襯砌培訓隧道施工測量技術培訓課件

中鐵五局貴廣第二項目

二次襯砌施工技術培訓系列課程之三

隧道施工測量技術培訓

編制、授課單位：中鐵五局集團有限公司貴廣鐵路工程指揮部

第二項目部工程部

9/2/2023

中鐵五局貴廣第二項目

二次襯砌施工技術培訓系列課程之三

11.培訓目的：

隧道測量工作是否準確和及時,對于隧道施工能否按工期保質保量完成具有重要意義.無論是隧道中線還是高程的測量偏差都會給隧道施工帶來巨大的損失.所以在隧道施工中,洞內控制測量、中線測量、高程測量和斷面測量工作是非常重要的工作環(huán)節(jié)。為了保證本項目部承建的貴廣鐵路所屬隧道工程洞內各項建筑物以規(guī)定的精度按照設計位置修建，不侵入建筑限界。根據(jù)自己在鐵路隧道測量工作中的體會并結合前輩們的施工經驗,淺談隧道施工測量的有關內容、工作方法和注意事項。

9/2/20231.培訓目的：

隧道測量工作是否準22、本次培訓講解內容適用范圍：

二次襯砌臺車定位測量

混凝土施工現(xiàn)場臺車變形監(jiān)測

監(jiān)控量測

隧道貫通誤差

洞內控制測量

適用于中鐵五局貴廣鐵路工程指揮部第二項目部管段內高興隧道二次襯砌施工測量。9/2/20232、本次培訓講解內容適用范圍：

二次襯砌臺車定位測量

混凝土33．作業(yè)準備

測量放樣前，應從合法、有效途徑獲取施工區(qū)已有的平面和高程控制成果資料。根據(jù)現(xiàn)場控制點標志是否穩(wěn)定完好等情況，對已有的控制點資料進行分析，確定是否全部或部分對控制點進行檢測。已有控制點不能滿足精度要求應重新布設控制，已有的控制點密度不能滿足放樣需要時應根據(jù)現(xiàn)有的控制點進行加密。閱讀設計圖紙，校算建筑物輪廓控制點數(shù)據(jù)和標注尺寸，記錄審圖結果。選定測量放樣方法并計算放樣數(shù)據(jù)或編寫測量放樣計算程序、繪制放樣草圖并由第二者獨立校核。

9/2/20233．作業(yè)準備測量放樣前，應從合法、有效途徑獲取施工區(qū)已有的44．技術要求結構外形尺寸允許偏差和檢驗方法序號項目允許偏差(mm)檢驗方法1邊墻平面位置±10尺量2拱部高程±100水準測量3邊墻、拱部表面平整度152m靠尺檢查或自動斷面儀測量模板安裝允許偏差和檢驗方法序號項目允許偏差(mm)檢驗方法1邊墻腳平面位置及高程±15尺量2起拱線高程±103拱部高程±100水準測量4模板表面平整度52m靠尺或塞尺5相鄰澆筑段表面高低差±10尺量9/2/20234．技術要求結構外形尺寸允許偏差和檢驗方法序號項目允許偏差(55.施測方案5.1在針梁臺車就位過程中，除操作人員嚴格按照程序進行操作外，采用合理測量方法輔助定位是保證模型安裝質量的重要手段，主要措施為：立模前，在針梁臺車模板兩端頭標記橫梁中點G，并在隧洞底板上放出隧洞中心線，在G點吊垂線，通過G點落在隧洞中心線上，起到初始定位的作用；同時，可以利用全站儀，對G點進行精確的測量后，得出G點與設計中線的差距，然后即可通過平移油缸調整整個針梁臺車的中線位置，使橫梁G點與設計隧洞中線重合。根據(jù)針梁臺車與隧洞縱坡、設計標高的關系，利用全站儀測量針梁臺車模板橫梁兩端與設計流水面的高度差，根據(jù)測出的高度差對臺車模板高度通過豎向油缸調整，使整個臺車的高程與設計隧洞高程重合。在高程和中線調整完畢后，通過全站儀測量全圓模型襯砌面，算出模型與設計內模位置的差，通過對邊頂模調節(jié)油缸進行內外調整，使全圓模板襯砌斷面與設計襯砌輪廓完全重合。以上對模板、中線與高程的調整均采用漸近法進行。需特別提出的是：在進行完高程調整后，應及時復核先期調整好的中線位置是否偏移，如果因在高程調整過程中出現(xiàn)中線偏移，應及時進行重新調整，通過幾次的高程和中線的反復調整后，直至使針梁臺車的全圓模板襯砌斷面調整至設計襯砌輪廓線，同時偏差要控制在規(guī)范允許的范圍內。9/2/20235.施測方案5.1在針梁臺車就位過程中，除操作人員嚴格按照65.2混凝土施工現(xiàn)場變形監(jiān)測

