第2章MATLAB矩陣及其運算課件

16:2512.1變量和數(shù)據(jù)操作2.1.1變量與賦值

1．變量命名變量名中不能包含空格、標(biāo)點、但可以包含下劃線等字符。無需對變量的類型進行說明。變量名、函數(shù)名是對字母大小寫敏感的。變量的第一個字符必須是英文字母，最多可以包含63個字符（英文、數(shù)字和下連字符）。11:1812.1變量和數(shù)據(jù)操作2.1.1變量與賦值16:2522．賦值語句

(1)變量=表達式

(2)表達式

其中表達式是用運算符將有關(guān)運算量連接起來的式子，其結(jié)果是一個矩陣。11:1822．賦值語句

(1)變量=表達式

(2)16:253例2-1計算表達式的值，并顯示計算結(jié)果。

在MATLAB命令窗口輸入命令：

x=1+2i;

y=3-sqrt(17);

z=(cos(abs(x+y))-sin(78*pi/180))/(x+abs(y))

其中pi和i都是MATLAB預(yù)先定義的變量，分別代表代表圓周率π和虛數(shù)單位。

輸出結(jié)果是：

z=

-0.3488+0.3286i11:183例2-1計算表達式的值，并顯示計算結(jié)果。

在16:2542.1.2預(yù)定義變量在MATLAB工作空間中，還駐留幾個由系統(tǒng)本身定義的變量。例如，用pi表示圓周率π的近似值，用i，j表示虛數(shù)單位。

預(yù)定義變量有特定的含義，在使用時，應(yīng)盡量避免對這些變量重新賦值。11:1842.1.2預(yù)定義變量在MATLAB工16:2552.1.3內(nèi)存變量的管理

1．內(nèi)存變量的刪除與修改

MATLAB工作空間窗口專門用于內(nèi)存變量的管理。在工作空間窗口中可以顯示所有內(nèi)存變量的屬性。當(dāng)選中某些變量后，再單擊Delete按鈕，就能刪除這些變量。當(dāng)選中某些變量后，再單擊Open按鈕，將進入變量編輯器。通過變量編輯器可以直接觀察變量中的具體元素，也可修改變量中的具體元素。11:1852.1.3內(nèi)存變量的管理

1．內(nèi)存變量的刪除16:25611:18616:257clear命令用于刪除MATLAB工作空間中的變量。who和whos這兩個命令用于顯示在MATLAB工作空間中已經(jīng)駐留的變量名清單。who命令只顯示出駐留變量的名稱，whos在給出變量名的同時，還給出它們的大小、所占字節(jié)數(shù)及數(shù)據(jù)類型等信息。11:187clear命令用于刪除MATLAB工作空間中的變16:2582．內(nèi)存變量文件

利用MAT文件可以把當(dāng)前MATLAB工作空間中的一些有用變量長久地保留下來，擴展名是.mat。MAT文件的生成和裝入可以由菜單命令完成File—SaveWorkspaceAs用OPEN打開該文件也可以由save和load命令來完成。常用格式為：

save文件名[變量名表][-append][-ascii]

load文件名[變量名表][-ascii]11:1882．內(nèi)存變量文件

利用MAT文件可以把當(dāng)前MAT16:259其中，文件名可以帶路徑，但不需帶擴展名.mat，命令隱含一定對.mat文件進行操作。變量名表中的變量個數(shù)不限，只要內(nèi)存或文件中存在即可，變量名之間以空格分隔。當(dāng)變量名表省略時，保存或裝入全部變量。-ascii選項使文件以ASCII格式處理，省略該選項時文件將以二進制格式處理。save命令中的-append選項控制將變量追加到MAT文件中。11:189其中，文件名可以帶路徑，但不需帶擴展名.mat，16:25102.1.4MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)

