橢圓離心率的解法總結(jié)

橢圓離心率的解法橢圓的幾何性質(zhì)中，對于離心率和離心率的取值范圍的處理，同學(xué)們很茫然，沒有方向性。題型變化很多，難以駕馭。以下，總結(jié)一些處理問題的常規(guī)思路，以幫助同學(xué)們理解和解決問題。一、運(yùn)用幾何圖形中線段的幾何意義?；A(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢｜PF｜｜PD⊥L于D，QF⊥AD于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則①e=②e=③e=｜PD｜｜BF｜｜BO｜QF｜｜AO｜圓上，｜AF｜④e=｜BA｜｜FO｜⑤e=｜AO｜PDBQAFO評：AQP為橢圓上的點(diǎn)，根據(jù)橢圓的第二定義得，①②④。a；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。2∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤cxy22題目1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F、F，以FF為邊作正三角形，若橢圓恰1212ab22好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？ABFF21思路：A點(diǎn)在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取AF的中點(diǎn)B，連接BF,把已21知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造△FBF分三析角形的各邊長及關(guān)系。21解：∵｜FF｜=2c｜BF｜=c｜BF｜=3c1212cc+3c=2a∴e==3-1ax1：橢圓+y22變形=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F、F，點(diǎn)P在橢圓上，使△OPF為正三121ab22PFF21O角形，求橢圓離心率？解：連接PF,則｜2OF｜=｜OF｜=｜OP｜,∠FPF=90°圖形如上圖，e=3-112xy2122變形2:橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F、F，AB為橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，ab2212且PF⊥X軸，PF∥AB,求橢圓離心率？21BOPFFA12b解：∵｜PF｜=｜FF｜=2c｜2OB｜=b｜OA｜=aa121｜PF｜bPF∥AB∴=又∵b=a2-c221｜FF｜a215∴a2=5c2e=5點(diǎn)評：以上題目，式，推導(dǎo)離心率。二、運(yùn)用正xy構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，通過各邊的幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的方程余弦定理解決圖形中的三角形22題目2：橢圓+=1(a>b>0)，A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂點(diǎn)，∠ABF=90°，ab22求e?BAOF解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0兩邊同除以a2-1+5-1-5e2+e-1=0e=e=(舍去)22xy-1+5變形：橢圓+=1(a>b>0)，e=2,A是左頂點(diǎn)，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，B是短軸的一個頂ab2222點(diǎn)，求∠ABF？點(diǎn)評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°5-1引申：此類e=2的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、∠ABF=90°2、假設(shè)下端點(diǎn)為B,則ABFB四點(diǎn)共圓。13、焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線之1間的距離等于長半軸長?？偨Y(jié)：焦點(diǎn)三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。xy22題目3：橢圓+=1(a>b>0)，過左焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點(diǎn)，1ab22若｜FA｜=2｜BF｜,求e?11解：設(shè)｜BF｜=m則｜AF｜=2a-am｜BF｜=2a-m122a–c2=m(2a-c)22(a-c2)=m(2a+c)在△AFF及△BFF中，由余弦定理得：錯誤!未找到引用源。12122：2a-c12兩式相除=e=2a+c23xy22題目4：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F（-c，0）、F(c,0)，P是以｜FF｜為直ab221212的徑圓與橢圓的一個交點(diǎn)，且∠PFF=5∠PFF,求e?2112分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。｜FF｜｜FP｜｜PF｜=解：由正弦定理：=1212sinFPFsinFFPsinPFF121212根據(jù)和比性質(zhì)：｜FF｜｜FP｜+｜PF｜=1212sinFPFsinFFP+sinPFF121212｜FF｜12sinFPF12變形得：｜PF｜+｜FP｜=sinFFP+sinPFF=2112122c==e2a∠PFF=75°∠PFF=15°2112sin90°6e=sin75°+sin15°=3點(diǎn)評：在焦點(diǎn)三角形中，使用第一定義和正弦定理可知sinFPF1e=sinFFP+sinPFF21212xy22變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F（-c，0）、F(c,0)，P是橢圓上一點(diǎn)，ab2212且∠FPF=60°，求e的取值范圍？21分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)∠FFP=α，則∠FFP=120°-α2112sinFPFsin60°e=sinFFP+sinPFF=sinα+sin(120°-α)=121212111≥∴≤e<12sin(α+30°)22xy22變形2：已知橢圓+=1(t>0)FF為橢圓兩焦點(diǎn)，M為橢圓上任意一點(diǎn)（M不與長44t2121α軸兩端點(diǎn)重合）設(shè)∠PFF=α,∠PFF=β若<tan<tan<,求e的取值范圍？3222β11221分析：運(yùn)用三角函數(shù)的公式，把正弦化正切。α+βα+βcos22sin2sinFPF1sin(α+β)解;根據(jù)上題結(jié)論e=sinFFP+sinPFF=sinα+sinβ=α+βα-β2sin2cos221212αβαβcoscos-sinsin2222=αβαβcoscos+sinsin2222αβ1-tantan22==eαβ1-tan2tan211-e111∵<<∴<e<31+e232三、以直線與橢圓的位置關(guān)系為背景，用設(shè)而不求的方法找e所符合的關(guān)系式.xy22題目5：橢圓+=1(a>b>0)，斜率為1，且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩ab22→→→點(diǎn)，OA+OB與a=(3,-1)共線，求A(X1,Y1)OB(X2,Y2)e?法一：設(shè)A(x,y),B(x,y)2112b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=02ac2ac-2b2c22x+x=y+y=-2c=a+ba+ba2+b212221222→→OA+OB=(x+x,y+y)與（3，-1）共線，則12126-（x+x）=3(y+y)既a2=3b2e=31212→→→法二：設(shè)AB的中點(diǎn)N，則2ON=OA+OBxy22+=1①11ab22①-②得：xy22+=1②22ab22y-yb2x+x=-b62∴1=-a(-3)既a2=3b2e=3121x-xa2y+y22121四、由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。2→→題目6：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F（-c，0）、F(c,0)，滿足MF·MF=0的xy22ab221212點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？MOFF21→→分析：∵M(jìn)F·MF=0∴以FF為直徑作圓，M在圓O上，與橢圓沒有交點(diǎn)。1212解：∴c<b2a2=b2+c2>2c2∴0<e<2x題目7：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F（-c，0）、F(c,0)，P為右準(zhǔn)線L上一y22ab2212點(diǎn)，F(xiàn)P的垂直平分線恰過F點(diǎn)，求e的取值范圍？21PMFF21O分析：思路1,如圖FP與FM垂直，根據(jù)向量垂直，找a、b、c的不等關(guān)系。12思路2：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求ea2c-cy,)022a解法一：F（-c，0）F(c,0)P(,y)M(2c120→by2a2既(,0)則PF=-(+c,y)2c2c10→→→by2MF=-(-c,0)PF·MF=02c2212aby22(+c,y)·(-c,0)=0c2c20aby(+c)·(-c)+=022202c2c3a2-3c2≤0∴3≤e<1解法2：｜FF｜=｜PF｜=2c2