橢圓定點(diǎn)定值專題

一.解答題(共30小題).已知橢圓C得中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為1，短軸長(zhǎng)為4/1,(I)求橢圓C得標(biāo)準(zhǔn)方程；(口)P(2,n),Q(2,-n)就是橢圓C上兩個(gè)定點(diǎn),A、B就是橢圓C上位于直線PQ_TOC\o"1-5"\h\z兩側(cè)得動(dòng)點(diǎn). 一1 A①若直線AB得斜率%，求四邊形APBQ面積得最大值；②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),且滿足NAPQ=NBPQ時(shí)，直線AB得斜率就是否為定值，說(shuō)明理由.\o"CurrentDocument"2 2.已知橢圓。:牛七=1(a>b>0)得離心率為9，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)【1,,).(1)求橢圓C得方程；(2)已知A為橢圓C得左頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)港AM、AN得斜率k15k2滿足k]+k2=m(定值mN0),求直線l得斜率..如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中橢圓E；4g(a>b>0)得焦距為2,且過(guò)點(diǎn)(心平).(1)求橢圓E得方程；TOC\o"1-5"\h\z(2)若點(diǎn)A,B分別就是橢圓E得左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P就是橢圓 T上異于A,B得任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M. 一一廠令?’(i)設(shè)直線OM得斜率為瓦，直線BP得斜率為k2,求證:k1k2為定值； a .(ii)設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于PB得直線為m.求證:直線m過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)得坐標(biāo). :? :\o"CurrentDocument"2 2 2 I.已知馬凸分別就是橢圓芻十三二l(a>b>0)得左、右焦點(diǎn)，半焦距為c,直線x=-'-與ab cx軸得交點(diǎn)為N,滿足又￡尸2百，|下再|(zhì)二2，設(shè)A、B就是上半橢圓上滿足冠二次麗兩點(diǎn)，其中[春白.J J JU⑴求橢圓得方程及直線AB得斜率k得取值范圍；(2)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作橢圓得切線，兩切線相交于一點(diǎn)P,試問:點(diǎn)P就是否恒在某定直線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)說(shuō)明理由..在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓七十巳=l(a>b>0)得離心率為4，其焦點(diǎn)在圓x2+y2=1上.(1)求橢圓得方程；(2)設(shè)A,B,M就是橢圓上得三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角0,使麗二cde9OA+sine而.⑴求證:直線OA與OB得斜率之積為定值;(ii)求OA2+OB2.2 2 萬(wàn).已知橢圓目+與1(a>b>o)得左焦點(diǎn)為F(-'回,0),離心率e=-—,M>N就是橢圓上得動(dòng)點(diǎn).1b二 2(I)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(口)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足:0P=。M+2UN,直線OM與ON得斜率之積為-^，問:就是否存在定點(diǎn)用凸，使得IPFJ+IPFJ為定值？，若存在，求出馬凸得坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.(m)若M在第一象限，且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,點(diǎn)M在x軸上得射影為A,連接NA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,證明:MNLMB..一束光線從點(diǎn)弓(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2(1,0).⑴求P點(diǎn)得坐標(biāo);(2)求以FrF2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P得橢圓C得方程；⑶設(shè)點(diǎn)Q就是橢圓C上除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外得任意一點(diǎn),試問在x軸上就是否存在兩定點(diǎn)A、B,使得直線QA、QB得斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出所有滿足條件得定點(diǎn)A、B得坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

.已知橢圓以專+今1(。<仆］得離心率為一，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P滔.1).⑴求橢圓C得方程；(2)設(shè)直線l:y=kx+t(kN0)交橢圓C于A、B兩點(diǎn),D為AB得中點(diǎn),kOD為直線OD得斜率，求證:k?kOD為定值；⑶在(2)條件下,當(dāng)t=1時(shí)，若應(yīng)與而得夾角為銳角，試求k得取值范圍.2 2.如圖所示，橢圓C：—一4--一屋々1(a>b>0)得焦點(diǎn)為F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),拋物線x2=2py(p>0)得焦點(diǎn)與F1重合，過(guò)F2得直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)在第一象限，且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且百二工麗.(1)求證:切線l得斜率為定值;(2)當(dāng)入42,4］時(shí)，求橢圓得離心率e得取值范圍.2 2.已知橢圓三十j=l(a>b>0)得右焦點(diǎn)為耳(2,0),離心率為e.⑴若e=，⑴若e=，求橢圓得方程;(2)設(shè)A,B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得兩點(diǎn),AR得中點(diǎn)為M,BF1得中點(diǎn)為N,若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑得圓上.①證明點(diǎn)A在定圓上;②設(shè)直線AB得斜率為k,若k3'/Q求e得取值范圍..在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓巳+g=1(a>b>0)得焦點(diǎn)為片(-1,0),F2(1,0)，左、右頂點(diǎn)分別ab人用,離心率為寸，動(dòng)點(diǎn)P到FpF2得距離得平方與為6.⑴求動(dòng)點(diǎn)P得軌跡方程；(2)若C(巧，不),D?飛、不),Q為橢圓上位于x軸上方得動(dòng)點(diǎn)，直線DM?CN,BQ分別交直線m于點(diǎn)M,N.⑴當(dāng)直線AQ得斜率為時(shí),求^AMN得面積；(ii)求證:對(duì)任意得動(dòng)點(diǎn)Q,DM?CN為定值..(1)如圖，設(shè)圓O:x2+y2=a2得兩條互相垂直得直徑為AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求證：(里)2+(辱)*為定值Rx1.-L2 2(2)將橢圓三+Z?=l(a>b>0)與x2+y2=a2相類比，請(qǐng)寫出與(1)類似得命題，并證明您得結(jié)論.a2b2

2 2(3)如圖，若AB、CD就是過(guò)橢圓夫+j=13>6>0)中心得兩條直線,且直線AB、CD得斜”b2.2率積口父小昏:一」,點(diǎn)E就是橢圓上異于A、C得任意一點(diǎn),AE交直線CD于K,CE交a直線AB于L,求證：(野)2+(券)2為定值皿1-L.作斜率為［得直線l與橢圓。三十二二1交于A,B兩點(diǎn)(如圖所示)，且3 do4P(3,2.另)在直線i得左上方.(1)證明:△PAB得內(nèi)切圓得圓心在一條定直線上;(2)若NAPB=60°,求△PAB得面積.2 2.設(shè)橢圓C:2y+—1(a>b>0)a2b?得左.右焦點(diǎn)分別為FF2,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直得直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)Q,且2爪瓦+壁=6⑴若過(guò)A.Q.F2三點(diǎn)得圓恰好與直線l:x-月y-3=0相切,求橢圓C得方程；(2)在(1)得條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k得直線l與橢圓C交于M.N兩點(diǎn).試證明:工工T+1工TT為定值;②在x軸上就是否存在點(diǎn)P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊I??況II?2ml得平行四邊形就是菱形，如果存在，求出m得取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由.2 2.已知A,B分別就是橢圓C1」)十『1得左、右頂點(diǎn),P就是橢圓上異與A,B得任意一點(diǎn),Q就是雙曲線工C2—--^=1上異與A,B得任意一點(diǎn),a>b>0.(I)若P寶,而,Q("|,1),求橢圓Cl 產(chǎn)力「、得方程； 十［J「予(口)記直線AP,BP,AQ,BQ得斜率分別就是與七尾.求證:瓦42+與44為定值； ——(m)過(guò)Q作垂直于x軸得直線l,直線AP,BP分別交l于M,N,判斷△PMN就是否可 .一能為正三角形，并說(shuō)明理由..已知橢圓1十%1得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,得(1)求橢圓方程；(2)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)M(-a,0)與直線x=a上點(diǎn)N得直線交橢圓于點(diǎn)P,求口P?口畸值.⑶過(guò)右焦點(diǎn)且不與對(duì)稱軸平行得直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q(2,t),若Kqa+Kqb=2與l得斜率無(wú)關(guān)，求t得值.2 2 萬(wàn)17.如圖,已知橢圓C;七+七尹Ca>b>0)得焦點(diǎn)為F1(1,0)>F2(-1,0),離心率為；,ab 上過(guò)點(diǎn)A(2,0)得直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn).(1)求橢圓C得方程;(2)①求直線l得斜率k得取值范圍；②在直線l得斜率k不斷變化過(guò)程中,探究/MF1A與NNF1F2就是否總相等？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等,說(shuō)明理由.