由于投入使用的混凝土襯砌軌行式鋼模臺車為初次投入本隧道口使用，雖然進行了最不利受力結構檢算，但為了保證施工安全，在首倉混凝土澆筑過程中應對襯砌臺車的穩(wěn)定性以及其他異常情況進行專人現(xiàn)場監(jiān)測，主要的監(jiān)測方法和要求如下：混凝土澆筑前，由技術部門在臺車的前、中、后段的橫梁上的左、中、右位置設置共計9個穩(wěn)定性觀測點，觀測采用全站儀現(xiàn)場測量坐標和高程進行穩(wěn)定性位移觀測，在混凝土澆筑前應對觀測點測得初始讀數(shù)，對襯砌臺車在混凝土澆筑過程中每20min至30min測量一次，比較分析位移變化情況，如判定位移有異常影響臺車整體穩(wěn)定性則需要立即停止混凝土澆筑，撤離所有施工人員，并報告本隊施工負責人；在混凝土澆筑過程中應派一名模型工在現(xiàn)場隨時加強對端頭模板異常情況（如出現(xiàn)模板、加固件松動、模板出現(xiàn)漏漿、縫隙增大等）的觀察，防止端頭模板在混凝土澆筑過程中不能有足夠的剛度和強度抵抗混凝土側壓力，導致爆模，造成安全事故并影響施工質量；在混凝土澆筑前，應徹底檢查一遍鋼模襯砌臺車的抗浮千斤頂、邊墻千斤頂、上縱梁千斤頂、下縱梁千斤頂?shù)嚷菪綑C械千斤頂?shù)闹畏€(wěn)固情況是否支撐到位、各液壓千斤頂以及卡軌裝置是否已經發(fā)揮作用并鎖定，保證整個臺車的整體支撐穩(wěn)固性，以及在混凝土澆筑過程中的抗浮性能正常工作；在混凝土澆筑前，在每一塊模板內側一個模板變形觀測點，在混凝土澆筑過程中（特別是在澆筑起拱線以上范圍時要加大測量頻率）實施對觀測點的量測，并與初始讀數(shù)進行比較分析，起到有效監(jiān)控模板變形和剛度失效以及模板支撐位移，進行安全預警，收集臺車運行狀況參數(shù)的作用；監(jiān)測觀測前，要做好監(jiān)測點位設置、簡要實施計劃、記錄分析表格設計等。監(jiān)測過程中，設置的所有監(jiān)測點在測得每一組數(shù)據(jù)后，應及時進行計算分析，包括對高程方向、隧道橫向、隧道縱向以及襯砌臺車局部的三維方向的計算分析，嚴密監(jiān)測監(jiān)控整個混凝土澆筑過程的穩(wěn)定性。9/2/20235.2混凝土施工現(xiàn)場變形監(jiān)測由于投入使用的混凝土襯砌軌7通過施工現(xiàn)場的監(jiān)控量測，并對量測數(shù)據(jù)的分析、處理與必要的計算和判斷，在混凝土襯砌的作用方面主要有：為判斷襯砌可靠性，二次襯砌合理施作時間提供依據(jù)，指導襯砌施工管理，確保施工安全和質量。5.3二次襯砌時機控制

