2021年滬教版必修二數(shù)學期末復習-上海期末全真模擬試卷四教師版

上海期末全真模擬試卷(4)

本試卷由選擇題、填空題和解答題三大題組成，共21題，滿分100分。考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名、考試號、考場號、座位號，用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在

答題卷相對應的位置上，并認真核對；

2.答題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卷指定的位置上，不在答題區(qū)域內的答案一律無效，不得用其他

筆答題；

3.考生答題必須答在答題卷上，保持卷面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效。

一、填空題(每題3分，共36分)

12

【答案】y

【分析】利用二倍角的正切公式可得結果.

故答案為：—.

2.已知sin(a+￡)=g,sin(a-￡)=|',則的值為_一.

【答案】4

Q2

【分析】由兩角和與差的正弦公式展開，聯(lián)立方程組，求得sinacos/=R,cosasin/7=百,

再結合三角函數(shù)的基本關系式，即可求解.

2

【詳解】由題意，可得sin(a+/?)=sinacos尸+cosasin/?=§,

sin(or-/7)=sincosp-cosasin/?=-|,

Q2

聯(lián)立方程組，可得sinacos(3=—,cosasin/?=—,

二由tana=sinacos/7="

tan°cosasin/72

15

故答案為：4.

7T

3.已知角a的終邊經過點P(百，&)，貝ijtana+cos—+a

2

【答案】氏乎

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義求出角a的正切值和正弦值，代入求值即可.

V6

【詳解】角a的終邊經過點P（G,木），則tana=^=JLsinor瓜=

一3

則tana+cos(]+a=tana-sina=正_2^

3

故答案為：、反-逅

3

4.tan(a+-〈，tan(/?-乃[]=一1!，則tan(a+￡)=

2ko6J3

【答案】y

【分析】利用兩角和的正切公式可求得結果.

【詳解】由已知條件可得

71C兀

tana+—+tanI/7--

I6

tan(a+/?)=tanf<z+^71-l+f

61-tan[a+"tan一:兀

6

7

5.四個命題：①小于90。的角是銳角；②4={a|a=*T80°,AeZ},6={￡IB=A?90°,

X-SZ},則48；③-950°12'是第三象限角；④。，￡終邊相同，則.其中正確的命

題編號是.

【答案】②

【分析】舉反例可以判定①④錯誤；利用集合的子集的定義可判定②正確；加上360°的整倍

數(shù)，將所給角化為0°到360°之間的角，即可判定③錯誤.

【詳解】0°角就是小于90°的角，但不是銳角，故①錯誤；

180°的整數(shù)倍是90°的偶數(shù)倍，故②正確；

—950°12'+3x360°=1080°—950°12'=129°48'，為第二象限角，故③錯誤；

0°和360°終邊相同，但角不相等，故④錯誤.

故答案為:②.

6.若角a的終邊經過點P(-2,2),則arctan(tana)的值為

TT

【答案】-"y.

4

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tana的值，然后利用反三角函數(shù)的定義得出arctan(tan?)

的值.

27C

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得tana=”=-l,.,.arctan(tana)=arctan(-l)=-w，

TT

故答案為

4

【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及反三角函數(shù)的定義，解本題的關鍵就是利用三角函數(shù)

的定義求出tana的值，考查計算能力，屬于基礎題.

7t71

7.函數(shù)y=cosx,xe的值域是

_62_

【答案】［0,1］

【分析】由〃x)=cosx在［-看,0］上遞增，在［0,自上遞減，求出最大值與最小值，從而可

得結果.

【詳解】因為〃x)=cosx在［-￡,0］上遞增，在［0,芻上遞減，

62

所以/(x)=cosx有最大值/(0)=cos0=l,

又因為＞等'/圖

所以/(x)=cosx有最小值0,

函數(shù)/(X)=cosx,xeK的值域是［0』.故答案為［0,1］.

【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的單調性與最值，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于

基礎題.

8.已知向量2,5滿足同=|同=歸+.=1,那么忖-5卜.

【答案】x/3

【分析】由卜+.=1可得k+B)2=|同2+|51+2無5=1,即可求出5?￡=—；,從而可求出

【詳解】解：因為卜+母=1,所以（不+,=|司2+煙+2萬石=1,又向=M=1,

所以1+1+2無5=1，整理得￡?￡=-：,則B—同=加一6）2=J同2+時—2萬石

=J1+1+1=6，

故答案為：6

9.已知非零向量方，5滿足同=2陣且〃+2萬與*5垂直，則M與坂的夾角為.

【答案】兀

【分析】記M與B的夾角為氏根據(jù)題中條件，得到他+24?（21一方）=0,由向量數(shù)量積的

運算法則，直接計算，求出cos。，即可得出結果.

【詳解】記5與5的夾角為。，

因為a+2萬與2N-B垂直，

所以他+2孫（2萬—5）=0,則2附+35?力一2叩=0，

即2向之+3向^cose_2M2=0,

又同=2日，

r2i*2r2

所以8“+61|cos^-2^|=0.因止匕cos9=-l,

解得8=".

