真空中靜電場場強(qiáng)的計(jì)算

常數(shù)，0為半徑R與X軸所成的夾角，如圖常數(shù)，0為半徑R與X軸所成的夾角，如圖1所示。它在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為dE=4k8R20在x、y軸上的二個(gè)分量dE二-dEcos0dE二-dEsin0真空中靜電場場強(qiáng)的計(jì)算張貴銀任何帶電體都要在空間激發(fā)電場，靜止帶電體激發(fā)的電場稱為靜電場，靜電場的空間分布通過物理量電場強(qiáng)度來描述，靜電場的有源無旋性通過與電場強(qiáng)度相關(guān)聯(lián)的高斯定理和場強(qiáng)環(huán)路定理來體現(xiàn)。所以電場強(qiáng)度是靜電學(xué)部分最重要、最基本的一個(gè)概念，對(duì)于給定的任一帶電體，了解和掌握其電場強(qiáng)度的計(jì)算方法具有重要的實(shí)際意義。場強(qiáng)的計(jì)算是靜電學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文對(duì)電場強(qiáng)度的計(jì)算方法進(jìn)行了歸納、總結(jié)。一、迭加法電場強(qiáng)度的基本特性之一就是可迭加性，該特性提供了計(jì)算任意帶電體場強(qiáng)的基本方法一一迭加法，該方法的基本思想是：以熟知的點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式E二 戸為基礎(chǔ)，當(dāng)4兀sr30帶電體系由若干個(gè)分離的點(diǎn)電荷組成時(shí)，直接應(yīng)用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式，進(jìn)行矢量迭加，即得空間場強(qiáng)的分布；當(dāng)帶電體電荷連續(xù)分布時(shí)，將帶電體視為由無數(shù)個(gè)電荷元組成，電荷元激發(fā)的場強(qiáng)由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式描述，無數(shù)個(gè)電荷元場強(qiáng)的迭加，即整個(gè)帶電體激發(fā)的電場強(qiáng)度。例1、一帶電細(xì)線彎成半徑為R的半圓形，電荷線密度為九二九sin0，式中九為試求環(huán)心O處的電場強(qiáng)度。解：在①處取電荷元，如圖2,其電量為dq=Xdl=九°Rsin0d0dq九sin0d0=—o—4K8R0九o—九o—8eR0九E=Ei+Ej=— o—xy8eR0對(duì)各分量分別求和九fo JKsin0cos0d0=04K8R00九o sin2?d04K8R00迭加法求場強(qiáng)的一般步驟是：首先在帶電體上選取適當(dāng)?shù)碾姾稍?，寫出電荷元在場點(diǎn)激發(fā)的電場強(qiáng)度，若各電荷元在場點(diǎn)激發(fā)的電場強(qiáng)度方向相同，將電荷元在場點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)直接積分即得帶電體在場點(diǎn)激發(fā)的電場強(qiáng)度；反之，需將電荷元在場點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)沿選取的

