馬爾可夫過程轉(zhuǎn)移狀態(tài)下的設(shè)備的序列維修策略

馬爾可夫過程轉(zhuǎn)移狀態(tài)下的設(shè)備的序列維修策略

1設(shè)備狀態(tài)維修由于設(shè)備運行的磨損，磨損降低了設(shè)備的使用能力，導致設(shè)備性能惡化。設(shè)備維修包括消除設(shè)備性能低劣化的一系列的工程及管理活動,其作用是恢復(fù)設(shè)備的正常工作性能。設(shè)備維修保障生產(chǎn)和生活之需要,是管理工作不可或缺的重要環(huán)節(jié)。改良設(shè)備維修手段,增強維修服務(wù)的質(zhì)量及能力,提高設(shè)備維修的效率及經(jīng)濟效果,是維修服務(wù)研究的一個重要方向。維修有隨壞隨修、預(yù)防維修及狀態(tài)維修等三類形式。隨壞隨修是在設(shè)備出現(xiàn)故障時采取維修行動的一種方式,適用于維修便利、維修費用低的情形。預(yù)防維修是一種周期性的維修活動,一般按固定的設(shè)備使用時間或運行程度來采取維修行動,如車輛的使用年限、行車里程及發(fā)動機運轉(zhuǎn)時間等。近年來,由于設(shè)備運行狀態(tài)檢測儀器自動化化水平的提高及費用的下降,設(shè)備按可觀測的低劣化狀態(tài)來采取維修行動,已經(jīng)是一種值得關(guān)注的動向,狀態(tài)維修問題吸引了眾多研究者的注意力。1975年,Taylor提出了一種面向狀態(tài)維修的維修策略。此模型中,設(shè)備的低劣化狀態(tài)是一個遞增變量,隨著設(shè)備使用時間的延伸而發(fā)生變化。當設(shè)備的低劣化狀態(tài)達到或超過一個給定的控制點時,必須采取維修活動。Zuckerman,Bergman,AvenandGaarder,Chu,etal,Suetal和SahinandZahedi等人依據(jù)不同的設(shè)備運行條件及對低劣化過程的假設(shè),提出了此種控制點策略的確定模型。以上研究策略是以單臺設(shè)備為對象而提出的。如果不考慮設(shè)備維修服務(wù)能力,它可以擴展并應(yīng)用于多臺設(shè)備同時運行的情況。然而,在多臺設(shè)備運行的條件下,如果設(shè)備維修的服務(wù)能力有限,設(shè)備維修存在設(shè)備等待維修、產(chǎn)生隊列的可能性。設(shè)備維修低劣化狀態(tài)的控制點,就不僅取決于設(shè)備自身的運行規(guī)律,也將受到維修設(shè)備隊列的影響,從而產(chǎn)生多臺設(shè)備同時運行的隊列維修問題。在現(xiàn)實生活中,一個企業(yè)往往是使用多臺設(shè)備。例如,一家運輸公司擁有多輛車輛,一家物業(yè)公司照看多家房戶,一家航空公司飛行多架飛機。而企業(yè)的維修部門通常只有一個。本文只考慮此種實際情形,并將設(shè)備的低劣化狀態(tài)離散化,用馬爾可夫轉(zhuǎn)移過程建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型,分析概率均衡及穩(wěn)定時的結(jié)果。設(shè)備維修設(shè)置為單服務(wù)臺,并用負指數(shù)分布描述其維修時間。我們考慮設(shè)備運行的收益及維修費用是設(shè)備低劣化狀態(tài)的函數(shù),可以用設(shè)備運行的平均凈收益為目標函數(shù),評價設(shè)備維修的決策效果,并確定維修控制點。2設(shè)備投運狀態(tài)的狀態(tài)i狀態(tài)ij在一個企業(yè)中,考慮有n臺同樣的設(shè)備,每臺設(shè)備的低劣化狀態(tài)有m+1種,{0,1,…,m}。