故答案為：兀.

10.已知向量同=6,2為單位向量，當向量￡、工的夾角等于45時，則向量￡在向量工上

的投影向量是________.

【答案】3夜工

【分析】本題可根據(jù)投影的相關性質得出結果.

【詳解】因為向量￡、工的夾角等于45'，

所以向量￡在向量2上的投影向量是同鬃os45。4=3位,

故答案為：3近e.

11.若l+&i是關于x的實系數(shù)方程￡+法+。=0的一個復數(shù)根，則b+c=

【答案】1

【分析】利用實系數(shù)方程虛根成對定理，轉化求解即可.

【詳解】因為1+J2?是關于X的實系數(shù)方程f+加+c=o的一個復數(shù)根，所以］五也是

方程的根，

(1+")+(1-

由根與系數(shù)的關系可知：LL，所以力=-2,c=3.

(1+3(1-3=c

所以b+c=l

故答案為：1.

12.i是虛數(shù)單位，則"?=___________.

1+Z

17

【答案】一大一二i

22

【分析】直接對復數(shù)化簡即可

.上初3-4/(3-4/)(1-03—3i—4i+4/-1-7/17.

1+z(l+z)(l-0l-i2222

17

故答案為：------i

22

二、選擇題(每題4分，共16分)

13.點P為圓爐+丁2=1與/軸正半軸的交點，將點p沿圓周逆時針旋轉至點尸，，當轉過的

2

弧長為5兀時，點P'的坐標為()

1、

D.

2

【答案】B

【分析】先求出旋轉角，就可以計算點的坐標了.

【詳解】設旋轉角為6,則2乃xlxg=M，得。=尋，從而可得P(-L正).

2乃3322

故選：B.

14.已知函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|,下列結論正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，最大值為近

B.函數(shù)“X)的最小正周期為2兀，最大值為0

C.函數(shù)/(力的最小正周期為兀，最大值為2

D.函數(shù)/(x)的最小正周期為最小值為2

【答案】A

【分析】先化簡/(司=忖11%+(：0$乂=&5皿1：+7),再根據(jù)函數(shù)的性質判斷最值和周期

得出答案.

【詳解】/(x)=|sinx+cosx|=V2sin(x+?)

由sin(x+je[O,l],所以當sin(x+j=1時，有最大值逝.

/(x+p)=|sin(x+p)+cos(x+p)|=|sinx+cosx|=/(x),則n為〃X)的周期.

又/尤+/)=sin(x+])+cos(x+]=|sinx—cosx|//(x),所以?不為f(x)的周期.

故選：A

15.已知向量2=(3,6),c=若打倒一己，則實數(shù)機的值為()

A.9B.17C.7D.21

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件進行向量的減法運算，再利用向量垂直的坐標表示，計算即得結果.

【詳解】根據(jù)題意得％-"=(3一肛7),因為￡_L0T，

所以a-(a-c)=3(3-〃?)+42=0,得加=17.

故選：B.

16.—=()

1-1

A.l+2zB.l-2zC.2+iD.2-i

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得結果.

【詳解】旨=思臀=平

=2+i.

1-1(l-z)(l+z)2

故選：C.

三、解答題(本大題共5題，共48分，解答各題必須寫出必要步驟)

17.在①〃cosC+ccos8=2acosC；②csinB-V3/?cosC=0；③

(a+6+c)(a+b-c)=3"這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整

的題目.

在△ABC中，內角4B,酸對邊分別為a,b,c,且

（1）求角C；

（2）若c=2,△MC的面積為且，求AA6c的周長.

4

（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）

【答案】（1）y；（2）2+幣.

【分析】（1）若選①，先用正弦定理邊化角，然后逆用兩角和的正弦公式化簡即可求解；若

選②，利用正弦定理邊化角后即可求解；若選③，化簡原式，然后利用余弦定理即可求解；

（2）利用余弦定理和三角形面積公式建立關于“涉的方程，聯(lián)立即可求解.

【詳解】

解：（1）若選①，Z?cosC+ccosB=cosC,

由正弦定理可得sin3cosc+sinCcos3=2sinAcosC,

即sin（B4-C）=2sinAcosC,

又在△ABC中，sin（B+C）=sinA,sinA>0

丁?sinA=2sinAcosC,

.*.cosC=—,

2

?.?0<c<"，

-c-7;

若選②，?.?csinB-也bcosC=0，

*'?由正弦定理得sinCsinBsinBcosC=0，又在AABC中,sinB>0?

/.tanC=\/3，

?「0<Cv萬，

/.C=-；

3

若選③，?.?（4+〃+c）（4+〃-c）=3ab,

22222

:.（a+b）-c=3ab.HPa+b-c=ab?

〃2扇_2

/.由余弦定理可得cosC=J?——=

2ah2

0<C<7T?

/.C=-；

3

(2)因為。=工，c=2,AA3c的面積為且

34

?。_1…「一百一百

..S=—sinC=—cib=—,

△AARBrC244

ab=T,

又由余弦定理有4+/一4=〃；,即(a+b)2=3a〃+4=7,

所以Q+8=V7，a+b+c-2+>fi

所以AABC的周長為2+J7.

