考點25 平面向量的概念、線性運算及坐標表示7種常見考法歸類（解析版）

考點25平面向量的概念、線性運算及坐標表示7種常見考法歸類考點一平面向量的有關概念考點二平面向量的線性運算考點三由平面向量的運算判斷四邊形的形狀考點四共線向量定理的應用（一）向量共線問題（二）三點共線問題（三）向量共線性質(zhì)的應用考點五平面向量基本定理及應用（一）對基向量概念的理解（二）用基底表示向量（三）利用平面向量基本定理求參數(shù)考點六平面向量的坐標運算考點七共線向量的坐標表示及應用（一）由坐標判斷向量是否共線（二）利用向量共線求參數(shù)（三）利用向量共線解決三點共線問題（四）利用向量共線求向量或點的坐標（五）共線向量坐標表示的應用1.向量的有關概念名稱定義說明向量在數(shù)學中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量有向線段具有方向的線段叫做有向線段，向量可以用有向線段表示，也可用字母a，b，c，…表示有向線段包含三個要素：起點、方向、長度向量的模向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|向量的模是數(shù)量零向量長度為0的向量叫做零向量，記作0其方向是任意的單位向量長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量a是非零向量，則±eq\f(a,|a|)是單位向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量兩向量可以相等也可以不相等，但不能比較大小相反向量與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a0的相反向量仍是02.有關平面向量概念的注意點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關．(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混淆．(4)兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點和終點．(5)零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定．(6)a∥b，有a與b方向相同或相反兩種情形；(7)向量的模與數(shù)的絕對值有所不同，如|a|＝|b|a＝±b；(8)零向量的方向是任意的，并不是沒有，零向量與任意向量平行；(9)對于任意非零向量a，eq\f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)))是與a同向的單位向量，這也是求單位向量的方法；(10)向量平行，其所在直線不一定平行，兩向量還可能在一條直線上；(11)只要不改變向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量與a相等，所以線段共線與向量共線是有區(qū)別的，當兩向量共線且有公共點時，才能得出線段共線，而向量的共線與向量的平行是一致的.3.向量的線性運算運算定義法則(或幾何意義)運算律(性質(zhì))加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a，并規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立減法求與的相反向量的和的運叫做與的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算λa是一個向量，其長度：|λa|＝|λ||a|；其方向：λ>0時，與a方向相同；λ<0時，與a方向相反；λ＝0時，λa＝0設λ，μ∈R，則λ(μa)＝μ(λa)；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb【注意】（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．（4）加法運算的推廣：eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).（5）向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：，，．（6）向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.兩向量不共線時，可由“三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”知“<”成立；兩向量共線時，可得出“＝”成立(分同向、反向兩種不同情形).（7），當且僅當至少有一個為時，向量不等式的等號成立．（8）特別地：或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．4.平面向量的線性運算解題策略（1）進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解決.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則．（2）找出圖形中的相等向量、共線向量，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應的三角形或多邊形；③運用法則找關系；④化簡結(jié)果．5.利用平面向量的線性運算求參數(shù)的一般思路(1)沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置．(2)利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式．一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關參數(shù)的值．6.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．注：a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)，注意待定系數(shù)法和方程思想的應用；若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.