2 2.已知橢圓E:三十『1(a>b>0)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之與為2?，氣離心率為ab工等左、右焦點(diǎn)分別為Fi、點(diǎn)P就是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)F2作直線PF?得垂線F2Q交橢圓于Q點(diǎn).(1)求橢圓E得標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明:直線PQ與直線OQ得斜率之積就是定值；⑶點(diǎn)P得縱坐標(biāo)為3過(guò)P作動(dòng)直線1與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N,在線段MN上取點(diǎn)凡滿足叫端試證明點(diǎn)H恒在一定直線上.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 2 2.如圖,雙曲線C1：y-方二1與橢圓C2：Y+：=l(0<b<2)得左、右頂點(diǎn)分別為A]、A2第一象限內(nèi)得點(diǎn)P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn).1'^uu+k力力(I)求證:^—~~-為定值(其中表示直線AA1得斜率,A等意義類似)；kpA+kpA? 也hi 出(II)證明:△OAA2與八OA2P不相似.2 2 2 2(III)設(shè)滿足{(x,y)吃-g=l,xeR,yeR}U{(x,y)片-^->l,xGR,yGR)得正數(shù)m得最大值就是b,求b得值.、 TTiJ 工 ,」.已知橢圓得中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸得兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形得頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直得直線1交橢圓于P,Q兩點(diǎn).(1)求橢圓得方程；(2)當(dāng)直線1得斜率為1時(shí),求^POQ得面積；⑶在線段OF上就是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊得平行四邊形就是菱形？若存在，求出m得取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 萬(wàn)21.已知橢圓三十號(hào)1(a>b>0)得離心率為1，且橢圓上得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)得距離與為褒.斜率為k(k曲)得直線1過(guò)橢圓得上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ得垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M(0,m).(I)求橢圓得方程;(口)求m得取值范圍;(m)試用m表示△MPQ得面積，并求面積得最大值.2 222.已知橢圓E:恐十號(hào)1Ca>b>0)得左焦點(diǎn)F[(-月，0),若橢圓上存在一點(diǎn)D,滿足以橢圓短軸為直徑得鏟b亡圓與線段DF1相切于線段DF1得中點(diǎn)F.(I)求橢圓E得方程；2 29工7(口)已知兩點(diǎn)Q(-2,0),M(0,1)及橢圓G1r+q=1,過(guò)點(diǎn)Q作斜率為k得直線1交橢圓G于H,K兩點(diǎn),設(shè)線段HK得中點(diǎn)為N,連接MN,試問當(dāng)k為何值時(shí)，直線MN過(guò)橢圓G得頂點(diǎn)?

Qy4V(印)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O得直線交橢圓W上M+”=1于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸得垂線,垂足為C,連2a2b2接AC并延長(zhǎng)交橢圓W于B,求證:PALPB.2 2.已知橢圓三十11 (a>b>0)與圓O:x2+y2=b2,過(guò)橢圓上一點(diǎn)P引圓O得兩條切線,切點(diǎn)為A,B.a2b2(1)(i)若圓O過(guò)橢圓得兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓得離心率e;(ii)若橢圓上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90°,求橢圓離心率e得取值范2 ,2圍;(2)設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N,求證:一^+上不為定值.|0N|210Ml2.已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率為T，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑得圓與直線y=x+2相切.(工)求橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程；(口)設(shè)點(diǎn)F就是橢圓在y軸正半軸上得一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B就是拋物線x2=4y上得兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足Q二人施(工〉0),過(guò)點(diǎn)A,B分別作拋物線得兩條切線，設(shè)兩切線得交點(diǎn)為M,試推斷而■標(biāo)就是否為定值？若就是，求出這個(gè)定值;若不就是，說(shuō)明理由..已知橢圓得中心為O,長(zhǎng)軸、短軸得長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上得兩點(diǎn)，且OALOB.(1)求證:」一二為定值;⑵求AAOB面積得最大值與最小值.|0A|loBr2.設(shè)FrF2分別就是橢圓號(hào)+y2=1得左、右焦點(diǎn).⑴若P就是該橢圓上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求向量乘積西?而得取值范圍；(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)得直線l與橢圓交于不同得兩點(diǎn)M、N,且NMON為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l得斜率k得取值范圍.⑶設(shè)A(2,0),B(0,1)就是它得兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積得最大值.2 227.已知橢圓已十七=1(a>b>0)得左焦點(diǎn)%(-1,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)得比就是鏟b亡(I)求橢圓得方程；(口)過(guò)F1作兩直線m,n交橢圓于A,B,C,D四點(diǎn)，若m，n,求證:y[[+元｝]為定值.2 228.已知橢圓豈(a>0,b>。)得左頂點(diǎn)就是A,過(guò)焦點(diǎn)F(c,0)(c>0,為橢圓得半焦距)作傾斜角為0得直/bZ2線(非x軸)交橢圓于M,N兩點(diǎn)，直線AM,AN分別交直線￡3(稱為橢圓得右準(zhǔn)線)于P,Q兩點(diǎn).c⑴若當(dāng)e=30。時(shí)有MF=3FN,求橢圓得離心率;(2)若離心率e孑,求證:FF?FQ為定值.2 229.已知點(diǎn)P在橢圓C:孑+上二l(a>b>0)上,FrF2分別為橢圓C得左、右焦點(diǎn)，滿足|PFJ=6-|PF2|,且橢圓C得離心率為T.(I)求橢圓c得方程;

(口)若過(guò)點(diǎn)Q(1,0)且不與x軸垂直得直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同點(diǎn)M.N,在x軸上就是否存在定點(diǎn)G,使得GM?GN為定值.若存在,求出所有滿足這種條件得點(diǎn)G得坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.30.如圖,已知橢圓嗎己b2-1(a>b>0)得離心率為呼，以橢圓C得左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)230.如圖,已知橢圓嗎己b2- Z0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.(1)求橢圓C得方程;(2)求TM，T帽最小值，并求此時(shí)圓T得方程;參考答案與試題解析⑶設(shè)點(diǎn)P參考答案與試題解析⑶設(shè)點(diǎn)P就是橢圓C上異于M,N得任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證:|OR|?|OS|為定值.一.解答題(共30小題).已知橢圓C得中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為^，短軸長(zhǎng)為4丘.(I)求橢圓C得標(biāo)準(zhǔn)方程；(口)P(2,n),Q(2,-n)就是橢圓C上兩個(gè)定點(diǎn),A、B就是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)得動(dòng)點(diǎn).①若直線AB得斜率為J，求四邊形APBQ面積得最大值；②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)②當(dāng)A、B兩點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),且滿足NAPQ=NBPQ時(shí)，直線AB得斜率就是否為定值，說(shuō)明理由.解:(I)設(shè)C方程為卷+產(chǎn)1(a>b>0)由已知b=2,；3,離心率已廣—?a2二卜之十C“?.(3分)2 2得a=4,所以橢圓C得方程為生:為二1…(4分)(口)①由(I)可求得點(diǎn)P、Q得坐標(biāo)為P(2,3).Q(2,-3),則|PQ|=6,

