2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-附答案

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出集合B的補集，再求出【詳解】因為，，所以，因為，所以，故選：A2．已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，求得，進而求得，得到答案.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以.故選：C.3．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且為的中點，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】因為為的中點，可得，所以.故選：C.4．某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)比例和近視情況分別如圖甲和圖乙所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法隨機抽取2%的學(xué)生進行調(diào)查，其中被抽取的小學(xué)生有80人，則樣本容量和該地區(qū)的初中生近視人數(shù)分別為（

）

A．100，50 B．100，1050 C．200，50 D．200，1050【答案】D【分析】根據(jù)扇形圖，即可樣本容量，再計算初中生人數(shù)，再根據(jù)條形圖計算初中生的近視人數(shù).【詳解】由分層抽樣的概念可得樣本容量為，則該地區(qū)的初中生有人，所以該地區(qū)的初中生近視人數(shù)為.故選:D5．下列說法不正確的是（

）A．若直線平面，則直線a與平面內(nèi)的任意一條直線都無公共點B．若，，且，則C．垂直于同一條直線的兩個平面互相平行D．垂直于同一個平面的兩條直線互相平行【答案】B【分析】根據(jù)線面平行的定義可判斷A；判斷平面的位置關(guān)系可判斷B；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷C，D.【詳解】A項：直線與平面平行，即沒有公共點，故直線與平面內(nèi)任意一條直線都無公共點，A項正確；B項：和有可能平行，有可能相交，B項錯誤；C項：由直線和平面垂直的性質(zhì)可知垂直于同一條直線的兩個平面互相平行，C項正確；D項，由直線和平面垂直的性質(zhì)定理可知垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，正確，故選：B6．函數(shù)的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項，再根據(jù)特殊值的正負(fù)，再排除選項，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，由，則為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A，C，又，故排除B，故選：D.7．某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)與天數(shù)t之間滿足關(guān)系式：，其中為常數(shù)，是剛發(fā)布的時間，則教師用戶超過30000名至少經(jīng)過的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)題意，列出方程組求得，由不等式，結(jié)合對數(shù)的預(yù)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意得，可得，所以，則，故，所以教師用戶超過20000名至少經(jīng)過天.故選：C8．如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是，且是相互獨立的，則燈亮的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相互獨立的概率乘法公式，以及互斥事件與對立是事件的概率公式，即可求解.【詳解】由題意，燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，下邊的2個都開且上邊的2個中有一個開另一個閉，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件都是相互獨立的，所以燈泡不亮的概率為，所以燈泡亮的概率為.故選：D.二、多選題9．一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中是最小值，是最大值，則（

）A．，，，的平均數(shù)等于，，…，的平均數(shù)B．，，，的第60百分位數(shù)等于，，…，的第60百分位數(shù)C．，，，的標(biāo)準(zhǔn)差小于，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差D．，，，的極差不大于，，…，的極差【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念，結(jié)合特殊值法，對選項中的結(jié)論逐一分析判斷即可.【詳解】對于A：不妨令，，，則，故A錯誤；對于B：不妨令，因為，則，，，的第60百分位數(shù)是；因為是最小值，是最大值，且，故，，，，，的第60百分位數(shù)依然是，故B正確；對于選項：取這六個數(shù)為：，則平均，標(biāo)準(zhǔn)差，的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，即，故錯誤；對于D：設(shè)，，，中最小值為，最大值為，則，，則，故D正確；故選：BD.10．已知，則下列不等式一定成立的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由，可得，然后逐個分析判斷即可【詳解】由得.A.令，，則，故選項A錯誤；B.因為，所以，所以，故選項B正確；C.因為為R上遞增函數(shù)，由得，故選項C正確；D.由得，故選項D錯誤.故選：BC.11．一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．事件A與事件B互斥C．事件A與事件B相互獨立 D．【答案】CD【分析】A.利用古典概型的概率求解判斷；B.利用互斥事件的定義判斷；C.利用獨立事件的概率求解判斷；D.利用并事件的概率求解判斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個基本事件，則，A不正確：事件B含有的基本事件有8個：，，，，，，，，其中事件，，，發(fā)生時，事件A也發(fā)生，即事件A，B可以同時發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的所有基本事件有16個，，，即事件A與事件B相互獨立，C正確；，D正確.故選：CD.12．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，點P是AD上的動點，將分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點G，則下列結(jié)論正確的是（