設(shè)備的低劣化狀態(tài)依據(jù)設(shè)備運行的技術(shù)特征及維修的實際需要,可以是設(shè)置為串聯(lián)、并聯(lián)混合的單向網(wǎng)絡(luò)形態(tài)。如汽車供油系統(tǒng)與轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的低劣化狀態(tài)是并行的,而它們與行走系統(tǒng)之低劣化狀態(tài)的關(guān)系卻是串聯(lián)的。按照Taylor的分析原理,設(shè)備應(yīng)存在一個維修決策的狀態(tài)控制點。我們先設(shè)置一個設(shè)備維修的控制點,稱進入狀態(tài),記為Se,它是并行的設(shè)備低劣化狀態(tài)的一個集合,當一個設(shè)備的低劣化狀態(tài)達到Se的規(guī)定或超過Se規(guī)定的界限時,只要服務(wù)臺有空,此設(shè)備應(yīng)立即送入服務(wù)臺進行維修。當存在設(shè)備維修隊列、服務(wù)臺沒有空時,我們繼續(xù)設(shè)置另一個設(shè)備維修的控制點,稱運行停止狀態(tài),記為Sp,它也是并行的設(shè)備低劣化狀態(tài)的一個集合。Sp中的狀態(tài)是比Se的低劣化程度更為嚴重的狀態(tài)。若一個設(shè)備的低劣化狀態(tài)沒有達到Sp的規(guī)定,服務(wù)臺又沒有空,此設(shè)備還可以繼續(xù)運行。若此設(shè)備的低劣化狀態(tài)達到了Sp的規(guī)定,此設(shè)備須無條件終止運行,并被送入維修隊列之中。在設(shè)備的運行過程中,若某些設(shè)備處于狀態(tài)Se與Sp之間但沒有達到Sp,此時若服務(wù)臺正好為空,應(yīng)從這些設(shè)備中選擇低劣化狀態(tài)最嚴重的設(shè)備立即投入維修。記λij是狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的到達率。若狀態(tài)i可以直接轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j,λij>0;若狀態(tài)i不能直接轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j,λij=0。記μi是服務(wù)臺維修狀態(tài)i設(shè)備的服務(wù)率。記ni為處于狀態(tài)i的設(shè)備的數(shù)量,(n0,…,nm)為設(shè)備低劣化的聯(lián)合狀態(tài),(n0,…,nm)k為服務(wù)臺正在修理某臺狀態(tài)k設(shè)備時的聯(lián)合狀態(tài)。Pt(n0,…,nm)和Pt(n0,…,nm)k分別是設(shè)備在t時刻處于聯(lián)合狀態(tài)(n0,…,nm)與(n0,…,nm)k時的概率。P(n0,…,nm)和P(n0,…,nm)k分別是設(shè)備處于聯(lián)合狀態(tài)(n0,…,nm)與(n0,…,nm)k時的穩(wěn)定概率。記So是從設(shè)備的初始狀態(tài)到設(shè)備維修的運行停止狀態(tài)的所有低劣化狀態(tài)之集合,Se∪Sp?So;S是從設(shè)備維修的進入狀態(tài)到運行停止狀態(tài)的所有低劣化狀態(tài)之集合Se?S,及Sp?S;Sf=So-S是從設(shè)備初始狀態(tài)到設(shè)備維修進入狀態(tài)的所有低劣化狀態(tài)之集合m*=max{i|i∈So};是設(shè)備維修管理最大可到達的低劣化狀態(tài);Sz={j|nj=0,allj∈S0}是設(shè)備沒有達到的低劣化狀態(tài)之集合;令δi={1,i=m*或若nj=0；j=i+1,?,m*;i<m*0,其它θ={1,若n0>00,其它從設(shè)備的初始狀態(tài)到設(shè)備維修的運行停止狀態(tài),往往存在多條路徑。