9/2/2023通過施工現(xiàn)場的監(jiān)控量測，并對量測數(shù)據(jù)的分析、處理與85.3.1數(shù)據(jù)整理

把原始數(shù)據(jù)通過一定的方法，如按大小的排序，用頻率分布的形式把一組數(shù)據(jù)分布情況顯示出來，進行數(shù)據(jù)的數(shù)字特征值計算，離群數(shù)據(jù)的取舍，繪制散點圖。9/2/20235.3.1數(shù)據(jù)整理把原始數(shù)據(jù)通過一定的方法，如按大95.3.2回歸函數(shù)方程

回歸函數(shù)方程:指數(shù)函數(shù)：雙曲線函數(shù)：u＝t/(A+Bt)A、B—系數(shù)t—時間（天）9/2/20235.3.2回歸函數(shù)方程回歸函數(shù)方程:8/2/2023105.3.3非線性回歸方程的線性化指數(shù)函數(shù)：對其兩邊取自然對數(shù)，得：令則9/2/20235.3.3非線性回歸方程的線性化指數(shù)函數(shù)：8/2/2011雙曲線函數(shù)：u＝t/(A+Bt)將上式等價轉化為1/u=A/t+B,令y=1/u,x=1/t,則得y=Ax+B。9/2/2023雙曲線函數(shù)：u＝t/(A+Bt)8/2/2023125.3.4回歸方程擬合

假設給定數(shù)據(jù)點(i=0,1,…,m)，為所有次數(shù)不超過的多項式構成的函數(shù)類，現(xiàn)求一使得：9/2/20235.3.4回歸方程擬合假設給定數(shù)據(jù)點13當擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式（1）的稱為最小二乘擬合多項式。特別地，當n=1時，稱為線性擬合或直線擬合。顯然為的多元函數(shù)，因此上述問題即為求的極值問題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得9/2/2023當擬合函數(shù)為多項式時，稱為多項式擬合，滿足式14即

(3)（3）是關于的線性方程組，用矩陣表示為

（4）9/2/2023即8/2/202315式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。解方程組，求出a0、a1、an即為回歸方程系數(shù)。根據(jù)實測原始收斂數(shù)據(jù)，采用指數(shù)函數(shù)對實測關系曲線進行回歸計算，得回歸方程及相關系數(shù)R2

9/2/2023式（3）或式（4）稱為正規(guī)方程組或法方程組。解方程組，16由回歸方程推求最終位移量：u=f(t),取t=∞，得最終位移值umax

u-t時態(tài)分布圖9/2/2023由回歸方程推求最終位移量：8/2/202317

5.3.5量測成果的分析

圍巖穩(wěn)定和支護結構安全狀態(tài)分析：周邊位移相對值分析：兩測點距離的平均值LBC，兩測點間實測位移累計值UBC。測線周邊位移相對值：UBC/LBC<允許值

圍巖穩(wěn)定的判斷：當圍巖位移速率不斷下降時（du2/d2t＜0），圍巖趨于穩(wěn)定狀態(tài)；當圍巖位移速率保持不變時（du2/d2t=0），圍巖不穩(wěn)定，應加強支護；當圍巖位移速率不斷上升時（du2/d2t＞0），圍巖進入危險狀態(tài)，必須立即停止掘進，加強支護。9/2/20235.3.5量測成果的分析圍巖穩(wěn)定和支護結構安全狀態(tài)分析185.3.6二次襯砌時機控制

