第一二章時(shí)間序列分析

第一二章時(shí)間序列分析第1頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)時(shí)間序列分析的一般問(wèn)題時(shí)間序列的含義

時(shí)間序列是指被觀察到的以時(shí)間為序排列的數(shù)據(jù)序列。時(shí)間序列可以以表格的形式或圖形的形式表現(xiàn)。例：第2頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上海180指數(shù)某時(shí)間段的變化第3頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月國(guó)際航運(yùn)乘客資料（單位：千人）第4頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1946—1970美國(guó)各季生產(chǎn)者耐用品支出（單位：十億美元）第5頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1952年—1994年我國(guó)社會(huì)消費(fèi)品零售總額（單位：億元）第6頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)間序列分析的目的：(1)預(yù)測(cè)序列未來(lái)的發(fā)展方向。(2)分析序列的基本趨勢(shì)、季節(jié)和隨機(jī)項(xiàng)的構(gòu)成。(3)分析待定的數(shù)據(jù)集合、模擬理論模型，尤其是建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而進(jìn)行模型的結(jié)構(gòu)分析和實(shí)證研究。第7頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.按序列的分布規(guī)律來(lái)分：高斯型時(shí)間序列和非高斯型時(shí)間序列。時(shí)間序列的主要分類(lèi)：1.按所研究的對(duì)象的多少分：一元時(shí)間序列和多元時(shí)間序列。2.按時(shí)間的連續(xù)性分：離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列。3.按序列的統(tǒng)計(jì)特性分：平穩(wěn)時(shí)間序列和非平穩(wěn)時(shí)間序列。第8頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)

時(shí)間序列的建立

我們把獲取時(shí)間序列以及對(duì)其進(jìn)行檢查、整理和預(yù)處理等工作，稱(chēng)為時(shí)間序列的建立。

第9頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)間序列數(shù)據(jù)的采集

相應(yīng)于時(shí)間的連續(xù)性，系統(tǒng)在不同的時(shí)刻上的響應(yīng)常常是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)。為了數(shù)字計(jì)算處理上的方便，往往只按照一定的時(shí)間間隔對(duì)所研究系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行記錄和觀察，我們稱(chēng)之為采樣。相應(yīng)地把記錄和觀察時(shí)間間隔稱(chēng)為采樣間隔。通常采樣采用等間隔采樣。

第10頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離群點(diǎn)（Outlier）

離群點(diǎn)（Outlier）是指一個(gè)時(shí)間序列中，遠(yuǎn)離序列一般水平的極端大值和極端小值。對(duì)時(shí)間序列離群點(diǎn)分析的方法，有時(shí)也被稱(chēng)作穩(wěn)健估計(jì)（RobustEstimation），該方法最早由Box和Anderson于1955年提出。

第11頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.離群點(diǎn)（Outlier）產(chǎn)生的原因：（1）采樣誤差；（2）系統(tǒng)各種偶然非正常因素影響。2.離群點(diǎn)的數(shù)理描述：

(1)它們是既定分布中的極端點(diǎn)（extemepoint），它們雖與數(shù)據(jù)主體來(lái)自同一分布，但本身應(yīng)以極小的概率出現(xiàn)；

(2)這種點(diǎn)與數(shù)據(jù)集的主體并非采自同一分布，而是在采集數(shù)據(jù)過(guò)程中受到其他分布的“污染”，致使現(xiàn)有數(shù)據(jù)集摻入不應(yīng)有的“雜質(zhì)”。

第12頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.離群點(diǎn)（Outlier）的類(lèi)型：

