6.4.3 余弦定理、正弦定理1-(必修第二冊)(教師版)

余弦定理、正弦定理11正弦定理①正弦定理asinA=bsinB②變形(1)a+b+c(2)化邊為角a=2Rsina:b:c=sinA:sinB:sinC,a(3)化角為邊

sinA=a2R,sinB=理由a?理由aaa有角有邊的等式化為只含邊的等式a?等式(?)中含有三個式子(a?sinB、c?sinC、b?sinC)，每個式子中都有一個sin值，并且它們的次數(shù)都是1，則可以把sinB、sinC直接轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的邊b、c！同理a?sinB+思考以下轉(zhuǎn)化是否正確(1)a?sinB+c?sinC=b?a?b+c?c=b(錯)，(2)sinA?sinB+sinB?sinC=sin2④利用正弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知兩個角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；Eg在△ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a，b，c，B=30°，A=45°，b=2，則邊a=(2)已知兩邊和其中—邊的對角，求其他兩個角及另一邊.Eg在△ABC，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,A=60°,c=2，a=3(三角形中有一組對邊和對角就可考慮正弦定理)⑤三角形解的個數(shù)問題已知兩邊a、b和其中一邊的對角A，不能確定三角形的形狀，此時三角形解可能是無解、一解、兩解，要分類討論.A是銳角A是直角或鈍角a≥ba<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba<b一解無解一解兩解一解無解Eg求滿足a=5,b=4,A=60°的三角形△ABC個數(shù).方法1利用正弦定理求解由正弦定理可得：5sin60°=4∵a>b，且A為銳角，∴B有一解，故三角形只有一解；方法2圖像法先做出角∠CAB=60°,過點C作CD⊥BC,此時可知CD=23<5，以2面積公式S?ABC=3余弦定理①余弦定理a②變形cosA=③利用余弦定理可以解決下列兩類三角形的問題(1)已知三邊，可求三個角；Eg在△ABC中，若a=4,b=3,c=13，則角C=(2)已知兩邊和一角，求第三邊和其他兩個角.Eg在△ABC中，A=30°,b=3,c=1，則a=.(角在△ABC中，A=30°,b=33，a=3,則邊c=.(角A不為兩邊的夾角)④三角形類型的判斷∠A=π∠A>π∠A<π⑤射影定理a=c?cosB+b?cosCb=a?cosC+c?cosAc=b?cosA+a?cosB

【題型一】正弦定理、余弦定理解單個三角形【典題1】在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a=2，b=22，且三角形有兩解，則角A的取值范圍是.【解析】方法1∵a<b，∴A<B，∴A∵sinBsinA∴0<A<方法2幾何法如圖，AC=22，以C為圓心2為半徑作⊙C，則⊙C上任一點(⊙C與直線AC交點除外)可為點B構(gòu)成△ABC，當AB與⊙C相切時，AB=2，∠BAC=π4；當AB與⊙C相交時，∠BAC<π4，因為三角形有兩解，所以直線【點撥】方法二想法與用bsinA<a<b(三角形有2個解可得)這個結(jié)論一致的，但不太贊成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)去套結(jié)論解題，應(yīng)理解結(jié)論的推導(dǎo)方法.【典題2】在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且面積為S，若bcosC+ccosB=2acosA，S=14(b2+a【解析】方法1∵bcosC+ccosB=2acosA，由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，(把邊化為角)即sinB+C=2sinAcosA?sinA=2sinAcosA，(∵sinA≠0，∴cosA=12，故∵S=14(∴sinC=cosC，∴C=π∴B=5π方法2∵由余弦定理可得b?a2+b化簡得bc=b2+c接著同方法1【點撥】①對于一有角有邊的等式，可利用正弦定理或余弦定理化簡為只含角或只含邊的等式；②在三角形中sinA+B=sinC【典題3】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=2，∠C=π3，且A．b=2a B．△ABC的周長為2+23C．△ABC的面積為233 D．△ABC【解析】∵sinC+sinB?A∴sinA+B+sinB?A∴cosA=0或sinB?2sinA=0，(1)當cosA=0，A=π2時，由∠C=π∵c=2，∴b=233(2)當sinB?2sinA=0時，由正弦定理得b=2a，∵c=2,∠C=π3，∴由余弦定理得則4=a2+4a2?2a×2a×此時滿足b2=a對于A，當A=π2時，a=2b，故對于B，當A=π2或B=π2時，△ABC的周長為對于C，當B=π2時，△ABC的面積當A=π2時，S=1對于D，當A=π2或B=π2時，由正弦定理得2R=c綜上可得，命題正確的BCD，錯誤的為A.