線性系統(tǒng)的時域分析

第三章線性系統(tǒng)的時域分析

引言第二章，我們主要研究了建立控制系統(tǒng)的模型問題建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，就可采用各種方法對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。線性控制系統(tǒng)的三類分析方法：

時域分析根軌跡分析頻域分析

時域分析是一種直接分析方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點，可提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。分析是綜合設(shè)計的基礎(chǔ)，時域分析又是最基本的分析方法。

一、時域分析的基本概念

r(t)c(t)

在典型信號r(t)作用下，系統(tǒng)輸出c(t)表示為隨時間變化的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的時域響應(yīng)。時域響應(yīng)是描述系統(tǒng)的微分方程的解。

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論系統(tǒng)３.１控制系統(tǒng)時域分析引論時域響應(yīng)的動態(tài)過程

動態(tài)過程——在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為動態(tài)過程。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量暫態(tài)響應(yīng)分量——在動態(tài)過程中，當(dāng)時間t趨于無窮大時，響應(yīng)趨于零的分量。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量——在動態(tài)過程中，當(dāng)時間t趨于無窮大時，響應(yīng)趨于固定常數(shù)或某個周期函數(shù)的分量３.１控制系統(tǒng)時域分析引論控制系統(tǒng)的時域分析主要包括以下幾個方面：

時域響應(yīng)的特點系統(tǒng)的穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。時域響應(yīng)的特點：取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，以及輸入信號的形式。換句話說，取決于系統(tǒng)傳遞函數(shù)及輸入信號的零極點。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論系統(tǒng)的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的性質(zhì)之一，一個控制系統(tǒng)要能正常工作，必須是穩(wěn)定的。如何判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析的主要內(nèi)容之一。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論§３－１控制系統(tǒng)時域分析引論暫態(tài)性能指標(biāo)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)暫態(tài)性能指標(biāo)——描述動態(tài)過程中暫態(tài)響應(yīng)的一些指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)——描述系統(tǒng)跟蹤輸入信號穩(wěn)態(tài)誤差的指標(biāo)二、典型的輸入信號

一般來說，控制系統(tǒng)的輸入信號可以分為兩類：確定性信號，如溫控系統(tǒng)，調(diào)速系統(tǒng)隨機信號，如雷達(dá)跟蹤系統(tǒng)，火炮跟蹤系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論中，我們主要研究確定性信號作用下系統(tǒng)的響應(yīng)。為了便于分析，通常規(guī)定一些典型的輸入信號。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論３.１控制系統(tǒng)時域分析引論典型輸入信號有以下5種階躍信號斜坡（速度）信號加速度信號脈沖信號正弦信號這些信號是系統(tǒng)分析最常遇到的信號，通常系統(tǒng)分析均以這些信號作用于系統(tǒng)的響應(yīng)特征來衡量系統(tǒng)的性能。

復(fù)雜信號一般可以分解成為這些信號的線性組合。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論１.階躍信號（函數(shù)）０，t<0A，t≥0A=1時，為單位階躍函數(shù)調(diào)速系統(tǒng)的輸入信號常常為階躍信號§３－１典型的輸入信號２．斜坡信號（函數(shù)）０，t<0At，t≥0

A=1時，為單位斜坡函數(shù)。

斜坡函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍函數(shù)。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論§３－１典型的輸入信號3.加速度信號（函數(shù)）

在分析隨動系統(tǒng)時常用斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)。３.１控制系統(tǒng)時域分析引論§３－１典型的輸入信號４.脈沖信號（函數(shù)）３.１控制系統(tǒng)時域分析引論§３－１典型的輸入信號５．正弦信號（函數(shù)）

正弦信號是系統(tǒng)最常用的典型信號

系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)，在第五章將專門討論

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論小結(jié)典型輸入信號

r(t)R(s)三、線性系統(tǒng)的時域響應(yīng)

1、時域響應(yīng)的分類

電路理論中已經(jīng)講過，線性系統(tǒng)的時域響應(yīng)可以寫為全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)——系統(tǒng)輸入信號為零，僅由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)——系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由輸入信號引起的響應(yīng)

