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炭黑填充橡膠隔振器的動態(tài)特性
碳黑橡膠隔振器廣泛應(yīng)用于汽車減振系統(tǒng),如汽車動力整體懸頂、懸頂襯套、排氣系統(tǒng)懸耳、軸速偏轉(zhuǎn)減振器和動態(tài)吸振器。伴隨著國內(nèi)汽車行業(yè)的快速發(fā)展,汽車橡膠減振行業(yè)迅速崛起,并投入較大的精力于產(chǎn)品開發(fā)過程中,目前較具有實力的汽車橡膠減振器配套企業(yè)主要有寧波拓普減震系統(tǒng)有限公司、無錫沃可通用工程橡膠有限公司、東海橡塑(天津)有限公司和無錫雀來寶減震系統(tǒng)有限公司等。在橡膠隔振器的開發(fā)過程中,對橡膠隔振器動態(tài)特性的理解是開發(fā)理想的橡膠隔振元件的前提。其動態(tài)特性受激振頻率、激振振幅和預(yù)載等因素的影響,因而其動態(tài)特性的建模較為困難。為設(shè)計橡膠隔振器,須建立有效的計算方法,來準確預(yù)測含有橡膠隔振器振動系統(tǒng)的響應(yīng)。目前廣泛應(yīng)用的描述橡膠隔振揣動態(tài)響應(yīng)的模型有:Kelvin-Voigt(以下簡稱K-V)模型,Maxwell模型,標準線性固體模型等。這些模型主要描述橡膠隔振器的頻率相關(guān)特性,只有在模型的階數(shù)很高并運用較多的模型參數(shù)時才能準確地描述橡膠隔振器的動態(tài)特性,但這些參數(shù)的物理意義不明確。近年來,分數(shù)導(dǎo)數(shù)廣泛用于描述粘彈性材料的頻率相關(guān)性,它能用較少的參數(shù)擬合具有頻率相關(guān)特性的橡膠隔振器的動態(tài)特性,李軍強等在文獻中對包括上述的幾種模型在內(nèi)的線性粘彈性進行了較為全面的概括和比較。橡膠材料中加入碳黑補強填充劑,從而使橡膠材料呈現(xiàn)出類似于摩擦現(xiàn)象的特征,即動態(tài)特性隨激勵的振幅而變化,Berg在文獻中采用三個力分量疊加描述橡膠隔振器的力-位移關(guān)系,分別使用線彈性力描述橡膠隔振器的彈性特性,K-V粘性力描述其頻率相關(guān)性,并使用庫侖摩擦力考慮了其振幅相關(guān)性。Sj?berg用分數(shù)導(dǎo)數(shù)單元代替文獻中的K-V單元,減少了模型的參數(shù)并使模型參數(shù)的物理意義更為明確。應(yīng)用分數(shù)導(dǎo)數(shù)的模型頻域求解相對簡單,但時域的求解相對困難。Schmidt和Gaul在文獻中,詳細推導(dǎo)了使用分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型描述粘彈性材料率相關(guān)特性的時域求解方法;Enulund等基于滯彈性位移場理論和分數(shù)導(dǎo)數(shù)理論建立了時域求解的方法,并應(yīng)用到使用有限元方法求解分數(shù)導(dǎo)數(shù)時域粘彈性特性的問題中;李卓等也對分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型的有限元法形式進行了推導(dǎo)。本文利用超彈性、分數(shù)導(dǎo)數(shù)利摩檫模型描述橡膠隔振器的彈性特性及與振幅和頻率的相關(guān)性,模型參數(shù)由橡膠隔振器的動態(tài)特性辨識得到。實測了在隨機激勵和階躍激勵下,含有橡膠隔振器的單自由度系統(tǒng)中質(zhì)量塊的時域響應(yīng);建立了在不同的激勵下,含有橡膠隔振器的單自由度系統(tǒng)中質(zhì)量塊時域響應(yīng)的求解方法,對一實際的系統(tǒng)進行了計算分析,并與實驗值進行了對比分析,結(jié)果表明,本文建立的模型和預(yù)測含有橡膠隔振器振動系統(tǒng)中質(zhì)量塊時域響應(yīng)的方法,可以用于含有橡膠隔振器的復(fù)雜系統(tǒng)的時域響應(yīng)分析。1橡膠隔振器模型以及橡膠隔振器振動系統(tǒng)時域響應(yīng)的解決方案1.1率相關(guān)的特性本文分別使用超彈性模型、摩擦模型和分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型對橡膠隔振器動態(tài)特性隨預(yù)載、振幅和頻率相關(guān)的特性進行描述。