故選：A．鞏固練習(xí)1(★)在△ABC中，AB=2，BC=3，A=60°，則角C的值為．【答案】π【解析】由正弦定理可得，ABsinC故2sinC=3因為AB＜BC，故C＜A，且C為三角形內(nèi)角，故C=π2(★)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a=3，A=30°，b=33，則c值為．【答案】3或6，【解析】由余弦定理可得a2即9=27+c2－9c，即c2－9c+18=03(★)在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:7:3，則△ABC的最大內(nèi)角與最小內(nèi)角的和為【答案】2【解析】因為sinA:sinB:sinC=2:7:3，由正弦定理可得設(shè)a=2k，b=7k，c=3k，k＞0三角形中由大邊對大角可得C角最大，由余弦定理可得cosB=a2所以B=π34(★)【多選題】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，根據(jù)下列條件解三角形，有兩解的是()A．a(chǎn)=2,b=2,B=120° B．C．b=3,c=3,B=60° D．【答案】BD【解析】對于A，：a=2，b=2，B=120°，△ABC對于B，a=2，b=3，B=45°，由正弦定理得2sinA=又a>b，且A∈(0，π)，所以A有個值，三角形有兩解；對于C，b=3，c=3，B=60°，由正弦定理得3sin60°=由b>c，所以B>C，所以C=30°，三角形只有一解；對于D，a=23，b=10，B=60°，由正弦定理得23sinA又b<a，所以A>60°，所以A有兩個值，三角形有兩解．故選：BD．5(★★)【多選題】下列命題中，正確的是()A．在△ABC中，A>B，則sinA>sinBB．在銳角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C．在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B=60°，b2=ac，則【答案】ABD【解析】對于A，由A>B，可得：a>b，利用正弦定理可得：sinA>sinB，正確；對于B，在銳角△ABC中，A，B∈(0，π∵A+B>π因此不等式sinA>cosB恒成立，正確對于C，在△ABC中，由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A=2B或2A=2π－2B，∴A=B或A+B=π∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命題，C錯誤．對于D，由于B=60由余弦定理可得：b2=ac=a解得a=c，可得A=C=B=60°，故正確．故選：ABD．6(★★)【多選題】在△ABC中，已知a+b:(c+a):(b+c)=6:5:4A．由已知條件，這個三角形被唯一確定 B．△ABC一定是鈍三角形 C．sinA:sinB:sinC=7:5:3 D．若b+c=8，則△ABC的面積是153【答案】BC【解析】∵(a+b):(c+a):(b+c)=6:5:4，∴設(shè)a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，(k>0)，得a=7則a:b:c=7:5:3，則sinA:sinB:sinC=7:5:3，故C正確，由于三角形ABC的邊長不確定，則三角形不確定，故A錯誤，cosA=b2+即△ABC是鈍角三角形，故B正確，若b+c=8，則52則k=2，即b=5，c=3，A=120°，∴△ABC的面積S=12bcsinA=故選：BC．7(★★)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2+c2?b2+2bccosA?2c=0，c?cosA=b(1?cosC)，且C=2π3，則【答案】1，3【解析】利用余弦定理整理化簡a2即可得到：a2即可求出2c2－2c=0再由ccosA=b(1－cosC)，結(jié)合正弦定理可得：sinCcosA=sinB(1－cosC)，則：sinB=sinCcosA+sinBcosC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinB=sinA，或cosC=0，C=π當sinB=sinA，可得A=B，三角形ABC為等腰三角形，利用余弦定理1=a2+可得：S△ABC故答案為：1，3128(★★★)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．且asin(A+B)=csinB+C(1)求A；(2)若△ABC的面積為3，周長為8，求a．