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析中，常應(yīng)用零輸入響應(yīng)來得出分析結(jié)論在分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)時，常常考察系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論2、線性控制系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論脈沖（沖激）響應(yīng)的變化規(guī)律僅由傳遞函數(shù)的極點決定

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論例：RC網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出特性由下面的微分方程描述用拉氏反變換的方法求解穩(wěn)態(tài)解（特解）暫態(tài)解零狀態(tài)解中的穩(wěn)態(tài)分量由輸入決定，而暫態(tài)分量與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)

３.１控制系統(tǒng)時域分析引論

四、控制系統(tǒng)的時域性能指標(biāo)

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)正常運行的前提條件穩(wěn)定的控制系統(tǒng)品質(zhì)的好壞，主要由控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)來衡量。通常用系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)來表征系統(tǒng)的暫態(tài)性能常用的動態(tài)性能指標(biāo)有最大超調(diào)量，上升時間，峰值時間和調(diào)整（節(jié)）時間等穩(wěn)態(tài)指標(biāo)一般用穩(wěn)態(tài)誤差衡量h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%動態(tài)性能指標(biāo)定義1h(t)t調(diào)節(jié)時間tsh(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調(diào)量σ%=AB100%調(diào)節(jié)時間ts峰值時間tp：從t=0開始算起，h(t)第一次到達(dá)最大輸出量所需要的時間。

上升時間tr：在暫態(tài)過程中，h(t)第一次上升到穩(wěn)態(tài)值的所需的時間。（在過阻尼系統(tǒng)中定義為從10%h(∞)到90%h(∞)所需要的時間峰值時間和上升時間表征了系統(tǒng)初始階段響應(yīng)速度的快慢。延遲時間td：指h(t)上升到穩(wěn)態(tài)的50%所需的時間。超調(diào)量：暫態(tài)期間輸出超過對應(yīng)于輸入的終值（穩(wěn)態(tài)值）的最大偏差，一般用下面的百分?jǐn)?shù)表示調(diào)節(jié)時間ts：指暫態(tài)過程中，h(t)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近

5%h()或2%h()誤差帶，而不再超出的最小時間。

反映暫態(tài)過程中系統(tǒng)的阻尼特性ts綜合反映系統(tǒng)的阻尼及反應(yīng)速度振蕩次數(shù)N：調(diào)節(jié)時間內(nèi)，輸出偏離穩(wěn)態(tài)的次數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差ess：單位反饋時，實際值（穩(wěn)態(tài)）與期望值（1（t））之差。它反映系統(tǒng)的精度或抗擾動能力。注意：以上指標(biāo)（超調(diào)量，調(diào)節(jié)時間和穩(wěn)態(tài)誤差）是對階躍響應(yīng)定義的，對于非階躍的一般輸入常常只有穩(wěn)態(tài)誤差指標(biāo)。h(t)t上升時間tr調(diào)節(jié)時間ts動態(tài)性能指標(biāo)定義2h(t)tAB動態(tài)性能指標(biāo)定義3trtptsσ%=BA100%３.２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)一階系統(tǒng)的模型３.２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)一階系統(tǒng)可以由圖示結(jié)構(gòu)圖描述

一階系統(tǒng)框圖等效框圖３.２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)系統(tǒng)的傳函為

下面我們分析系統(tǒng)在一階系統(tǒng)對典型輸入信號的零狀態(tài)響應(yīng)§３－２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)１．單位階躍響應(yīng)

一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條指數(shù)上升曲線，它的特點是：（１）在t=0處，曲線的斜率為1/T

。（２）t=T時，曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%。（３）t=3T時，輸出達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%，t=4T時，為98%。

可見一階系統(tǒng)的時間常數(shù)反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，T越小，響應(yīng)越快。

當(dāng)系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的95%或98%時，我們認(rèn)為系統(tǒng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時間稱為系統(tǒng)的響應(yīng)時間。

