北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第1章勾股定理 單元同步練習(xí)題 （含答案）

第第頁(yè)北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第1章勾股定理單元同步練習(xí)題（含答案）2023-2024學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》單元同步練習(xí)題（附答案）

一、單選題

1．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（）

A．，，B．，，C．，，D．，，

2．在中，斜邊，則的值為（）

A．B．C．D．無(wú)法計(jì)算

3．已知中，，，，斜邊邊上的高的長(zhǎng)度為（）

A．B．5C．D．10

4．如圖，一棵大樹(shù)被臺(tái)風(fēng)刮斷，若樹(shù)在離地面處折斷，樹(shù)頂端落在離樹(shù)底部處，則樹(shù)折斷之前高（）

A．B．C．D．

5．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（）．

A．1cmB．1.5cmC．2cmD．3cm

6．如圖一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高分別是5，3和1，和是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)上有一只螞蟻，想到點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)的最短路程長(zhǎng)為（）

A．10B．11C．12D．13

7．如圖，在水塔的東北方向處有一抽水站，在水塔的東南方處有一建筑工地，在間建一條直水管，則水管的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

8．如圖，有一個(gè)透明的直圓柱狀的玻璃杯，現(xiàn)測(cè)得內(nèi)徑為，高為，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度最少為（）

A．B．C．D．不能確定

二、填空題

9．如圖，在中，，BD平分交AC于點(diǎn)D，若，，，求．

10．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為8，16的長(zhǎng)方形紙片折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則的長(zhǎng)是．

11．如圖，貨車(chē)車(chē)高，卸貨時(shí)后面擋板折落在地面處．已知點(diǎn)A、B、C在一條直線上，，經(jīng)過(guò)測(cè)量，則．

12．如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A，點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線交于點(diǎn)D，則線段的長(zhǎng)為．

13．如圖，一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：），計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為．

14．如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．

15．如圖是某公園的一角，有人為了抄近道而避開(kāi)路的拐角，于是在草坪內(nèi)走出了一條不該有的“捷徑路”．已知米，米，他們踩壞了米的草坪，只為少走米的路．

16．如圖，在中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿A→C→B運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，那么當(dāng)，△APE的面積等于12．

三、解答題

17．如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)．

18．為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的所在的直線上建一圖書(shū)室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處，于A，于B．已知，，，試問(wèn)：圖書(shū)室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？

19．一架方梯長(zhǎng)25米，如圖所示，斜靠在一面上：

(1)若梯子底端離墻7米，這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

(2)在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

20．我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來(lái)探究下列兩個(gè)問(wèn)題：

(1)如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)你用它驗(yàn)證勾股定理；

(2)如圖2，在中，是邊上高，，，求的長(zhǎng)度．

21．問(wèn)題探究

（1）如圖1，M，N分別是正方形的邊，上的動(dòng)點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．

深入探究

（2）若把（1）中的條件改為，，求的長(zhǎng)．

類(lèi)比探究

（3）在（2）的條件下，如圖2，當(dāng)點(diǎn)M，N分別在正方形的邊，的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．

22．如圖1，長(zhǎng)方形（對(duì)邊平行且相等，四個(gè)角都是直角）中，，，點(diǎn)在邊上，且不與點(diǎn)、重合，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．

(1)當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；

(2)將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在長(zhǎng)方形的內(nèi)部，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．

①證明，并求出在（）條件下的值；

②連接，求周長(zhǎng)的最小值．

參考答案

1．解：、，這組數(shù)不是勾股數(shù)；

B、，這組數(shù)不是勾股數(shù)；

C、，這組數(shù)是勾股數(shù)；

D、，這組數(shù)不是勾股數(shù)，

故選：C．

2．解：∵在中，斜邊為，

∴，

∵，

∴，

∴，

故選．

3．解：∵，，，

∴根據(jù)勾股定理可得：，

∵，

∴，即，

解得：，

故選：A．

4．解：如圖，設(shè)，，

∴，

∴樹(shù)高為，

故選B．

5．解：在中，，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：．

∵，

∴．

故選A．

6．解：如圖所示，

∵三級(jí)臺(tái)階平面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，寬為5，長(zhǎng)為，

∴螞蟻沿臺(tái)階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)，

由勾股定理得，

則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)最短路程是13．

故選：D．

7．解：根據(jù)題意可知，，，

所以，．

所以，水管的長(zhǎng)為．

故選：A．

8．解∶，

，

露出杯口外的長(zhǎng)度為．

故答案為：B．

9．解：在中，，，

∴，

∵，

∴，

故答案為：5．

10．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，，，

∵長(zhǎng)方形，

，，

，

，

∴，

由勾股定理得，，

即，

解得，

．

故答案為：10．

11．解：由題意得，，，

設(shè)，則，

在中，，

即：，

解得：．

∴，

故答案為：．

12．解：連接．

由作圖可知，點(diǎn)D在線段的垂直平分線上，則．

設(shè)，則．

∵，

∴

∴．

在中，，

即

解得：

故答案為：

13．解：由圖可知：，，

根據(jù)勾股定理可得：，

故答案為：5．

14．解：，

，

點(diǎn)D為的中點(diǎn)，

，

又，

，

，

中，，，

，

．

故答案為：．

15．解：在中，米，米，

∴，

∴踩壞了10米的草坪，

∵．

∴只為少走4米的路．

故答案為：10，4

16．解：∵，，，

∴，

∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

∴，

．

當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

∵的面積等于12，即，

∴，

∴秒；

當(dāng)點(diǎn)P在線段運(yùn)動(dòng)時(shí)上且在點(diǎn)E的右邊時(shí)，，如圖2所示，

同理可知，

∴秒；

當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)且在點(diǎn)E的左邊時(shí)，如圖3所示，

同理可知，

∴秒；

故答案為∶3或18或22．

17．解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，

，

，

，

點(diǎn)是中點(diǎn)，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

在中，，

，

的長(zhǎng)為12．

18．解：設(shè)圖書(shū)室E應(yīng)建在距A點(diǎn)x千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等，

則千米；

∵，，

∴，，

∵，

∴，

即，

解得：，

答：圖書(shū)室E應(yīng)建在距A點(diǎn)千米處，才能使它到兩所學(xué)校的距離相等．

19．（1）解：在中，（米），（米），

∴（米），

答：梯子的頂端距地面24米；

（2）解：在中，（米），

∴（米），

∴（米），

答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．

20．（1）解：大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為：，

即．

（2）在中，

，

由勾股定理，得：

，

，

．

21．解：（1）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)B1，使．

∵四邊形是正方形，

∴．

在和中，

∴．

∴．

又∵，

∴，

∴．

在和中，

∴．

∴．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P，則．

∵四邊形是正方形，

∴，

∴．

又∵，

∴．

在和中，，

∴．

∴．

在和中，，

∴．

∴．

∵，

∴．

設(shè)，則，

在中，由勾股定理得，

∴，解得，

∴．

（3）如圖，延長(zhǎng)，過(guò)A作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

由正方形知，則B，

∵

∴．即

∵

∴

∴，又

∴．

在與中，

∴

∴

由，知

在中，設(shè)

則．

由勾股定理得，，

即：

解得．

∴的長(zhǎng)度為．

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