【答案】(1)π3(2)【解析】(Ⅰ)△ABC中，asin(A+B)=csinB+C∴asin(π－C)=csin(π由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA∴sinA=cosA2，即又A∈(0，π)，∴cosA2≠0，∴2sin∴A2=π(Ⅱ)△ABC的面積為3，周長為8，∴12bcsinA=∴bc=4，…①a+b+c=8，…②由余弦定理得：a2由①②③組成方程組，可得：b2可得：8－a2=a【題型二】多個三角形問題【典題1】在△ABC中，D是AB邊上一點，AD=2DB，DC⊥AC，DC=3則AB=．【解析】如圖，設(shè)BD=x，則AD=2x(引入變量)在Rt△ACD中，可得cosA=4x在Rt△ABC中，由余弦定理可得7=9x∴7=13x即7=6+x2，解得∴AB=3．【點撥】①題目中出現(xiàn)類似AD=2DB的倍數(shù)關(guān)系，可設(shè)未知數(shù)(比如設(shè)BD=x);②本題其實是對于同一角A在△ACD和△ABC共用了兩次余弦定理，得到了一條x的方程最終求解成功.另一思路：∠BDC+∠ADC=π?cos∠BDC=?cos∠ADC?x2+3?723【典題2】在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是．【解析】方法1如圖所示，延長BA,CD交于點E，則在△ADE中，∠DAE=105°，∠E=30°，∠ADE=45°，(在△ADE三個內(nèi)角都已知，故三邊成比例)∴設(shè)AD=12x，AE=22∵BC=2，△BCE是等腰三角形，過點E作BC的垂線可得(6+2∵m>0，∵BE=CE∴AB=6∴AB的取值范圍是(6?2，方法2尺規(guī)作圖法如下圖，作出底邊BC=2的等腰三角形EBC,B=C=75°與AB形成75°夾角的直線(圖中虛線)在平面內(nèi)移動，分別交EB、EC于A、D，則四邊形ABCD即為滿足題意的四邊形；當直線移動時，運用極限思想，①直線接近點C時，AB趨近最小值，為6?②直線接近點E時，AB趨近最大值，為6+∴AB的取值范圍是(6?2，【點撥】方法1通過輔助線得到兩個三角形，引入變量再解三角形，有些復(fù)雜；那方法2是怎么想到的呢？下面我們試試運用“構(gòu)圖法”找思路①先思考滿足“∠A=∠B=∠C=75°．BC=2”的四邊形是否確定了呢？肯定不是，要不出題者讓你求AB長度了.我們試試“尺規(guī)作圖”，如圖一，先畫出線段BC=2，再作角∠B=∠C=75°，那接著作∠A=75°，沒其他條件限制，點A的位置無法確定②當點A在射線BF上移動，如圖二，易知A在線段BA1上或在線段BE外是無法得到點D構(gòu)造出四邊形ABCD，故③在△BA1C和△BCE中利用正弦定理求出BA這方法在幾何中很常用，可確定題中哪些量是變量哪些是不變量，更便于尋找解題思路.【典題3】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4，點P為△ABC內(nèi)一點，且tan∠PAB=13，(1)求∠APB；(2)求PC．【解析】(1)設(shè)∠PAB=∠1，∠PBA=∠2，由tan∠1=13可知sin∠1=1010,cos∠1=(sinx、∴cos∠APB=?cos∴∠APB=3π(2)在△PAB中，利用正弦定理可得AP=AB?sin∠2依題意易得∠CAB=π4，∴cos∠PAC=cos(π在△APC中，利用余弦定理得PC∴PC=210【點撥】①解題中要明確什么量是確定或不確定的，比如已知tan∠PAB=13，tan∠PBA=12，意味著角∠PAB和∠PBA是確定的(只是具體多少度不知道)，再加上AB=4，由三角形的AAS型可知三角形PAB是確定了，那可求∠APB、AP，在等腰三角形ABC中AB=4，則△ABC確定，這可求邊長AC、∠PAC,則△PAC②處理多個三角形問題，要大膽在各三角形中嘗試用正弦余弦定理，利用綜合法分析法進行推理分析！鞏固練習(xí)1(★★)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a=2b，△ABC的面積為4sin∠ACB，AB邊上的中線CD長為6，則△ABC的周長為．【答案】10【解析】∵由題意可得：S△ABC∴解得b=2，∴a=2b=4，CD=6∵由余弦定理可得cosA=b2+∴解得c=4，∴△ABC的周長為a+b+c=10．故答案為：10．2(★★)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知c=2，b=1，cosC=14．則△ABC的中線AD的長為【答案】6【解析】如圖所示，△ABC中，c=2，b=1，cosC=1由余弦定理得，c2=a整理得2a2－a－6=0，解得a=2所以CD=1由余弦定理得，AD2=1所以△ABC的中線AD的長為62故答案為：623(★★)已知△ABC中，AB=3，BC=5，D為線段AC上一點，AB⊥BD，ADCD=34，則AC=，【答案】58，9【解析】設(shè)AD=3x，CD=4x，在△ABC中，由余弦定理可知25=49x2+9?2?3?7x?可得：AC=7x=58，可得：sin∠A=可得：S△ABC故答案為：58，924(★★★)在△ABC中，∠