重難點(diǎn)突破11 導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（六大題型）（原卷版）

重難點(diǎn)突破11導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題目錄方法技巧總結(jié)一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)過定點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)方法技巧總結(jié)二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個(gè)根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系．可比較大小或解不等式．<同構(gòu)小套路>①指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍．（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)．特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解3、常見的指數(shù)放縮：4、常見的對(duì)數(shù)放縮：5、常見三角函數(shù)的放縮：6、學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，曾經(jīng)提到過兩個(gè)這樣的恒等式：（1）且時(shí)，有（2）當(dāng)且時(shí)，有再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）（3）（4）（5）（6）再結(jié)合常用的切線不等式lnxx-1，等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進(jìn)行引申：（7）；（8）；7、同構(gòu)式問題中通常構(gòu)造親戚函數(shù)與，常見模型有：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③8、乘法同構(gòu)、加法同構(gòu)（1）乘法同構(gòu)，即乘同構(gòu)，如；（2）加法同構(gòu)，即加同構(gòu)，如，（3）兩種構(gòu)法的區(qū)別：=1\*GB3①乘法同構(gòu)，對(duì)變形要求低，找親戚函數(shù)與易實(shí)現(xiàn)，但構(gòu)造的函數(shù)與均不是單調(diào)函數(shù)；=2\*GB3②加法同構(gòu)，要求不等式兩邊互為反函數(shù)，構(gòu)造后的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可直接由函數(shù)不等式求參數(shù)范圍；題型一：不等式同構(gòu)例1．（2023·四川達(dá)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，且，，，則（

）A． B．C． D．例2．（2023·湖北黃石·高二?？计谥校┮阎?，，，則（

）A． B．C． D．例3．（2023·陜西榆林·高二?？计谀┮阎猘，b，，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．變式1．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）已知，，，則，，的大小順序是（

）A． B．C． D．變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B．C． D．變式3．（2023·江西贛州·高二江西省信豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足對(duì)恒成立，且實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（

）A． B． C． D．題型二：同構(gòu)變形例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．題型三：零點(diǎn)同構(gòu)例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，滿足，則（

）A． B． C． D．6例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于b的方程可化為同構(gòu)方程，則的值為（

）A． B．e C． D．1例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.變式4．（2023·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個(gè)式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：.變式5．（2023·上海浦東新·高一上海南匯中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域?yàn)椋ㄆ渲?，則稱為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”.(1)證明：函數(shù)為區(qū)間上的“倍縮函數(shù)”；(2)若存在，使函數(shù)為上的“倍縮函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)給定常數(shù)，以及關(guān)于的函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使為區(qū)間上的“1倍縮函數(shù)”.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式7．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值，并且.(1)求；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.變式9．（2023·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：存在直線，其與兩曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）完成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)a的取值范圍是_______；（4）已知不等式對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)a與b的大小關(guān)系是_______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；（8）已知不等式，對(duì)恒成立，則k的最大值為_______；（9）若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______；例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為___________.例10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.變式10．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．變式11．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，，不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)請(qǐng)?jiān)谙铝孝佗谥羞x擇一個(gè)作答（注意：若選兩個(gè)分別作答則按選①給分）.①若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型五：利用同構(gòu)求最值例11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）“朗博變形”是借助指數(shù)運(yùn)算或?qū)?shù)運(yùn)算，將化成，的變形技巧.已知函數(shù)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．例12．（2023·全國·高二期末）已知函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．例13．（2023·江西·臨川一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．變式15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知大于1的正數(shù)，滿足，則正整數(shù)的最大值為（

）A．7 B．8 C．5 D．11變式16．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知兩個(gè)實(shí)數(shù)、滿足，在上均恒成立，記、的最大值分別為、，那么A． B． C． D．題型六：利用同構(gòu)證明不等式例14．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明．例15．已知函數(shù)