量子力學期末考試知識點+計算題證明題

你認為Bohr的童子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。（簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量子的？）答：Bohi?理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念：二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷的概念及頻率條件。酉先，Bohr的雖:子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規(guī)律性，但對于復雜原子光譜，其至對于氮原子光譜，Bohr理論就遇到了極大的閑難（這里有些閑難是人們尚未認識到電子的自旋問題），對于光譜學中的譜線的相對強度這個問題.圧Bohr理論中雖然借助于對應原理得到了一些有價值的結果，但不能提供系統(tǒng)解決它的辦法；其次，Bohr理論只能處理簡單的周期運動，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射：再其次，從理論體系1：來看，Bohr理論提出的原子能量不連續(xù)槪念和角動量呈子化條件等，與經(jīng)典力學不相容的，多少帶有人為的性質，并未從根本上解決不連續(xù)性的本質.什么是光電效應？光電效應有什么規(guī)律？愛因斯坦是如何解釋光電效應的？答：十一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金屬表而逸出的現(xiàn)象稱為光電效應：光電效應的規(guī)律：a.對于一定的金屬材料做成的電極，有一個確定的臨界頻率當照射光頻率U<UQ時，無論光的強度有多大，不會觀測到光電子從電極上逸出：b.毎個光電子的能量只與照射光的頻率有關，而與光強無關：c.當入射光頻率U>UQ時，不管光冬微弱，只婆光一照，幾乎立刻10_95觀測到光電子。愛因斯坦認為：（1）電磁波能量被集中在光子功上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地圾收光子能戢，所以對應弛豫時間應很短，是瞬間完成的。（2）所有同頻率光子具有相同能量，光強則對應于光子的數(shù)口，光強越大，光子數(shù)目越多，所以遏止電壓與光強無關，飽和電流與光強成正比.（3）光子能最與英頻率成正比，頻率越高，對應光子能量越大，所以光電效應也容易發(fā)生，光子能星小于逸出功時，則無法激發(fā)光電子。簡述量子力學中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？答：對于一般宿況，如果/和必是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性巻加；屮_（q,。是復數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。這就是量子力學中的態(tài)疊加原理.態(tài)疊加原理的含義表示當粒子處于態(tài)和肖：的線性疊加態(tài)p時，粒子是既處于態(tài)P］，又處于態(tài)p「它反映了微觀粒子的波粒二象性才盾的統(tǒng)-。量子力學中這種態(tài)的疊加導致在疊加態(tài)下觀測結果的不確定性。什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質？答：體系處于某個波函數(shù)屮G，/）=0（；）cxp［—舊/h］所描寫的狀態(tài)時，能量其有確泄值。這種狀態(tài)稱為定態(tài).定態(tài)的性質：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時間變化：（2）任何力學疑（不顯含時間）的平均值不隨時間變化：（3）任何力學量（不顯含時間）取各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。簡述力學量與力學量算符的關系？答：算符是指作用在一個波函數(shù)上得出另個函數(shù)的運算符號。量子力學中采用算符來表示微觀粒子的力學疑.如果量子力學中的力學戢F在經(jīng)典力學中有相應的力學戢，則表示這個力學量的算符F由經(jīng)典表示式F（r,$）中將$換為算符I）而得出的，即：F=#（r,p）=F（r,-ihV）?量子力學中的一個基本假定：如果算符戶表示力學量F,那么當體系處于戶的本征態(tài)0時，力學量F有確定值，這個值就是F在。中的本征值.經(jīng)典波和量子力學中的幾率波有什么本質區(qū)別？答：1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒子某力學量的幾率分布：（2）經(jīng)典波的波幅増大一倍，相應波動能戢為原來的四倍，變成另一狀態(tài)，而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間冬點的相對強度，幾率波的波幅增大-倍不彫響粒子在空間出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù)，所描述的粒子狀態(tài)并不改變：能童的本征態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài).答：不一定，如果/，#2對應的能量本征值相等，則0=5?+C?02還是能量的本征態(tài)，否則，如果肖］,鴨2對應的能最本征值不相等.則W=c快7葩不是能最的本征態(tài)&什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答：戢子力學中態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對角元素的和。