一類歐式期權(quán)定價(jià)的偏微分方程解的推廣

一類歐式期權(quán)定價(jià)的偏微分方程解的推廣

cev模型的退化經(jīng)典的灰色旗定價(jià)模型將證券市場(chǎng)的預(yù)期收益率和波動(dòng)率描述為常數(shù)。事實(shí)上，很難在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中找到這樣的模型。越來(lái)越多的科學(xué)家認(rèn)為，模型應(yīng)該是非線性的。波動(dòng)率和預(yù)期收益率應(yīng)描述為時(shí)間和價(jià)格水平的一般函數(shù)。在文獻(xiàn)中，關(guān)于糾正效應(yīng)和績(jī)效率的描述主要基于時(shí)間函數(shù)。因此，考慮到空間問(wèn)題，僅將黑面模型用于以下用途。其中Wt是定義在完備概率空間(Ω,F.P)上的Wiener過(guò)程.股票期望收益率μ(St)和波動(dòng)率σ(St)都為股票價(jià)格的一般函數(shù),并假定函數(shù)μ(·)連續(xù),σ(·)為n階可導(dǎo).r為金融市場(chǎng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率.當(dāng)函數(shù)μ(·)和σ(·)為常數(shù)時(shí),該模型退化為經(jīng)典的Black-Scholes模型,該模型下的期權(quán)定價(jià)解析表達(dá)式也被Black和Scholes等人陸續(xù)給出.隨著眾多學(xué)者多年來(lái)的研究,經(jīng)典BlackScholes期權(quán)定價(jià)模型下的理論及其推廣已經(jīng)非常的完善,美式、亞式、回望等新型期權(quán)都已經(jīng)被人做了相應(yīng)的研究,并且極大地推動(dòng)了金融市場(chǎng)的發(fā)展.當(dāng)函數(shù)μ(·)為常數(shù),時(shí)(σ0和β為常數(shù)),模型(1)退化為Cox和Ross提出的CEV模型在CEV模型中,將波動(dòng)項(xiàng)描述為股票價(jià)格的冪函數(shù),部分解決了“波動(dòng)率微笑”問(wèn)題,即股票價(jià)格過(guò)高時(shí),股票的波動(dòng)率會(huì)增大這一事實(shí),但是當(dāng)股票價(jià)格過(guò)低時(shí)CEV模型非但不能描述波動(dòng)率會(huì)增大這一事實(shí),反而使得波動(dòng)率越來(lái)越小了.Cox證明了當(dāng)β=0.5時(shí)的結(jié)論,Hsu,Lin和Lee應(yīng)用Fokker-planck方程證明了當(dāng)β>1時(shí)的結(jié)論,而當(dāng)β<1時(shí)的結(jié)論早已被Campbell和Glosten,Brandt和Kang等人分別解出.本文將這些模型更一般化,將股票的期望收益率描述為股票價(jià)格的連續(xù)函數(shù),波動(dòng)率描述為股票價(jià)格的n階可導(dǎo)函數(shù),運(yùn)用求解偏微分方程的方法得到了歐式期權(quán)的解析表達(dá)公式.文中所得結(jié)論涵蓋了上述文獻(xiàn)的結(jié)果.資策略及模型假設(shè)未定權(quán)益在到期日T的損益為g(ST),t時(shí)刻的無(wú)套利價(jià)格為V(t,St),且V(t,St)關(guān)于t一階可導(dǎo),關(guān)于St二階可導(dǎo).下面考慮一無(wú)套利投資組合.在該無(wú)套利投資組合中包含無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券,股票和未定權(quán)益,并假定其投資策略為θt=(,),其中,分別表示持有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券,股票的數(shù)量.因此,由無(wú)套利定價(jià)的自融資投資策略定義可知:存在投資策略θt使得定理2.1未定權(quán)益g(ST)在t時(shí)刻的無(wú)套利價(jià)格應(yīng)滿足如下的偏微分方程其倒向初值條件為證由Ito公式及式(1)可得又因?yàn)橛墒?3)(自融資策略)可得因此,對(duì)照式(5)和式(6)可得聯(lián)立式(3)和式(7)可得由V(T,ST)=g(ST)知F(T,x)=g(x),(t,x)∈[0,T]×R+,可得定理結(jié)論成立.為了方便地求解偏微分方程(4),補(bǔ)充如下的預(yù)備知識(shí).考慮拋物型方程其中P=P(t,x),a,b,h都為常數(shù),且a>0.引理2.1(見(jiàn)[10,p175])上述拋物型偏微分方程在邊值條件下,存在唯一解:詳細(xì)的證明見(jiàn)文獻(xiàn).掃碼過(guò)濾和實(shí)際情況下的e0t,y首先考慮歐式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題,假定當(dāng)前為t時(shí)刻,同時(shí)它也是股票發(fā)行時(shí)刻,期權(quán)的交割日期為T,交割價(jià)格為K,因?yàn)闅W式看跌期權(quán)的損益為(K-ST)+,因此令g(x)=(K-x)+并帶入式(4),可得歐式看跌期權(quán)在該模型下所滿足的偏微分方程其倒向初值條件為可得將f(y)進(jìn)行泰勒展開(kāi)其中θ為常數(shù).并假定Ei(t,y)分別是偏微分方程組的解,則將式(12)中n+1個(gè)偏微分方程疊加可得是偏微分方程(10)的一個(gè)近似解。這里Ei(t,y)分別滿足邊值條件因此,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何求解偏微分方程組(12).