對于一階系統(tǒng)，響應(yīng)時間為?！欤常惨浑A系統(tǒng)的時域響應(yīng)２．單位斜坡響應(yīng)

§３－２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)２．單位斜坡響應(yīng)輸出與輸入的誤差為

§３－２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)３．單位脈沖響應(yīng)也可直接由單位階躍響應(yīng)的求導(dǎo)得出上式結(jié)果

一階系統(tǒng)的特征可用一個參量—時間常數(shù)T來表示．§３－２一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)①響應(yīng)時間為（３～４）②t=0時，單位脈沖響應(yīng)的幅值為t=0時，單位階躍響應(yīng)的變化率為③單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

一階系統(tǒng)時域分析無零點的一階系統(tǒng)Φ(s)=Ts+1k,T時間常數(shù)(畫圖時取k=1,T=0.5)單位脈沖響應(yīng)k(t)=T1e-Ttk(0)=T1K’(0)=T12單位階躍響應(yīng)h(t)=1-e-t/Th’(0)=1/Th(T)=0.632h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(4T)=0.982h(∞)單位斜坡響應(yīng)T?c(t)=t-T+Te-t/Tr(t)=δ(t)r(t)=1(t)r(t)=t問1、3個圖各如何求T？2、調(diào)節(jié)時間ts=？3、r(t)=vt時，ess=？4、求導(dǎo)關(guān)系k(0)=T1K’(0)=T12一階系統(tǒng)小結(jié)系統(tǒng)對某信號的導(dǎo)數(shù)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，等于對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)．反之，系統(tǒng)對某信號積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該信號響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)不同于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的重要特性。一階系統(tǒng)小結(jié)３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)；

在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)，雖然實際中的系統(tǒng)不盡是二階系統(tǒng)，但高階系統(tǒng)?？梢杂枚A系統(tǒng)近似。因此對二階系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行重點討論。３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)上式為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖也常常畫上圖形式。典型二階系統(tǒng)的框圖３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

由系統(tǒng)的特征方程不難求出閉環(huán)系統(tǒng)的極點為３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)的響應(yīng)分三種情況討論．１．過阻尼的情況閉環(huán)極點為§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)可求得如下：一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)求系數(shù)一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)求拉氏反變換，得一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)過阻尼ξ＞1§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

可見，過阻尼單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩部分組成，而暫態(tài)分量包含兩項衰減的指數(shù)項．和一階系統(tǒng)有區(qū)別。一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)所以對過阻尼二階系統(tǒng)，滿足上述條件時，可以近似為一階系統(tǒng)，將后一項忽略。過阻尼二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)，t二階系統(tǒng)一階近似系統(tǒng)系統(tǒng)的響應(yīng)時間近似為相當(dāng)于慣性時間常數(shù)

在工程上，當(dāng)時，使用上述近似關(guān)系已有足夠的準(zhǔn)確度了．一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)２．欠阻尼的情況

系統(tǒng)的閉環(huán)極點為是一對共軛復(fù)數(shù)極點，因為極點實部為負(fù)所以位于左半Ｓ平面。一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)單位階躍輸入時，輸出的拉氏變換為：一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)２．欠阻尼§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)查拉氏變換表，可求得：一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

欠阻尼時，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的第一項是穩(wěn)態(tài)分量，第二項是振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的阻尼正弦振蕩，其振蕩頻率為一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無阻尼３.臨界阻尼的情況當(dāng)時，閉環(huán)極點為：單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)求其拉氏反變換，得一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)此時二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為單調(diào)上升曲線。

二階系統(tǒng)有兩個參數(shù)和，阻尼比是二階系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，不同阻尼比的二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)有很大區(qū)別。§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)不同阻尼比值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線族如圖所示：§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)從圖可見：（１）越小，振蕩越厲害，當(dāng)增大到１以后，曲線變?yōu)閱握{(diào)上升。（２）之間時，欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。（３）在無振蕩時，臨界阻尼系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)。（４）過阻尼系統(tǒng)過渡過程時間長。小結(jié)：1)看的作用：一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)總在一起，T是個時間尺度，曲線展寬或壓縮。