TOC\o"1-5"\h\z2 2設(shè)人⑶以屈氏心）,直線AB得方程為葉t,代入轟+61,,■1■ LL町十町二一t得x2+tx+t2-12=0由AM,解得-4<t<4,由根與系數(shù)得關(guān)系得 飛.叼二t-12四邊形APBQ得面積S=1c6X|叼-|=3工8-3tJ（6分）故，當(dāng)t=0時(shí),S111aH=12?.月…（7分）②NAPQ=NBPQ時(shí),PA、PB得斜率之與為0,設(shè)直線PA得斜率為k,2則PB得斜率為-k,PA得直線方程為y-3=k（x-2）與為二1,8C2k-3)k聯(lián)立解得(3+4k2)x2+8(3-2k)kx+4(3-2k)2-48=0,K1+kk 大—….(9分)1d3+4.八、、巾 一3(2k+3)kTOC\o"1-5"\h\z同理PB得直線方程y-3=-k(x-2),可得町+k尸 F—-48k 7.(113+4k-48k 7.(113+4kz所以其1+Ko- o,冥11e3+4k2 1y!_y2k（叼-2）+3+k（叼-2）-3k1町+西征一北一工北1分）卜/不二一一丁丁 二工「工--班二所以直線AB得斜率為定￡…（13分）2.已知橢圓C；七+/1Ca>b>0）得離心率為卷，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)CL卷）.⑴求橢圓C得方程；（2）已知A為橢圓C得左頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)港AM、AN得斜率k15k2滿足k1+k2=m（定值mN0）,求直線l得斜率.解:（1）:橢圓離心率為吉,「?J君,，a=2c,b=，:式2分）又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1,1）解得c=1,「.5工b二3（3分）???橢圓C得方程就是［+"二1…（4分）（2）若直線l斜率不存在，顯然k1+k2=0不合題意 ...（5分）設(shè)直線方程為l:y=k（x-1）,M（x1,y1）,N（x2,y2）?匕+%「?k=3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中橢圓E;45(社〉心。)得焦距為2,且過(guò)點(diǎn)(巧，。.「?k]+k2=二],a2=b2+1.2解:(1)由題意得2c=2,「.c=1,X^a,⑴求橢圓E得方程；(2)若點(diǎn)A,B分別就是橢圓E得左、右頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P就是橢圓上異于A,B得任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M.(i)設(shè)直線OM得斜率為瓦，直線BP得斜率為k2,求證:k1k2為定值；(ii)設(shè)過(guò)點(diǎn)M垂直于PB得直線為m.求證:直線m過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)得坐標(biāo).消去a可得,2b4-5b2-3=0，解得b2=3或/二一,(舍去)，則a2=4,■La「?橢圓E得方程為］(2)(「?橢圓E得方程為］(2)(i)設(shè)P(X1,y1)(y產(chǎn)0),M(2,y0),則k?叫間)在橢圓上,「?2-yL 』一町2-(ii)直線BP得斜率為均二不，直線m得斜率為則直線m得方程為2-盯 2-xi 2一芯12（2-町y-yn= （耳一2），產(chǎn) （工一2）+了力二 3- 工1+2°yi yi °yi y工1+2,J-4） 2-a2（盯2-4）4-12-3xJ2-（宜］+2）%（冥］+2）了］所以直線m過(guò)定點(diǎn)(-1,0).2 2 24.已知F1,F2分別就是橢圓三+j=l(a>b>0)得左、右焦點(diǎn)，半焦距為c,直線x=-Jx軸得交點(diǎn)為N,滿足|下再|(zhì)二工設(shè)A、B就是上半橢圓上滿足欣二人而得兩點(diǎn)，其中虱e［春與⑴求橢圓得方程及直線AB得斜率k得取值范圍；(2)過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作橢圓得切線，兩切線相交于一點(diǎn)P,試問:點(diǎn)P就是否恒在某定直線上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1)由于記瓦二2麗］，|正再|(zhì)=2,2c=FLF21=2J+訊1=1ta2=b2+c2.解得a2=2,b2=1,從而所求橢圓得方程為*+—=1.丁欣二X■血，，A,三11三點(diǎn)共線，而點(diǎn)N得坐標(biāo)為(-2,0).設(shè)直線AB得方程為y=k(x+2)，其中k為直線AB得斜率，依條件知kN0.消去x得?廠2)由，二2,即^一步2二Q.根據(jù)條件可知A=")23答〉0解得0<1klet，依題意取根據(jù)條件可知A=")23答〉0解得0<1klet，依題意取0<上<1.設(shè)AM'yp,BGy)則根據(jù)韋達(dá)定理，得了4k2k21+y2= j'/1y2"1 '2kz+l1'2kz+l又由NA二人KB,得（x1+2,y1）=Mx2+2,y2）由于/M由于/M入《｛，所以巾'(入)<o.??.8人)就是區(qū)間氐,上得減函數(shù)，從而QC-) ??.8人)就是區(qū)間氐3 3 5即手小(24魯.?肯式一^〈卷解得等"k|<^0<k<￥.?一<k號(hào).3 5 32kz+l58 2 26 2故直線AB得斜率得取值范圍就是[[,1].(2)設(shè)點(diǎn)P得坐標(biāo)為(x0,y0),則可得切線PA得方程就是V-兀二一力-〔工一叼),2yl而點(diǎn)人⑶5)而點(diǎn)人⑶5)在此切線上，有了I-yQ=-篁0)即xoxi+2yoyi=x/+2yF又丁A在橢圓上,，有x0x1+2yoy=2,①同理可得xQx2+2y0y2=2.@根據(jù)①與②可知直線AB得方程為,x0x+2y0y=2,而直線AB過(guò)定點(diǎn)N(-2,0),A-2x0=2x0=-1,因此,點(diǎn)P恒在直線x=-1上運(yùn)動(dòng).5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓一^+，二l(a>b>0)得離心率為*，其焦點(diǎn)在圓x2+y2=1上.⑴求橢圓得方程；(2)設(shè)A,B,M就是橢圓上得三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角0,使加二0口呂9OA+sine而⑴求證:直線OA與OB得斜率之積為定值；TOC\o"1-5"\h\z(ii)求OA2+OB2. _解:(1)依題意，得c=1.于就是,a='*,b=1. ...(2分)J2所以所求橢圓得方程為)■+y=1..(4分)(2)(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),2 2則/號(hào)1①￡+.=1②.__ __ _，直二戈]。口占日+ 富isifi8又設(shè)M(x,y),因0M二se8 口包+乳口6叫故 口.口 .(7分)尸y產(chǎn)口￡0+y2sm0.1(yhCos9+K^sinS)2 9因M在橢圓上，故—— 尸 —:(yl>cos6+y2sin9)=12 2整理得（得+了：）cos20+（申+了：）sin2S+2（；2+兀￥,cosSsin6=1 耳1D將①②代入上式，并注意35殺出”0,得一--+y1y2=0.所以,如世初二蕓，:一段為定值.…（10分）TOC\o"1-5"\h\z2 25）（兀冷）2=（一 二二:?仔（1-F，（1-螳二1-（ 故yi2+y22=L又（得+yj）+（.+■）二工，故xj+x22=2.所以QAZ+OB吆xJ+yJ+xj+y/uS....（16分）\o"CurrentDocument"2 2 萬(wàn)6.已知橢圓豈^+二=1（a>b>ci）得左焦點(diǎn)為F（-1.：2,0）,離心率e=——,M>N就是橢圓上得動(dòng)點(diǎn).I/ 2（I）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（口）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足:口P二，1+20N,直線OM與ON得斜率之積為-弓，問:就是否存在定點(diǎn)用凸,使得IPFJ+IPFJ為定值？，若存在，求出F15F2得坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.（m）若M在第一象限，且點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,點(diǎn)M在x軸上得射影為A,連接NA并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B,證明:MNLMB.（I）解:由題設(shè)可知:三正，a=2,c=6…2分-b2=a2-c2=2…3分「?橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程為:[+^=1.4分①…5分（口）解:設(shè)PWpyp'Mlxpy’Mxz,yz）,由。P=0M+2口①…5分 一…、一，1 ,一“2 1 _ ..由直線OM與ON得斜率之積為一祗可得:一一點(diǎn)即xp2+2y1y2=0②…6分由①②可得:xP2+2yP2=（x12+2y12）+（x22+2y22）「M、N就是橢圓上得點(diǎn),「?x12+2y12=4,x22+2y22=44了I?=xP2+2yP2=8^彳+才=1…、、8分由橢圓定義可知存在兩個(gè)定點(diǎn)F1（-2,0）,F2（2,0），使得動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離與為定值4■門;…、9分;（印）證明:設(shè)乂區(qū)必通區(qū)心）,則x1>0,y1>0,x2>0,y2>0,x1^x2,A（x1,0）,N（-x1?-y1）.>>10分 . 為了/了1_由題設(shè)可知1AB斜率存在且滿足kNA=kNB,A-一二一-一.…③巳工]X--I?K?V1kMN?kMB+l=￡2（V+/）y-y Q［函）-將③代入④可得:kMN-kMB+1= ——?^+1=---5-3——⑤…、13分溝十工］叼工1 ±2—戈］? …/ 2 （4+￡?，-（x?+2y?）丁點(diǎn)M，B在橢圓號(hào)+春二1上,,kMN-kMB+1=~j-—0-kMN*kMB+1=0…kMN*kMB=-1???MNLMB...14分.7.一束光線從點(diǎn)弓(-1,0)出發(fā),經(jīng)直線l:2x-y+3=0上一點(diǎn)P反射后，恰好穿過(guò)點(diǎn)F2(1,0).⑴求P點(diǎn)得坐標(biāo)；(2)求以FrF2為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P得橢圓C得方程；⑶設(shè)點(diǎn)Q就是橢圓C上除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外得任意一點(diǎn),試問在x軸上就是否存在兩定點(diǎn)A、B,使得直線QA、QB得斜率之積為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出所有滿足條件得定點(diǎn)A、B得坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)設(shè)F1關(guān)于l得對(duì)稱點(diǎn)為F(m,n),則等二一且2?三二一各3F,ni+1Z￡ ￡解得肝即f(Y，3).5 5 5 5（2）因?yàn)镻F1=PF根據(jù)橢圓定義,得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2='（_-1_1）+（看一0）=2；1所以a=；2.又c=1,所以b=1.所以橢圓C得方程為己■+/=I.(3)假設(shè)存在兩定點(diǎn)為A(s,0),B(t,0),使得對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)Q(x,y)(除長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))都有kQjkQs=k(k為定值),即=k,>y2=l-［代入并整理得K-SK-t 2Ck+-j^)J-k(s+t)冗+kst—1二0(*).由題意,(*)式對(duì)任意x&-12月)恒成立，M二。所以k年+t)二。,kst-1=0所以有且只有兩定點(diǎn)(門,0),(-其0),