定理3.1偏微分方程有唯一解從而偏微分方程(13)化為其邊界條件變?yōu)楦鶕?jù)熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)典解,其唯一強(qiáng)解表示為將邊界條件帶入,可得對(duì)上述變換做逆變換可得E0(t,y).定理3.2偏微分方程在倒向初值條件下,有惟一解證因?yàn)镋i(t,y)是方程的解,所以做變換y=Inx,上式可化為令z=x-i,可得由引理2.1可知它有唯一解對(duì)上述變換求逆運(yùn)算可得定理證明.定理3.3損益為(K-ST)+的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式為其中n=1,2,3,…,θ為常數(shù).證將定理3.1和定理3.2結(jié)論帶入式(11),并對(duì)變換(9)求逆變換可得定理證明.定理3.4損益為(ST-K)+的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為其中證因?yàn)闅W式看漲期權(quán)的損益為(ST-K)+,因此,令g(x)=(x-K)+并帶入式(4),可得歐式看跌期權(quán)在該模型下所滿足的偏微分方程運(yùn)用變換(9),則上述方程可化為相同地,將f(y)進(jìn)行泰勒展開(kāi),可以把方程(21)化為近似方程求解問(wèn)題,在不致引起混淆的情況下,用Fi(t,y)分別表示偏微分方程組的解.由此可見(jiàn),歐式看跌期權(quán)的求解只有P0(t,y)部分與歐式看漲期權(quán)求解過(guò)程中的E0(t,y)不同,而Fi(t,y)=Ei(t,y),i=1,2,…,n.因此,只需求解方程然后聯(lián)立定理3.2可得定理證明,運(yùn)用變換(14),偏微分方程(23)化為其邊界條件變?yōu)楦鶕?jù)熱傳導(dǎo)方程的經(jīng)典解,其唯一強(qiáng)解將邊界條件帶入,可得對(duì)上述變換做逆變換可得結(jié)論成立.推論3.1歐式看漲、看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系為證將定理3.3和定理3.4結(jié)論帶入可得結(jié)論成立.值得注意的是,由于式(10)對(duì)f(·)進(jìn)行了拉格朗日型泰勒展開(kāi),使得定理3.3和定理3.4中出現(xiàn)了一個(gè)未知的常數(shù)θ,使得定理在實(shí)際使用時(shí)受到了很大的限制.這里不妨將f(·)展開(kāi)式中的尾項(xiàng)舍去,則可得如下不含任何未知參數(shù)的歐式期權(quán)近似計(jì)算公式.推論3.2歐式看漲、看跌期權(quán)的近似計(jì)算公式為n=1,2,3,…,n取值越大,結(jié)果精確度越高,d1,d2,Ci(t,St),Pi(t,St)見(jiàn)定理3.3,定理3.4歐、德機(jī)構(gòu)的假設(shè)基于以上結(jié)論考慮上節(jié)給出的近似計(jì)算公式的誤差問(wèn)題.令其中,α>0,β>0,則根據(jù)洛必達(dá)法則有因此,當(dāng)β>1時(shí)可得令則Rc表示歐式看漲期權(quán)的誤差,Rp表示歐式看跌期權(quán)的誤差.由定理3.3、定理3.4、推論3.1、推論3.2可知定理4.1存在正整數(shù)N和正數(shù)M,滿足當(dāng)n>N時(shí),有證當(dāng)n足夠大時(shí),有依據(jù)式(21),存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)有又因?yàn)楦鶕?jù)極限的有界性,存在正常數(shù)M2滿足因此,當(dāng)n>N時(shí)有.crank-niconson格式差分法結(jié)果分析基于以上結(jié)論,不妨以歐式看跌期權(quán)為例,用Crank-Nicolson格式差分法所得數(shù)值結(jié)果和定理3.3所獲得的看跌期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)行比對(duì).在定理3.3中假定當(dāng)前股票價(jià)格為50,執(zhí)行價(jià)格為50,首先考慮波動(dòng)率為常數(shù)情形,假定年平均波動(dòng)率為0.3.將定理3.3退化的結(jié)論同差分法所得結(jié)論進(jìn)行比對(duì),所得數(shù)據(jù)見(jiàn)表1和表2.在表1情形下,ds代表股票價(jià)格迭代步長(zhǎng),dt代表時(shí)間迭代步長(zhǎng),并假設(shè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r=0.1.定理3.3所得歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為2.8446,隨著股票價(jià)格迭代步長(zhǎng)dS逐漸變小,CrankNicolson格式差分法所得數(shù)值結(jié)果逐漸靠近通過(guò)公式求解所得結(jié)論.在表2情形下,假定r=0.2,定理3.3所得歐式看跌期權(quán)的價(jià)格經(jīng)計(jì)算為2.0400,可以看出表2所述數(shù)值結(jié)論更接近定理3.3的數(shù)值結(jié)果.在此基礎(chǔ)之上,考慮波動(dòng)率非線性情形,假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率為0.1,波動(dòng)率滿足函數(shù)σ2(St)=0.16+0.01sin(1000St),套用定理3.3中的結(jié)論,可得該類型歐式看跌期權(quán)為4.0781,通過(guò)Crank-Nicolson格式差分法所得結(jié)論見(jiàn)表3.綜上所述,本文所得結(jié)論是可靠的,而且本文所得結(jié)論數(shù)值計(jì)算時(shí),十分簡(jiǎn)便,只需將近似結(jié)果編入matlab直接計(jì)算.而有限差分法提供的Crank-Nicolson格式需要將股票價(jià)格的取值范圍(0,+∞