觀測斷面各測線回歸方程進行分析：內空收斂du/dt<0.2mm/d，通過數(shù)據(jù)分析及計算可以得出t天后圍巖變形滿足要求。拱頂下沉du/dt<0.15mm/d，通過數(shù)據(jù)分析及計算可以得出t天后圍巖變形滿足要求。結論：經過開挖后T天內跟蹤量測，圍巖收斂變形位移量小，從量測數(shù)據(jù)可以明顯看出開挖后t天圍巖基本穩(wěn)定，可以進行二次襯砌。9/2/20235.3.6二次襯砌時機控制觀測斷面各測線回歸方程進行分析：19§5.4隧道貫通誤差一、貫通誤差及其對隧道貫通的影響相向開挖的兩條施工中線上，具有貫通面里程的中線點不重合，兩點連線的空間線段稱為貫通誤差。實際的貫通誤差只有在貫通后才能確定！貫通面9/2/2023§5.4隧道貫通誤差一、貫通誤差及其對隧道貫通的影響201.貫通誤差的分類貫通誤差在水平面上的正射投影稱為平面貫通誤差；在鉛垂面上的正射投影稱為高程貫通誤差，簡稱高程誤差。貫通面9/2/20231.貫通誤差的分類貫通誤差在水平面上的正射投影稱為平面貫通21平面貫通誤差在水平面內可分解為兩個分量：

與貫通面平行的分量，稱為橫向貫通誤差，簡稱橫向誤差；與貫通面垂直的分量，稱為縱向貫通誤差，簡稱縱向誤差。貫通面9/2/2023平面貫通誤差在水平面內可分解為兩個分量：與貫通面平行的分量222.貫通誤差對隧道貫通的影響高程誤差主要影響線路坡度?？v向誤差影響隧道中線的長度和線路的設計坡度。橫向誤差影響線路方向，如果超過一定的范圍，就會引起隧道幾何形狀的改變，甚至造成侵入建筑限界而迫使大段襯砌拆除重建，既給工程造成重大經濟損失又延誤了工期。因此，必須對橫向誤差加以限制。9/2/20232.貫通誤差對隧道貫通的影響高程誤差主要影響線路坡度?？v233.橫向誤差和高程誤差的限差兩開挖洞口間長度（km）＜44~88~1010~1313~1717~20橫向貫通誤差（mm）100150200300400500高程貫通誤差（mm）±509/2/20233.橫向誤差和高程誤差的限差兩開挖洞口間長度（km）＜4244.影響貫通誤差的主要因素及其分解由于洞外控制測量、洞內外聯(lián)系測量、洞內控制測量和洞內中線放樣等項誤差的共同影響。一般將洞外平面控制測量的誤差做為影響隧道橫向貫通誤差的一個獨立的因素，將兩相向開挖的洞內導線測量的誤差各為一個獨立的因素，按照等影響原則確定相應的橫向貫通誤差。高程控制測量中，洞內、洞外高程測量的誤差對高程貫通誤差的影響，按相等原則分配。9/2/20234.影響貫通誤差的主要因素及其分解由于洞外控制測量、洞內外255.控制測量對貫通精度影響的限值測量部位橫向中誤差（mm）高程中誤差mm相鄰兩開挖洞口間長度（km）＜44~88~1010~1313~1717~20洞外30456090120150±18洞內406080120160200±17洞外、洞內總影響5075100150200250±259/2/20235.控制測量對貫通精度影響的限值測量部位橫向26二、貫通誤差估算1.導線測量誤差對橫向貫通精度的影響（mm）

測角誤差的影響設RX為導線環(huán)在隧道兩洞口連線的一列邊上的各點至貫通面的垂直距離（m），則導線的測角中誤差m

（″）對橫向貫通中誤差的影響為：貫通誤差估算的方法因控制網(wǎng)的形式不同而異9/2/2023二、貫通誤差估算1.導線測量誤差對橫向貫通精度的影響（mm27RX1RX2RX3RX4RX5RX6RX7RX812345678（mm）xy貫通面9/2/2023RX1RX2RX3RX4RX5RX6RX7RX812345628