使得kQt,kQs為定值-吉..已知橢圓7J?(0<m<n)得離心率為￡，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)F燃.1).iTi，門工 3 ￡⑴求橢圓C得方程；(2)設(shè)直線l:y=kx+t(kN0)交橢圓C于A、B兩點(diǎn),D為AB得中點(diǎn),kOD為直線OD得斜率，求證:k?kOD為定值;⑶在(2)條件下,當(dāng)t=1時(shí)，若小與而得夾角為銳角，試求k得取值范圍.n2-m23解:(1)根據(jù)題意有:???橢圓C得方程為???橢圓C得方程為J+(=1(2)聯(lián)立方程組=1消去y得:(4+k2)x2+2kx+t2-4=0①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)―町十”一人，,.41則有：為一^——4十kT/口一k町+t一二射滸個(gè):一/故爐k?二一興二一日為定值(3)當(dāng)射滸個(gè):一/故爐k?二一興二一日為定值(3)當(dāng)t=1時(shí),①式為(4+k2)x2+2kx-3=0???y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1 ■■I 1- * ■- _若口A與QB得夾角為銳角，則有0A?0Rrj武為y2>0,即jz；:>0,解得一代］且kN0,???當(dāng)kG(-}0)U(。，時(shí)，贏與而得夾角為銳角

2 2.如圖所示，橢圓C：/^一十理一廠1(a>b>0)得焦點(diǎn)為F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),拋物線x2=2py(p>0)得焦點(diǎn)與F1重合，過(guò)F2得直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)在第一象限，且與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且jB二入AF⑴求證:切線l得斜率為定值；(2)當(dāng)M[2,4]時(shí)，求橢圓得離心率e得取值范圍.2-一屋々I(a>b>0)得焦點(diǎn)為F1(0,c),F2(0,-c)(c>0),拋物線P:x2=2py(p>0)得焦點(diǎn)與F1重合，??.：二L拋物線P：x2=4cy.設(shè)過(guò)F2得直線l得方程為y+c=kx,與拋物線聯(lián)立，可得x2-4kcx+4c2=0,丁過(guò)f2得直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)E在第一象限，.??△=16k2c2-16c2=0,k>0k=1,即切線l得斜率為定值；"②(2)解:由(1)，可得直線l得方程為y=x-c/弋入橢圓方程可得(a2+b2)x2-2b2cx+b2c2-a2b2=0"②設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2),則叼+K?二專;1■①,叼工之二"?二x2=-入X]③由①②③可得2屋2由①②③可得2屋2彳<0<e<1「?橢圓得離心率e得取值范圍就是1/.已知橢圓日+上二l(a>b>0)得右焦點(diǎn)為耳(2,0),離心率為e.⑴若《二”,求橢圓得方程；(2)設(shè)(2)設(shè)A,B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得兩點(diǎn),AR得中點(diǎn)為M,BF1得中點(diǎn)為N,若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑得圓上.解:(1)由已-==-,0=2,得a=2；2,b=?:九2—0==2故所求橢圓方程為看+。.,盯+2了］、 /一叼了］(2)設(shè)人區(qū)5)，則B(-x^-y?，故MC——，下)，N(---，一?、儆深}意，得而▼礪二口.化簡(jiǎn)，得其+了；二&,.??點(diǎn)A在以原點(diǎn)為圓心,2為半徑得圓上.「e4-2e2+1>0,k2>0,「.2e2-1>0,「.巳?Q2,2將已k-,b="aa4丑-4,代入上式整理，得k2(2e2-1)=e4-2e2+1;e2才~1故離心率得取值范圍就是；-3-1］.直2y2 V3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓個(gè)+t=1(a>b>0)得焦點(diǎn)為R(-1,0),F2(1,0)，左、右頂點(diǎn)分別為人8離心率為一,動(dòng)點(diǎn)P到F1,F2得距離得平方與為6.⑴求動(dòng)點(diǎn)P得軌跡方程；(2)若c1巧，；73),D〔―石，，二弓)，Q為橢圓上位于x軸上方得動(dòng)點(diǎn)，直線DM?CN,BQ分別交直線m于點(diǎn)M,N.⑴當(dāng)直線AQ得斜率為總時(shí)，求AAMN得面積;(ii)求證:對(duì)任意得動(dòng)點(diǎn)Q,DM?CN為定值.(1)解:設(shè)P(x,y),則FF12+PF/二6,即(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=6,整理得,x2+y2=2,所以動(dòng)點(diǎn)P得軌跡方程為x2+y2=2….(4分)U(2)解油題意知,1_V| ，解得，所以橢圓方程為1+〈=1. .(6分)則A(-?，Q)聲(.己。)，設(shè)Q(xo，yo),yo>0,則3T,二6,