3）看兩個根在s平面的分布，隨著看根位置的變化一．二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)小結(jié)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)

二階系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然振蕩角頻率對系統(tǒng)的響應(yīng)具有決定性的影響。現(xiàn)在針對阻尼的情況，討論暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)與特征參量的關(guān)系。欠阻尼時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為（＊）３.３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)1.上升時間

在暫態(tài)過程中，第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間．在（＊）式中令c(t)=1，可得二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)因為上升時間是第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間，故取n=1,于是§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

２．峰值時間

響應(yīng)由零上升到第一個峰值所需的時間．對（＊）求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)移項并約去公因子后得因此，到達(dá)第一個峰值時，從而得§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)3．最大超調(diào)量最大超調(diào)量發(fā)生在時刻，將代入（＊）式，便得二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)3．最大超調(diào)量二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的能指標(biāo)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)從上式可見，完全由決定，3．最大超調(diào)量二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)４．調(diào)節(jié)時間

與穩(wěn)態(tài)值之間的差值達(dá)到允許范圍（?。担セ颍玻ィr的暫態(tài)過程時間．二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)４．調(diào)節(jié)時間為簡單起見，采用近似的計算方法，認(rèn)為指數(shù)項衰減到0.05或0.02時，暫態(tài)過程結(jié)束，因此忽略正弦函數(shù)的影響，得到二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)

§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)由此可求得近似與成反比．在設(shè)計系統(tǒng)時，通常由要求的決定，所以由所決定．二．二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)４．調(diào)節(jié)時間小結(jié)：二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為確定系統(tǒng)的和，并求最大超調(diào)量和調(diào)整時間解：因為可得§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)三．二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)但是，我們也可以通過對單位階躍響應(yīng)求導(dǎo)得到單位脈沖響應(yīng)三．二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)三．二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)同理§３－３二階系統(tǒng)的時域響應(yīng)１．臨界阻尼和過阻尼情況，單位脈沖響應(yīng)總是大于０，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是單調(diào)曲線．２．欠阻尼時，響應(yīng)曲線圍繞零值衰減振蕩．四．二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)中，原始系統(tǒng)常常不能滿足性能指標(biāo)的要求，需要外加校正裝置，以改善系統(tǒng)的性能。本小節(jié)我們介紹兩種常用校正方法：

串聯(lián)校正——比例加微分校正微分反饋校正四．二階系統(tǒng)性能的改善

rc1、串聯(lián)校正四．二階系統(tǒng)性能的改善—比例加微分校正特征方程中，一次項系數(shù)為

增加了一個零點

控制信號微分作用只在信號發(fā)生變化時才起作用。

無微分作用只要c(t)<1,e(t)>0,就產(chǎn)生使c(t)增大的控制作用，當(dāng)時，c(t)還在增加，會出現(xiàn)過頭現(xiàn)象，加了微分作用在t=時為零，在這段時間內(nèi)，抑制的增加，好像在車輛到達(dá)目標(biāo)之前，提前制動一樣。四．二階系統(tǒng)性能的改善—比例加微分校正c引入比例-微分控制后系統(tǒng)的特征根將發(fā)生變化

在欠阻尼的二階系統(tǒng)的前向通道引入了比例-微分控制后，增大了系統(tǒng)的等效阻尼比，自然振蕩角頻率不變，系統(tǒng)的超調(diào)減小。

結(jié)論：

由于微分的作用，使系統(tǒng)對信號變化趨勢更敏感，提前發(fā)出相應(yīng)控制信號，參數(shù)配置合適時，可提高階躍響應(yīng)的速度，進(jìn)一步降低超調(diào)，從而縮短調(diào)節(jié)時間ts

