）2＋4，得0=9a＋4，∴a=QUOTE（2）①當y=a（x-h）2經(jīng)過原點時y=QUOTEx2，將y=QUOTE（x-3）2＋4化為y=QUOTEx2＋QUOTE；設(shè)P（m，QUOTE）Q（m，QUOTE）∴PQ＝QUOTEQQ′＝2m.∴QUOTE②1）當0＜m≤3時；l＝m＋QUOTE＋QUOTEm＝4m2）當3＜m＜6時，DE＝QUOTE（QUOTE）＝QUOTEME＝QUOTE（6－m）＝－QUOTEm＋8PN＝MN＝QUOTE2＋4m－8QUOTEDN＝QUOTE∴l(xiāng)＝QUOTE－QUOTEm＋8QUOTE＝QUOTE（3）h1＝3，h2＝3－2QUOTE，h3＝3＋2QUOTE（2016廣東梅州，24，10分）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線過A，B，C三點，點A的坐標是，點C的坐標是，動點P在拋物線上．（1）b=_________，c=_________，點B的坐標為_____________；（直接填寫結(jié)果）（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．解：（1），，．………3分（每空1分）（2）存在．………4分第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．∵OA=OC，∠AOC=90°∴∠OCA=∠OAC=45°．∵∠ACP1=90°，∴∠MCP1=90°-45°=45°=∠CP1M．∴MC=MP1．………………5分由（1）可得拋物線為．設(shè)，則，解得：（舍去），．∴．則P1的坐標是．………6分第二種情況，當以A為直角頂點時，過點A作AP2⊥AC，交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP2交y軸于點F．∴P2N∥x軸．由∠CAO=45°，∴∠OAP2=45°．∴∠FP2N=45°，AO=OF=3．∴P2N=NF．設(shè)，則．解得：（舍去），．∴，則P2的坐標是．綜上所述，P的坐標是或．………7分(本題有多種解法，請參照此評分標準給分.)（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．根據(jù)垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短．……………8分由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中點．又∵DF∥OC，∴．∴點P的縱坐標是．………………9分則，解得：．∴當EF最短時，點P的坐標是：（，）或（，）．……………10分24．（2016四川宜賓，18，12分）如圖，已知二次函數(shù)y1=ax2+bx過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點．（1）求二次函數(shù)y1的解析式；（2）將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，直線y=m（m＞0）交y2于M、N兩點，求線段MN的長度（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，y1、y2交于A、B兩點，如果直線y=m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點（C在左側(cè)），直線y=﹣m與y1、y2的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點（E在左側(cè)），求證：四邊形CEFD是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題．（2）先求出拋物線y2的頂點坐標，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數(shù)關(guān)系即可求出MN．（3）用類似（2）的方法，分別求出CD、EF即可解決問題．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1=ax2+bx過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點，∴解得，∴二次函數(shù)y1的解析式y(tǒng)1=﹣x2﹣3x．（2）∵y1=﹣（x+3）2+，∴頂點坐標（﹣3，），∵將y1沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線y2，∴拋物線y2的頂點坐標（﹣1，﹣），∴拋物線y2為y=（x+1）2﹣，由消去y整理得到x2+2x﹣8﹣2m=0，設(shè)x1，x2是它的兩個根，則MN=|x1﹣x2|==，（3）由消去y整理得到x2+6x+2m=0，設(shè)兩個根為x1，x2，則CD=|x1﹣x2|==，由消去y得到x2+2x﹣8+2m=0，設(shè)兩個根為x1，x2，則EF=|x1﹣x2|==，∴EF=CD，EF∥CD，∴四邊形CEFD是平行四邊形．2．（2016湖南懷化，22，8分）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三點，O為坐標原點（1）求此拋物線的解析式；（2）若把拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi)，求n的取值范圍；（3）設(shè)點P在y軸上，且滿足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的長．【分析】（1）根據(jù)A、B、C三點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）可先求得拋物線的頂點坐標，再利用坐標平移，可得平移后的坐標為（1+n，1），再由B、C兩點的坐標可求得直線BC的解析式，可求得y=1時，對應的x的值，從而可求得n的取值范圍；（3）當點P在y軸負半軸上時，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，根據(jù)條件可知∠PAD=45°，設(shè)PD=DA=m，由△COA∽△CDP，可求出m和PC的長，此時可求得PO=12，利用等腰三角形的性質(zhì)，可知當P點在y軸正半軸上時，則有OP=12，從而可求得PC=5．