直線AQ得方程為廣三與直線AQ得方程為廣三與缶+反），令尸石得幾十3,回）（L巧），令尸月得（L巧），令尸月得N（直線BQ得方程為產(chǎn)』（i）當(dāng)直線（i）當(dāng)直線AQ得斜率為吉時(shí)有，消去xo并整理得,11yJ-8By0二口,解得益』或町+V522笈口43yq=5y0=0（舍），…（10分）所以AAMN得面積??.(12??.(12分)S△加等乂MN等MI—.V3s.V3s0-V3y0+3廠11?町+31.V3KO+V3y0-3li?(ii)DM=| +；31=1 I,CN=| ；-'3I=I,Vs^o+s,,Vs^o+s,,Vs所以DM?CN二| 幾H一 q ?所以對(duì)任意得動(dòng)點(diǎn)Q,DM?CN為定值，該定值為彳. ?（16分）.（1）如圖，設(shè)圓O:x2+y2=a2得兩條互相垂直得直徑為AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求證：里）2+（9*為定值hh1..LTOC\o"1-5"\h\z2 2（2）將橢圓三+Z?=l（a>b>0）與x2+y2=a2相類比，請(qǐng)寫出與（1）類似得命題，并證明您得結(jié)論.a2b22 2（3）如圖，若AB、CD就是過(guò)橢圓巳+々=13>6>0）中心得兩條直線,且直線AB、CD得斜率積k杷…?尸一，點(diǎn)ab aE就是橢圓上異于A、C得任意一點(diǎn),AE交直線CD于K,CE交直線AB于L,求證：（當(dāng)）2+（券）,為定值.皿C.L

解解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EFLAB,垂足為F點(diǎn)，答：;CD±AB,aEFIICD,-EK_FOEL_EF , ,AEOACLCO又EF2+FO2=OE2=a2,，(嗎2+(嗎2二(四),(型)仃口飛吃金=1.為定值A(chǔ)KCLOACO相”2 2(2)如圖,設(shè)橢圓三+J=l(a>b>0)橢圓得長(zhǎng)軸、短軸分別為AB、CD,E在橢圓得BD部分上,AE交CD于K,CEa2b2證明:過(guò)點(diǎn)E作EFLAB,垂足為F點(diǎn),;CD±AB,aEFIICD,EKFOELEF,AEOACLCO嚕)2+警—哼+旨.為定值(3)如圖所示，過(guò)點(diǎn)E分別作EFIICD交AB與點(diǎn)F,EMIIAB交直線CD于點(diǎn)M.-EKFOELJO一,一.KAAOCLCO設(shè)A(X1,y1),C(x2,y2),D(-X2,-y2),B(-X1,-y1).E(x0,y0).則當(dāng)落b2設(shè)直線AB得方程為y=kx(h6),則直線CD得方程為產(chǎn)-%,.直線EF得方程為廠九二一七一屋一町)，直線EM得方程為y-y0=k(x-x0).3.Ka2a2kyn+b2s解得xF=-六一二，解得，解得Xm產(chǎn)舞-4町） ak+b解得合解得合M；，解得天，解得天.2二”/ak+b同理同理2，為定值，為定值.13.作斜率為《得直線l與橢圓C:三十一二1交于A,B兩點(diǎn)（如圖所示），且P巧）在直線i得左上方.3 do4⑴證明:△PAB得內(nèi)切圓得圓心在一條定直線上；（2）若NAPB=60；求△PAB得面積.⑴證明:設(shè)直線l：y=7；i+ir,A(x1,y1),B(x2,y2).將尸-^工+^弋入三^2-：］,中，化簡(jiǎn)整理得2x2+6mx+9m2-36=0.JJo4- 9m- 9m2-38y1-V2 -V2于就是有工廿行二一瓦，盯行二衛(wèi)「上骷二小工，昨f■；。^.則_（%一近）（,2一3的）+（甲2-迎）（叼一3五），~ ，、八五）（k2-372）上式中，分子=（!盯+m—W）（工2一3：萬(wàn)［十］］工2十口一；》）（H1一3；5）如心十（皿-2石）（叼+上）一S?（m-亞=（-3口）-6遍（m-近）=3m2-12-3m2+6Qm-6Q/12:0,從而,kPA+kPB=0. _又P在直線l得左上方,因此/APB得角平分線就是平行于y軸得直線，所以APAB得內(nèi)切圓得圓心在直線，二3??巧上.（2）解:若NAPB=60°時(shí)，結(jié)合（1）得結(jié)論可知；耳，kpB=-巧.直線PA得方程為:了一年二巧（耳一3巧），代人看+（二1中，消去y得14/+9用（1-3,屈什12（13-3*）=0.它得兩根分別就是x1與3，過(guò)所以町畤.■;2=—立「即廣至u.所以|PA|=：1+（門）2?IX1-3,'21=3、（尸".同理可求得|PB|二\、一1）.y1|DR|…d1瓦萬(wàn)〔瑞守1）又打（久年-1）V3117^3--Sapae=y|FAI“PEI-sineo瓦 ? ? ? ?f=FT.2 214.設(shè)橢圓C:丹+W=1（a>b>0）得左.右焦點(diǎn)分別為FF2,上頂點(diǎn)為A,過(guò)點(diǎn)A與AF2垂直得直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)abQ,且2一%+%口=0.⑴若過(guò)A.Q.F2三點(diǎn)得圓恰好與直線l:x-,門y-3=0相切,求橢圓C得方程；（2）在（1）得條件下，過(guò)右焦點(diǎn)F2作斜率為k得直線l與橢圓C交于M.N兩點(diǎn).試證明［7%+旨位為定值;②在x軸上就是否存在點(diǎn)P（m,0）使得以PM,PN為鄰邊得平行四邊形就是菱形，如果存在，求出m得取值范圍，如果不存在，說(shuō)明理由.

