2017年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

2017年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案2017年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（含答案）一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分）1.設(shè)N＝ab(c＝a×b)，則N()必為偶數(shù)。（A）2.等腰△ABC中，AB＝AC＝6，P為BC上一點(diǎn)，且PA＝4，則PB·PC的值等于20。（C）3.若x－1＝2，y＋1＝3，z＋2，則x^2＋y^2＋z^2可取得的最小值為6。（A）4.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E、F分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF分別交DE，DB于G，H兩點(diǎn)，則四邊形BEGH的面積是1。（D）5.如圖所示，邊長(zhǎng)為12的正三角形ABC內(nèi)接于圓，弦DE∥BC分別交AB，AC于F，G，若AF長(zhǎng)x，DF長(zhǎng)y都是正整數(shù)，則y的值為4。（C）二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6.已知方程x^2－x－1＝0的根是方程x^2－px＋q＝0的根，則p＝1，q＝－1。7.已知：如圖所示，凸五邊形ABCDE中，S△ABC＝S△BCD＝S△CDE＝S△DEA＝S△EAB＝1，則S五邊形ABCDE＝2。8.如圖，把10個(gè)兩兩互不相等的正整數(shù)，a1，a2，…，a10寫(xiě)成下列圖表的形式，其中兩個(gè)箭頭所指的數(shù)等于這兩個(gè)箭頭始點(diǎn)兩個(gè)數(shù)的和，例如表示a2＝a1＋a5，那么，滿足該圖表的a4的最小可能值為7。9.已知二次函數(shù)y＝ax^2＋bx＋c與一次函數(shù)y＝mx＋n的圖象交點(diǎn)為(-1，2)，(2,5)，且二次函數(shù)的最小值為1，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y＝2x^2－5x＋3。10.將40個(gè)自然數(shù)1，2……，40任意排成一排，總可以找到連續(xù)排列的八個(gè)數(shù)，它們的和不小于A，則A的最大值等于245。三、解答題（共4題，每小題15分，滿分60分）11.已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足方程組a＋b^2＋2ac＝29b＋c^2＋2ab＝18c＋a^2＋2bc＝25求a＋b＋c的值。解：將方程組中的每個(gè)式子分別乘以a、b、c，得到a^2＋ab^2＋2a^2c＝29aab＋b^2c＋2abc＝18bac^2＋bc＋c^2＝25c將第一個(gè)式子中的a^2和第三個(gè)式子中的c^2移到等號(hào)左邊，得到ab^2＋2a^2c－a^2＝29a－c^2ac^2＋2abc－bc＝25c－b^2c將上面兩個(gè)式子相加，得到ab^2＋ac^2＋2abc＋2a^2c－a^2－bc＝29a＋25c－b^2c左邊的式子可以寫(xiě)成ab^2＋ac^2＋2abc＋2a^2c－a^2－bc＝ab(b＋c)＋ac(a＋b)＋c(a^2＋bc)－a^2－bc＝ab(b＋c)＋ac(a＋b)＋c(a^2＋b^2)－a^2右邊的式子可以寫(xiě)成29a＋25c－b^2c＝a(29－b^2)＋c(25－b^2)將右邊的式子代入左邊的式子，得到ab(b＋c)＋ac(a＋b)＋c(a^2＋b^2)－a^2＝a(29－b^2)＋c(25－b^2)ab(b＋c)＋ac(a＋b)＋c(a^2＋b^2)－a(29－b^2)－c(25－b^2)＝a^2將上面的式子中的a和c看成未知數(shù)，得到a(b^2－c^2＋2bc－29)＝c(b^2－a^2＋2ab－25)由于a、b、c都是正實(shí)數(shù)，所以b^2－c^2＋2bc－29>0，b^2－a^2＋2ab－25>0，因此a＝c(b^2－a^2＋2ab－25)/(b^2－c^2＋2bc－29)將上面的式子代入方程組中的第一個(gè)式子，得到c^2(b^2－a^2＋2ab－25)^2/(b^2－c^2＋2bc－29)^2＋b(b^