MATLAB提供了許多數(shù)學(xué)函數(shù)，函數(shù)的自變量規(guī)定為矩陣變量，運算法則是將函數(shù)逐項作用于矩陣的元素上，因而運算的結(jié)果是一個與自變量同維數(shù)的矩陣。

函數(shù)使用說明：

(1)三角函數(shù)以弧度為單位計算。

(2)abs函數(shù)可以求實數(shù)的絕對值、復(fù)數(shù)的模、字符串的ASCII碼值。

(3)用于取整的函數(shù)有fix、floor、ceil、round，要注意它們的區(qū)別。

(4)rem與mod函數(shù)的區(qū)別。rem(x,y)和mod(x,y)要求x,y必須為相同大小的實矩陣或為標(biāo)量。11:18102.1.4MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)

MAT16:2511MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)sinatanacoshlog2realfixgcdcossinhatanhexpimagefloorlcmtancoshsqrtpow2conjceilasintanhlogabsremroundacosasinhlog10anglemodsign11:1811MATLAB常用數(shù)學(xué)函數(shù)sinatanacos16:25122.1.5數(shù)據(jù)的輸出格式

MATLAB用十進制數(shù)表示一個常數(shù)，具體可采用日常記數(shù)法和科學(xué)記數(shù)法兩種表示方法。

在一般情況下，MATLAB內(nèi)部每一個數(shù)據(jù)元素都是用雙精度數(shù)來表示和存儲的。數(shù)據(jù)輸出時用戶可以用format命令設(shè)置或改變數(shù)據(jù)輸出格式。format命令的格式為：

format格式符

其中格式符決定數(shù)據(jù)的輸出格式11:18122.1.5數(shù)據(jù)的輸出格式

MATL16:2513格式符如下：short47long15shorte5longe15shortglongghexrat近似有理數(shù)表示+正數(shù)、負數(shù)、零分別用+、-、空格表示bank銀行格式，元、角、分表示compact輸出變量之間沒空行l(wèi)oose輸出變量之間有空行默認格式是short11:1813格式符如下：16:25142.2MATLAB矩陣2.2.1矩陣的建立

1．直接輸入法

最簡單的建立矩陣的方法是從鍵盤直接輸入矩陣的元素。具體方法如下：將矩陣的元素用方括號括起來，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號分隔，不同行的元素之間用分號分隔。11:18142.2MATLAB矩陣2.2.1矩陣的16:25152．利用M文件建立矩陣

對于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一個M文件。下面通過一個簡單例子來說明如何利用M文件創(chuàng)建矩陣。11:18152．利用M文件建立矩陣

對于比較大且比16:2516例2-2利用M文件建立MYMAT矩陣。

(1)啟動有關(guān)編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣：

(2)把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(設(shè)文件名為mymatrix.m)。

(3)在MATLAB命令窗口中輸入mymatrix，即運行該M文件，就會自動建立一個名為MYMAT的矩陣，可供以后使用。11:1816例2-2利用M文件建立MYMAT矩16:25173．利用冒號表達式建立一個向量

冒號表達式可以產(chǎn)生一個行向量，一般格式是：

e1:e2:e3

其中e1為初始值，e2為步長，e3為終止值。11:18173．利用冒號表達式建立一個向量

冒號表16:25184．建立大矩陣

大矩陣可由方括號中的小矩陣或向量建立起來。11:18184．建立大矩陣

大矩陣可由方括號中的小矩陣或向16:2519linspace命令語法：linspace(start,end,num)數(shù)組初值數(shù)組終值平均分割點數(shù)5、Linspace和logspace命令法顯然，linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價。11:1819linspace命令語法：linspace(s16:2520logspace命令語法：logspace(e1,e2,num)數(shù)組初值數(shù)組終值對數(shù)平均分割點數(shù)11:1820logspace命令語法：logspace(16:2521多維矩陣MATLAB支持多維行列頁建立多位矩陣的方法：對二維進行擴充對若干個同樣大小的二維矩陣進行組合前面介紹的建立矩陣的函數(shù)，eye除外用cat函數(shù)11:1821多維矩陣MATLAB支持多維行列頁建立16:2522對二維進行擴充11:1822對二維進行擴充16:2523對若干個同樣大小