若狀態(tài)i位于路徑r,ari=1;否則,ari=0。同一條路徑r上設(shè)備的數(shù)量滿足約束條件n∑i=0niari≤n。令A(yù)=[ari]及n是ni(i=0,…,m)組成的向量,則An≤n。位于運行停止狀態(tài)的設(shè)備數(shù)量滿足約束條件∑i∈Spni≤n?？紤]一種情況,經(jīng)過徹底維修,設(shè)備可以完全恢復(fù)性能,在一個循環(huán)中設(shè)備的初始狀態(tài)完全等價于“新設(shè)備”。因此,我們可以構(gòu)造出描述設(shè)備狀態(tài)轉(zhuǎn)移之馬爾可夫過程的微分方程。dΡt(nk,k∈Sf及nι=0,l∈Sˉodt=-(∑k∈Sfnk∑j>k,j∈Soλkj)Ρt(nk,k∈Sf及nl=0,l∈Sˉo)+∑q≥1,q∈Sˉo∩q?Sz∑j≤q-1,j∈S0-Sp,nj<n(nj+1)λjq?Ρt(nk,nj+1,nq-1,k∈Sf,k≠j≠q及nl=0,l∈Sˉo)+θ∑j∈SˉoμjΡt(n0-1,nk,k∈Sf,k≠0及nj=1,nl=0,l∈Sˉo,j≠l)j(1)dΡt(nk,k∈So)idt=-[∑k∈So-Sp,k≠ink∑j>k,j∈Soλkj+(ni-1)∑i?Sp,j>i,j∈Soλij+μi]Ρt(nk,k∈So)i+∑l≥1,l∈So∩l?Sz,∑j≤l-1,j∈S0-Sp,nj<n(nj+1)λjl?Ρt(nk,nj+1,nl-1,k∈So,j<l≠k)i+θδiμiΡt(n0-1,nk,ni+1,k∈S0,k≠i≠0)i+θδi∑j>i,ni>0μjΡt(n0-1,nk,nj=1,k∈S0,k≠j≠0)j,i∈Sˉo,i?Sz(2)方程(1)和(2)的穩(wěn)定概率表達為Ρ(nk,k∈Sf及nl=0,l∈Sˉo)=limt→∞Ρt(nk,k∈Sf及nl=0,l∈Sˉo)(3)和Ρ(nk,k∈So)i=limt→∞Ρt(nk,k∈So)i,i∈Sˉo,i?Sz(4)在穩(wěn)定狀態(tài)下,位于狀態(tài)i∈Sp,停下運行、等待維修的設(shè)備隊列之平均長度為Lˉoi=jw∑j=i|j∈Sp∑l∈Sp∑nl>0∩An≤nnlΡ(nk,k∈S0)j(5)其平均等待時間為tˉoi=jw∑j=i|j∈Sp[(∑l∈Sp∑nl>0∩An≤n(nl-1)Ρ(nk,k∈So)j+1)/μj∑nj>0,An≤nΡ(nk,k∈So)j](6)設(shè)備到達進入狀態(tài)并繼續(xù)運行,其平均數(shù)量為Lˉr=∑i∈Sˉo∑l∈Sˉo-Sp∑An≤nnlΡ(nk,k∈So)i+∑l∈Sˉo-Sp∑An≤nnlΡ(nk,k∈Sf)及nl=0,l∈Sˉo)(7)記P0是服務(wù)臺繁忙的概率,則Ρ0=∑j∈Sˉo∩nj>0Ρ(nk,k∈So)j。位于狀態(tài)i的設(shè)備正忙于修理的概率為Ρ′i=∑ni>0∩An≤nΡ(nk,k∈S0)i,i∈Sˉo(8)記γi及ci分別是設(shè)備處于狀態(tài)i時的運行收益與維修費用。一般地說,c0μ0≤…≤cmμm,γ0≥…≥γm。