課件工科高等數(shù)學1第三章

第四節(jié)函數(shù)的單調性與極值3.4.1函數(shù)的單調性與極值yo

xy

f

(

x)xyy

f

(

x)a

oAB那末函數(shù)

y

f

(

x)

在[a,

b]上單調減少.f

(

x)

0

f

(

x)

0定理1

設函數(shù)

y

f

(

x)在[a,

b]上連續(xù)，在(a,

b)內可導.如果在(a,

b)內f

(

x)

0，那末函數(shù)

y

f

(

x)在[a,b]上單調增加；如果在(a,b)內f

(x)

0，b

abBA證

x1

,x2

[a,b],且x1

x2

,應用拉氏定理,得

x1

)f

(

x2

)

f

(

x1

)

f

(

)(

x2

(

x1

x2

)若在(a,b)內，f

(x)

0,則f

(

)

0,

f

(x2

)

f

(x1

).

y

f

(x)在[a,b]上單調增加.若在(a,b)內，f

(x)

0,則f

(

)

0,

f

(x2

)

f

(x1

).

y

f

(x)在[a,b]上單調減少.注1:區(qū)間內個別點導數(shù)為零或者導數(shù)不存在,不影響函數(shù)的單調性.y

3

xxy0xyoy

x3y

3

x在x

0處不可導y

x

3

在x

0處導數(shù)為0注2:定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結論仍然成立.解例1討論函數(shù)

y

e

x

x

1的單調性

.

y

ex

1.在(

,0)內,在(0,

)內,y

0,y

0,

函數(shù)在(-

,0]上單調減少；

函數(shù)在[0,+

)上單調增加.D

:

(

,

).注：如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調的，但在各個部分區(qū)間上單調．定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內是單調的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調區(qū)間.例2解確定函數(shù)

f

(

x)

3

x2

的單調區(qū)間.

D

:

(

,

).233, (

x

0)xf

(

x)

當x

0時,導數(shù)不存在.233, (

x

0)xf

(

x)

在[0,

)上單調增加；當0

x

時，f

(x)

0,當x

0時,導數(shù)不存在.當

x

0時，f

(

x)

0,

在(

,0]上單調減少；單調區(qū)間為(

,0]，[0,

).x2y

3導數(shù)等于零的點和不可導點，可能是單調區(qū)間的分界點．方法:(1)求導數(shù)f

(x);求駐點和不可導的點;檢查f

(x)在駐點和不可導點左右的正負號;單調區(qū)間的分界點：例3確定函數(shù)

f

(

x)

2

x

3

9

x

2

12

x

3的單調區(qū)間.解

D

:(

,

).f

(

x)

6

x2

18

x

12

6(

x

1)(

x

2)解方程f

(x)

0

得，x1

1,x2

2.當

x

1時，f

(x)

0,當1

x

2時，f

(

x)

0,當2

x

時，f

(

x)

0,

在(

,1]上單調增加；

在[1,2]上單調減少；

在[2,

)上單調增加；單調區(qū)間為(

,1]，

[1,2]，

[2,

).的單調區(qū)間.2例4.確定函數(shù)y

x

3

e-x解：函數(shù)的定義域為(

,

)23(

x

)x

3y

e

x3當x

(

,0):y

0

函數(shù)在（

，0]內單調減少；導數(shù)等于零的點：x

2

,導數(shù)不存在的點：x

0，3

32當x

(0, )

:

y

0

函數(shù)在[0

2]內單調增加；當x

(2，

):y

0

函數(shù)在[2，

）單調減少；3

3單調區(qū)間為（

，0]，[0

2]

[2，

），

，3

3例5證3!成立.x

3當x

0時,試證sin

x

x

x

3設f

(

x)

sin

x

x

,3!x

2

則

f

(

x)

cos

x

1

,2f

(x)

x

sin

x

0

在f

(x)[0,

)上單調增加；

f

(0)

0,

當x

0時，f

(x)

0,.3!x

3

在f

(x)[0,

)上單調增加,f

(x)

0,

即sin

x

x

f

(0)

0,注：函數(shù)單調性的判斷提供證明不等式的又一種方法(0

x

1).1

x例6：證明不等式

e2

x

1

x

,原不等式變形為(1

x)e2

x

(1

x)

0

(*)設

f

(

x)

(1

x)e2

x

(1

x)f

(

x)

(1

2

x)e2

x

1f

(x)在[0,1]內單調減少

f

(

x)

f

(0)

0,

x

(0,1)

當x

[0,1]時，f

(x)單調減少

當x

(0,1)時，f

(

x)

f

(0)

0即（*）式成立。證明f

(

x)

4xe2

x

0

4有且只有一個實根。例7：證明方程

x

arctan

x

04設f

(

x)

x

arctan

x4f

(

1)

1f

(0)

,

f

(x)至多有一個零點證明0

f

(x)單調增加11

x

2又f

(x)

1

由連續(xù)函數(shù)的零點存在定理知：函數(shù)f

(x)至少有一個零點

f

(x)

0有且只有一個實根。(利用羅爾定理反證也可)小結方程實根的個數(shù)零點定理Rolle定理利用函數(shù)的單調性判別Lagrange中值定理證明不等式利用函數(shù)的單調性判別注意:函數(shù)的單調性是一個區(qū)間上的整體性質，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定．思考題若f

(0)

0，是否能斷定f

(x)在原點的充分小的鄰域內單調遞增？思考題解答不能斷定.

12

0,

x

0

x

2

x

sin

,

x

0x例f

(x)

x

x

0f

(0)

lim

(1

2

x

sin

1

)

1

0但1,

x

0xxf

(

x)

1

4

x

sin

1

2cos1(2k

1)

當x

240(2k

1)

時，f

(x)

1

12k

當x

2時，f

(x)

1

0注意k可以任意大，故在

x0

0

點的任何鄰域內，f

(

x)

都不單調遞增．習題3.41（1）（4）、2（2）（3）（4）、3（2）（4）、4（2）、8、10思考題證明方程

2

x

x

2

1有且僅有三個實根第十六屆北京市大學生數(shù)學競賽提示:顯然f

(

x)

2x

x2

1f

(0)

0,

f

(1)

0,f

(2)

1

0,

lim

f

(

x)

x

故在整個實數(shù)軸上的零點個數(shù)至少有三個.另外注意到f

(x)

2x

ln2

2

2

0有唯一解或利用

f

(

x)

2x

ln3

2

0,例8、方程x

3

2

x

2

6

x

3

0的實根個數(shù)解：令f

(x)

x

3

2

x

2

6

x

3，則f

(

x)

3

x

2

4

x

6即函數(shù)f

(x

)在整個實數(shù)軸上單調遞增又

lim

f

(

x)

,

lim

f

(

x)

x

x

僅有一個實根0例9、討論方程ln

x

ax(a

0)有幾個實根a令f

(x)

0，則x

1

,a

當0

x

1，

f

(

x)

0,

f

,解：令f

(x)

ln

x

ax，則xf