對于兩個向量共線定理(a(a≠0)與b共線?存在唯一實數(shù)λ使得b＝λa)中條件“a≠0”的理解：①當a＝0時，a與任一向量b都是共線的；②當a＝0且b≠0時，b＝λa是不成立的，但a與b共線.因此，為了更具一般性，且使充分性和必要性都成立，我們要求a≠0.換句話說，如果不加條件“a≠0”，“a與b共線”是“存在唯一實數(shù)λ使得b＝λa”的必要不充分條件.7.三點共線定理平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應熟練掌握注：A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù)，使得存在唯一的實數(shù)，使得；存在唯一的實數(shù)，使得；存在，使得．注：、、三點共線，這是直線的向量式方程．8.平面向量共線定理的三個應用9.求解向量共線問題的注意事項(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數(shù)法和方程思想的運用．(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．10.線段定比分點的向量表達式如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．11.線性運算重要結(jié)論(1)中線向量定理:若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).(2)若G為△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.(3)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，則點A，B，C共線的充要條件是λ＋μ＝1.(4)如圖，△ABC中，BD＝m，CD＝n，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(n,m＋n)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(m,m＋n)eq\o(AC,\s\up6(→))，特別地，D為BC的中點時(m＝n)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).12.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.13.平面向量基本定理的推論(1)設a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共線，若a＝b，則λ1＝λ3且λ2＝λ4.(2)若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.(3)平面向量基本定理的推論①已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，則平面內(nèi)任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數(shù)t，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).特別地，當t＝eq\f(1,2)時，點P是線段AB的中點.②對于平面內(nèi)任意一點O，P，A，B三點共線?存在唯一的一對實數(shù)λ，μ，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1.14.平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．(3)特別注意基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．15.平面向量的正交分解及坐標表示(1)平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)線性運算的坐標表示文字敘述符號表示加法兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).減法兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2).兩點構(gòu)成的向量坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1).數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy).(3)平面向量共線的坐標表示：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.16.重要坐標公式已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則線段AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).17.平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．18.平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．考點一平面向量的有關概念1．（2023·全國·高三專題練習）有下列命題：①單位向量一定相等；②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點不同，則終點一定不同；④方向相反的兩個單位向量互為相反向量；⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓．其中正確的命題的個數(shù)為______．【答案】【分析】由相等向量、相反向量的知識依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】對于①，兩個單位向量方向不同時不相等，①錯誤；對于②，方向相同且模長相等的向量為相等向量，與起點無關，②正確；對于③，相等的非零向量方向相同且模長相等，若起點不同，則終點不同，③正確；對于④，單位向量模長相等，又方向相反，則這兩個向量為相反向量，④正確；對于⑤，若兩個向量起點相同，且模長相等且不為零，則終點的軌跡為球面，⑤錯誤；則正確的命題個數(shù)為個.