）A．BG⊥EFB．G到平面DEF的距離為C．若BG∥面EFP，則二面角D?EF?P的余弦值為D．四面體G?DEF外接球表面積為【答案】ACD【分析】連，，證得平面，得到，進而證得面，可判定A項正確；根據(jù)等體積法，求得G到面的距離，可判定B項錯誤；令，連，，證得，，得到即為二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值可判定C項正確；將三棱錐放置于一個長方體中，求得外接球半徑，進而判定D項正確.【詳解】A中：連，，可知，因為，，，所以平面，又因為平面，所以，因為，且平面，所以面，又因為面，所以，所以A項正確；B中：因為，，所以為直角三角形，所以，所以故，又因為，故G到面的距離（等體積法），所以B項錯誤；C中：令，連，，因為面，面，面面，所以，又，，又因為面，所以，，所以即為二面角的平面角，因為面，所以，在中，可得，又因為，故在中，由余弦定理的推論：，故二面角的余弦值為，所以C項正確；D中：由于，，兩兩互相垂直，不妨將三棱錐放置于一個長寬均為2、高為4的長方體中，其外接球半徑，故其表面積，所以D項正確.故選：ACD.三、填空題13．若，則．【答案】【分析】利用兩角和的余弦公式展開原式后，再利用平方關(guān)系，求得的值.【詳解】，兩邊平方后得，，所以.故答案為：14．以棱長為1的正方體各面的中心為頂點，構(gòu)成一個正八面體，那么這個正八面體的表面積是.【答案】【分析】根據(jù)正方體的特征易得正八面體的棱長為，進而求解即可.【詳解】由正方體的棱長為1易得正八面體的棱長為，故其表面積.故答案為：.

15．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的5個小球，其中有3個紅色球、2個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩個球顏色相同的概率為.【答案】/0.4【分析】根據(jù)題意寫出從袋中不放回地依次隨機摸出2個球的所以可能結(jié)果結(jié)合兩個球顏色相同的結(jié)果，利用古典概型概率計算公式計算即可.【詳解】用1、2、3表示3個紅色球，4、5表示2個綠色球，用數(shù)組表示可能的結(jié)果，x是第一次摸到球的標(biāo)號，y是第二次摸到球的標(biāo)號，則樣本空間所包含的樣本點為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20個.其中兩個球顏色相同的事件有：，，，，，，，，共8種，故所求事件的概率為.16．在中，，，（，），若對任意的實數(shù)，恒成立，則邊的最小值是.【答案】【分析】設(shè)，得到恒成立，得出，根據(jù)題意，結(jié)合勾股定理，得到，即可求解.【詳解】設(shè)，如圖所示，因為對任意的實數(shù)，都有恒成立，由恒成立，則，因為，，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：.

四、解答題17．如圖，在四棱錐P?中，底面ABCD為正方形，側(cè)面ADP是正三角形，側(cè)面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中點.

(1)求證：AM⊥平面CDP；(2)求直線BP與底面ABCD所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證得，由，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進而得到，利用線面垂直的判定定理，即可證得平面；（2）取的中點，連，，證得平面，得到是所求直線與平面所成角，在直角中，即可求解.【詳解】（1）證明：因為側(cè)面為正三角形，且為中點，所以，又因為底面為正方形，所以.因為平面平面且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，且平面，所以平面.（2）解：取的中點，連，，因為為正三角形，且為中點，所以，又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，所以是所求直線與平面所成角，不妨設(shè)，則在等邊中，可得，在直角中，；在直角中，，故，所以直線與底面所成角的正弦值為.