如圖1所示為建立模型的示意圖,該模型力-位移之間的關(guān)系為:f=fhe[x(tn)]+fv[x(tn)]+ff[x(tn)](1)其中fhe為超彈性力,fv為粘彈性力,ff為摩擦力,f為合力,x為位移激勵,tn為時間。1.1.1彈性剛度的計算fhe=khex=(ke+kcorr)x(2)上式中,khe為修正后的非線性彈性剛度,ke為線彈性剛度,kcorr為彈性剛度的修正項,khe由建立的有限元模型計算得到,有限元分析模型中的超彈性材料模型由VanderWaals模型定義。1.1.2ffx型壓力/位移曲線應(yīng)用文獻中的庫侖摩擦力模型來描述橡膠隔振器動態(tài)特性與頻率相關(guān)性,該模型中,力與位移的關(guān)系為:ff=ffs+x-xsx2[1-sign(˙x)ffsffmax+sign(˙x)(x-xs)]ff=ffs+x?xsx2[1?sign(x˙)ffsffmax+sign(x˙)(x?xs)](3)上式中,ffmax和x2由橡膠隔振器在低頻、大振幅激勵下的力-位移曲線(見圖2)確定,ffmax表示最大摩擦力,當ff=ffmax/2時,x=x2,因此x2的大小表征摩擦力隨位移增加的變化趨勢;ffs和xs分別表示參考狀態(tài)的初始力和初始位移。1.1.3粘性力在grad函數(shù)上的求解應(yīng)用文獻中建立的分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型描述橡膠隔振器與頻率相關(guān)的特性,該模型的主要優(yōu)勢在于能使用較少的參數(shù)成功對測試的材料及零件數(shù)據(jù)在較寬的頻域范圍內(nèi)進行擬合,粘彈性的力-位移的關(guān)系為:fv=bdax/dta(4)其中b>0為模型的常量,dax/dta為a階導(dǎo)數(shù),定義為:daxdta=1Γ(1-a)dadt∫t0x(τ)(t-τ)adτdaxdta=1Γ(1?a)dadt∫t0x(τ)(t?τ)adτ(5)公式(5)中Γ為Gamma函數(shù),表達為Γ(β)=∫∞0sβ-1exp(-s)ds。粘性力在時域上的求解利用Grünwald定義獲得,可表示為:Dafv(tn)=limn→∞b(t/n)-aΓ(-a)n-1∑j=0Γ(j-a)Γ(j+1)xn-jDafv(tn)=limn→∞b(t/n)?aΓ(?a)∑j=0n?1Γ(j?a)Γ(j+1)xn?j(6)設(shè)cj(a)=Γ(j-α)Γ(-a)Γ(j+1)cj(a)=Γ(j?α)Γ(?a)Γ(j+1)則:c0(a)=1,c1(a)=-a??,cj(a)=(j-1-a)jΓ(j-1-a)Γ(j-1-a)Γ(-a)Γ(j)=(j-1-a)jcj-1(a)其中j=2,3,…n-1。利用以上關(guān)系式,可將式(6)寫成:Dafv(tn)=limn→∞b1(Δt)an-1∑j=0cj(a)xn-j(7)其中Δt=t/n為求解時間步長。當a=0時,由方程(7)描述的力-位移關(guān)系為純彈性變形;當a=1時,方程(7)描述的力-位移關(guān)系為粘性阻尼;0<a<1,方程(7)描述的力-位移關(guān)系同時具有彈性特性和粘性特性。1.2應(yīng)用難題的選取如圖3所示為包含一質(zhì)量塊和橡膠隔振器的單自由度系統(tǒng),位移激勵為y(t),單自由度的振動響應(yīng)為x(t),該系統(tǒng)的振動方程為:m??x+khe[x(t)-y(t)]+bDa[x(t)-y(t)]+ff=0(8)對方程(8)進行時域離散化,得到:m??xn+khe(xn-yn)+bDa(xn-yn)+ff,n=0(9)利用Newmark算法求解方程(9),其迭代算法為:xn=xn-1+Δt˙xn-1+1/2Δt2??xn-1(10)˙xn=˙xn-1+Δt[(1-β)??xn-1+β??xn](11)臨界時間步長為:Δtcrit=1ωmax√β/2(12)當β≥1/2時該算法有條件穩(wěn)定,其中ωmax為該單自由度系統(tǒng)的最高無阻尼固有頻率。應(yīng)用Newmark算法具體的求解的主要步驟為:1)設(shè)置x1=0,˙x1=0,ff,1=0并給Δt賦值;2)由公式(9),求解得到??xi;3)當2≤i≤n時,分別根據(jù)式(2)、(7)和(3)分別計算獲得fhe,i、fv,i和ff,i;4)由公式(9)計算得到??xi5)由公式(11)得到˙xi;6)由公式(10)求得xi+1;7)重復(fù)步驟3)到6),直至i=n。