解：(1)由2F1F2+F2Q=。知:F1為F2Q中點(diǎn).又「?2a_Laq,「?IF]「?IF]QI=IF1AI=IFF2I，即F1為工AQF2得外接圓圓心而|F1A|=a,|F[F2|=2c,「.a=2c,又圓心為(-c,0),半徑r=a,???所求橢圓方程為［二10分）(2)①由(2)①由(1)知F2(1,0),y=k(x-1),'產(chǎn)k(x-1)v2 ，代入得(3+4卜2、2-8k2x+4k2-12=0,T=1設(shè)M(x1,y設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，則算]+K二Sk24k2-123+4k''叼'23十4k2,又「又「IF2MLa-expIFzNLa-ex2,一|F加一|F加十|F#!|二a-巳戈ia-ex2a2-ae工［+叼 / 3+41?一.工小口3+4k 4 3+4k3,為定值 / 3+41?一.工小口3+4k 4 3+4k3,為定值.（10分）②由上可知:y1+y2=k(x1+x2-2),FM+PN=(u2-m,y2)=(x1+x2-2m,y1+y2),由于菱形對(duì)角線垂直，則（PM+PM）:。,故k(y1+y故k(y1+y2)+x1+x2-2m=0廁k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0,-2正。,由已知條件知kN0且kGR,故存在滿足題意得點(diǎn)P且得取值范圍就是mC^.（15分）2 215.已知A,B分別就是橢圓C1:弓十堂1得左、右頂點(diǎn),P就是橢圓上異與A,B得任意一點(diǎn),Q就是雙曲線C2r一氣2 215.已知A,B分別就是橢圓C1:弓十堂1得左、右頂點(diǎn),P就是橢圓上異與A,B得任意一點(diǎn),Q就是雙曲線C2r一氣=1上異與A,B得任意一點(diǎn),a>b>0.(I)若P4,月),Q(1,1),求橢圓C］得方程;(口)記直線AP,BP,AQ,BQ得斜率分別就是占上2,%扁，求證:占42+%44為定值；(m)過(guò)Q作垂直于x軸得直線1,直線AP,BP分別交l于M,N,判斷APMN就是否可能為正三角形,并說(shuō)明理由.解答： - 2 2 2 2(I)解:「P(手，丙在橢圓孑十三二1上,Q碌1)在雙曲線孑一七二1上,上 ab 上 ab則①+②x3得:：%=4,a2=5,把a(bǔ)2=5代入①得,b2=4.,所以橢圓Cl得方程為1+亍=1(口)證明:由A(-a,0),B(a,0),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),k.?k9+k3*k4= ? + ? 1234Xj+a鼠 s2+a-a「設(shè)「(巧，丫日在橢圓孑十%=1上,Q(x2，y2)在雙曲線當(dāng)一七二1上,ab ab，y/=^a a2 2 2 2則k1?則k1?k2+k3?k4=所以k1?k2+k3?k4為定值；(m)假設(shè)△PMN就是正三角形,「.NMPN=NPMN=60°,此時(shí)又此時(shí)又;MN±x軸,...NPAN=30°,NPBA=30°,??.△PAB為等腰三角形,.??點(diǎn)P位于y軸上，且P在橢圓上,???點(diǎn)P得坐標(biāo)為(0,土b),即a=綜上,即a=綜上,當(dāng)a=：：3b,且點(diǎn)P得坐標(biāo)為(0,土b)時(shí),△PMN為正三角形.216.已知橢圓巳a號(hào)1得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2最b金 工(1)求橢圓方程;(2)過(guò)橢圓左頂點(diǎn)M(-a,0)與直線x=a上點(diǎn)N得直線交橢圓于點(diǎn)P求QP*8得值.⑶過(guò)右焦點(diǎn)且不與對(duì)稱軸平行得直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)Q(2,t),若Kqa+Kqb=2與l得斜率無(wú)關(guān)，求t得值.解:(1)由題意得，1+1口解得a2=2,b2=1故橢圓方程為(2)設(shè)N(.(2)設(shè)N(.2，n),P(X,Y)則MN得方程為產(chǎn)玲(葉巧)由?品3后齡之 得(4+皿2) 2K+2皿2-8二0由韋達(dá)定理得冗-/二由韋達(dá)定理得冗-/二'1'J所以算旦2―2■代入直線方程得4十/p(o^!4+ID)，0N)，0N二(耳，m)—?—,■目-2in????0P.0N= 丁4+ro2(3)AB得方程為x=my+1,設(shè)A(e,f),B(g,h)「直二叫斗］.由“得得得得(m2+2)y2+2my-1=0由“E+y與—,2nle-1所以f+h= —,fh=-5一m+2m+2_f_th-tf-th-t□A*QBe-2+g-2mf-1+nh-12mfh_(nrt+1)(f+h)+2t= 1112fh—m(f+h)+1:K:KQA+Kqb=2與l得斜率無(wú)關(guān)「.2t=2,即t=1.217.217.如圖,已知橢圓C；今a得焦=1Ca>b>0)得焦點(diǎn)為F1(1,0),F2(-1,0),離心率為三?，過(guò)點(diǎn)A(2,0)得直線l交橢圓b 上C于M、N兩點(diǎn).⑴求橢圓C得方程；(2)①求直線l得斜率k得取值范圍；②在直線l得斜率k不斷變化過(guò)程中,探究/MF1A與NNF1F2就是否總相等？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等,說(shuō)明理由.解:(1)解:(1)由已知條件知,-1,2等,解得平又b2=a2-c2=1,所以橢圓C得方程為看+y2=l;(2)設(shè)直線l得方程為y=k(x-2),聯(lián)立，得(1+2k2)x2-8k2x+8k2=2=0，①

聯(lián)立由于直線l與橢圓C相交，所以△=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0,解得直線l得斜率k得取值范圍就是一-^<k<￡;②乙MF②乙MF1A與NNF1F2總相等.證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則宜1+欠2- 9,宜1戈？二 Q,1十2k2 1十zd所以tanNMF所以tanNMF1A-了1 /2k(町-1)(tanNNF1F2=*1+卜nf1=,]_J叼_廣16k16k2-4_24k2 .山町小-3(芯if)+4] 'i+? l+2k2(^-DCx2-D-Q7l)(工廠1)二所以tanNMF1A=tanNNFF2，又NMF1A與NNF1F2均為銳角，所以NMF1A=NNF1F2.2 2 r18.已知橢圓E:%十?1(a>b>0)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之與為2?用離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為用可點(diǎn)Pa2b2 3就是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)F2作直線PF2得垂線F2Q交橢圓于Q點(diǎn).⑴求橢圓E得標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明:直線PQ與直線OQ得斜率之積就是定值；⑶點(diǎn)P得縱坐標(biāo)為3,過(guò)P作動(dòng)直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M、N,在線段MN上取點(diǎn)H,滿足強(qiáng)T，試證明點(diǎn)H恒PNHN在一定直線上.解:(1)解:(1)由題意可得‘。二2追巳日奇 ，解得a=-.-;l,c=1b=^g2所以橢圓所以橢圓E：］2(2)由(1)(2)由(1)可知:橢圓得右準(zhǔn)線方程為新工二3,C設(shè)P(3，yo)，Q(X1，y1)，I 兀了1 甲口了1因?yàn)镻F2U2Q，所以4型正?『二一尸所以-yiy0=2（xi-1）又因?yàn)閗pQ'koq叼一3it

1又因?yàn)閗pQ'koq叼一3it

1一汽口且月二2(1-y)代入化簡(jiǎn)得如“kg二一5即直線PQ與直線OQ得斜率之積就是定值一之(3)設(shè)過(guò)P(3,3)得直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)，點(diǎn)H(x,y),則24+3了：=6,2$+3益6.設(shè)普卷二人,則而二一人畫，而二人而，rl'Jnl'J「?(3-x],3-y1)=-入(x2-3,y2-3),(x-x1?y-丫俳入氏-x,y2-y)整理得3二町］_整理得3二町］_ 工2*巧一入萬(wàn)一產(chǎn)々一3一1八''1+3??從小車手V1-九V1-X2由于2工：+為3,2城+3說(shuō)=6,，我們知道著與得系數(shù)之比為2:3,x/以得系數(shù)之比為2:3.2x?-2k2x|+3y?-3X2y^2i?+3y?-”(2/+3t|)???小柿 rv 二 f 茨所以點(diǎn)H恒在直線2x+3y-2=0上.19.如圖,雙曲線C1：y-7二1與橢圓C2:亍+==l(0<b<2)得左、右頂點(diǎn)分別為A］、A2第一象限內(nèi)得點(diǎn)P在雙曲線C1上，線段OP與橢圓C2交于點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn).1'^UU4kG在(I)求證:^―--為定值(其中表示直線AA1得斜率,A等意義類似)；kpA］+kp乩工(II)證明:△OAA2與八OA2P不相似.2 2 2 2(III)設(shè)滿足{(x,y),-%二l,xCR,yeR}U{(x,y)片- >l,xGR,yGR)得正數(shù)m得最大值就是b,求b得值.廿 TTi匚 吐 ,」