的二維矩陣進行組合11:1823對若干個同樣大小

的二維矩陣進行組合16:2524前面介紹的建立矩陣的函數(shù)，eye除外11:1824前面介紹的建立矩陣的函數(shù)，eye除外16:2525用cat函數(shù)Cat(n,a1,a2,a3….)將大小相同的矩陣沿n維方向串接則可能成為高維矩陣n=1沿行方向擴展n=2沿列方向擴展n=3沿頁方向擴展11:1825用cat函數(shù)Cat(n,a1,a2,a3….)16:25262.2.2矩陣的拆分

1．矩陣元素

通過下標(biāo)引用矩陣的元素，例如

A(3,2)=200

采用矩陣元素的序號來引用矩陣元素。矩陣元素的序號就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在MATLAB中，矩陣元素按列存儲，先第一列，再第二列，依次類推。例如

A=[1,2,3;4,5,6];

A(3)

ans=

2

顯然，序號(Index)與下標(biāo)(Subscript)是一一對應(yīng)的，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。sub2ind(size(A),1,2)[i,j]=ind2sub(size(A),3)11:18262.2.2矩陣的拆分

1．矩陣元素

16:2527相關(guān)函數(shù)size返回包含兩個元素的向量，分別是行數(shù)和列數(shù)reshape在總元素保持不變的情況下，將矩陣重新排列成m×n的二維矩陣。矩陣是按列存儲length返回矩陣行數(shù)和列數(shù)的較大值ndims返回維數(shù)11:1827相關(guān)函數(shù)16:25282．矩陣拆分

(1)利用冒號表達式獲得子矩陣

①A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。

②A(i:i+m,:)表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素。

此外，還可利用一般向量和end運算符來表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。A([1,3,7],:)11:18282．矩陣拆分

(1)利用冒號表達式獲16:2529(2)利用空矩陣刪除矩陣的元素

在MATLAB中，定義[]為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語句為X=[]。注意，X=[]與clearX不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為0。11:1829(2)利用空矩陣刪除矩陣的元素

16:25302.2.3特殊矩陣

1．通用的特殊矩陣

A=eye(n)生成n維單位陣A=ones(n,m)n*m維全部元素都為1矩陣A=rand(n,m)n*m維服從[0，1]分布隨機陣A=zeros(n,m)n*m維全零矩陣[v,d]=eig(A)求矩陣的特征值和特征向量B=inv(A)求矩陣A的逆陣[m,n]=size(A)求矩陣的行數(shù)和列數(shù)b=length(A)查看矩陣的最大維數(shù)A=randn(m,n)產(chǎn)生0～1間正態(tài)分布的隨機矩陣11:18302.2.3特殊矩陣

1．通用的特殊矩陣

16:2531例2-3分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。

(1)建立一個3×3零矩陣。

zeros(3)

(2)建立一個3×2零矩陣。

zeros(3,2)

(3)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個與矩陣A同樣大小零矩陣。

A=[123;456];%產(chǎn)生一個2×3階矩陣A

zeros(size(A))%產(chǎn)生一個與矩陣A同樣大小的零矩陣11:1831例2-3分別建立3×3、3×2和與矩陣A同16:2532例2-4建立隨機矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機矩陣。

命令如下：

x=20+(50-20)*rand(5)

y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)

此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。11:1832例2-4建立隨機矩陣：

(1)在區(qū)間[2016:25332．用于專門學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對角線上的元素和都相等。對于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n*n共n*n個整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個n階魔方陣。11:18332．用于專門學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣16:2534例2-5將101~125等25個數(shù)填入一個5行5列的表格中，使其每行每列及對角線的和均為565。

