大一上學(xué)期(第一學(xué)期)高數(shù)期末考試題及答案

大一上學(xué)期(第一學(xué)期)高數(shù)期末考試題及答案高等數(shù)學(xué)I（大一第一學(xué)期期末考試題及答案）1.當(dāng)$\alphax$和$\betax$都是無(wú)窮小時(shí)，$\alpha(x)+\beta(x)$不一定是無(wú)窮小。2.極限$\lim\limits_{x\toa}\dfrac{\sinx+e^{2ax}-1}{x}$的值是$2a$。3.如果$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln(x+a)-\lna}{x},&x\neq0\\\quad\quad1,&x=0\end{cases}$在$x=a$處連續(xù)，則$a=e^{-1}$。4.如果$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，則$f'(a)=\dfrac{1}{3}(f(a+2h)-f(a-h))$。5.極限$\lim\limits_{x\toa}\dfrac{\ln(x+a)-\lna}{x}$的值是$1/a$。6.確定函數(shù)$y(x)$，使得$y(x)$的導(dǎo)函數(shù)為$y'(x)=\dfrac{y}{2\sin(2x)}+\dfrac{ye^{xy}}{x}-\dfrac{x}{y\lnx}$，則$y(x)=\dfrac{1}{\lnx}$。7.過(guò)點(diǎn)$M(1,2,3)$且與平面$x+2y-z=0$和$2x-3y+5z=6$平行的直線(xiàn)$l$的方程為$\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{2}$。8.函數(shù)$y=2x-\ln(4x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$。9.計(jì)算極限$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{-e^x}-e}{x}$，結(jié)果為$-1/2$。10.設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，則$F(x)=\int_a^x(x-t)f(t)dt$的二階導(dǎo)數(shù)為$F''(x)=f(x)$。11.計(jì)算積分$\int\dfrac{x\cosx}{3\sin^2x}dx$，結(jié)果為$-\dfrac{x}{3\sinx}+\ln|\sinx|+C$。1.題目：求$\int_{2}^{x}\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$解：令$t=\sqrt{x^2-1}$，則$x=\sqrt{t^2+1}$，$dx=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt$原式$=\int_{\sqrt{3}}^{\sqrt{x^2-1}}\frac{dt}{t^2}=\left[-\frac{1}{t}\right]_{\sqrt{3}}^{\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}+\frac{1}{\sqrt{3}}$2.題目：設(shè)$y=x^3-3x^2+1$，求$y$的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)解：$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$，$y''=6x-6$令$y'=0$得$x=0$或$x=2$，又$y''(0)=-6<0$，$y''(2)=6>0$，故$x=0$是極大值點(diǎn)，$x=2$是極小值點(diǎn)。$y(0)=1$，$y(2)=-3$，故$y$在$(-\infty,0]$上單調(diào)遞減，在$[0,2]$上單調(diào)遞增，在$[2,+\infty)$上單調(diào)遞減。3.題目：設(shè)$y=\int_{1}^{x}\frac{\lnt}{t}dt$，求$y$的極值點(diǎn)解：$y'=\frac{\lnx}{x}$，$y''=\frac{1-\lnx}{x^2}$令$y'=0$得$x=e$，又$y''(e)=-\frac{1}{e^2}<0$，故$x=e$是極大值點(diǎn)。$y(e)=\int_{1}^{e}\frac{\lnt}{t}dt=e(\lne-1)$。4.題目：求$y=\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1+t^4}}$的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)解：$y'=\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}$，$y''=-\fra