由于加入了微分，使系統(tǒng)對頻率較高的噪聲的有較大放大作用，因此系統(tǒng)對噪聲比較敏感四．二階系統(tǒng)性能的改善—比例加微分校正四．二階系統(tǒng)性能的改善2、微分反饋校正C(s)四．二階系統(tǒng)性能的改善2、微分反饋校正比例微分控制與輸出微分反饋的比較1、兩者都增大了系統(tǒng)阻尼，但來源不同；比例微分的阻尼來自誤差信號的速度；輸出微分反饋的阻尼來自輸出響應(yīng)的速度；2、對于噪聲和元件的敏感程度不同；比例微分控制對于噪聲具有明顯的放大作用，輸入噪聲大，不宜使用；輸出微分反饋對輸入的噪聲不敏感；比例微分控制加在誤差后，能量一般較小輸出微分反饋輸入能量一般很高，對元件沒有特殊要求，適用范圍更廣；3、對動態(tài)性能的影響比例微分控制在閉環(huán)系統(tǒng)中引入了零點，加快了系統(tǒng)的響應(yīng)速度；相同阻尼比的情況下，比例微分控制引起的超調(diào)大于輸出微分反饋系統(tǒng)的超調(diào)。例圖示系統(tǒng)單位階躍函數(shù)輸入時，①、若要求試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計算上升時間和調(diào)節(jié)時間；解①開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為②、由①條件所確定的K值不變，τ取0時，系統(tǒng)的超調(diào)量又是多少？自然振蕩角頻率是否改變？超調(diào)量為解得已知峰值時間為

解得調(diào)節(jié)時間為上升時間為所以

②、K值不變τ為0時，系統(tǒng)是單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為可見，K值不變τ為0時，

不變，引入微分負(fù)反饋可以增大阻尼比，降低了超調(diào)量，但不改變自然振蕩角頻率。但ζ小了，超調(diào)量增大了7.6％。結(jié)論：例2圖1是具有反饋系數(shù)為α的負(fù)反饋二階控制系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)特性如圖2所示，試確定系統(tǒng)參數(shù)K,T和α。圖1反饋系數(shù)為α的二階系統(tǒng)圖2單位階躍響應(yīng)曲線分析：

此例不是標(biāo)準(zhǔn)二階模型，要利用圖形得出性能指標(biāo)，然后代入相關(guān)公式得出結(jié)果，需要靈活應(yīng)用。圖1反饋系數(shù)為α的二階系統(tǒng)圖2單位階躍響應(yīng)曲線解由圖解得性能指標(biāo)

超調(diào)量峰值時間為

圖1反饋系數(shù)為α的二階系統(tǒng)圖2單位階躍響應(yīng)曲線閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖1反饋系數(shù)為α的二階系統(tǒng)圖2單位階躍響應(yīng)曲線響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值為

問題

３.４高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

凡是用高階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為高階系統(tǒng)。高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳函分母中s的最高幕次n>2.

高階系統(tǒng)閉環(huán)傳函的一般形式為§３－４高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為§３－４高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)

從上式可見，高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量兩個部分組成。而暫態(tài)分量又是由一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)分量的合成．１.高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)決定。系統(tǒng)極點在Ｓ左半平面離虛軸越遠(yuǎn)，響應(yīng)的分量衰減得越快。２.各暫態(tài)分量的系數(shù)還和零點的位置有關(guān)。若一對零、極點很靠近，則該極點對暫態(tài)響應(yīng)的影響很?。ù藭r對應(yīng)的系數(shù)很?。?。若某個極點附近沒有零點，且距離原點較近，則對應(yīng)系數(shù)就大，對暫態(tài)分量的影響就大?！欤常锤唠A系統(tǒng)的時域響應(yīng)

由于以上兩點，對于系數(shù)很小的分量和衰減很快的分量常常忽略，用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似高階系統(tǒng)的響應(yīng)。如果高階系統(tǒng)中距虛軸最近的極點，其實部比其他極點實部的五分之一還要小，并且附近不存在零點．可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定．這些對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點．

如果找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，高階系統(tǒng)就可近似地作為二階系統(tǒng)分析。例

已知一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為試分析系統(tǒng)的響應(yīng)特點同理可以求出A3、A4由拉氏反變換得