測距誤差的影響設導線環(huán)在鄰近隧道兩洞口連線的一列測邊上的各邊對貫通面上的投影長度為dy(m)，導線邊長測量的相對中誤差為ml/l，則由于測距誤差對貫通面上橫向中誤差的影響為：9/2/2023測距誤差的影響8/2/202329dy2dy412345678dy1貫通面dy5dy79/2/2023dy2dy412345678dy1貫通面dy5dy78/2/30受角度測量誤差和距離測量誤差的共同影響，導線測量誤差對貫通面上橫向貫通中誤差的影響為：9/2/2023受角度測量誤差和距離測量誤差的共同影響，導線測量誤差對貫通31方法1.按照嚴密公式計算(公式與方法見《新建鐵路測量規(guī)范（條文說明）》)2.三角測量誤差對橫向貫通精度的影響估算12345678方法2.按導線估算（偏于安全，目前不提倡）9/2/2023方法1.按照嚴密公式計算(公式與方法見《新建鐵路測量規(guī)范（323.高程控制測量對高程貫通誤差的影響估算在貫通面上，受洞外或洞內高程控制測量誤差影響而產生的高程中誤差為：式中，M

為每千米水準測量的偶然中誤差，以mm計；L為洞外或洞內兩開挖洞口間高程路線長度的公里數(shù)。9/2/20233.高程控制測量對高程貫通誤差的影響估算在貫通面上，受洞外33§5.5隧道洞內控制測量洞內控制測量起始于兩端洞口處的洞外控制點，隨著隧道的開挖而向前延伸。因此，只能敷設成支線形式，其形狀完全取決于隧道的形狀；只能用重復觀測的方法進行檢核。9/2/2023§5.5隧道洞內控制測量洞內控制測量起始于兩端洞口處的洞外34一、洞內平面控制測量洞內平面控制通常有兩種形式，即中線形式和導線形式。中線形式就是以定測精度或稍高于定測精度，在洞內按中線測量的方法測設隧道中線。這種方法只適用于短隧道。洞內導線主要有以下幾種形式：1.單導線9/2/2023一、洞內平面控制測量洞內平面控制通常有兩種形式，即中線形式和352.導線環(huán)3.主副導線環(huán)9/2/20232.導線環(huán)3.主副導線環(huán)8/2/2023364.交叉導線5.旁點導線9/2/20234.交叉導線5.旁點導線8/2/202337洞內導線應注意的問題導線點應盡量布設在施工干擾小、通視良好、地層穩(wěn)固的地方；點間視線應離開洞內設施0.2m以上；導線的邊長在直線地段不宜短于200m，在曲線地段不宜短于70m，并盡量選擇長邊和接近等邊；導線點應埋于坑道底板面以下10~20cm，上面蓋鐵板以保護樁面及標志中心不受損壞，為便于尋找，應在邊墻上用紅油漆預以標注；9/2/2023洞內導線應注意的問題導線點應盡量布設在施工干擾小、通視良好、38采用雙照準法測角，測回間要重新對中儀器和覘標，以減小對中誤差和對點誤差的影響；由洞外引向洞內的測角工作，宜在夜晚或陰天進行，以減小折光差的影響；洞內導線應重復觀測，定期檢查；設立新點前必須檢查與之相關的既有導線點，在對既有導線點確認的基礎上測量新點;應構成多邊形閉合導線或主副導線環(huán)；當有平行導坑時，應利用橫向通道，使平行導坑的單導線與正洞的導線聯(lián)測，以資檢核。9/2/2023采用雙照準法測角，測回間要重新對中儀器和覘標，以減小對中誤差39二、洞內高程控制測量洞內高程控制測量的目的，是由洞口高程控制點向洞內傳遞高程，即測定洞內各高程控制點的高程，做為洞內施工高程放樣的依據(jù)。洞內應每隔200~500m設立一對高程控制點。高程控制點可選在導線點上，也可根據(jù)情況埋設在隧道的頂板、底板或邊墻上。當采用水準測量時，應進行往返觀測；采用光電測距三角高程測量時，應進行對向觀測;三等及以上的高程控制測量應采用水準測量，四、五等可采用水準測量或光電測距三角高程測量;高程導線宜構成閉合環(huán)。9/2/2023二、洞內高程控制測量洞內高程控制測量的目的，是由洞口高程控制40洞內高程控制測量采用水準測量時，除采用常規(guī)的方法外，有時為避免施工干擾還采用倒尺法傳遞高程。