M=100+magic(5)11:1834例2-5將101~125等25個數(shù)填入一個16:2535(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點乘積?？梢杂靡粋€指定向量生成一個范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩陣。

11:1835(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermo16:2536(3)希爾伯特矩陣

每個元素＝1/(i+j-1)。在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)。

使用一般方法求逆會因為原始數(shù)據(jù)的微小擾動而產(chǎn)生不可靠的計算結(jié)果。MATLAB中，有一個專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。11:1836(3)希爾伯特矩陣

每個元素＝1/(i+j-16:2537例2-6求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命令如下：

formatrat%以有理形式輸出

H=hilb(4)

H=invhilb(4)

11:1837例2-6求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命16:2538(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長。toeplitz(x)用向量x生成一個對稱的托普利茲矩陣。例如

T=toeplitz(1:6)11:1838(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toepli16:2539(5)伴隨矩陣矩陣A的伴隨矩陣是由|A|的所有元素的代數(shù)余子式按照一定順序排列得到的一個新矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個多項式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：

p=[1,0,-7,6];

compan(p)11:1839(5)伴隨矩陣16:2540(6)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個n階帕斯卡矩陣。11:1840(6)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(x+y16:2541例2-7求(x+y)6的展開式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。11:1841例2-7求(x+y)6的展開式。

在MAT16:25422.3MATLAB運算2.3.1算術(shù)運算

1．基本算術(shù)運算

MATLAB的基本算術(shù)運算有：＋(加)、－(減)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，運算是在矩陣意義下進行的，單個數(shù)據(jù)的算術(shù)運算只是一種特例。11:18422.3MATLAB運算16:2543(1)矩陣加減運算

假定有兩個矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實現(xiàn)矩陣的加減運算。運算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯誤信息，提示用戶兩個矩陣的維數(shù)不匹配。11:1843(1)矩陣加減運算

假定有兩16:2544(2)矩陣乘法

假定有兩個矩陣A和B，若A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則C=A*B為m×p矩陣。11:1844(2)矩陣乘法

假定有兩個矩陣A16:2545(3)矩陣除法

在MATLAB中，有兩種矩陣除法運算：\和/，分別表示左除和右除。如果A矩陣是非奇異方陣，則A\B和B/A運算可以實現(xiàn)。A\B等效于A的逆左乘B矩陣，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩陣的逆右乘B矩陣，也就是B*inv(A)。

對于含有標(biāo)量的運算，兩種除法運算的結(jié)果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，設(shè)a=[10.5,25]，則a/5=5\a=[2.10005.0000]。對于矩陣來說，左除和右除表示兩種不同的除數(shù)矩陣和被除數(shù)矩陣的關(guān)系。對于矩陣運算，一般A\B≠B/A。11:1845(3)矩陣除法

在MATLAB中，有16:2546(4)矩陣的乘方

一個矩陣的乘方運算可以表示成A^x，要求A為方陣，x為標(biāo)量。

2．點運算

在MATLAB中，有一種特殊的運算，因為其運算符是在有關(guān)算術(shù)運算符前面加點，所以叫點運算。點運算符有.*、./、.\和.^。兩矩陣進行點運算是指它們的對應(yīng)元素進行相關(guān)運算，要求兩矩陣的維參數(shù)相同。11:1846(4)矩陣的乘方

一個矩陣的16:25472.3.2關(guān)系運算

MATLAB提供了6種關(guān)系運算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它們的含義不難理解，但要注意其書寫方法與數(shù)學(xué)中的不等式符號不盡相同。11:18472.3.2關(guān)系運算

MATLAB提16:2548關(guān)系運算符的運算法則為：

(1)當(dāng)兩個比較量是標(biāo)量時，直接比較兩數(shù)的大小。若關(guān)系成立，關(guān)系表達式結(jié)果為1，否則為0。

(2)當(dāng)參與比較的量是兩個維數(shù)相同的矩陣時，比較是對兩矩陣相同位置的元素按標(biāo)量關(guān)系運算規(guī)則逐個進行，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。11:1848關(guān)系運算符的運算法則為：