【解答】解：（1）把A、B、C三點的坐標代入函數(shù)解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+5；（2）∵y=﹣x2+x+5，∴拋物線頂點坐標為（1，），∴當拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移個單位長度，再向右平移n（n＞0）個單位長度后，得到的新拋物線的頂點M坐標為（1+n，1），設(shè)直線BC解析式為y=kx+m，把B、C兩點坐標代入可得，解得，∴直線BC的解析式為y=﹣x+5，令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，∵新拋物線的頂點M在△ABC內(nèi)，∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，即n的取值范圍為0＜n＜3；（3）當點P在y軸負半軸上時，如圖1，過P作PD⊥AC，交AC的延長線于點D，由題意可知OB=OC=5，∴∠CBA=45°，∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，∴AD=PD，在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC=，設(shè)PD=AD=m，則CD=AC+AD=+m，∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，∴△COA∽△CDP，∴==，即==，由=可求得m=，∴=，解得PC=17；可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，如圖2，在y軸正半軸上截取OP′=OP=12，連接AP′，則∠OP′A=∠OPA，∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，∴P′也滿足題目條件，此時P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，綜上可知PC的長為7或17．25．（2016?四川達州，25，11分）如圖，已知拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）交x軸與A，B兩點（點A在點B左側(cè)），將直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，邊WZ經(jīng)過拋物線上的點C（4，m），與拋物線的另一交點為點D，直尺被x軸截得的線段EF=2，且△CEF的面積為6．（1）求該拋物線的解析式；（2）探究：在直線AC上方的拋物線上是否存在一點P，使得△ACP的面積最大？若存在，請求出面積的最大值及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．（3）將直尺以每秒2個單位的速度沿x軸向左平移，設(shè)平移的時間為t秒，平移后的直尺為W′X′Y′Z′，其中邊X′Y′所在的直線與x軸交于點M，與拋物線的其中一個交點為點N，請直接寫出當t為何值時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式求出m的值，結(jié)合點C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出a值，從而得出結(jié)論；（2）假設(shè)存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N．根據(jù)拋物線的解析式找出點A的坐標．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，﹣n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），由點A、C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，代入x=n，即可得出點N的坐標，利用三角形的面積公式即可得出S△ACP關(guān)于n的一元二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）根據(jù)直尺的擺放方式可設(shè)出直線CD的解析式為y=﹣x+c，由點C的坐標利用待定系數(shù)法即可得出直線CD的解析式，聯(lián)立直線CD的解析式與拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點D的坐標，令直線CD的解析式中y=0，求出x值即可得出點E的坐標，結(jié)合線段EF的長度即可找出點F的坐標，設(shè)出點M的坐標，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及C、D點坐標的坐標即可找出點N的坐標，再由點N在拋物線圖象上，將其代入拋物線解析式即可得出關(guān)于時間t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵S△CEF=EF?yC=×2m=6，∴m=6，即點C的坐標為（4，6），將點C（4，6）代入拋物線y=ax2+2x+6（a≠0）中，得：6=16a+8+6，解得：a=﹣，∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+6．（2）假設(shè)存在．過點P作y軸的平行線，交x軸與點M，交直線AC于點N，如圖1所示．令拋物線y=﹣x2+2x+6中y=0，則有﹣x2+2x+6=0，解得：x1=﹣2，x2=6，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（6，0）．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，點P的坐標為（n，﹣n2+2n+6）（﹣2＜n＜4），∵直線AC過點A（﹣2，0）、C（4，6），∴，解得：，∴直線AC的解析式為y=x+2．∵點P的坐標為（n，﹣n2+2n+6），∴點N的坐標為（n，n+2）．∵S△ACP=PN?（xC﹣xA）=×（﹣n2+2n+6﹣n﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣（n﹣1）2+，∴當n=1時，S△ACP取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（1，）．∴在直線AC上方的拋物線上存在一點P，使得△ACP的面積最大，面積的最大值為，此時點P的坐標為（1，）．（3）∵直尺WXYZ與x軸負方向成45°放置，∴設(shè)直線CD的解析式為y=﹣x+c，∵點C（4，6）在直線CD上，∴6=﹣4+c，解得：c=10，∴直線CD的解析式為y=﹣x+10．聯(lián)立直線CD與拋物線解析式成方程組：，解得：，或，∴點D的坐標為（2，8）．令直線CD的解析式y(tǒng)=﹣x+10中y=0，則0=﹣x+10，解得：x=10，即點E的坐標為（10，0），∵EF=2，且點E在點F的左邊，∴點F的坐標為（12，0）．設(shè)點M的坐標為（12﹣2t，0），則點N的坐標為（12﹣2t﹣2，0+2），即N（10﹣2t，2）．∵點N（10﹣2t，2）在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴﹣（10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=2，整理得：t2﹣8t+13=0，解得：t1=4﹣，t2=4+．∴當t為4﹣或4+秒時，可使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．【點評】本題考查了三角形的面積公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解