（1）加性離群點(diǎn)（AdditiveOutlier），造成這種離群點(diǎn)的干擾，只影響該干擾發(fā)生的那一個(gè)時(shí)刻T上的序列值，而不影響該時(shí)刻以后的序列值。（2）更新離群點(diǎn)（InnovationalOutlier），造成離群點(diǎn)的干擾不僅作用于XT，而且影響T時(shí)刻以后序列的所有觀察值。第13頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）水平移位離群點(diǎn)（LevelShiftOutlier）,造成這種離群點(diǎn)的干擾是在某一時(shí)刻T，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，并持續(xù)影響T時(shí)刻以后的所有行為，在數(shù)列上往往表現(xiàn)出T時(shí)刻前后的序列均值發(fā)生水平位移。（4）暫時(shí)變更離群點(diǎn)(TemporaryChangeOutlier),造成這種離群點(diǎn)的干擾是在T時(shí)刻干擾發(fā)生時(shí)具有一定初始效應(yīng)，以后隨時(shí)間根據(jù)衰減因子的大小呈指數(shù)衰減。（請(qǐng)大家觀看四種離群點(diǎn)的演示試驗(yàn)）第14頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）直接進(jìn)行剔除；（2）對(duì)數(shù)據(jù)模型進(jìn)行修正處理分析。

4.離群點(diǎn)（Outlier）的處理方法：第15頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月缺損值（Missingvalue）的補(bǔ)足依據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡或變化趨勢(shì)，運(yùn)用一定的方法對(duì)缺損值進(jìn)行估計(jì)、推測(cè)，以補(bǔ)足缺損的數(shù)值。第16頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)

確定性時(shí)序分析方法概述

一個(gè)時(shí)間序列往往是以下幾類(lèi)變化形式的疊加或耦合：長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)（T）季節(jié)變動(dòng)（S）

循環(huán)變動(dòng)（C）

不規(guī)則變動(dòng)（R）

第17頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常見(jiàn)的確定性時(shí)間序列模型：(Ⅲ)混合模型(Ⅰ)加法模型(Ⅱ)乘法模型第18頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月確定性時(shí)序分析方法：1.移動(dòng)平均法設(shè)觀測(cè)序列為,正整數(shù)N<T。一次移動(dòng)平均值計(jì)算公式為：第19頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二次移動(dòng)平均值計(jì)算公式為：第20頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月移動(dòng)平均模型的特點(diǎn)：(1)等加權(quán)；(2)與RandomWalk相比，對(duì)反轉(zhuǎn)的反應(yīng)滯后，平均滯后(N+1)/2期；(3)無(wú)現(xiàn)成統(tǒng)計(jì)理論用于預(yù)測(cè)區(qū)間的推導(dǎo)，要根據(jù)樣本的數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差做經(jīng)驗(yàn)估計(jì)。移動(dòng)平均模型在數(shù)據(jù)處理中常用作預(yù)處理，用于消除周期波動(dòng)（取N為周期長(zhǎng)度）和減弱隨機(jī)干擾的影響。第21頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.指數(shù)平滑法

,α為加權(quán)系數(shù)，0<α<1，設(shè)觀測(cè)序列p次指數(shù)平滑公式為：一次指數(shù)平滑公式為：二次指數(shù)平滑公式為：第22頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一次指數(shù)平滑模型（SimpleExponentialSmoothing,SES）的特點(diǎn)：非等加權(quán)，距離越近權(quán)數(shù)越大；

平滑指數(shù)為連續(xù)變量，可以通過(guò)最小均方誤（meansquarederror）計(jì)算出最最佳的平滑系數(shù)α；對(duì)反轉(zhuǎn)平均滯后1/α；

預(yù)測(cè)區(qū)間比RandomWalk窄；

ARIMA模型的特例，ARIMA(0,1,1),MA的系數(shù)為1-α。

第23頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二次指數(shù)平滑模型（Linear(double)ExponentialSmoothing,LES）常用于含線(xiàn)性趨勢(shì)數(shù)據(jù);三次指數(shù)平滑模型（Quadratic(triple)SmoothingModle）常用于含曲線(xiàn)趨勢(shì)的數(shù)據(jù)。