9.價述童子力學的五個基本假設.答：（1）微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質。波函數(shù)一般應滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件；（2）力學量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學星的算符，由經(jīng)典表示中的將動量b換為算符一巾\7得出。表示力學戢的算符具有組成完全系的本征函數(shù)。（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)0用算符戶的本征函數(shù)展開（斤?”=4”卩”，戶$=久?）：v= +jc.（pAdA,則在0態(tài)中m測量力學量F得到結果為;I■的幾率為,得到結果在久：2+JA范圍內(nèi)的幾率是|cA|2（4）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛泄謚方程：巾字=方步，〃是體系的哈密頓算符。（5）在全同dt粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理）。10?波函數(shù)歸一化的含義是什么？歸一化隨時間變化嗎？答：粒子既不產(chǎn)生也不湮滅。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，在任何時刻，粒子一定在空間出現(xiàn)，所以在整個空間中發(fā)現(xiàn)粒子是必然事件，概率論中認為必然事件的概率等于1。因而粒子在整個空間中出現(xiàn)的概率即|肖「對整個空間的積分應該等于1.即JA（x,y,乙/）「（“=1式中積分表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)°波函數(shù)一目歸一化，歸一化常數(shù)將不隨時間變化。*子化是不是量子力學特有的效應？經(jīng)典物理中是否有童子化現(xiàn)象？答：所謂量子化，就是指某個力學量可取數(shù)值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學的特有效應。經(jīng)典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜.經(jīng)典波在朿縛態(tài)形成駐波時，頻率也是量子化的，但經(jīng)典波的頻率量子化并不對應能量量子化。有時量子化用了專指能量最子化，在這種總義上它就是雖子力學特有的效應。什么是算符的本征值和本征函數(shù)？它們有什么物理敢義？答：含有算符戶的方程F（pm=Fm（pm稱為戶的本質方程，你,為戶的一個本質值。而珞則為F的屬于本征值近”的本征函數(shù)。如果算符多代表一個力學量，上述概念的物理意義如下：當體系處于F的本征態(tài)卩,時，測戢F的數(shù)值時確定的，恒等于行。當體系處于任意態(tài)時，單次測量F的值必等于它的本征值之一。算符運算與一般代數(shù)運算有什么異同之處？答：（1）相同點:都滿足加法運算中的加法交換律和加法結合律。（2）不同點：a.算符乘積一般不滿足代數(shù)乘法運算的交換律，即FG^GF?b.算符乘積定義（FCE）0=qe（E0）］,運算次序由后至前，不能隨意變換。什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？8U答：泄態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。若勢場恒定一=0,則體系可以處dt于定態(tài)。當粒子被外力（勢場）束縛于特定的空間區(qū)域內(nèi).及在無窮處波函數(shù)等于零的態(tài)叫做束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如一維諧掘子就屬于束縛定態(tài)?八有量子化能級。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)。例如限制在一維箱子中的粒子.最一般的可能態(tài)是以一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態(tài).雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，當定態(tài)也可能有非束縛態(tài)。（1）在量子力學中，能不能同時用粒子坐標和動童的確定值來描寫粒子的童子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量子狀態(tài)波更數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變？（3）歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子（5是實常數(shù)）？（4）已知卩為一個算符，當F滿足如下的兩式時，a.尸=F,b.L=嚴,問何為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為實數(shù).量子力學中表示力學量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能：因為在量子力學中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值。