第七章窄帶隨機過程

第七章窄帶隨機過程第1頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月目錄窄帶隨機過程的一般概念與預備知識希爾伯特變換窄帶隨機過程的性質窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布第2頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page3

一個平穩(wěn)隨機過程，若它的功率譜密度在頻率軸的某個區(qū)域之外為零，或者說，它的功率譜帶寬為有限值，那么，便稱它為限帶隨機過程，簡稱限帶過程。在限帶過程中，根據(jù)其功率譜分布區(qū)域的不同，分為低通過程和帶通過程。若平穩(wěn)隨機過程X(t)其功率譜密度具有以下特點則稱X(t)為低通過程。第3頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page4若X(t)的功率譜密度滿足則稱X(t)為帶通過程。第4頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page5若在上式中，則稱X(t)為高頻窄帶隨機過程，簡稱窄帶隨機過程。第5頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page6一、正弦型信號的復數(shù)表示方法簡單的正弦型信號可以表示為很明顯，s(t)是t的實值函數(shù)，稱s(t)為實信號。第6頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page7對于式的正弦信號來說，一種最常用的復數(shù)表示形式是復指數(shù)函數(shù)。定義復指數(shù)函數(shù)為或式中稱之為復包絡。比較以上兩式可得，第7頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page8

將復指數(shù)函數(shù)展開，可得式中，s(t)是原來的實信號，是另一個實信號。第8頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page9設s(t)是任意實信號，具有頻譜，根據(jù)前面的討論，任何實信號都具有雙邊帶的頻譜。為了簡化分析，我們想尋找一種復信號，它同時滿足式中，是該復信號的頻譜。二、任意信號的復數(shù)表示方法第9頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page10利用令則第10頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page11

現(xiàn)在假定我們已經(jīng)找到一個復信號，它的頻譜滿足又從而第11頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page12解析信號進一步得出上式給出了解析信號的虛部和它的實部（即原來的實信號）s(t)之間的關系式，把它稱為希爾伯特（Hilbert）變換，記作第12頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page13歸納以上的討論，可以得出幾點結論：（1）對應于任何實信號s(t)，都可以找到一個同時兩個條件的復信號。（2）可將此復信號表示成解析表達式其虛部是s(t)的希爾伯特變換，即（3）式給出的是一種非常重要的復信號的表示形式。通常把它稱為s(t)的解析信號或s(t)的預包絡。第13頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page14三、高頻窄帶信號的復數(shù)表示方法所謂高頻窄帶信號（或簡稱窄帶信號）是指信號的頻譜限制在載波頻率附近的一個頻率范圍內(nèi)，而且此頻帶范圍遠小于載波頻率。常將窄帶信號表示為展開可以得到其中由于、都是低頻限帶信號?？梢?，和也都是低頻限帶信號，且與彼此正交。第14頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page151.窄帶信號的復解析表示

若s(t)為窄帶信號，其振幅頻譜如下圖所示，定義窄帶信號的解析信號為式中，。從而的振幅頻譜如下頁圖所示。窄帶信號頻譜舉例第15頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page16解析信號的振幅頻譜第16頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page172.窄帶信號的復指數(shù)表示定義s(t)的復指數(shù)函數(shù)為

式中

通常，將稱為的復包絡；將稱為復載頻?？梢?，復包絡也是低頻限帶信號。即，復指數(shù)函數(shù)的實部就是窄帶信號s(t)。第17頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page18下面再來求的頻譜。

對下式兩端作傅里葉變換，并利用傅里葉變換的相乘性質及可得可見，具有單邊帶頻譜。第18頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page19下面我們再來求復指數(shù)函數(shù)的頻譜與原來實信號s(t)的頻譜之間的關系:

或上式說明，用復指數(shù)信號表示實窄帶信號s(t)時，雖然它的實部仍為原來的實信號s(t)，但是，它的頻譜不滿足即。這是復指數(shù)信號與解析信號的差別。第19頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機過程的一般概念與預備知識Page20下圖畫出了窄帶信號條件下，、和之間的關系。第20頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page21

定義：在區(qū)間內(nèi)給定實值函數(shù)x(t)，它的希爾伯特變換記作（或者記作）用代入上式，進行變量置換，可得到上式的等效形式為

第21頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page22下面給出希爾伯特變換的兩個重要性質：（1）希爾伯特變換相當于一個正交濾波器。

希爾伯特變換等效為90°移相的線性濾波器第22頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page23