應用倒尺法傳遞高程時，規(guī)定倒尺的讀數(shù)為負值，則高差的計算與常規(guī)水準測量方法相同：

hAB=a-b

9/2/2023洞內高程控制測量采用水準測量時，除采用常規(guī)的方法外，有時為避41§5.６導線測量的內業(yè)計算（簡易平差）（一）計算前準備工作1、檢查外業(yè)觀測手?。òㄋ浇怯^測、邊長觀測、方位角觀測等），確認觀測、記錄及計算成果正確無誤。2、繪制導線略圖。略圖是一種示意圖，繪圖比例、用線粗細沒有嚴格要求，但應注意美觀、大方，大小適宜，與實際圖形保持相似，且與實地方位大體一致。所有的已知數(shù)據(jù)（已知方位角，已知點坐標）和觀測數(shù)據(jù)（水平角值，邊長）應正確抄錄于圖中，注意字跡工整，位置正確。3、繪制計算表格。在對應的列表中抄錄已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)，注意應確認抄錄無誤。在點名或點號一列應按推算坐標的順序（亦即前進順序）填寫點名和點號。9/2/2023§5.６導線測量的內業(yè)計算（簡易平差）（一）計算前準備工作1421、繪制計算草圖，在圖上填寫已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)（如上圖）;繪制表格填寫已知數(shù)據(jù)；2、角度閉合差的計算與調整;（1）計算角度閉合差：

=

測-

理=

測-(n-2)

180°（2）若在限差內，則按反號平均分配原則，計算改正數(shù)：

計算檢核：（二）內業(yè)計算9/2/20231、繪制計算草圖，在圖上填寫已知數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)（433、導線邊坐標方位角的推算;

4、計算各邊坐標增量;5、坐標增量閉合差計算與調整;

理論上實際上（3）改正后的角值：9/2/20233、導線邊坐標方位角的推算;4、計算各邊坐標增量;5、坐標44（1）計算坐標增量閉合差：導線全長相對閉合差:導線全長閉合差:9/2/2023（1）計算坐標增量閉合差：導線全長相對閉合差:導線全長閉合差45（2）分配坐標增量閉合差

若K<1/40000（四等導線），則將fx、fy以相反符號，按邊長成正比分配到各坐標增量上去。并計算改正后的坐標增量。

9/2/2023（2）分配坐標增量閉合差若K<1/40000（四等導466、坐標計算根據(jù)起始點的已知坐標和經改正的新的坐標增量，來依次計算各導線點的坐標。

9/2/20236、坐標計算根據(jù)起始點的已知坐標和經改正的新的坐標增量，來依47輔助計算點號觀測角（右角）°′"改正數(shù)

?改正角°′"ABCD坐標方位角

α距離Dm點號ABCD增量計算值改正后增量坐標值ΔxmΔymΔxmΔymxmymABAB閉合導線坐標計算表87300389144075554541163413346401072010-09-09-10-10-38360003887295410720007555358914313600000133464032836342243209239.18239.93232.39299.301010.80

+0.03-165.48+0.03+180.32

+0.03+198.38

+0.03-213.34

0+172.69

0+158.28

0-121.04

-0.01-209.92-0.12+0.01+158.28+180.35+198.41-121.04-209.93-213.31-165.45+172.690.000.001672.691709.931753.311374.551830.971554.901540.001500.001500.001540.009/2/2023輔助計算點號觀測角改改正角ABCD坐標距離點號ABCD增量計48§5.６嚴密平差（條件平差)停止返回條件方程AV+W=0中，