（2）不改變；根據(jù)Born對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，描寫體系最子狀態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點出現(xiàn)，所以粒子在空間孑點出現(xiàn)的槪率總和等于1，因而粒子在空間各點出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度。（3）可以：因為F汗=1,如果”『對鏗個空間積分等于1,則憶?「對鄴個空間積分也等于1.即用任意相I大I子^（5是實常數(shù)）去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不彫響波函數(shù)的歸一化。（4）滿足關系式a的為厄密算符，滿足關系式b的為幺正算符：（5）證明：以久表示F的本征值，0表示所屬的本征函數(shù)，則鈿=入屮因為F是厄密算符，于是有J=y/'y/dx,由此可得幾=兄*,即/!為實數(shù)。薛定讒方程應該滿足哪些條件？答：（1）它必須是波函數(shù)應滿足的含有對時間微商的微分方程：（2）方程是線性的，即如果鴨】和/都是方程的姐，那么$和必的線性栓加屮=2\*業(yè)也是方程的解，這是因為根據(jù)態(tài)疊加原理，如果肖］和肖二是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：屮=對嚴業(yè)（q,C2是復數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)：（3）這個方程的系數(shù)不應該包含狀態(tài)的參就，如動戢、能量等，因為方程的系數(shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被#種的狀態(tài)所滿足。量子力學中的力學量用什么算符表示？為什么？力學量算符在自身表象中的矩陣規(guī)什么形式？答：量子力學中表示力學量的算符都是厄密算符。因為所有力學量的數(shù)值都是實數(shù)，既然表示力學量的算符的本征值是這個力學量的可能值，因而表示力學量的算符，它的本征值必須是實數(shù)。力學量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。簡述力學量算符的性質？答：（1）實數(shù)性：厄密算符的本征值和平均值皆為實數(shù)：（2）正交性：屬于不同本征值的本集，即譏x）=》c”0”（x）。n在什么情況下兩個算符相互對易？答：如果兩個算符戶和e有一組共同本征函數(shù)0”，而且組成完全系，則算符f和e對易。請寫出測不準關系？答：設算符戶和C的對易關系為：［Adl=ii,則測不準關系式為：■■-> 172 _（A#）'c（AG）'>—,如果F不為零，則戶和G的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數(shù)。21?量子力學中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質？量子力學中的守恒量和經(jīng)典力學的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？答：量子力學中不靠含時間，且其算符與體系的哈密頓算符對易的力學量稱為守恒量：量子體｛的守恒童，無論在什么態(tài)下，平均值和概率分布都不隨時間改變；最子力學中的守恒量典力學中的導恒量概念不相同，實質上是不確泄度關系的反映。a.量子體系的守恒量并不一定取確定值，及體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài).如對于自由粒子，動最是守恒量，但rilll'I^f的狀態(tài)并不一定是動量的本征態(tài)（平面波），在一般情況下是一個波包；b.量子體系的各守恒鼠并不一定都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，/的三個分戢都守恒，但山「認、/、.、L不對易，一般說來它們并不能同時取確立值（角動量/=0的態(tài)除外）。?*J*定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答：適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正；適用條件是:￡m~￡n=1，式中什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由髙能級躍遷到低能級，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在外界（如輻射場）作用下，由低能級躍遷到高能級，這種躍遷稱為受激躍遷。什么是嚴格禁戒躍遷？角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是什么？答：如果在任何級近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷稱為嚴格禁戒躍遷。角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是：△/=±1： =0?±1o誰提出了電子自旋的假設？表明電子有自旋的實驗事實有哪些？自旋有什么特征？答：烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設。他們主要根據(jù)的兩個實驗事實是：堿金屬光譜的雙線結構和反常的Zeeman效應。他們假設的主要內(nèi)容為：a.毎個電子具有自旋角動量A IS,它在空間任何方向上的投彫只能是兩個數(shù)值：5_=±-h：b.毎個電子具有自旋磁矩?2I I rer它和它的自旋角動量S的關系式是：A/=-_S,式中y是電子的電荷，“是電子的質量。表明電子有自旋的實驗事實：斯特恩-蓋拉赫實驗。