第24頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.時(shí)間回歸法

(1)線(xiàn)性方程:(2)二次曲線(xiàn)：(3)指數(shù)曲線(xiàn)：(4)修正指數(shù)曲線(xiàn)：第25頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(5)Gompertz（龔帕茲）曲線(xiàn)：(6)Logistic（邏輯斯諦）曲線(xiàn)：(7)振動(dòng)曲線(xiàn)：f(t)為多項(xiàng)式（請(qǐng)同學(xué)們看一個(gè)實(shí)例）第26頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.季節(jié)周期預(yù)測(cè)法

(1)乘法型季節(jié)模型(2)加法型季節(jié)模型第27頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)隨機(jī)時(shí)間序列分析的幾個(gè)基本概念

隨機(jī)過(guò)程(StochasticProcess)

隨機(jī)過(guò)程是一簇隨機(jī)變量{Xt,t∈T}，其中T表示時(shí)間t的變動(dòng)范圍，對(duì)每個(gè)固定的時(shí)刻t而言，Xt是一普通的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的全體就構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

當(dāng)t={0,±1,±2,…}時(shí)，即時(shí)刻t只取整數(shù)時(shí)，隨機(jī)過(guò)程{Xt,t∈T}可寫(xiě)成如下形式，{Xt,t=0,±1,±2,…}。此類(lèi)隨機(jī)過(guò)程Xt是離散時(shí)間t的隨機(jī)函數(shù)，稱(chēng)它為隨機(jī)序列或時(shí)間序列。

對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程的等間隔采樣序列，即{Xt,t=0,±1,±2,…}就是一個(gè)離散隨機(jī)序列。第28頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)間序列的概率分布和數(shù)值特征

1.時(shí)間序列的概率分布

一個(gè)時(shí)間序列的概率分布可以用它有限維分布簇來(lái)描述

時(shí)間序列所有的一維分布是：…，F(xiàn)-1(·)，F(xiàn)0(·)，F(xiàn)1(·),…所有二維分布是：Fij(·，·)，i，j=0,±1,±2,…,(i≠j)一個(gè)時(shí)間序列的所有有限維分布簇的全體，稱(chēng)為該序列的有限維分布簇。第29頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.時(shí)間序列的均值函數(shù)

一個(gè)時(shí)間序列的均值函數(shù)是指：其中：EXt表示在t固定時(shí)對(duì)隨機(jī)變量Xt的求均值，它只一維分布簇中的分布函數(shù)Ft(·)有關(guān)。第30頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.時(shí)間序列的協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)

協(xié)方差函數(shù)：其中Ft,s(X,Y)為（Xt，Xs）的二維聯(lián)合分布。自相關(guān)函數(shù)：第31頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性：

非負(fù)定性：為對(duì)稱(chēng)非負(fù)定矩陣。自相關(guān)函數(shù)同樣也具有上述性質(zhì)且有ρ(t,t)=1。對(duì)任意正整數(shù)m和任意m個(gè)整數(shù)k1,k2,······km，方陣第32頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

嚴(yán)平穩(wěn)：如果對(duì)于時(shí)間t的任意n個(gè)值和任意實(shí)數(shù)，隨機(jī)過(guò)程的n維分布滿(mǎn)足關(guān)系式：則稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程。第33頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月寬平穩(wěn)：若隨機(jī)過(guò)程的均值（一階矩）和協(xié)方差存在，且滿(mǎn)足則稱(chēng)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。第34頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：

嚴(yán)平穩(wěn)不等于寬平穩(wěn)；寬平穩(wěn)不等于嚴(yán)平穩(wěn)；對(duì)于嚴(yán)平穩(wěn)序列，如果其二階距存在，其必為寬平穩(wěn)，反之則一般不成立；對(duì)于高斯序列，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)是等價(jià)的。第35頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)

設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列的均值為零，即。

自協(xié)方差函數(shù)：自相關(guān)函數(shù)：第36頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)有以下性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性：

非負(fù)定性：為非負(fù)定矩陣。自相關(guān)函數(shù)同樣也具有上述性質(zhì)。m階自協(xié)方差陣

有界性：第37頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平穩(wěn)序列的樣本統(tǒng)計(jì)量