正交方向進(jìn)行分解，對(duì)場強(qiáng)分量積分得總場強(qiáng)的分量，進(jìn)而獲得待求點(diǎn)的電場強(qiáng)度。原則上，利用迭加法，可計(jì)算任何帶電體激發(fā)的電場分布，主要困難是積分的運(yùn)算。二、高斯定理法場源電荷分布的對(duì)稱性決定著場強(qiáng)分布的對(duì)稱性，當(dāng)電荷分布具有特殊對(duì)稱性時(shí)利用高斯定理可方便地求出場強(qiáng)。例2、均勻帶電球面內(nèi)外的場強(qiáng)分布。設(shè)球面半徑為R,所帶總電量為Q。解：由題意知，電荷分布具有球?qū)ΨQ性，所以場強(qiáng)的分布亦具有球?qū)ΨQ性，場強(qiáng)的方向沿著徑向，且在以球心為圓心的各球面上的場強(qiáng)處處相等。可選同心球面為高斯面。如圖3所示，當(dāng)r>R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷為Q,通過高斯面的電通量①=jjE-dS=EjjdS=4兀r2Ee根據(jù)高斯定理：①°根據(jù)高斯定理：①°二4兀廠2E二Q/8o二呈=欽二rRr>R4兀sr20當(dāng)r<R時(shí)，高斯面內(nèi)電荷為0該例題代表著一類對(duì)稱性電荷分布激發(fā)場強(qiáng)的計(jì)算方法，只要帶電體電荷分布具有球?qū)ΨQ性（均勻帶電球體、均勻帶電球殼等圖）3,則場強(qiáng)的分布亦具有球?qū)ΨQ性?？蛇x取同心球面形狀高斯面求場強(qiáng)分布。利用高斯定理求場強(qiáng)的一般步驟是：首先根據(jù)電荷分布的對(duì)稱性分析場強(qiáng)分布的對(duì)稱性，然后根據(jù)場強(qiáng)對(duì)稱性分布的特征選取適當(dāng)?shù)母咚姑?，最后利用高斯定理求出電場?qiáng)度。利用高斯定理求場強(qiáng)分布，通常電荷分布呈現(xiàn)的對(duì)稱性包括：球?qū)ΨQ性（均勻帶電球體、均勻帶電球殼等）、柱對(duì)稱性（無限長均勻帶電圓柱體、無限長均勻帶電圓柱面等）、面對(duì)稱性（無限大均勻帶電平面）。三、場勢(shì)關(guān)系法E=-VE=-VU求出場強(qiáng)分布。例3、計(jì)算均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn)P的電勢(shì)。已知圓環(huán)帶電量為q,半徑為R解：在帶電圓環(huán)上取電荷元dq,如圖4所示，電荷元在P點(diǎn)激發(fā)電勢(shì)：dUdqdU4兀8r整個(gè)帶電圓環(huán)在P整個(gè)帶電圓環(huán)在P點(diǎn)激發(fā)電勢(shì):U=j出4兀8rL0即：q即：4兀8(Z2+R2)120qz所以P點(diǎn)電場強(qiáng)度:qzE=-VU=-巴k= kdz 4兀8(R2+z2)320

四、補(bǔ)缺法有些帶電體具有一定的規(guī)則缺陷，求解該類帶電體的場強(qiáng)分布，行之有效的方法是補(bǔ)缺法，該方法的基本思想是：先將原帶電體的規(guī)則缺陷補(bǔ)全，使之成為一個(gè)完整的規(guī)則帶電體，再在原帶電體的規(guī)則缺陷處疊加一個(gè)與原帶電體缺陷形狀相同但帶異號(hào)電荷的規(guī)則帶電體也就是說，將原帶電體視為由兩個(gè)帶異號(hào)電荷的規(guī)則帶電體疊加而成，原帶電體激發(fā)的電場與兩個(gè)規(guī)則帶電體分別激發(fā)的電場疊加等同。而對(duì)兩個(gè)規(guī)則帶電體，其激發(fā)電場的場強(qiáng)分布已知或易于求解，這樣可簡化原場強(qiáng)的求解。例4、在半徑為比，電荷體密度為P的均勻帶電球體內(nèi)，挖去

一個(gè)半徑為R2的球體空腔，空腔中心02與帶電球體中心O］間的距

離為b，且R1>b>R2,如圖5所示。求空腔內(nèi)任一點(diǎn)p的電場強(qiáng)度E。解：這是一個(gè)電荷非對(duì)稱分布的問題，不能直接用高斯定理求解。但半徑為R1的球和半徑為R2的空腔是球?qū)ΨQ的，利用這一特點(diǎn)，把帶電體看成半徑為R1的均勻帶電+P的球體與半徑為R2的均勻帶電-P的球體迭加，這相當(dāng)于空腔處補(bǔ)上電荷體密度分別為+p和-P的兩個(gè)球體，這時(shí)空腔內(nèi)任一點(diǎn)p的場強(qiáng)：E=E+E12其中￡嚴(yán)2分別是帶電+P的大球和帶電-P的小球在P點(diǎn)的場強(qiáng)，E嚴(yán)2都可用高斯定理求得：E=3rr (