故答案為：.2．（2023·全國·高三專題練習）下列五個命題：①向量與共線，則必在同一條直線上；②如果向量與平行，則與方向相同或相反；③四邊形P1P2OA是平行四邊形的充要條件是；④若，則、的長度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行.其中正確的命題有______個.【答案】0【分析】利用向量共線可判斷①②③；利用相等向量可判斷④；利用零向量與任何向量共線可判斷⑤.【詳解】對于①，向量與共線，則直線與直線可能平行，故①錯；對于②，若為零向量，零向量與任意向量平行，故②錯；對于③，，則四點可能共線，故③錯；對于④，，只能說明、的長度相等但確定不了方向，故④錯；對于⑤，零向量與任何向量平行，故⑤錯.所以正確的命題有0個，故答案為：03．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）下列說法正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實數(shù)使得D．若，是兩個單位向量，且．則【答案】B【分析】對于A，當時，該選項錯誤；對于B，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，所以與共線，所以該選項正確；對于C，當，為非零向量時，不存在，所以該選項錯誤；對于D，計算得，所以該選項錯誤．【詳解】對于A，當時，與的方向可以既不相同也不相反，所以該選項錯誤；對于B，，為非零向量，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，由于，所以與共線，所以該選項正確；對于C，當，為非零向量時，不存在，所以該選項錯誤；對于D，由得，所以，所以該選項錯誤．故選：B．4．（2023·全國·高三專題練習）已知下列結(jié)論：①；②；③；④⑤若，則對任一非零向量有；⑥若，則與中至少有一個為；⑦若與是兩個單位向量，則.則以上結(jié)論正確的是（

）A．①②③⑥⑦ B．③④⑦ C．②⑦ D．②③④⑤【答案】C【分析】按照向量數(shù)乘和向量數(shù)量積的定義分析即可.【詳解】（1），故錯誤；（2）根據(jù)數(shù)乘的定義，正確；（3）是表達式錯誤，0是數(shù)量，是向量，這樣的表達式?jīng)]有意義，故錯誤；（4），故錯誤；（5）當向量與的夾角是時，，故錯誤；（6）同（5），錯誤；（7），故正確；故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習）設，都是非零向量，成立的充分條件是（

）A． B．C． D．且【答案】B【分析】由題意，利用、上的單位向量相等的條件，得出結(jié)論．【詳解】解：因為表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以要使成立，即、方向上的單位向量相等，則必需保證、的方向相同，故成立的充分條件可以是；故選：B．6．（2023·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由梯形的幾何性質(zhì)可判斷AB選項；推導出為的中點，可判斷CD選項.【詳解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯；因為，則，則，則，即，即，，則，，即為的中點，所以，，C錯，D對.故選：D.考點二平面向量的線性運算7．（2023·河北·高三學業(yè)考試）如圖，正六邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由相等向量、向量加減法運算法則直接求解即可.【詳解】六邊形為正六邊形，，.故選：B.8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運算即可求解.【詳解】如圖，因為，所以是線段的四等分點，且,所以,故A,B錯誤；由，可得，故C正確，D錯誤，故選:C.9．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預測）在正六邊形中，，若，則（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運算法則和運算律求解即可.【詳解】，所以，所以.故選：D.10．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預測）已知的邊的中點為，點在所在平面內(nèi)，且，若，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】利用平面向量的線性運算可將轉(zhuǎn)化為，則得到的值，進而即可求解．【詳解】因為，邊的中點為，所以，因為，所以，所以，所以，即，因為，所以，，故.故選：D．11．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖是函數(shù)的部分圖象，且，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由可得，所以，再由，可求出，即可求出.【詳解】由可得：，即，即，因為，所以，所以，結(jié)合圖象可得，則，因為，所以，所以.故選：D.考點三由平面向量的運算判斷四邊形的形狀12．（2023·廣東揭陽·校考二模）設是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】由題知，進而得，，再根據(jù)菱形的定義即可得答案.【詳解】解：因為，，所以，即，，所以四邊形是平行四邊形，因為，即，所以四邊形是菱形.故選：B13．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）已知是平面四邊形，設：，：是梯形，則是的條件（