A為r

n階矩陣，V為n

1列陣，即有r個方程，n個未知數(shù),且r<n，這樣的方程組有無窮多組解。然而，根據(jù)最小二乘準則，觀測量的最或然值應該滿足VTPV=min。9/2/2023§5.６嚴密平差（條件平差)停止返回條件方程A49在AV+W=0的條件下確定VTPV的最小值，這在數(shù)學中是求函數(shù)Ф=VTPV的條件極值問題。條件平差，實際上是確定條件方程滿足VTPV=min的唯一解。9/2/2023在AV+W=0的條件下確定VTPV的最小值，這在數(shù)學50根據(jù)計算函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法則組成新函數(shù)：Ф=VTPV－2KT（AV+W)其中：K=（k1,k2，…，kr)T是拉格朗日乘數(shù)，測量平差中稱之為聯(lián)系數(shù)向量。顯然，只要令Ф對V的一階導數(shù)等于零就可以求出VTPV的極值。9/2/2023根據(jù)計算函數(shù)的條件極值的拉格朗日乘數(shù)法則組成新函數(shù)：8/2/51矩陣求導的兩個公式：(1)設C為常數(shù)陣，X為列陣，則(2)設Y、Z均為列陣，則：9/2/2023矩陣求導的兩個公式：(1)設C為常數(shù)陣，X為列陣，則52一、改正數(shù)方程令其等于零，注意到(PV)T=VTP，從而有：VTP=KTA轉置后左乘P–1得：

V=P–1ATK(1)該公式表達了改正數(shù)V與聯(lián)系數(shù)K的關系。函數(shù)Ф=VTPV－2KT(AV+W)對V求導：9/2/2023一、改正數(shù)方程令其等于零，注意到(PV)T=VT53二、法方程式將（1）式代入條件方程AV+W=0中得：

AP–1

ATK+W=0（2）這就是條件平差的法方程式。式中，P為觀測值的權矩陣，設第i個觀測值的權為pi,則9/2/2023二、法方程式將（1）式代入條件方程AV+W=0中得：54顯然P是一個對角陣，其逆存在，且：9/2/2023顯然P是一個對角陣，其逆存在，且：8/2/202355三、法方程的解令N=AP–1

AT（3）則法方程式的形式為

NK+W=0其中N稱為法方程式系數(shù)矩陣，是一個滿秩二次型方陣，其逆存在。從而可解出聯(lián)系數(shù)向量：

K=－N–1

W（4）9/2/2023三、法方程的解令N=AP–56四、精度評定1）單位權中誤差從中誤差計算公式可知，為了計算，關鍵是計算。下面將討論的計算方法。①由直接計算②由聯(lián)系數(shù)及常數(shù)項計算9/2/2023四、精度評定1）單位權中誤差從中誤差計算公式可知，為了計算57五、條件平差的一般過程（1）列出條件方程AV+W=0（2）組成法方程系數(shù)矩陣N=AP–1

AT

（3）解法方程得到聯(lián)系數(shù)K=－N–1

W

（4）計算改正數(shù)V=P–1

ATK（5）計算平差值（6）精度評定9/2/2023五、條件平差的一般過程（1）列出條件方程58條件方程一、水準網(wǎng)列條件的原則：1、閉合水準路線2、附合水準路線包含的線路數(shù)最少為原則停止返回9/2/2023條件方程一、水準網(wǎng)列條件的原則：1、閉合水準路線包含的線路數(shù)59h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh1h6h7h2h5h4h3停止返回9/2/2023h1h7h5h6h3h4h2h8AODCBBAFGEDCh160水準網(wǎng)平差示例例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P3是待定點。已知數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)列于下表。按條件平差求各點的高稱平差值。路線號觀測高差（m）路線長度（km）已知高程（m)1+1.3591.1HA=5.016HB=6.0162+2.0091.73+0.3632.34+1.0122.75+0.6572.46+0.2381.47-0.5952.5h2Ah1h3h4h5h6h7P1P2P3B停止返回9/2/2023水準網(wǎng)平差示例例：如圖，A、B是已知的高程點，P1、P2、P61解：1、列條件方程停止返回9/2/2023解：1、列條件方程停止返回8/2/2023622、定權取C=1，則：3、形成法方程停止返回9/2/20