H現(xiàn)桑：K姑出的處于S態(tài)的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場，最后射到照相片PP上，實驗結果是照片上出現(xiàn)兩條分立線。解釋：氫-* --* P-- —cosOf*原子典有磁矩，設B沿Z方向：U=-MB=-MBcos3.“azF如必在空間可取任何方向，&應連續(xù)變化，照片上應是一連續(xù)帶，但實驗結果只有兩條，說明厲是空間最子化的，只有兩個取向cos&=±l,對s態(tài)，沒軌道角動最，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特點，（1）電子具有自旋角動屋這一特點純粹是星子特性，它不可能用經(jīng)典力學來解釋。它是電子的本身的內(nèi)稟屬性，標志了電子還有一個新自由度。（2〉電子自旋與其它力學量的根本區(qū)別為，一般力學量可表示為坐標和動量的函數(shù)，口旋角動量與電子坐標和動量無關，hf f不能表示為rXp，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是一個新的自由度.（3）電子自旋值是2,

禮￡■—邑 Mi=上而不是滄的整數(shù)倍o（4）6 “，而寸-冠兩者在差一倍。自旋角動量也具有其它角C*% C動量的共性，即滿足同樣的對易關系：￡曲=曲。它是個內(nèi)稟的物理量，不能用坐標、動量、時間等變量表示；它完全是一種量子效應，沒有經(jīng)典對應量.也就是說，當hTO時，自旋效應消失?它是角動量，滿足角動量最一般的對應關系.而且電子自旋在空間任何方向上的投影只取±"2兩個值。什么是斯塔克效應？答：當原子程于外電場中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應。什么是光譜的精細結構？產(chǎn)生精細結構的原因是什么？考蟲精細結構后能級的簡并度是多少？答：由于電子自旋與軌道角動量耦合，是原來簡并的能級分裂成幾條差別很小的能級，稱為光譜的稱細結構；當n和1給定后，j可以取J=/±|,（/=0除夕卜），即具有相同的量子數(shù)n,1的能級有兩個，它們的差別很小，這就是產(chǎn)生巒維結構的原因。考慮精細結構后能級的簡并度為（2j+l）什么是塞曼效應？什么是反常的戛曼效應？對簡單事曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磯場中分裂為幾條？答：把原子（光源）置于強磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應。而反常的塞曼效應是指在觀磁場中原子光譜線的復雜分裂（分裂成偶條數(shù)）。對簡單寒曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為三條。什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反対稱的，它們的對稱性不隨時間改變。泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài).30.寫出泡利矩陣的形式及其對易關系.請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足1、10、0-1(0答：泡利矩陣：=30.寫出泡利矩陣的形式及其對易關系.請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足1、10、0-1(0答：泡利矩陣：=mh易關系為：=2z<t:自旋算符S=—&：2角動量對易關系.S’，SAA AA=s’s、.-svswh：42/對易關系為5x5=/h5o驗證過程如下：h2（0Hl0、-b1V00丿bh打1o請寫出兩個電子體系的波函數(shù)。答：按空間態(tài)和門旋態(tài)組介可有四種反對稱態(tài):J空間態(tài)對稱旋態(tài)反對稱｛空間態(tài)反對稱?Izl旋態(tài)對稱」答：按空間態(tài)和門旋態(tài)組介可有四種反對稱態(tài):寺冰弘”(E)+0“(E",”(E)］令Zi(0Z-i(2)-Zi(2)Z=1(l):Z1(0/1(2)卻以￡)%(￡)-0&加(加Z-1(1)Z-1⑵ ；吉Z1(1)Z-1(2)+耳⑵耳⑴<.L- - - --其中％”(￡)=%(￡)；方2%(￡)=%,(￡)?請簡述微擾論的基本思想.答：將復雜的體系的哈密頓量直分成於與爐兩部分。即是可求出梢確解的，而爐可看成月。的微擾。只需將精確解加上山微擾引起的*級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題貞?實的近似解。確定育時，先確定療，再用Hf=H-HQ確定￡。什么是玻色子和費米子？h h答：由電子，質子，中子這些自旋為二的粒了?以及門旋為空的命數(shù)倍的粒了組成的全同粒了體系的波函數(shù)是反對稱的，這類粒子服從費米(Fermi)-狄拉克(Dirac)統(tǒng)訃，稱為費米子，由光子(自旋為1)以及其它自旋為零，或尢整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對稱的，這類粒子服從玻色(Bose)-愛因斯坦統(tǒng)計，稱為玻色子。什么是隧道效應？請舉例說明隧道效應的應用.答：粒子在Jt能量E小于勢壘高度U。時，仍然會有部分粒子穿過彭壘的現(xiàn)象叫隧道效應，又叫隧穿效應。隧道效應的應用：1?掃描隧道顯微鏡(STM)是電子隧逍效應的幣?要應用之一。掃描隧道顯微鏡可以靠示表面原子臺階利原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學和生命科學等諸多領域中，掃描隧道顯微鏡都能提供I?分有價值的缶息。2隧道二極管是一種利用隧道效應的半導體器件，也是隧道效應的重要應用之一?山于隧道效應而使其伏安特性曲線出現(xiàn)負陽區(qū)，因而隧逍二級管具有高頻、低噪聲的特點.隧道二級管是低頻放大器、低頻噪聲撮蕩器和超高速開關電路中的重要器件。