18.函數(shù)/(x)=Asin(s+6>),(A>0,0>0,冏<])的圖象如下.

（2）若對任意實數(shù)xw0,y,則有|/（x）-川＜2,求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】（1）/（.V）=＞/2sinl2x+—I；（2）夜-2,2——.

II2,

【分析】（1）由圖像可知4利用周期求3,又由?。╔）過（專,0）,依題意求出氏求出解

析式：

（2）先求出〃力的值域，解不等式|〃x）-同＜2,即可求出實數(shù)m的取值范圍.

【詳解】(1)由圖知，A=yl2,-T=--—,：.T=7T,CO=2.

4612

又由2*專+。='+2左乃(％GZ),0=^+2k7i{keZ),

/./(x)=>/2sinf2x+y

6.

八兀c兀7144

(2)VXG0,—,...2xH--G,/.sin12x+yje----，]

232

二/(?、?/p>

2

又|/(工)一mI<2，m-2</(x)</n+2②

m<f(x].+2

①②聯(lián)土得:J\/min

m>f(x)-2

J\/max

解得：0—2〈機<2—逅.

2

(f7\

即實數(shù)切的取值范圍為3-2,2—-.

I2J

【點睛】(1)求三角函數(shù)解析式的方法：

①求A通常用最大值或最小值；②求。通常用周期；③求。通常利用函數(shù)上的點帶入即可求解.

(2)求產QX+。)+相勺值域通常用換元法.

19.已知函數(shù)/。)=((無>0,。>>,點40,三1點5，,3。)，和函數(shù)/(x)圖象上的點

P(x,y)[g<x<3).過碓直線心的垂線，垂足為0.

（I）若x=2,求Q.而（最后結果用a表示）；

（II）若|42卜歸。|4|+0恒成立，求a的取值范圍.

【答案】（I）Q.麗="」+￡）；（II）^<a<l

123

【分析】（I）利用向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.

（0）利用向量數(shù)量積的幾何意義可得|AP|-|PQ|=|AH|PB|COSNBPQ=^??,再由向量

數(shù)量積的坐標運算可得麗.麗=|1一二1（》一3）+。2（3-，丫，一二），構造函數(shù)

_13//Ix八九3）

g（小小-03-++|）-/-3）一--根據(jù)x=l,求出;<a<l,再由二次函

JJ

卜叱。

數(shù)的性質得出.g（l）<0'證明g⑴4°，g|j<OLJP可.

【詳解】（I）若x=2,則P（2,?）,

而干用,而干冷

5（4+/）1

所以福?麗=（_1）乂（_*]+@*應=*+紀=

-------L,a>-

\，13J62312123

（II）?.?點P在/（x）上，記P（X，E）,；<X<3

；JAR.|PQ=14印cosZBPQ=而.Q

記g(a)="2

由題意可知g(a)<0恒成立,

411

令無=1,則一/—?！?lt;0,解得一<〃<1,

333

下面證明當時，g(a)W0恒成立，即g(a)1rax<(),

?Jg(a)是開口向上的二次函數(shù),

g⑴V()

8^}-0

①g

1——x+x-3

3_________

9-

281

②g(l)=

1

x~9

2108c21()c8八

令t=—+XG―rd---1—〈—2d---x2—=0

X3333

所以當;<。41時，g(a)〈0恒成立,

故a的取值范圍為

3

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義、向量數(shù)量積的坐標運算，解題的

T3T(泊卜+4-小-3)一泊恒成立,

關鍵是將不等式恒成立轉化為g(a)

考查了數(shù)學運算以及轉化為能力.

2

20.已知復數(shù)Z1=cosa+isina,z2=cos/?+zsin^,|z,-z2|=-V5,

求:(1)求cos(a—耳)的值;

(2)若一,<〃<0<a<2,且sin4=—石，求sina的值.

【答案】(1)M;(2)

【分析】(1)根據(jù)復數(shù)的減法運算、模長公式，結合兩角差的余弦公式可求出結果；

(2)利用sin/7=sin(a-尸+0和兩角和的正弦公式可求出結果.

【詳解】(1)?.*Zj-z2=(cosa-cosp)+/(sina-sinp),

?；|Z]—Z21=1?石，

/.J(cosa—cos夕>+(sina-sin打尸='

2--

*<3

，ecos(a-/?)=—=

TTTT

(2)——<P<Q<a<—,

22

3

:.G<a-p<TT,由(1)得cos(a—4)=一，

4c512

sin(a-萬)=二，又sinQ=一百，cosJ3=—.

/.sina=sin[(a-/?)+/]=sin(a-/?)cosf3+cos(a-0)sinp

4123/5、33

——X—+-x(-----)=—.

51351365

【點睛】關鍵點點睛：(2)中，利用sin/7=sin(a-4+尸)和兩角和的正弦公式求解是解題

關鍵.

7T

21.已知函數(shù)f(x)=Asin(ox+。)(其中A〉0,ct)>