(I)解:由已知得A1(-2,0),A2(2,0).設(shè)AW^yJP%%)，由題意知(I)解:由已知得A1(-2,0),A2(2,0).設(shè)AW^yJP%%)，由題意知A、P均在第一象限,而Q、O、A、P在同一直線上，所以x1y2=x2yl(定值)...(4分)故2O〈t〈l,P(x,y),則A(tx,ty)且kp/+kpA(II)證明:設(shè)質(zhì)二十而,2 2所以f,(t)=(2-1)一(2+-y<。恒成立,，函數(shù)f(t)在區(qū)間(0,1)上就是減函數(shù),>-? 2 「〕也I因此當(dāng)0Vt<1時(shí),f(t)>f(1)= +(2+^--4=0,即-^>—2 20A2 0?故:△OAA2與八OA2P不相似….(9分)???{(x,y)W(III)解油=-七二1得/J(1+匕)，由號(hào)-今得工2>}???{(x,y)W一g二l，xCR,yeR}U{(x,y)l亍一^->l,xGR,yGR}I因此VyN0,\一當(dāng)《當(dāng)苴一 0^m2<3所以b=巧因此b得值為-1.(13分)20.已知橢圓得中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2,且兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸得兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形得頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)F與x軸不垂直得直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn).⑴求橢圓得方程；(2)當(dāng)直線l得斜率為1時(shí),求^POQ得面積；⑶在線段OF上就是否存在點(diǎn)M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊得平行四邊形就是菱形？若存在，求出m得取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.2 2解:(1)由已知，橢圓方程可設(shè)為三+號(hào)1Ca>b>0).(1分)a2b2;兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸得兩個(gè)端點(diǎn)恰為正方形得頂點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2,...b=c=l,a=所求橢圓方程為女+/二1.(4分)(2)右焦點(diǎn)F(1,0)，直線l得方程為y=x-1.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由，二2得3y2+2y-1=0，解得打工-1,n二三..⑶一萬(wàn)馬⑼一空1=!(9分)⑶假設(shè)在線段OF上存在點(diǎn)M(m,0)(0<m<1),使得以MP,MQ為鄰邊得平行四邊形就是菱形.因?yàn)橹本€與x軸不垂直,所以設(shè)直線l得方程為y=k(x-1)(kN0).|[K2+2y2=2由4 可得(1+2卜2、2-4k2x+2k2-2=0.、產(chǎn)k(耳-1)一.爾—5k2-22l+2k?' 12l+2k2MP二【盯一m,y]),MQ=1,工一m,y2),PQ二(,工一h—/工一了1).其中x2-x產(chǎn)0以MP,MQ為鄰邊得平行四邊形就是菱形O(而十血)1PQ吟(而十位〕?瓦二°Q(x1+x2-2m,y1+y2Kx2-x1,y2-丫1)=00區(qū)+乂2-2m)(x2-乂,+%+丫2)。？-丫1)=00區(qū)+乂2-2m)+k(y[+y2)=0O(4k「2m)+k2(4k「2)=0^2k2-(2+4k2)m=0^nFk (k盧0).1十2r 1十2k2 1十2H.rn^~^.(14分)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 萬(wàn)21.已知橢圓七十與1(a>b>0)得離心率為《，且橢圓上得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)得距離與為2反斜率為k(kN0)得直ab 2線l過(guò)橢圓得上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P,Q兩點(diǎn)，線段PQ得垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M(0,m).(I)求橢圓得方程；(口)求m得取值范圍；(印)試用m表示△MPQ得面積，并求面積得最大值._ _ _解:(I)橢圓上得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)得距離與為2V反即2a=2V’2..a=巧

喙即當(dāng)橢圓三葉

月二工廠1（a>b>0）得離心率為b喙即當(dāng)橢圓三葉

月二cV2一二 ,又「a2=b2+c2,.,.b=l.又斜率為k（kNO）得直線1過(guò)橢圓得上焦點(diǎn)，即橢圓得焦點(diǎn)在Y軸上2「?橢圓方程為方+J=].（口）設(shè)直線1得方程為y=kx+l,由可得(k2+2)x2+2kx-1=0.設(shè)P(Xi，yi),Q(X2，y2)/>U=8k2+8>0-2k_ 1了（口）設(shè)直線1得方程為y=kx+l,由可得(k2+2)x2+2kx-1=0.設(shè)P(Xi，yi),Q(X2，y2)/>U=8k2+8>0-2k_ 1了1十'9~9，篡1,n-n?''k^+21d kz+24+〔盯+工J+2二一^ ,一k7設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N,則點(diǎn)N得坐標(biāo)為（^―，^―）,1C+2kz+22k+27M(0,m)/.直線MN得斜率k4N-——~"

M1N 區(qū)k2+2直線MN為PQ得垂直平分線,「.Oyku-1,2擊k+4_1 1可得一r一0--1.即用一4 /十2kz+2又kAO,「.k2+2>2,???即口<nK工k2+22 2（?。┰O(shè)橢圓上焦點(diǎn)為F,???y軸把△PQM分成了△PMF與AQMF,SAMPQ=SAPMF+%MF^FM"m4|FMIIx2U|FMI(|X1I+Ix2I)P,Q在y軸兩側(cè),?./X]i+ix2l=ll(X]-x2)Sampq=1?囪H町一叼「：卜（島1）q（好+2）由nF—一，可得k2+2」.又,「|FM|二1-m,「.S△皿口 (1—m).：班(1一m)二；2nl(1一ni),「.△MPQ得面積為舊.,(「□)%<*).設(shè)f(m)=m(1-m)3,貝Uf(m)=(1-m)2(1-4m).予短.此時(shí)△MPQ得面積為［受x］瑞上下可知f（m）在區(qū)間卬,予短.此時(shí)△MPQ得面積為［受x］瑞上下??.f(m)=m(1-m)3有最大值f)4??.△MPQ得面積有最大值爺.2 222.已知橢圓E-F^lCa>b>0）得左焦點(diǎn)F［（-尺，。），若橢圓上存在一點(diǎn)D,滿足以橢圓短軸為直徑得鏟b亡圓與線段DF1相切于線段DF1得中點(diǎn)F.（I）求橢圓E得方程；gJy2（口）已知兩點(diǎn)Q（-2,0）,M（0,1）及橢圓G—十七二1,過(guò)點(diǎn)Q作斜率為k得直線l交橢圓G于H,K兩點(diǎn),設(shè)線段HK得鏟b2中點(diǎn)為N,連接MN,試問當(dāng)k為何值時(shí)，直線MN過(guò)橢圓G得頂點(diǎn)？2 2，一一， 9x 4v一 -- ,（印）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O得直線交橢圓W-十制■二1于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸得垂線,垂足為C,連bz接AC并延長(zhǎng)交橢圓W于B,求證:PALPB.解:（I）連接DF2,FO（O為坐標(biāo)原點(diǎn),F2為右焦點(diǎn)）,由題意知:橢圓得右焦點(diǎn)為功（四，0）因?yàn)镕O就是△DFF2得中位線，且DFJFO,所以IDF2l=2IFOI=2b,所以|DFJ=2a-|DF2|=2a-2b,故lFF1 |DF1l=a-b,^（2分）在R3FOF1中,忻口|"|FF］|2二|網(wǎng)0|2即b2+（a-b）2=c2=5，又b2+5=a2,解得a2=9,b2=4,所求橢圓E得方程為［二1.…（4分）（口）由（I）得橢圓G:其,心二1

設(shè)直線l得方程為y=k（x+2）并代入J=1整理得:(k2+4)x2+4k2x+4k2-4=0由^〉。得：一<k<??.(由^〉。得：一<k<??.(5分)設(shè)H(x設(shè)H(x1,y1),K(X2，y2),N(X0,y0)K0=，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:二包…(6分)

k2+4①當(dāng)①當(dāng)k=0時(shí),有N（0,0），直線MN顯然過(guò)橢圓G得兩個(gè)頂點(diǎn)（0,-2）,（0,2）….（7分）②當(dāng)kN0時(shí)，則x產(chǎn)0,直線MN得方程為，+1此時(shí)直線MN顯然不能過(guò)橢圓G得兩個(gè)頂點(diǎn)（0,-2）,（0,2）;y0~1若直線MN過(guò)橢圓G得頂點(diǎn)（1,0），則0二」一+1,即x0+y0=1,HO所以-2k二所以-2k二1,解得:k=|，k二2（舍去），…（8分）若直線MN過(guò)橢圓G得頂點(diǎn)若直線MN過(guò)橢圓G得頂點(diǎn)（-1,0），則0=--所以口口1,1r+4 k"+4解得:L二一4+25k=-4-2區(qū)舍去）....（9分）綜上，當(dāng)k=0或k段或卜二一奸2月時(shí)，直線MN過(guò)橢圓G得頂點(diǎn)….（10分）J2（叫法一油（工）得橢圓W得方程吟+/=1,?（11分）根據(jù)題意可設(shè)P（m,n）,則A（-m,-n）,C（m,0）則直線AC得方程為y+n二卷（好品，…①過(guò)點(diǎn)P且與AP垂直得直線方程為了一門二一期Ck-id），…②n①x②并整理得與+/二十+/,又p又p在橢圓w上,所以日^n2=l,J2所以全+y=1,即①、②兩直線得交點(diǎn)B在橢圓W上，所以PA±PB..（14分）法二油（法二油（工）得橢圓W得方程為:~+了，根據(jù)題意可設(shè)P(m,n),則A(-m,-n),C(m,0),