由以上步驟可計算得到質(zhì)量塊m的位移、速度和加速度隨時間變化的響應(yīng)。2橡膠隔振器動態(tài)特性的實驗研究橡膠隔振器動態(tài)特性和含有橡膠隔振器振動系統(tǒng)時域響應(yīng)的測試,是在寧波拓普減震系統(tǒng)有限公司測試中心MTS831振動實驗臺上進行的。這里利用的橡膠隔振器為一發(fā)動機懸置。在進行橡膠隔振器的動態(tài)特性實驗時,懸置的一端與實驗臺的作動頭相連,另一端則固定于實驗臺架上。詳細的實驗方法和實驗數(shù)據(jù)處理方法見文獻。在進行含有橡膠隔振器的單自由度系統(tǒng)時域響應(yīng)測試時,懸置的一端與MTS的作動頭相連,另一端則與一質(zhì)量塊相連,MTS的作動頭施加位移激勵,記錄質(zhì)量塊上加速度傳感器的信號,實驗裝置圖見圖4。3計算3.1kcorr模型識別橡膠隔振器摩擦模型的參數(shù)是通過橡膠隔振器在低頻、大振幅激勵下的力-位移曲線中獲得,在進行參數(shù)識別時需消除超彈性材料的非線性剛度影響,即計算獲得的khe中須減去kcorr的影響,這里在進行擬合時的kcorr見式(12),kcorr表現(xiàn)出隨位移x變化的非線性;并經(jīng)過作圖法(見圖2)識別得到ke、ffmax和x2。分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型參數(shù)a和b由公式(13)和橡膠隔振器在高頻、小振幅激勵下的橡膠隔振器實測動態(tài)特性擬和得到。式(13)中?k(ω)為橡膠隔振器的復(fù)剛度,kf為小振幅下摩擦力對剛度的貢獻,為摩擦力ff與振幅x的比值,在擬合時需考慮其影響,具體參數(shù)擬合及誤差消除方法請見文獻?;谝陨献R別方法獲得的模型參數(shù)見表1。kcorr=0.4355x4-0.9932x3-1.9314x2-4.0888x(12)?k(ω)=khe+b(iω)a+kf(13)3.2功率譜密度的轉(zhuǎn)換由于橡膠隔振器的動態(tài)特性與激振振幅、激振頻率和預(yù)載相關(guān),為了考察在不同激振振幅和頻率的位移激勵時,含有橡膠隔振器的單自由度系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng),實驗時的位移激勵為:概率分數(shù)的3σ幅值為2mm、衰減系數(shù)n為0.05(1/fn中的指數(shù)n,其中f為頻率)及平均數(shù)為50的隨機位移激勵信號。將時域力信號通過低通濾波,并經(jīng)傅里葉變換轉(zhuǎn)換到頻域得到功率譜密度,轉(zhuǎn)換公式為:p(ω)=limΤ→∞|F(jω)|2Τ(14)式(14)中p(ω)為功率譜密度,F(jω)為隨頻率變化的信號,ω為圓頻率,T為周期。實驗中質(zhì)量塊的質(zhì)量為15.4kg,基于作動端施加的隨機位移激勵信號和參數(shù)識別獲得的模型參數(shù),使用Newmark求解算法計算求得質(zhì)量塊的加速度響應(yīng)。求解時時間步長為0.00098s,β值為0.5;為了更易于求解,在實驗時取x(0)?˙x(0)為零,即設(shè)置初始時間段的位移為零。求解得到的單由度系統(tǒng)中質(zhì)量塊的響應(yīng)見圖6。由圖可見,時域上,實驗值與計算值基本吻合;轉(zhuǎn)換到頻域,高頻、小振幅激勵時模擬結(jié)果與實驗結(jié)果吻合得較好,低頻時由于大振幅的影響,計算結(jié)果有一定的誤差,但仍屬工程可接受范圍。圖7給出了在階躍激勵下,質(zhì)量塊時域響應(yīng)的實測值利計算值。由圖可見,在階躍激勵下,質(zhì)量塊的加速度從峰值開始衰減,計算值與實驗值吻合得較好,但計算值的衰減稍快于實驗值,這主要由于試驗時間步長較短和對橡膠隔振器阻尼的預(yù)測誤差引起。4隨機位移激勵的優(yōu)化算法本文建立了基于超彈性、分數(shù)導(dǎo)數(shù)和摩擦模型的橡膠隔振器動態(tài)特性模型的建模方法。并將該模型應(yīng)用到含有橡膠隔振器的單自由度振動系統(tǒng)中,建立單自
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