(116:2549(3)當(dāng)參與比較的一個是標(biāo)量，而另一個是矩陣時，則把標(biāo)量與矩陣的每一個元素按標(biāo)量關(guān)系運算規(guī)則逐個比較，并給出元素比較結(jié)果。最終的關(guān)系運算的結(jié)果是一個維數(shù)與原矩陣相同的矩陣，它的元素由0或1組成。11:1849(3)當(dāng)參與比較的一個是標(biāo)量，而另一16:2550例2-8產(chǎn)生5階隨機方陣A，其元素為[10,90]區(qū)間的隨機整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。

(1)生成5階隨機方陣A。

A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)

(2)判斷A的元素是否可以被3整除。

P=rem(A,3)==0

其中，rem(A,3)是矩陣A的每個元素除以3的余數(shù)矩陣。此時，0被擴展為與A同維數(shù)的零矩陣，P是進行等于(==)比較的結(jié)果矩陣。11:1850例2-8產(chǎn)生5階隨機方陣A，其元素16:25512.3.3邏輯運算

MATLAB提供了3種邏輯運算符：&(與)、|(或)和～(非)。

邏輯運算的運算法則為：

(1)在邏輯運算中，確認非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。

(2)設(shè)參與邏輯運算的是兩個標(biāo)量a和b，那么，

a&ba,b全為非零時，運算結(jié)果為1，否則為0。

a|ba,b中只要有一個非零，運算結(jié)果為1。

～a當(dāng)a是零時，運算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時，運算結(jié)果為0。11:18512.3.3邏輯運算

MATLAB提16:2552(3)若參與邏輯運算的是兩個同維矩陣，那么運算將對矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個進行。最終運算結(jié)果是一個與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。

(4)若參與邏輯運算的一個是標(biāo)量，一個是矩陣，那么運算將在標(biāo)量與矩陣中的每個元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個進行。最終運算結(jié)果是一個與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。11:1852(3)若參與邏輯運算的是兩個同維矩陣，16:2553(5)邏輯非是單目運算符，也服從矩陣運算規(guī)則。

(6)在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運算中，算術(shù)運算優(yōu)先級最高，邏輯運算優(yōu)先級最低。11:1853(5)邏輯非是單目運算符，也服從矩陣運算規(guī)16:2554例2-9建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。

(1)建立矩陣A。

A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]

(2)找出大于4的元素的位置。

find(A>4)11:1854例2-9建立矩陣A，然后找出大于4的元素的16:25552.4矩陣分析

2.4.1對角陣與三角陣

1．對角陣

只有對角線上有非0元素的矩陣稱為對角矩陣，對角線上的元素相等的對角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對角線上的元素都為1的對角矩陣稱為單位矩陣。11:18552.4矩陣分析

2.4.1對角陣與三角陣16:2556(1)提取矩陣的對角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對角線元素，產(chǎn)生一個具有min(m,n)個元素的列向量。

diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對角線的元素。

(2)構(gòu)造對角矩陣

設(shè)V為具有m個元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個m×m對角矩陣，其主對角線元素即為向量V的元素。

diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個n×n(n=m+k)對角陣，其第k條對角線的元素即為向量V的元素。11:1856(1)提取矩陣的對角線元素

設(shè)A為m×n矩陣16:2557例2-10先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A%用D左乘A，對A的每行乘以一個指定常數(shù)

11:1857例2-10先建立5×5矩陣A，然后將A的第16:25582．三角陣

三角陣又進一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對角線以上的元素全為0的一種矩陣。11:18582．三角陣

三角陣又進一步分為上三角陣和下三角16:2559上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對角線以上的元素，形成新的矩陣B。(2)下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。11:1859上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函16:25602.4.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運算符是單撇號(’)。2．矩陣的旋轉(zhuǎn)