樣本均值：時(shí)間序列無(wú)法獲得多重實(shí)現(xiàn)，常用時(shí)間均值代替總體均值。上式的估計(jì)是無(wú)偏的。

第38頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月樣本自協(xié)方差函數(shù)第一式是有偏估計(jì)，第二式是無(wú)偏估計(jì)，但有效性不如第一式。第39頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾類(lèi)特殊的隨機(jī)過(guò)程（序列）：

純隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程如果是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的序列構(gòu)成的，則稱(chēng)其為純隨機(jī)過(guò)程。

白噪聲序列（Whitenoise）：如果時(shí)間序列滿(mǎn)足以下性質(zhì)：（1）（2）

式中，當(dāng)t≠s時(shí)，簡(jiǎn)稱(chēng)白噪聲。。稱(chēng)此序列為白噪聲序列，第40頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.獨(dú)立同分布序列：如果時(shí)間序列中的隨機(jī)變量Xt,t=0,±1,±2,…,為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而且具有相同的分布，稱(chēng)這樣的時(shí)間序列為獨(dú)立同分布序列。4.二階矩過(guò)程：若隨機(jī)過(guò)程對(duì)每個(gè)

二階矩過(guò)程。的均值和方差存在，則稱(chēng)之為5.正態(tài)過(guò)程：若正態(tài)分布，則稱(chēng)的有限維分布都是為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。第41頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二章

平穩(wěn)時(shí)間序列模型(單變量）

選擇單變量時(shí)間序列的原因一是對(duì)相關(guān)序列間的可能關(guān)系還缺乏可靠的先驗(yàn)信息。單變量時(shí)間序列建模是一個(gè)有用的簡(jiǎn)化手段，并可以進(jìn)行有效的短期預(yù)測(cè)；例如，金融市場(chǎng)里面的股票走勢(shì)、利率變化等等。

●隨機(jī)時(shí)間序列分析模型，就是要通過(guò)序列過(guò)去的變化特征來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)的變化趨勢(shì)。第42頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二是如果有關(guān)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的理論已相當(dāng)成熟，則這個(gè)結(jié)構(gòu)的某種表現(xiàn)將是對(duì)該結(jié)構(gòu)中的每個(gè)內(nèi)生變量都給出一個(gè)與單變量模型方程相同的方程形式。

例如，對(duì)于如下最簡(jiǎn)單的宏觀經(jīng)濟(jì)模型：

這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)、投資與國(guó)民收入。

Ct與Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)

t的變化決定的。tttCYCaaaa+++=-12110第43頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上述模型可作變形如下：兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴(lài)于投資項(xiàng)It的行為。

如果It是一個(gè)白噪聲，則消費(fèi)序列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過(guò)程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(gè)(1,1)階的自回歸移動(dòng)平均過(guò)程ARMA(1,1)。ttttICCaaaaaaaa1111011211111-+-+-+-=-tttttIIYYaaaaaaaaa11121101121111111-+---+-+-=--第44頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)

自回歸模型

一階自回歸模型AR(1)其中Xt

零均值平穩(wěn)序列，αt

為隨機(jī)擾動(dòng)。

AR(1)的特點(diǎn)：Xt對(duì)Xt-1有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系αt為獨(dú)立正態(tài)同分布序列第45頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月AR（1）與普通一元線(xiàn)性回歸一元線(xiàn)性回歸

一階自回歸

兩個(gè)變量，Y為隨機(jī)變量，X為確定性變量；

一個(gè)變量，為隨機(jī)變量；

為白噪聲序列，

還可假定為正態(tài)分布。

第46頁(yè)，課件共55頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)游動(dòng)模型模型的特性：系統(tǒng)具有極強(qiáng)的一期記憶性；在t-1時(shí)刻，系統(tǒng)的一步超前預(yù)測(cè)可表示成無(wú)限獨(dú)立隨機(jī)變量和的形式：第47頁(yè)