）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】在四邊形中，若，則，且，即四邊形為梯形，充分性成立；若當，為上底和下底時，滿足四邊形為梯形，但不一定成立，即必要性不成立；故是的充分不必要條件.故選：A14．（2023·湖南益陽·校聯(lián)考模擬預測）在四邊形ABCD中，若，且，則四邊形ABCD為（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】C【分析】根據(jù)相等向量的性質(zhì)，結(jié)合平面向量加法和減法的幾何意義、矩形的判定定理進行求解即可.【詳解】由，所以四邊形ABCD是平行四邊形，由，所以平行四邊形ABCD的對角線相等，因此該四邊形是矩形，故選：C15．【多選】（2023·全國·高三專題練習）下列有關四邊形的形狀，判斷正確的有（

）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為梯形C．若，則四邊形為菱形D．若，且，則四邊形為正方形【答案】AB【分析】依據(jù)平行四邊形判定定理判斷選項A；依據(jù)梯形判定定理判斷選項B；依據(jù)菱形判定定理判斷選項C；依據(jù)正方形判定定理判斷選項D.【詳解】選項A：若，則，，則四邊形為平行四邊形.判斷正確；選項B：若，則，，則四邊形為梯形.判斷正確；選項C：若，則，則，即.僅由不能判定四邊形為菱形.判斷錯誤；選項D：若，則，，則四邊形為平行四邊形，又由，可得對角線，則平行四邊形為菱形.判斷錯誤.故選：AB考點四共線向量定理的應用（一）向量共線問題16．（2023·北京·高三專題練習）已知是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的模長關系以及共線，即可結(jié)合必要不充分條件進行判斷.【詳解】若，則存在唯一的實數(shù)，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，若且，則與方向相同，故此時，所以“”是“存在，使得”的必要條件，故“”是“存在，使得”的充分必要條件，故選：C17．（2023春·浙江金華·高三浙江金華第一中學?？茧A段練習）已知為單位向量，則“”是“存在，使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】對于前者是否能推出后者，我們舉出反例即可，對于后者是否推前者，由后者可得共線且同方向，則，即后者能推出前者，最后即可判斷.【詳解】若，則，但此時不存在，使得，故不存在，使得，故前者無法推出后者，若存在，使得，則共線且同方向，此時，故后者可以推出前者，故“”是“存在,使得的必要不充分條件”，故選：B.18．（2023·河南·統(tǒng)考二模）已知不共線，向量，，且，則_______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線定理可知成立，列出方程組，即可得出答案.【詳解】因為，所以，使得成立，即.因為不共線，所以，解得.故答案為：.19．（2023春·四川宜賓·高三宜賓市敘州區(qū)第一中學校?？奸_學考試）已知是兩個不共線的非零向量，若與共線，則_____________．【答案】/0.5【分析】根據(jù)向量共線結(jié)論結(jié)合平面向量基本定理列方程求即可.【詳解】因為與共線，所以，又是兩個不共線的非零向量，所以，所以，故答案為：.20．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，，則與共線的條件為（）A． B．C． D．或【答案】D【分析】對、是否共線進行分類討論，結(jié)合平面向量共線的基本定理可得出結(jié)果.【詳解】當時，因為，則存在實數(shù)，使得，則，此時；當、不共線時，因為，則存在實數(shù)，使得，即，所以，.因此，與共線的條件為或.故選：D.21．（2023·全國·高三專題練習）已知P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，若，其中λ∈R，則點P一定在（）A．AC邊所在的直線上 B．BC邊所在的直線上C．AB邊所在的直線上 D．△ABC的內(nèi)部【答案】A【分析】根據(jù)向量的線性運算整理可得，再結(jié)合向量共線分析即可.【詳解】∵，∴，則，則∴∴P點在AC邊所在直線上．故選：A．（二）三點共線問題22．（2023·全國·高三專題練習）設是空間中兩個不共線的向量,已知,且三點共線,則的值為（

）A．2 B．3 C． D．8【答案】C【分析】由已知可得,根據(jù)向量的和差等運算規(guī)律得出,然后結(jié)合向量共線定理即可求解.【詳解】解:由題知由于是空間中兩個不共線的向量,且有,所以,因為三點共線,所以,所以存在實數(shù),使得,所以,所以.故選:C23．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項判斷作答.【詳解】向量，不共線，且，，，，則有，而有公共點B，有A，B，D共線，A是；，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.故選：A24．（2023秋·山東濟南·高三統(tǒng)考期中）已知點是平面內(nèi)任意一點，則“存在，使得”是“三點共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的線性運算即可得到結(jié)論.【詳解】充分性：由得，故，則，故三點共線，所以充分性成立，必要性：若三點共線，由共線向量定理可知，從而，所以，所以，所以必要性成立.綜上所述：”是“三點共線”的充要條件.故選：C25．（2023·全國·高三專題練習）已知為數(shù)列的前n項和，，平面內(nèi)三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______【答案】/8.5【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得，再推出，確定其周期性計算即可.【詳解】由A，B，C三點在同一直線上可知，即，則，又，則，，，，故數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，．故答案為：（三）向量共線性質(zhì)的應用26．（2023·全國·高三專題練習）已知A、B、P是直線上三個相異的點，平面內(nèi)的點，若正實數(shù)x、y滿足，則的最小值為_______.【答案】【分析】根據(jù)平面向量共線定理可得，再根據(jù)結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】因為A、B、P是直線上三個相異的點，且，即，且x、y為正實數(shù)，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.27．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在中，M為線段的中點，G為線段上一點，，過點G的直線分別交直線，于P，Q兩點，，，則的最小值為（