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A逆時針旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時可省略。11:18602.4.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1．矩陣的轉(zhuǎn)置

16:25613．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對矩陣A實施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)

MATLAB對矩陣A實施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。11:18613．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對矩陣實施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩16:25622.4.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對于一個方陣A，如果存在一個與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯，但在MATLAB中，求一個矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

例2-11用求逆矩陣的方法解線性方程組。

Ax=b

其解為：

x=A-1b11:18622.4.3矩陣的逆與偽逆

1．矩陣的逆

對16:25632．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個方陣，或者A是一個非滿秩的方陣時，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。11:18632．矩陣的偽逆

如果矩陣A不是一個方陣，或者A16:25642.4.4方陣的行列式

把一個方陣看作一個行列式，并對其按行列式的規(guī)則求值，這個值就稱為矩陣所對應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。11:18642.4.4方陣的行列式

把一個方陣看作一個行16:25652.4.5矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。11:18652.4.5矩陣的秩與跡

16:25662.4.6向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義下的長度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。常用的三種范數(shù)：1-范數(shù):║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范數(shù):║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2∞-范數(shù):║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)

11:18662.4.6向量和矩陣的范數(shù)16:25671．向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計算向量V的2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計算向量V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計算向量V的∞—范數(shù)。2．矩陣的范數(shù)及其計算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。11:18671．向量的3種常用范數(shù)及其計算函數(shù)16:25682.4.7矩陣的條件數(shù)

矩陣A的條件數(shù)等于A的范數(shù)與A的逆的范數(shù)的乘積，即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖，對應(yīng)矩陣的3種范數(shù)，相應(yīng)地可以定義3種條件數(shù)在MATLAB中，計算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(A,inf)計算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。11:18682.4.7矩陣的條件數(shù)

16:25692.4.8矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。11:18692.4.8矩陣的特征值與特征向量

16:2570(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。11:1870(3)[V,D]=eig(A,‘nobala16:2571例2-12用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%P的伴隨矩陣

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)%直接求多項式p的零點11:1871例2-12用求特征值的方法解方程。

3x516:25722.5矩陣的超越函數(shù)(直接作用于矩陣)

1．矩陣平方根sqrtm

sqrtm(A)計算矩陣A的平方根。2．矩陣對數(shù)logm

logm(A)計算矩陣A的自然對數(shù)。此函數(shù)輸入?yún)?shù)的條件與輸出結(jié)果間的關(guān)系和函數(shù)sqrtm(A)完全一樣11:18722.5矩陣的超越函數(shù)(直接作用于矩陣)

16:25733．矩陣指數(shù)expm、expm1、expm2、expm3

expm(A)、expm1(A)、expm2(A)、expm3(A)的功能都求矩陣指數(shù)e^A。4．普通矩陣函數(shù)funm

funm(A,‘fun’)用來計算直接作用于矩陣A的由‘fun’指定的超越函數(shù)值。當(dāng)fun取sqrt時，funm(A,‘sqrt’)可以計算矩陣A的平方根，與sqrtm(A)的計算結(jié)果一樣。11:18733．矩陣指數(shù)expm、expm1、expm2、16:25742.6字符串

在MATLAB中，字符串是用單撇號括起來的字符序列。

MATLAB將字符串當(dāng)作一個行向量，每個元素對應(yīng)一個字符，其標(biāo)識方法和數(shù)值向量相同。也可以建立多行字符串矩陣。11:18742.6字符串

16:2575字符串是以ASCII碼形式存儲的。abs和double函數(shù)都可以用來獲取字符串矩陣所對應(yīng)的ASCII碼數(shù)值矩陣。相反，char函數(shù)可以把ASCII碼矩陣轉(zhuǎn)換為字符串矩陣。11:1875字符串是以ASCII碼形式存儲的。16:2576例2-13建立一個字符串向量，然后對該向量做如下處理：