2－a^2＋2ab－25)＋2c(b^2－a^2＋2ab－25)/(b^2－c^2＋2bc－29)＝29將上面的式子中的c看成未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于b的二次方程，解得c＝(25－b^2＋2ab±2√(b^4－58b^2＋625))/(b^2－58)因?yàn)閏是正實(shí)數(shù)，所以只能取正號(hào)，代入上面的式子中，得到a＋b＋c＝(ab^2＋ac^2＋2abc＋2a^2c－a^2－bc)/(b＋c)＋b＋c＝(ab(b＋c)＋ac(a＋b)＋c(a^2＋b^2)－a^2)/(b＋c)＋b＋c＝(a(b＋c)＋c(a^2＋b^2))/(b＋c)＋b＋c＝(a(b＋c)＋c(a^2＋b^2)+b^2＋bc)/(b＋c)＝(a(b＋c)+c(a^2＋b^2＋bc)+b^2)/(b＋c)＝(a(b＋c)+c(b＋a)^2+b^2)/(b＋c)＝(a(b＋c)+(b＋c)^2－2bc+b^2)/(b＋c)＝(a＋b＋c)^2/(b＋c)因此，a＋b＋c＝(a＋b＋c)^2/(b＋c)，解得a＋b＋c＝58/3。12.如圖，正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)P，連接EP，F(xiàn)P，GP，HP。若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求△EPG的面積。解：如圖，連接AC，BD，因?yàn)镋、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以AE＝CE＝DG＝BG＝1/2，EF＝FG＝GH＝HE＝1/2，BP＝PD＝AP＝PC＝1/2。因此，AE∥CG，BE∥DG，BF∥CH，AF∥DH，AE＝CG，BE＝DG，BF＝CH，AF＝DH，所以四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD＝√2。又因?yàn)椤鰽EP∽△CEG，所以EP/EG＝AP/CG＝1/√2，EP＝EG/√2，同理，F(xiàn)P＝FH/√2，GP＝GD/√2，HP＝HE/√2。因此，△EPG的面積為S＝1/2×EP×GP＝1/2×(EG/√2)×(GD/√2)＝1/4×(AC^2－BD^2)/2＝1/8。13.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線y＝x^2－2x＋2與直線y＝x＋1相交于點(diǎn)A，B，C，D，將四邊形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到四邊形AB′C′D′，其中B′，C′分別在直線y＝x＋1的兩側(cè)，且B′C′＝BC，B′D′＝BD，求四邊形AB′C′D′的面積。解：曲線y＝x^2－2x＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，因此，曲線在直線y＝x＋1的上方。設(shè)AB，CD與直線y＝x＋1的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，如圖所示。因?yàn)锳BCD是曲線y＝x^2－2x＋2和直線y＝x＋1的交點(diǎn)，所以AE＝DF，BE＝CG，AF＝DH，BF＝CH。因此，AE＝BF，BE＝AF，CG＝DH，CH＝DF。又因?yàn)锽C＝GH，BD＝HE，因此，四邊形AB′C′D′是一個(gè)菱形，且AB′＝BC，B′C′＝CG＝BE＝AF，因此，四邊形AB′C′D′是一個(gè)正方形，其面積為BC^2＝(CG＋GH)^2＝(BE＋HE)^2＝(AF＋DF)^2＝(BF＋CH)^2＝4。因此，四邊形AB′C′D′的面積為4。14.在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(0，0)為圓心，以r為半徑的圓O與x軸正半軸交于點(diǎn)A，B，以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑的圓以x軸正半軸為一條切線，交圓O于點(diǎn)C，D，連接AC，BD，交于點(diǎn)E，求以E為圓心，以r為半徑的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)F，G，以F，G為直徑的圓與圓O交于點(diǎn)H，I，求HI的長(zhǎng)度。解：如圖所示。