）．A． B． C．3 D．9【答案】B【分析】先利用向量的線性運算得到，再利用三點共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因為M為線段的中點，所以，又因為，所以，又，，所以，又三點共線，所以，即，所以，當且僅當，即時取等號.故選：B.28．（2023·全國·高三專題練習）P是所在平面內(nèi)一點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設可得，可得共線且，即可確定答案.【詳解】由題設，，故共線且，如下圖示：所以.故選：A29．（2023·全國·高三專題練習）已知，為所在平面內(nèi)的兩點，且滿足，，則__________．【答案】/0.1875【分析】取中點，中點，連接并延長，交于，連接并延長，交于，通過向量的線性運算可得到和為中點，故與重合，設平行四邊形以為底的高為，計算出兩個三角形的面積即可得到答案【詳解】解：取中點，中點，連接并延長，交于，連接并延長，交于，因為，所以，所以為中點；因為，所以，所以也為中點，即與重合，所以四邊形AEGF是平行四邊形，設平行四邊形以為底的高為，所以，∴，故答案為：．30．（2023·全國·高三專題練習）設為內(nèi)一點，且滿足關系式，則__．【答案】【分析】由題意將已知中的向量都用為起點來表示，從而得到，分別取的中點為，可得，利用平面知識可得S△AOB與S△AOC及S△BOC與S△ABC的關系，可得所求.【詳解】∵，∴，∴，分別取的中點為，∴，∴；；.∴故答案為：．31．（2023·全國·高三專題練習）已知O是內(nèi)一點，，若與的面積之比為，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由確定點的位置，再利用與的面積之比列方程來求得的值.【詳解】由得，設，則.由于，所以A，B，D三點共線，如圖所示，∵與反向共線，，∴，∴，∴.故選：D32．（2023春·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則__________，的最小值為___________.【答案】【分析】由平行四邊形的面積為，可得，由已知得，然后根據(jù)三點共線即可得，從而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為平行四邊形的面積為，所以，得，如圖，連接，則,所以，因為三點共線，所以，得，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：，.考點五平面向量基本定理及應用（一）對基向量概念的理解33．（2023·陜西西安·統(tǒng)考一模）設，下列向量中，可與向量組成基底的向量是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)構(gòu)成基地向量的條件不共線的兩個非零向量解決.【詳解】對于AB項，若時，，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以AB都錯誤；對于D項，若時，不滿足構(gòu)成基向量的條件，所以D錯誤；對于C項，因為，又因為恒成立，說明與不共線，復合構(gòu)成基向量的條件，所以C正確.故選：C34．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學校考模擬預測）已知向量是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不能作為基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷兩個向量是否共線即可確定兩個向量是否能作為一組基底.【詳解】對于A，假設共線，則存在，使得，因為不共線，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設不成立，也即不共線，則能作為基底；對于B，假設共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設不成立，也即不共線，則能作為基底；對于C，因為，所以兩向量共線，不能作為一組基底，C錯誤；對于D，假設共線，則存在，使得，即無解，所以沒有任何一個能使該等式成立，即假設不成立，也即不共線，則能作為基底，故選:C.35．（2023·河北·高三學業(yè)考試）在下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】本題可根據(jù)向量平行的相關性質(zhì)依次判斷四個選項中的、是否共線，即可得出結(jié)果.【詳解】選項A：因為，所以、共線，不能作為基底；選項B：因為，所以、共線，不能作為基底；選項C：因為，所以、共線，不能作為基底；選項D：因為，所以、不共線，可以作為基底，故選：D.【點睛】本題考查平面向量中基底的要求，即共線向量不能作為基底，考查向量平行的相關性質(zhì)，考查計算能力，是簡單題.（二）用基底表示向量36．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）在中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】選用基底，利用向量的線性運算表示向量.【詳解】中，，，如圖所示，.故選：C37．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預測）在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，向量減法的三角形法則，用基底表示，從而求得結(jié)果.【詳解】由D為中點，根據(jù)向量的運算法則，可得，在中，.