kpji二益七隊(duì)二五’kpji二益七隊(duì)二五’所以直線所以直線AC：尸卷2 2 22 2 2化簡(jiǎn)得J-^x+y-2=0,所以所以1十町二就?”..（12分”..（12分）I因?yàn)閤A=-m,所以町二組學(xué)(，則加二2皿+n所以kpB二所以kpB二2m^+3nin二一3則kPA?kPB=-1,故PA±PB..（14分）2 223.已知橢圓七十號(hào)1 (a>b>0)與圓O:x2+y2=b2,過(guò)橢圓上一點(diǎn)P引圓O得兩條切線,切點(diǎn)為A,B.a2b2(1)(i)若圓O過(guò)橢圓得兩個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓得離心率e;(ii)若橢圓上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90°,求橢圓離心率e得取值范圍;『b2(2)設(shè)直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N,求證十一為定值.|0N|210Ml2（3分）（3分）解:（工）（i）;圓O過(guò)橢圓得焦點(diǎn)，圓O:x2+y2=b2,.?b=c,?.b2=a2-c2=c2,「?a2=2c2,(訂)由/APB=90。及圓得性質(zhì),可得I0P1=?用h,「?|OP|2=2b2空,「.a2<2c2」?/ 告巳<L(6分)（口）（口）設(shè)P（x0,y0）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,>^整理得x0x+y0y=x12+y12Vx12+y12=b2.二PA方程為：x1x+y1y=b2,PB方程為:x2x+y2y=b2..、,一xix+yiy=x2x+y2y,- z ———,宜2工1yo直線AB方程為1為二-詈（L叼），即x0x+y0y=b2.令x=0，得|0M仁|y|令x=0，得|0M仁|y|二式、;令y=0,得|d|二|x|二1s0b2|0N|210Ml之b4為定值，定值就是彳.（12分）V324.已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率為段，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑得圓與直線y=x+2相切.（I）求橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程；（口）設(shè)點(diǎn)F就是橢圓在y軸正半軸上得一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B就是拋物線x2=4y上得兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足即二人施（工》。），過(guò)點(diǎn)A,B分別作拋物線得兩條切線，設(shè)兩切線得交點(diǎn)為M,試推斷標(biāo)?版就是否為定值？若解：（工）解：（工）設(shè)橢圓方程為J+三二l（a>b>0）.（1分）就是，求出這個(gè)定值;若不就是，說(shuō)明理由.,2 2故橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程就是4+]=1（口）由橢圓方程知,c=1,所以焦點(diǎn)F（0,1），設(shè)點(diǎn)由AF二入FB,得（-x/-yM入?yún)^(qū)之-1），所以-乂1=入乂2，1-丫1=入。2-1）.于就是xj=入2x22.因?yàn)閤12=4y1,x22=4y2，則y「入2y2.聯(lián)立y]:人2y2與1-y]二人(y2-1),得丫]二入,y2=-^.因?yàn)閽佄锞€方程為y=x2,求導(dǎo)得y'=/x.設(shè)過(guò)拋物線上得點(diǎn)A、B得切線分別為Ipk，則直線l2得方程就是y4x2（x-x2）+y2,即y4x2x-*.直線1直線11得方程就是y=ix1（x-x'+yp即y=^x1x-[xj.聯(lián)立11與12得方程解得交點(diǎn)M得坐標(biāo)為11口」,」7上2 2 4因?yàn)閬V1乂2二-入x22=-4入丫2=-4.所以點(diǎn)M（ . .

25.已知橢圓得中心為O,長(zhǎng)軸、短軸得長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B25.已知橢圓得中心為O,長(zhǎng)軸、短軸得長(zhǎng)分別為2a,2b(a>b>0),A,B分別為橢圓上得兩點(diǎn)，且OALOB.⑴求證:爐定值;(2)求4AOB面積得最大值與最小值.2解：(1)設(shè)橢圓方程為三+91,設(shè)當(dāng)直線OA斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程為y=kx,ab12。，一y2「lOARlOBlk22_,2 2設(shè)A(x1,y1),b(x2,y2)^Ey=kx代入當(dāng)+^= 1得義]2/2,2社b.,2,2,2,^b+2。，一y2「lOARlOBlk22_,2 2設(shè)A(x1,y1),b(x2,y2)^Ey=kx代入當(dāng)+^= 1得義]2/2,2社b.,2,2,2,^b+ak,22,2kab,2,2,b+ak當(dāng)直線OA,OB其中一條斜率不存在時(shí)，則另一條斜率為0此時(shí)一三一1廠19TJ產(chǎn)|0A|2|0B|2屋b2相『綜上,亦"定值(2)S△AOB4OAIIOBI」.S^2AOB40Al2IOBI2由⑴知舟'|0B|2"^V"2"o；|2|o；|2-|OA|joB|，工aobT0A"甌咨,，4皿n冶舞占 a+d a+b;"2AOB』IOAI2IOB1210AI2(2、J ：一)△ 4 4 ”+-_ ]a2b2|0A|2

一S/WM綜上SaAOB用一S/WM綜上SaAOB用in二26.設(shè)F1、F2分別就是橢圓號(hào)+y2=1得左、右焦點(diǎn).??.IOAKa,「.SA2aqb<^⑴若P就是該橢圓上得一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求向量乘積FF1?PF2得取值范圍;（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)M（0,2）得直線l與橢圓交于不同得兩點(diǎn)M、N，且NMQN為銳角（其中Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l得斜率k得取值范圍.⑶設(shè)A（2,0），B（0，I）就是它得兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx（k>0）與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積得最大值.解:（i）根據(jù)題意易知b=1，c二月,所以F[1-舊，。），F(xiàn)2（解:（i）根據(jù)題意易知設(shè)P(x,y),則設(shè)P(x,y),則^-2<pf1-pf2<i.（2）顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l:y=kx+2，M（xI，yI），B（x2，y2），聯(lián)立+2_]，消去y，整理得聯(lián)立+2_]，消去y，整理得：（k23）/十兆冥十3二0,又0°<NMQN<90°ocosNMQN>0q0M'■口N>0,???xix2+yiy2>0，又yiy2=(kxi+2)(kxz+2)=k2xix2+2k(xi+x2)+4故由①、②得一2<丘<一當(dāng)故由①、②得一2<丘<一當(dāng)x2=2y2時(shí)，上式取等號(hào).所以S得最大值為21巧.即k2<4,「.-2<k<2.⑶由題設(shè),IBOI=1,IAOI=2.設(shè)^y1=kX1，y2=kx2,由乂2>0,丫2=-丫1>0,故四邊形AEBF得面積為S=S4bef+S^AEF=xz+2y2=..「百孤)2 227.已知橢圓七十=1(a>b>0)得左焦點(diǎn)F(-1,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)得比就是/b?(I)求橢圓得方程;(口)過(guò)F1作兩直線m,n交橢圓于A,B,C,D四點(diǎn)，若m,n,求證:出? 為定值.2a：2b=2