18．已知在中，，.(1)求；(2)設(shè)，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由結(jié)合三角形內(nèi)角和可求出，由得，化簡后結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出；（2）利用兩角和的正弦公式結(jié)合，求出，再利用正弦定理可求出，從而可求出三角形的面積.【詳解】（1），，.又，，即，∵，∴，得∵，，∴，∴.（2）∵，，所以，∴，由正弦定理，代入得，，；故.19．已知向量，，記函數(shù).(1)求使成立的x的取值集合；(2)已知，均為銳角，，，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由數(shù)量積的坐標(biāo)運算求出，并化簡，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求解不等式；（2）先由已知求出，，，又因為，由正弦和角公式計算.【詳解】（1）由知，，，，解得，；（2），，因為，所以，因為，所以，所以，所以

.20．某地區(qū)為了解市民的心理健康狀況，隨機抽取了位市民進行心理健康問卷調(diào)查，將所得評分百分制按國家制定的心理測評評價標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評分在中的市民有200人.心理測評評價標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查評分心理等級EDBBA

(1)求的值及頻率分布直方圖中的值；(2)該地區(qū)主管部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說明理由.（每組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評分÷100）(3)在抽取的心理等級為D的市民中，按照調(diào)查評分的分組，分為2層，通過分層隨機抽樣抽取3人進行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評分在的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評分在的市民的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率.【答案】(1)，(2)不需要舉辦心理健康大講堂活動，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)調(diào)查評分在中的市民有200人，且頻率為可求出的值，再由各組頻率和為1列方程可求出的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)的定義求出調(diào)查評分的平均值，再計算出心理健康指數(shù)比較即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合分層抽樣的定義求出抽取的調(diào)查評分在和中的人數(shù)，然后根據(jù)相互獨立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）由已知條件可得，又因為每組的小矩形的面積之和為1.所以，解得；（2）由頻率分布直方圖可得，.估計市民心理健康調(diào)查評分的平均值為80.7，所以市民心理健康指數(shù)平均值為.所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動.（3）由（1）知：，則調(diào)查評分在中的人數(shù)是調(diào)查評分在中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評分在中有1人，在中有2人，設(shè)事件“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B”.因為經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級轉(zhuǎn)化情況相互獨立，所以.故經(jīng)心理疏導(dǎo)后恰有一人的心理等級轉(zhuǎn)為B的概率為.21．如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A'B'C'D'中，M為AD的中點.

(1)求證：平面；(2)在體對角線上是否存在動點Q，使得AQ⊥平面？若存在，求出DQ的長；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）連接交于點E，連接，證得，結(jié)合線面平行的判定定理，即可證得面.（2）根據(jù)題意，證得平面，得到平面平面，作，利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，再由，即可求得的長.【詳解】（1）證明：連接，交于點E，連接.因為四邊形是正方形，所以E是的中點，又M是的中點，所以，因為面，面，所以面.（2）在對角線上存在點Q，且，使得平面，證明如下：因為四邊形是正方形，所以，因為平面，面，所以，因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，作于Q，因為，所以，因為平面，平面平面，所以平面，由，可得，所以當(dāng)時，平面.

22．設(shè)函數(shù)的定義域為D，對于區(qū)間（，），若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱I為的一個“區(qū)間”.性質(zhì)1：對任意，有；性質(zhì)2：對任意，有.(1)分別判斷區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“區(qū)間”（直接寫出結(jié)論）；①；②.(2)若（）是函數(shù)的“區(qū)間”，求m的取值范圍；(3)已知定義在R上，且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)滿足：對任意a，，且，有.求證：存在“區(qū)間”，且存在，使得不屬于的任意一個“區(qū)間”.【答案】(1)①是（滿足性質(zhì)1）；②不是(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的新定義，結(jié)合