在穩(wěn)定狀態(tài),設(shè)備在運行過程中維修的平均費用率是∑i∈Sˉo∑An≤n∩(nk,k∈So)ciμiΡ(nk,k∈So)i(9)設(shè)備運行的平均收益率是∑An≤n[(∑k∈Srnkγk)Ρ(nk,k∈Sr及nl=0,l∈Sˉo)+(∑k∈So-Spnkγk)Ρ(nk,k∈So)i](10)最優(yōu)維修策略的選擇應(yīng)使設(shè)備運行的平均凈收益最大化,滿足maxSe,Sp{∑An≤n[(∑k∈Srnkγk)Ρ(nk,k∈Sr及nl=0,l∈Sˉo)+(∑k∈So-Spnkγk)Ρ(nk,k∈So)i]-∑i∈Sˉo∑An≤n∩(nk,k∈So)ciμiΡ(nk,k∈So)i}(11)方程(1)到(11)的建立描述了確定隊列維修的策略的基本模型。對模型(11),我們?nèi)菀子脝l(fā)式方法求解。計算方法如下:步驟1設(shè)S0e=S0p=S0ˉo={m},即狀態(tài)m既是進入狀態(tài),又是運行停止狀態(tài)。計算穩(wěn)態(tài)概率及平均凈收益π0;步驟2令k=k+1,使得i=max{q|λqj>0,?j∈Sk-1,q∈So-Sk-1ˉo}及Skˉo=Sk-1∪{i},更新Ske={j|λij>0,j∈Skˉo,i∈So-Sk}及Skp=Sk-1p。計算穩(wěn)態(tài)概率及平均凈收益πk;步驟3若πk>πk-1,返回步驟2,否則,令k=k-1,繼續(xù)下列步驟;步驟4令k=k+1,使得i=max{j|λqj>0,?j,q∈Sk-1ˉo,j≠q}及Skˉo=Sk-1ˉo-{i},更新Skp={j|λij>0,λjq=0,?j,q∈Skˉo,i∈So,i≠j≠q}及Ske=Sk-1e。計算穩(wěn)態(tài)概率及平均凈收益πk;步驟5若πk>πk-1,返回步驟4,否則,停止迭代計算,(Sk-1e,Sk-1p)為方程(11)的滿意解。以上算法中的穩(wěn)態(tài)概率,可以利用解析方法或模擬方法求解。3設(shè)備低成本狀態(tài)某部擁有一個30架某型號飛機組成的機隊及一個維修站。已知每架飛機安裝著兩臺同樣品種的發(fā)動機,每臺發(fā)動機按其磨損特性可分成{1,…,8}等8種低劣化程度遞增的設(shè)備狀態(tài),并記狀態(tài)0是發(fā)動機為“新”時的初始狀態(tài),狀態(tài)8是發(fā)動機徹底損壞、必須整體更新的狀態(tài)。依據(jù)發(fā)動機的有效運行時間度量,每一種狀態(tài)從上一級狀態(tài)轉(zhuǎn)移到位的到達率都是0.0017。對應(yīng)每種低劣化狀態(tài)的設(shè)備維修費用分別為{200,230,270,330,390,460,540,630}萬元,設(shè)備維修的服務(wù)率分別為{0.081,0.078,0.075,0.072,0.069,0.066,0.063,0.060}。對應(yīng)每種可運行的狀態(tài),設(shè)備的收益率為{4.5,4.2,3.6,3.1,2.5,1.8,1.0,0.1}萬元。我們依據(jù)模擬方法計算設(shè)備低劣化狀態(tài)的穩(wěn)定概率,并按照本文所提出的算法給出了計算過程及結(jié)果(見表1)。在表1中,第8次及第12次的搜索點是分別滿足計算方法中步驟3及步驟5之結(jié)束條件的判斷點。當計算達到第11次時,此算法得出了發(fā)動機隊列維修的滿意解,發(fā)動機維修的進入狀態(tài)是狀態(tài)1,運行停止狀態(tài)是狀態(tài)4。此時,發(fā)動機運行的平均凈收益率為157萬元/運行小時,在服務(wù)臺中達到狀態(tài)4并待修的發(fā)動機之平均隊長為25臺。4基于馬爾可夫轉(zhuǎn)移方程的設(shè)備維修改進策略隊列設(shè)備的維修問題之所以使研究人員倍感興趣,是因為影響一臺設(shè)備之維修決策的因素不僅包括設(shè)備的低劣化規(guī)律,而且還包括其它設(shè)備的決策選擇。設(shè)備的維修決策影響到維