35?厄米算符具有哪些性質？厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有哪些性質？答：厄米算符具有下列性質：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符；b.當且僅當兩厄米算符A和B對易時，它們之積才為厄米算符。因為（AB} =BA.只有在［入斤］=0時，BA=AB9才有，即人斤仍為厄米算符；c?無論厄米算符久、斤是否對/AAAA\ I/AAAA\易，算符-（AB+BA）及-（AB-BA）必為厄米算符，因為［土（亦一列=一存W［土（亦一列=一存W寺（柑—財）詰（亦—列；d.任何算符總可分解為6=Q+i&。令6+=丄(6+6‘)、6_=—(6-6*),則d.任何算符總可分解為6=Q+i&。均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質：①厄米算符的平均值是實數(shù)；② ］ :厄米算符的本征值為實數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。L ⑤厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組介后使它正交歸一化：⑥厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性：⑦厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。簡單討論一下相對論情形和非相對論情形下的德布洛意關系式.答：對于非相對論情形：勺=丄，p=』2隔；2加。由于能量只有相對變化△疋才有意義（即能量的絕對值生物理上是沒有意義的，它依賴于“零能量值”的選取），hv=SE=E2-Ei可將常數(shù)項〃7。/抵消，此時柑對論形式的關系退化為非相對論悄形：u=￥，?就足非相対論粒于的動能＜徳布洛意頻率本身不是一個可觀測

量，因此只有徳布洛意波長具有物理意義。37?為什么物質的波動性在宏觀尺度不顯現(xiàn)？答：由于A=h/p，原因是普朗克常數(shù)太?。?/=6.6x10~34J.5）,而宏觀尺度的運動動量太尢導致波長人小.起可以觀察的物理效應。因為p=V2/n￡，要減小宏觀尺度運動的動量，必須減小動能E,但從物理上考慮E不可能減小到比熱運動能SA57更小，所以必須減小質最。質量的減小對應于尺度的減小.只有把物體尺度減小到微觀尺度，才可能出現(xiàn)較大的物質波波長久°從而引起可以觀察到的物理效應。38.相對論粒子律布洛意波對應的相速度，群速度分別是多少？（相速度vp=^=p代表相位傳播的速度。波包是指波動在有限空間中分布。群蚊『等對應波包運動的速度）答：由徳布洛總關系:fffocfffoc2h卜(Wc)2所以c=27rinoc2/?^l-(v/c)2則相速度:co_27rmQc2 _c2則相速度:工/^l-(v/c)22勿屮v又因為：dcy力2^/n又因為：dcy力2^/nov2兀叫%（1一（何廣即在相對論情形下粒子運動速度也對應于波包的群速度。39.自由粒子非相對論情形的相速度和群速度分別為多少?答：he?= >2in，則群速度：v=^=—（對應的才是粒子運動的速度）。2m Kdkmco而相速度：V=—khk- （不是粒子運動速度）。2m40?什么是希爾伯特空間？波函數(shù)與希爾伯特空間的關系?

答：希爾們特空間是定義在復數(shù)域上的一個有限維或無限維的完備矢量空間.波函數(shù)對應于希爾伯特空間中的態(tài)矢。41.試舉例有哪些實驗揭示了光的粒子性質？哪些實驗揭示了粒子的波動性質？答：黑體輻射、光電效應、康普頓散射實驗給出了能量分立、光場鼠子化的概念，從實驗上揭示了光的粒子性質。電子楊氏雙縫實驗、電子在晶體表面的衍射實驗、中子在晶體上的衍射實驗從實驗上揭示了微粒的波動性質。16、證明角動量算符J丄丄滿足如下對易關系［厶，厶］=,眶、［厶,門二叢厶、［乙必］二唄?！觫舊tj動雖麗的農(nóng)達式角動SWW的定義為Z-7x^-7x(-/ftV)它的三個分呈為 Lt-yp-力Z■為-0-F.-JA88F（舜_j?為任星/力學中.我們???用到角動星平方棟符.其定義為它ftftffl坐杯系中的稅達式為dxdx(1)(2)(3)ar(1)(2)(3)arcose1$in?

rsm6山于這個農(nóng)達式中仟“關于W杯二的偏導散的殳義攻.兇此金求解本Hffi時.無法用分??a法.為此.-Rffpji入球坐杯系卜的農(nóng)達式.它在許乞情形卜是比牧方便的..r-rsrn8cos?丁?/-sin&sin0r-rcos6所以。ff所以。ffOrddr??藝2+塑2■nnecos^A+1cosecos宀丑2djd6dx卻 dr-r d&/sin&2■空2令竺2?理旦■咖如宀Icosdsin宀泌2￡.drd^dO^d_毀2&dzdrdrdSdzcos&—-—srn&勿?rd

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為了更為淸晰地認識隧道效應左各種勢壘中的隧窮行為，我埒從薛定涔方程岀發(fā)，進一步討論此類問題，2 維矩形勢壘中粒子的隧道效應對于一維矩形勢壘，其勢場函數(shù)可以表示為*"、po,(0<x<d)C(x)=<10,(x<0.x>a)如國1所示。具有一定能量E的粒子由usUD其中「腭(￡一5)方形勢壘左方usUD其中「腭(￡一5)r在*<o的區(qū)域內(nèi)，波函數(shù)“=禺0吟+場0-和'在OWa的區(qū)域內(nèi)，波函數(shù)QLCgS+D,空 (1)在XX的區(qū)域為.波函數(shù)屮嚴A：0心+B：0-心易看出比三個波函數(shù)右