因?yàn)橐渣c(diǎn)B為圓心，以r為半徑的圓以x軸正半軸為一條切線，交圓O于點(diǎn)C，D，所以BC是圓O的直徑，因此，∠BAC＝90°。設(shè)圓O的方程為x^2＋y^2＝r^2，圓以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑的方程為(x－r)^2＋y^2＝r^2，直線x＝r是圓以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑的切線，所以(x－r)^2＋y^2＝r^2的判別式Δ＝0，解得y^2＝2rx。因此，C的坐標(biāo)為(r/2，r√2/2)，D的坐標(biāo)為(r/2，－r√2/2)，E的坐標(biāo)為(r/2，r√2/2)，因此，AE的方程為y＝x√2。設(shè)以E為圓心，以r為半徑的圓的方程為(x－r/2)^2＋y^2＝r^2/2，交x軸于點(diǎn)F，G，因此，F(xiàn)，G的坐標(biāo)分別為(r，0)，(0，r√2)。因?yàn)镠，I分別在圓O和以E為圓心，以r為半徑的圓上，所12、設(shè)計(jì)一套郵票，要求由四種不同面值的郵票組成，且面值為正整數(shù)。對(duì)于連續(xù)整數(shù)1，2…，R中的任一面值數(shù)，都能夠通過(guò)適當(dāng)選取面值互相不同且不超過(guò)三枚的郵票實(shí)現(xiàn)。求R的最大值，并給出一種相應(yīng)的設(shè)計(jì)方案。解：選取面值互不相同且不超過(guò)三張的不同取法共有14種。不同取法所獲得郵票的總面值可能相同，也可能不同，至多只有14種不同的總面值，因此R≤14。若設(shè)計(jì)四種郵票的面值數(shù)分別為1，2，4，8，則可以實(shí)現(xiàn)1到14任意面值的郵票選擇，即R=14。這四種郵票面值數(shù)作為一套，符合題意的設(shè)計(jì)方案。13、已知：如圖，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，過(guò)點(diǎn)A的圓分別交AB，AC于點(diǎn)P和Q，交BC于點(diǎn)D和E，若BP＋CQ＝PQ，求∠DAE的度數(shù)。解：由于∠CAB＝90°，因此PQ是直徑，PQ的中點(diǎn)O是過(guò)點(diǎn)A的圓的圓心。連OE，PE，作PF⊥AB交BC于點(diǎn)F。又因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝45°。由PF⊥AB可知PF＝PB，且PF∥CQ。根據(jù)題目條件BP＋CQ＝PQ，可得FP＋CQ＝PQ＝2OE，因此OE＝(FP＋CQ)/2。若取梯形CQPF的邊CF中點(diǎn)M，連OM，則OM∥CQ∥PF，且OM＝(FP＋CQ)/2＝OE。因此，四邊形AODE是平行四邊形，且∠DAE＝2∠DOE＝2∠CAB＝90°。14、試求出所有滿足下列條件的正整數(shù)a，b，c，d，其中1＜a＜b＜c＜d，且abcd－1是(a－1)(b－1)(c－1)(d－1)的整數(shù)倍。解：根據(jù)題意，有abcd－1＝k(a－1)(b－1)(c－1)(d－1)，其中k為正整數(shù)。因?yàn)?＜a＜b＜c＜d，所以a－1，b－1，c－1，d－1都是正整數(shù)，且互不相同。因此，k必須是abcd－1的因數(shù)，且k的取值范圍為1到abcd－1。對(duì)于每個(gè)k，可以通過(guò)枚舉a，b，c，d的值來(lái)判斷是否符合條件，若符合條件則輸出a，b，c，d的值。OM=FP+CQ，因此OE=OM，點(diǎn)M即FC與OO的交點(diǎn)E。由此可得OE∥CQ，又因?yàn)镃Q⊥AB，所以O(shè)E⊥AB，同時(shí)EA=EP。由角度關(guān)系可得∠EAP=∠EPA，而∠EAP=∠EAD+∠DAB，∠EPA=∠B+∠PEB，因此∠EAD+∠DAB=∠B+∠PEB，所以∠DAB=∠PEB，進(jìn)而得到∠EAD=∠B=45°。根據(jù)題意，k為正整數(shù)，因此a、b、c、d要么都是奇數(shù)，要么都是偶數(shù)。又因?yàn)?＜k＜，所以可以得到1＜a≤4。當(dāng)a≥5時(shí)，不等式不成立，因此只需考慮a=2,3,4的情況。當(dāng)a=4時(shí)，b、c、d都是偶數(shù)，因此k為奇數(shù)，但是此時(shí)k不是整數(shù)，不符合題意。當(dāng)a=3時(shí)，b、c、d都是奇數(shù)，可以得到b≥5，c≥7，d