推廣：若是低頻帶限的平穩(wěn)信號（功率譜的最高非零頻率限制在以下），則有：并且有：H[奇函數(shù)]=偶函數(shù)，H[偶函數(shù)]=奇函數(shù)第23頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page24（2）希爾伯特逆變換為第24頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換希爾伯特變換的性質（1）兩次變換等于反相第25頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換第26頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page27（4）對于平穩(wěn)隨機信號，它的希爾伯特變換也是平穩(wěn)的，并且有：證明：第27頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換第28頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page29（5）希爾伯特變換是正交變換。當輸入是平穩(wěn)信號時，有：這表明：與功率相等且彼此正交。證明：由性質（3）可得：因為是偶函數(shù)，所以是奇函數(shù)，即希爾伯特變換前、后信號的功率相等。于是可得：因此，在同一時刻上與彼此正交。第29頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page30第30頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page31第31頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page32第32頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page33第33頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月希爾伯特變換Page34第34頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機信號的性質Page35分析條件X(t)是任意的寬平穩(wěn)、數(shù)學期望為零的實窄帶隨機過程。已知窄帶過程的包絡和相位相對于ω0都是慢變化過程，則很明顯Ac(t),As(t)相對于ω0為慢變部分。第35頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機信號的性質Page36性質1：X(t)是均值為0的平穩(wěn)過程，則Ac(t),As(t)也是均值為0的平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)性質2：自相關函數(shù)相同：平均功率相同：方差相同：性質3：功率譜密度相同

第36頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機信號的性質Page37第37頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月窄帶隨機信號的性質Page38性質4：互相關函數(shù)：互相關函數(shù)為奇函數(shù)：在同一時刻兩者正交：性質5：互功率譜密度

第38頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page39窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布假定窄帶高斯過程X(t)的均值為零,方差為σ2寬帶噪聲N(t)高頻窄帶系統(tǒng)包絡檢波相位檢波窄帶高斯過程X(t)平方律檢波第39頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page40窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布若X(t)為高斯過程，則Ac(t),As(t)也應為高斯過程，并且都具有零均值和方差σ2

由于Ac(t),As(t)在同一時刻是互不相關的，且二者都是高斯過程，所以，它們在同一時刻也是互相獨立的。

第40頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page41窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布又由于A(t)和Φ(t)的聯(lián)合概率密度為即可得第41頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page42窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布包絡的一維概率密度為瑞利分布相位的一維概率密度為均勻分布在同一時刻窄帶高斯過程的包絡和相位是互相獨立的隨機變量第42頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page43窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布包絡和相位的二維概率分布求包絡和相位的二維概率密度的步驟如下：先求出四維概率密度

然后轉換為

最后再推導出,

第43頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page44窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布兩過程獨立四維的聯(lián)合分布可以用二維分布來表示：

（1）求第44頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page45窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布第45頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page46窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布（2）求第46頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page47窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布其它第47頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page48窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布（3）求的二維分布第一類零階修正貝塞爾（Bessel）函數(shù)包絡的二維分布第48頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page49窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布相位的二維分布窄帶隨機過程的包絡和相位的二維分布彼此是不獨立的第49頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page50余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布隨機余弦信號為已知常數(shù)，在上均勻分布。均值為零，方差為的平穩(wěn)隨機過程。關于偶對稱。（均為高斯分布）高斯窄帶噪聲理解分析過程第50頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page51余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布合成信號合成信號的包絡合成信號的相位第51頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page52窄帶高斯隨機過程的包絡和相位的概率分布（1）求在給定條件下的方差二維條件概率密度均值高斯過程第52頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page53余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布（2）求在給定條件下的由于：包絡與相位的二維條件概率密度第53頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page54余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布（3）求包絡的一維概率密度包絡的一維概率密度n=2的萊斯分布a=0時，變?yōu)槿鹄植?，即前面窄帶過程的包絡分布第54頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page55余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布當r<<1時，（小信噪比時）（瑞利分布）當r>>1時，（大信噪比時）討論：第55頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page56余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布(高斯分布)包絡的概率密度函數(shù)第56頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page57余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布（4）求相位的一維概率密度當r0時，（小信噪比時）（均勻分布）概率積分函數(shù)第57頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page58余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布其均值為

，方差為高斯分布當r→∞時，（無噪聲）當r>>1時，（大信噪比時）第58頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page59余弦信號與窄帶高斯過程之和的概率分布相位的概率密度函數(shù)信噪比r極小時，接近均勻分布信噪比r較大時，在θ附近接近高斯分布信噪比趨于r→∞時，趨于在上的一個沖激相位的一維概率密度總結第59頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page60窄帶高斯過程包絡平方的概率分布若窄帶高斯過程通過平方律檢波器，其輸出是包絡的平方，即為窄帶高斯過程的包絡服從瑞利分布，即已知，則Ut的概率密度為窄帶高斯過程的包絡平方為指數(shù)分布窄帶高斯噪聲包絡平方的分布第60頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page61窄帶高斯過程包絡平方的概率分布包絡平方因為包絡服從萊斯分布包絡平方的概率密度余弦信號加窄帶高斯噪聲包絡平方的概率分布第61頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page62窄帶高斯過程包絡平方的概率分布

分布

定義：若n個互相獨立的高斯變量X1,X2,…,Xn的數(shù)學期望都為零，方差為

，則的分布是具有n個自由度的中心

分布（1）中心

分布

第62頁，課件共69頁，創(chuàng)作于2023年2月Page63窄帶高斯過程包絡平方的概率分布概率密度為

性質：兩個互相獨立的具有分布的隨機變量之和仍為分布，若它們的自由度分別為n1和n2，其和的自由度為n=n1+n2。