人教A版（2023）選修第一冊1.1.1空間向量及其線性運算（含解析）

第第頁人教A版（2023）選修第一冊1.1.1空間向量及其線性運算（含解析）人教A版（2023）選修第一冊1.1.1空間向量及其線性運算

（共19題）

一、選擇題（共11題）

已知，則下列向量中與平行的是

A．B．

C．D．

已知向量，滿足，則等于

A．B．C．D．

空間四點，，，的位置關系為

A．共線B．共面C．不共面D．無法確定

給出下列命題：

①將空間中所有的表示單位向量的有向線段的起點移到同一個點，則它們的終點構成一個圓；

②若空間向量，滿足，則；

③若空間向量，，滿足，，則；

④空間中任意兩個單位向量必相等；

⑤零向量沒有方向．

其中假命題的個數(shù)是

A．B．C．D．

已知，，與共線，則

A．B．C．D．

空間兩向量，互為相反向量，已知向量，則下列結論正確的是

A．B．為實數(shù)

C．與方向相同D．

已知向量，，，則向量的坐標為

A．B．

C．D．

已知，，三點不共線，對于平面外的任一點，下列條件中能確定點與點，，一定共面的是

A．B．

C．D．

已知，，且，則的值為

A．B．C．D．

如圖，四棱錐的底面是矩形，底面．設，，，是的中點，則

A．B．

C．D．

已知向量，則與共線的單位向量可以是

A．B．

C．D．

二、填空題（共4題）

若，，三點共線，則．

已知向量，，，且，則．

已知，，，為空間中任意四點，化簡．

已知點，，點滿足，則的坐標是．

三、解答題（共4題）

如圖，點，分別在對角線，上，且，．求證：向量，，共面．

已知平面向量，，，，求：

(1)向量，的坐標；

(2)向量與的夾角．

已知是坐標原點，且，，三點的坐標分別是，，，求適合下列條件的點的坐標：

(1)；

(2)；

已知，，，分別是空間四邊形的邊，，，的中點．

(1)求證：，，，四點共面；

(2)求證：；

(3)設是和的交點，求證：對空間任一點，有．

答案

一、選擇題（共11題）

1.【答案】D

【解析】若，則，

所以．

2.【答案】B

【解析】因為，所以，所以．

3.【答案】C

4.【答案】D

【解析】命題①是假命題．若將空間中所有表示單位向量的有向線段的起點移到同一個點，它們的終點將構成一個球面，而不是一個圓

命題②是假命題．根據向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同．

命題③是真命題．向量的相等滿足遞推規(guī)律．

命題④是假命題．空間中任意兩個單位向量的模均為，但方向不一定相同，所以不一定相等．

命題⑤是假命題．零向量的方向是任意的．

5.【答案】D

6.【答案】D

【解析】因為，互為相反向量，

所以．

又因為，

所以．

7.【答案】A

【解析】向量，，，

則向量．

8.【答案】B

【解析】由空間平面的向量表示式知，空間一點位于平面內的充要條件是存在實數(shù)，，使，可以變形為，注意到，，的系數(shù)和為，滿足這個條件的只有選項B．

9.【答案】B

【解析】因為，，

所以，．

又因為，

所以，

解得，，

所以．

10.【答案】B

【解析】

11.【答案】C

【解析】因為向量，

所以不妨設與共線的單位向量，

則．

解得，

所以與共線的單位向量為或．

二、填空題（共4題）

12.【答案】

【解析】因為，，且，，三點共線，

所以存在實數(shù)，使得．

即，

所以解得

所以．

13.【答案】

14.【答案】

【解析】方法一（利用相反向量的關系轉化為加法運算）：

方法二（利用向量的減法運算法則求解）：

15.【答案】

【解析】設，為坐標原點．由點滿足，得，可得，則的坐標是．

三、解答題（共4題）

16.【答案】由題圖知，

所以向量，，共面．

17.【答案】

(1)因為，，，

所以，

所以

因為，，

所以，

所以

所以，．

(2)設與的夾角為，

因為，，

所以．

因為，

所以．

故與的夾角為．

18.【答案】

(1)由題得，．

因為

所以．

(2)因為

所以，

所以．

19.【答案】

(1)如圖，連接，

則

由共面向量定理的推論知，，，四點共面．

(2)因為，

又，，，