(1)取第1～5個字符組成的子字符串。

(2)將字符串倒過來重新排列。

(3)將字符串中的小寫字母變成相應(yīng)的大寫字母，其余字符不變。

(4)統(tǒng)計字符串中小寫字母的個數(shù)。11:1876例2-13建立一個字符串向量，然后對該向量16:2577命令如下：

ch=‘ABc123d4e56Fg9’;

subch=ch(1:5)%取子字符串

revch=ch(end:-1:1)%將字符串倒排

k=find(ch>=‘a(chǎn)’&ch<=‘z’);%找小寫字母的位置

ch(k)=ch(k)-(‘a(chǎn)’-‘A’);%將小寫字母變成相應(yīng)的大寫字母

char(ch)

length(k)%統(tǒng)計小寫字母的個數(shù)11:1877命令如下：

ch=‘ABc123d4e56Fg16:2578

與字符串有關(guān)的另一個重要函數(shù)是eval，其調(diào)用格式為：

eval(t)

其中t為字符串。它的作用是把字符串的內(nèi)容作為對應(yīng)的MATLAB語句來執(zhí)行。11:1878

與字符串有關(guān)的另一個重要函數(shù)是eva16:25792.7結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)

2.7.1結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)使用結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)類型把一組不同類型的數(shù)據(jù)，同時又在邏輯上相關(guān)的數(shù)據(jù)組成一個整體，如，一個學(xué)生的基本信息。結(jié)構(gòu)矩陣的建立和引用建立：可以采用給結(jié)構(gòu)體成員賦值的方法結(jié)構(gòu)體矩陣名.成員名＝表達式結(jié)構(gòu)體矩陣元素的成員頁可以是結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)矩陣的修改刪除結(jié)構(gòu)的成員，用rmfield11:18792.7結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)和單元數(shù)據(jù)

2.7.1結(jié)16:2580結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)相關(guān)函數(shù)struct建立和轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)矩陣fieldnames獲取結(jié)構(gòu)成員名getfield獲取結(jié)構(gòu)成員內(nèi)容setfield設(shè)定結(jié)構(gòu)成員的內(nèi)容rmfield刪除結(jié)構(gòu)成員isfield成員在結(jié)構(gòu)中時，值為真isstruct是結(jié)構(gòu)時，值為真11:1880結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)相關(guān)函數(shù)struct建立和轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)矩陣16:25812.7.2單元數(shù)據(jù)單元數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)類似。單元數(shù)據(jù)的各個元素就是不同類型的數(shù)據(jù)，用帶有大括號下標(biāo)的形式引用單元矩陣元素。單元數(shù)據(jù)的建立和引用和一般矩陣類似，但要用大括號引用：大括號和下單元矩陣的元素可以是結(jié)構(gòu)或單元

celldisp顯示整個單元矩陣刪除b的第三個元素b(3)=[]和b{3}=[]區(qū)別11:18812.7.2單元數(shù)據(jù)單元數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)類似。16:2582單元數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)celldisp顯示單元矩陣內(nèi)容cellplot顯示單元矩陣的圖形描述num2cell把數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)換為單元矩陣deal把輸入分配給輸出cell2struct把單元矩陣轉(zhuǎn)換為結(jié)構(gòu)矩陣struct2cell把結(jié)構(gòu)矩陣轉(zhuǎn)換為單元矩陣iscell是單元矩陣時，值為真11:1882單元數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)celldisp顯示單元矩陣16:25832.8稀疏矩陣

2.8.1矩陣存儲方式

MATLAB的矩陣有兩種存儲方式：完全存儲方式和稀疏存儲方式。

1．完全存儲方式

完全存儲方式是將矩陣的全部元素按列存儲。以前講到的矩陣的存儲方式都是按這個方式存儲的，此存儲方式對稀疏矩