顯然，由極點s3=-15產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)項不僅幅值小，而且衰減得快，因而對系統(tǒng)的輸出響應(yīng)很小，故可把它略去。于是，系統(tǒng)的輸出可近似地用下式表示：３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一．穩(wěn)定性的基本概念

一個線性系統(tǒng)正常工作的首要條件是系統(tǒng)必須保持穩(wěn)定．這向我們提出兩個問題：①什么樣的系統(tǒng)是穩(wěn)定的；②線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是什么．(a)(b)ABA圖(a)小球受到外力作用后偏離A到B,當(dāng)外力去除后，小球經(jīng)過幾次振蕩后，最后可以回到平衡位置，稱這種小球平衡位置是漸近穩(wěn)定的；反之，如圖(b)就是不穩(wěn)定的。一．穩(wěn)定性的基本概念

一個控制系統(tǒng)，如果在擾動的作用下，偏離了原有的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動消失后，又能回到原來的平衡狀態(tài)，則該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)；反之，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)不能回到原有的平衡狀態(tài)，且偏離量隨時間增長而增長，則該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)．

一．穩(wěn)定性的基本概念穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它與輸入信號無關(guān)只取決其本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)我們用系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)g(t)

來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果則系統(tǒng)是穩(wěn)定的３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件二、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件二、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件由此得到線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件．

系統(tǒng)特征方程的所有根（系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點），均位于左半Ｓ平面．它不僅是零輸入時系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，而且也是在給定信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件備注

系統(tǒng)中只要有一個極點位于右半Ｓ平面，暫態(tài)分量就是發(fā)散的，系統(tǒng)就不穩(wěn)定．系統(tǒng)中有極點位于虛軸上時，暫態(tài)分量就是不衰減的，或等幅振蕩。我們稱之為臨界穩(wěn)定。§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性三．勞斯穩(wěn)定判據(jù)

前已指出：線性系統(tǒng)的穩(wěn)定與否，取決于特征根的實部是否均為負(fù)值（左半Ｓ平面）．但是求解高階系統(tǒng)的特征方程是相當(dāng)困難的．能否避免解特征方程，應(yīng)用簡單的方法判斷特征根的實部的符號？

勞斯判據(jù)，只需對特征方程的系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運算，就可以判斷特征根的實部的符號，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此這種數(shù)據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)．３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性三．勞斯穩(wěn)定判據(jù)

１．勞斯判據(jù)

將系統(tǒng)的特征方程寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性并將各系數(shù)排列成勞斯表§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性表中的有關(guān)系數(shù)為一直進(jìn)行到求得的b值全部等于零為止?！欤常稻€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性這一計算過程一直進(jìn)行到與對應(yīng)的一行為止。

為了簡化數(shù)值運算，可以用一個正整數(shù)去除或乘某一行的各項，并不改變結(jié)論的性質(zhì)。

勞斯判據(jù)：系統(tǒng)極點全部在復(fù)平面的左半平面的充分必要條件是

特征方程的各項系數(shù)全部為正值，并且勞斯表的第一列都具有正號。系統(tǒng)極點實部為正實數(shù)根的數(shù)目等于勞斯表中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)?！欤常稻€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例

1

判斷三階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件解：列出勞斯表如右表所示穩(wěn)定的條件例

2

設(shè)反饋控制系統(tǒng)如圖所示，求滿足穩(wěn)定要求時K的臨界值。解：閉環(huán)傳函系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表根據(jù)勞斯判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，其第一列均為正數(shù)，即K>0，30-K>0

0<K<30得到滿足穩(wěn)定的臨界值K§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性三．勞斯穩(wěn)定判據(jù)2.勞斯判據(jù)的兩種特殊情況

（1）某行第一列的系數(shù)為零，該行其余各項中某些項不等于零。（２）某行所有系數(shù)均為零的情況§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性三．勞斯穩(wěn)定判據(jù)2.勞斯判據(jù)的兩種特殊情況

（1）某行第一列的系數(shù)為零，該行其余各項中某些項不等于零?！欤常稻€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3