故選:D．38．（2023·全國·高三專題練習）在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設，，則向量等于（）A．＋ B．--C．-＋ D．-【答案】C【分析】根據(jù)給定條件借助平行線的性質(zhì)求出，再利用向量的加法計算即得.【詳解】平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，則有，如圖，所以＝＝(＋)＝＝-＋.故選：C39．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）平行四邊形中，點在邊上，，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，結(jié)合向量的線性運算求解作答.【詳解】在中，，，所以.故選：D40．（2023·廣西玉林·博白縣中學?？寄M預測）我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運算列式，再借助方程思想求解作答.【詳解】依題意，，于是，所以.故選：A41．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，在中，點為邊的中點，為線段的中點，連接并延長交于點，設，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，再根據(jù)平面向量基本定理分別表示，進而根據(jù)向量共線設，代入向量可得，進而得到.【詳解】設，則，又，設，則，故，即，故.故選：C（三）利用平面向量基本定理求參數(shù)42．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因為三點共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因為三點共線，所以，解得.故選：D.43．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在中，，，若點D是斜邊AB的中點，點P是中線CD上一點，且，則（

）

A．1 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的線性運算及向量的共線定理即可求解.【詳解】依題意，點P在線段CD上，如圖所示

則，即，于是有，因為點D是斜邊AB的中點，所以.所以所以，解得.故選：D.44．（2023·北京·高三專題練習）在中，M，N分別是AB，AC的中點，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】將分別用表示，根據(jù)平面向量基本定理即可求解.【詳解】,,故，故，解得.所以.故選:A.45．（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）在平行四邊形中，點，分別滿足，，若，則________．【答案】/【分析】以為基底向量，求，結(jié)合平面向量基本定理分析運算.【詳解】以為基底向量，則可得：，因為，即，可得，兩式相加的，可得.故答案為：.46．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在直角梯形中，為的中點，，，若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】設，則，又，由平面向量基本定理可得結(jié)果.【詳解】設，則，則.又，所以.故選：C.47．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運算的平行四邊形法則求出即可．【詳解】解：如圖在矩形中，，在中，，，，．故選：A．48．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，，，，點在線段上，且，若，則的值為_______.【答案】【分析】根據(jù)題意要求的值，則要求出中的值，故考慮以點為原點，建立直角坐標系，然后按照兩向量相等，則對應坐標相等，進而可求解.【詳解】解:如圖建立直角坐標系：設，則，，點在線段上，且，所以，因為在中，，，所以，由題知，是等腰三角形.所以，所以，，，，，若，則，，解得，，所以.故答案為：.【點睛】本題考查向量的線性運算，當直接運用向量的三角形法則與平行四邊形法則較困難時，可借助坐標，轉(zhuǎn)化成兩向量相等，則對應坐標相等，進而通過方程思想來求解.49．（2023·全國·模擬預測）如圖，在中，，，其中，，若AM與BN相交于點Q，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設條件運用平面向量的線性運算及平面向量的基本定理，將由，線性表示，再由Q，M，A三點共線得到關于，的關系式，從而確定正確選項．【詳解】由題意得，因為Q，M，A三點共線，由三點共線可得向量的線性表示中的系數(shù)之和為1，所以，化簡整理得．故選：C．50．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在平行四邊形中，M，N分別為，上的點，且，，連接，交于P點，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取為平面的基底，根據(jù)給定條件，結(jié)合平面向量基本定理求出作答.【詳解】在中，取為平面的基底，由，得，由，得，由，知，由，得，因此，則，解得，所以.故選：C考點六平面向量的坐標運算51．（2023·河北·高三學業(yè)考試）已知點，，則向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平面向量的坐標表示即可得出答案.【詳解】已知點，，則向量.故選：D.52．（2023春·云南昆明·高三?？茧A段練習）已知點，，則與方向相反的單位向量是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出，即得解.【詳解】解：由題意有，所以，所以與方向相反的單位向量是.故選：C53．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，則與向量垂直的單位向量的坐標為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】先寫出與之垂直的一個向量，然后再求得與此垂直向量平行的單位向量即得．【詳解】易知是與垂直的向量，，所以與平行的單位向量為或，故選：D．54．（2023·全國·高三專題練習）已知為坐標原點，，若、，則與共線的單位向量為（