設(shè)特征方程為勞斯表為考察第一列各項系數(shù)。當(dāng)時，是一個很大的負(fù)數(shù)．因此第一列各項數(shù)值的符號改變了兩次。按勞斯判據(jù)，該系統(tǒng)有兩個極點具有正實部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的．§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性（２）某行所有系數(shù)均為零的情況如果出現(xiàn)這種情況，則表明在Ｓ平面中有對稱于原點的實根，或共軛虛根存在?？捎孟率龇椒ㄌ幚恚?/p>

第一步：取元素全為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助方程，式中的Ｓ均為偶次．（∵根是對稱出現(xiàn)的）

第二步：求輔助方程對Ｓ的導(dǎo)數(shù)，以其系數(shù)代替全為零值的一行， 第三步：用通常的方法繼續(xù)求下面各行的系數(shù)，并判斷穩(wěn)定性．

第四步：解輔導(dǎo)方程，得各對稱根．2.勞斯判據(jù)的兩種特殊情況§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

例４已知系統(tǒng)特征方程，判斷穩(wěn)定性勞斯表為將輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)作為行的元素，并往下計算各行，得：§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性勞斯表的第一列各項符號沒有改變，因此系統(tǒng)在右半Ｓ平面沒有極點．但由于行的各項為零，說明有共軛虛數(shù)極點?？捎奢o助方程求出。解§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性１．系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的特征根位于Ｓ平面的左半開平面．２．勞斯判據(jù)不僅可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還可給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的某一參數(shù)的范圍。３．勞斯判據(jù)沒有也不能說明為避免系統(tǒng)不穩(wěn)定，應(yīng)該采取的校正途徑．３.５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

小結(jié)：３－６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析

我們曾經(jīng)討論了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)．本節(jié)要討論系統(tǒng)跟蹤輸入信號的精確度或抑制干擾信號的能力．我們用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。

穩(wěn)態(tài)誤差：一個穩(wěn)定系統(tǒng)經(jīng)過足夠長的時間后其暫態(tài)響應(yīng)已衰減到微不足道，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的期望值與實際值之間的誤差． 我們不考慮由于元件的不靈敏，零點漂移和老化所造成的永久性誤差．穩(wěn)態(tài)誤差只與輸入信號的形式和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參量有關(guān)．§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析一、系統(tǒng)在輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差１、反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)

定義

H(s)R(s)C(s)為反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析一、系統(tǒng)在輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差2、由終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)對輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差可由終值定理求得：§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例1

一階系統(tǒng)§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性例2

二階系統(tǒng)(a)(b)

這兩個系統(tǒng)有共同特點，對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為０，對斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一個常數(shù)?！欤常稻€性系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、控制系統(tǒng)的類型分類

在一般地討論穩(wěn)態(tài)誤差時，我們采用典型環(huán)節(jié)組成的開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。典型環(huán)節(jié)有比例、一階微分、二階微分、積分、慣性、振蕩等環(huán)節(jié)。其次，我們主要考察控制系統(tǒng)對跟蹤階躍輸入信號，斜坡輸入信號和拋物線輸入信號的能力。這些信號反映了最典型的輸入信號。３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性二、控制系統(tǒng)的類型分類

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳函為３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析三、控制系統(tǒng)對典型輸入的誤差分析３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析三、控制系統(tǒng)對典型輸入的誤差分析1、階躍輸入３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析三、控制系統(tǒng)對典型輸入的誤差分析2、斜坡輸入３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析三、控制系統(tǒng)對典型輸入的誤差分析3、加速度輸入小結(jié)§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性四．靜態(tài)誤差系數(shù)１．靜態(tài)位置誤差系數(shù)

在單位階躍信號作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差令為靜態(tài)位置誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差終值為３.６系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析§３－５線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性a.０型系統(tǒng)b.Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)結(jié)論：

（1）當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳函中無積分環(huán)節(jié)時，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，欲減小穩(wěn)態(tài)誤差，應(yīng)增大開環(huán)增益K