）A． B．或C．或 D．【答案】C【分析】求出的坐標，除以，再考慮方向可得．【詳解】由得，即，，，，，與同向的單位向量為，反向的單位向量為．故選：C．55．（2023·湖北·模擬預測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為__________,【答案】【分析】利用平行四邊形法則表示出向量，利用坐標運算計算出向量的坐標，由為坐標原點，所以即可得的坐標【詳解】在平行四邊形中，因為與的交點為，且為的中點，所以，由為坐標原點，所以向量的坐標即為的坐標，故點的坐標為．故答案為：.56．（2023·全國·高三專題練習）已知的頂點，，，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行四邊形可得進而即得．【詳解】因為，，，由平行四邊形可得，設，則，所以，即的坐標為.故選：B.57．（2023·全國·高三專題練習）已知兩點、，點滿足，則的坐標為___________.【答案】【分析】設點，利用平面向量的坐標運算可得出關于、的方程組，即可求得點的坐標.【詳解】設點，由可得，所以，，解得，故點.故答案為：.58．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，且，則_____.【答案】【分析】根據(jù)向量的坐標線性運算即可求解.【詳解】，由可知解得故．故答案為：59．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】設出向量，的坐標，根據(jù)條件列出坐標方程，即可解出坐標，即可進一步列出含參數(shù)的坐標方程，從而解出參數(shù)【詳解】設，，所以，且，解得，，即，.所以，則，解得，故.故選：B考點七共線向量的坐標表示及應用（一）由坐標判斷向量是否共線60．【多選】（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學校?？奸_學考試）已知平面向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．與的夾角為45°【答案】AD【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算逐項分析判斷.【詳解】對A：根據(jù)向量的坐標運算易知，A選項正確；對B：因為，所以B選項錯誤；對C：因為，可得，則與不共線，所以C選項錯誤；對D：因為，則，所以與的夾角為45°，D選項正確．故選：AD.61．【多選】（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽中學?？茧A段練習）設，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則【答案】ABD【分析】A選項，驗證即可；B選項，驗證；C選項，由題可得，，據(jù)此可判斷選項正誤；D選項，由題可得，據(jù)此可判斷選項【詳解】A選項，，則，故A正確；B選項，，則，故，故B正確；C選項，假設存在，使，則，，則可得，故可得，則假設不成立，故C錯誤；D選項，因，則，又由題可得，則，故D正確.故選：ABD62．【多選】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，，則（

）A．當時，∥ B．的最小值為C．當時， D．當時，【答案】AC【分析】A選項，利用向量共線定理進行判斷；B選項用坐標表達出為關于x二次函數(shù)，配方求最小值；C選項利用向量夾角公式進行求解；D選項利用，先求出，再求解.【詳解】當時，，，此時，∥，選項A正確；，最小值為，故選項B錯誤；當時，，，故，故，選項C正確；當，解得：，此時，故D選項錯誤故選：AC（二）利用向量共線求參數(shù)63．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，若，則實數(shù)m的值是（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【分析】由題意可得，求解即可.【詳解】解：由，得，解得.故選：A.64．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知向量，．若，則__________．【答案】1或【分析】根據(jù)平面向量平行的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為向量，，，所以有，或，故答案為：1或65．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎蛄?，，若與方向相反，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量共線的坐標表示，列方程即可求得答案.【詳解】由，共線，則，得，即，又與方向相反，故，故答案為：66．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）若向量，，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的坐標運算與平行充要條件列出關于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】，因為，所以，解得.故選：A.67．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）已知，，，若，則實數(shù)________.【答案】或【分析】先求，利用兩向量平行坐標運算求出m.【詳解】∵，，∴.∵，∴，解得：或故答案為：或.68．（2023春·甘肅蘭州·高三?？奸_學考試）已知向量＝（－1，2），＝（3，m），m∈R，則“m＝－6”是“∥”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由平面