2023年研究生類研究生入學考試專業(yè)課電氣與電子信息-信號與線性系統(tǒng)歷年高頻考題帶答案難題附詳解

2023年研究生類研究生入學考試專業(yè)課電氣與電子信息-信號與線性系統(tǒng)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調整）第1卷一.歷年考點試題黑鉆版(共50題)1.頻譜函數x(jω)=δ(ω-2)+δ((ω+2)的傅里葉逆變換x(t)=______。2.積分式等于______。A.1B.0C.-1D.-23.已知某一連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)對信號x(t)的零狀態(tài)響應為則該系統(tǒng)函數H(s)=______。

A．4X(s)·e-2s

B．4s·e-2s

C．

D．4X(s)4.如圖(a)所示信號f(t)的傅里葉變換F(jω)=R(ω)+jX(ω)，則如圖(b)所示信號y(t)的傅里葉變換Y(jω)為______。

A．

B．2R(ω)

C．iX(ω)

D．R(ω)5.如時間實函數f(t)的頻譜函數F(jω)=R(ω)+jX(ω)，試證明f(t)的偶分量的頻譜函數為R(ω)，奇分量的頻譜函數為jX(ω)。6.計算下列序列的3點離散余弦變換。

(1)f(k)={15，20，32}

(2)f(k)={1，3，5}

(3)f(k)={11，13，15}7.寫出圖所示序列的函數表達式。

8.試用窗函數法設計一個截止頻率為2kHz的線性相位FIR低通濾波器，假設抽樣頻率為12kHz，FIR濾波器的長度N＝10。在設計任務中，分別采用三角窗、漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗函數設計出相應的濾波器。9.已知一離散時間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為試畫出該系統(tǒng)的并聯型實現框圖。10.求如圖所示零階保持電路的頻響函數H(jω)。

零階保持電路11.已知一離散時間因果LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為分別畫出該系統(tǒng)的級聯型和并聯型模擬框圖。12.已知一離散時間因果LTI系統(tǒng)H(z)的零極點圖如圖所示，且已知h[0]=3。求系統(tǒng)函數H(z)和系統(tǒng)的差分方程。

零極點圖13.已知雙邊z變換求逆變換x[n]。14.描述如圖所示RC電路的微分方程為求方程的齊次解。

所用的RC電路圖15.如圖所示信號由兩個沖激組成，其傅里葉變換是______。

A．

B．2cos(ωτ)

C．

D．2sin(ωτ)16.證明卷積和的移序特性，即若e(k)*h(k)=y(k)，則

e(k-k1)*h(k-k2)=y(k-k1-k2)17.由N段阻值為R的均勻導線連接成正多邊形，頂點分別為A1，A2，…，AN，多邊形中點O也以相同導線與各頂點連接。設O點電壓為零，A1點外加電壓為1V，證明任意相鄰兩頂點Ak與Ak-1間的電流可用下式表示：

式中18.寫出圖中輸入i(t)和輸出u1(t)及u2(t)之間關系的線性微分方程，并求轉移算子。

19.某離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程描述為

y[n]+3y[n-1]+2y[n-2]=3x[n]

起始狀態(tài)y[-1]=0，y[-2]=1。試求該系統(tǒng)的零輸入響應。20.求圖中電路的系統(tǒng)函數。21.一線性時不變系統(tǒng)具有非零的初始狀態(tài)，已知當激勵為e(t)時，系統(tǒng)全響應為r1(t)=e-t+2cos(πt)，t＞0；當初始狀態(tài)不變，激勵為2e(t)時，系統(tǒng)全響應為r2(t)=3cos(πt)，t＞0。求在同樣初始狀態(tài)條件下，當激勵為3e(t)時系統(tǒng)的全響應。22.已知x(t)的波形如圖所示，則x(5-2t)的波形為______。

A．

B．

C．

D．23.如果x[n]為一實偶信號且其z變換X(z)為有理函數，現已知z=z0和z=p0分別為x[n]的z變換的其中一個零點和極點。試再求出X(z)的另一個零點和極點。24.象函數的拉普拉斯逆變換x(t)為______。25.象函數的原函數為______。A.(e-2t-e-t)u(t)B.(e2t-et)u(t)C.(e-t-e-2t)u(t)D.(et-e2t)u(t)26.序列的z變換為______。

A．

B．

C．

D．27.某一個離散時間系統(tǒng)的差分方程為

y[n]+a2y[n-1]+a1y[n-2]+a0y[n-3]=x[n]

列寫出該系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。28.29.已知f1(t)=ε(t+1)，f2(t)=ε(t+2)-ε(t-2)，設f(t)=f1(t)*f2(t)，則f(-1)=______。A.0B.1C.2D.330.給出信號流圖如圖(a)所示，采用流圖代數的原則，將信號流圖進行化簡。

31.若一個離散時間LTI系統(tǒng)用二階差分方程描述如下

假定其輸入起始狀態(tài)為y[-1]=1和y[-2]=-2。計算系統(tǒng)的輸出值y[1]。32.圖(a)為一反饋系統(tǒng)框圖，(b)為其在K＞0時作出的ω≥0部分的開環(huán)轉移函數的復軌跡。如K可取負值，試用奈奎斯特判據確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍，并通過羅斯-霍維茨判據校核。

33.已知X(z)=e1/z，計算x[n]。34.已知離散時間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為

求當輸入時系統(tǒng)的強迫響應yF[n]。35.已知對稱矩形脈沖信號的傅里葉變換為求矩形脈沖信號f(t)=f1(t+T)+f1(t)+f1(t-T)(T≠τ)的頻譜函數F(jω)。36.利用DFT的卷積性質求題中各對序列的4點循環(huán)卷積。

(1)f1(k)={4，2，10，5}，f2(k)={3，7，9，11}

(2)f1(k){1，2，3，4}，f2(k)={1，1，1，1}

(3)f1(k){1，1，1，1}，f2(k)={1，1，1}

(4)f1(k){1，2，3，4}，f2(k)={0，1，0}37.分別求圖(a)、(b)、(c)所示網絡的下列轉移算子：

(1)i1對f(t)；(2)i2對f(t)；(3)u0對f(t)。38.已知則的傅里葉變換為______。

A．-2X(j2ω)

B．2X(j2ω)

C．

D．39.寫出描述如圖所示系統(tǒng)的微分方程。40.H(s)的零點和極點中僅______決定了h(t)的函數形式。41.已知圖所示電路的初始狀態(tài)為零，求下列兩種情況下流過AB的電流i(t)。

(1)激勵為電流源iS(t)=ε(t)A；

(2)激勵改為電壓源eS(t)=ε(t)V。42.已知F1(jω)=FT{f(t)}，利用傅里葉變換的性質求F2(jω)=FT{f(6-2t)}。43.已知周期信號f(t)的幅度|Fk|、相位φk分別如圖所示，求該周期信號f(t)的表達式。

44.已知系統(tǒng)函數如下，判斷該系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)?

45.寫出如圖所示各波形信號的函數表達式。

46.已知ROC為|z|＜1，求x[n]。47.某離散時間LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為H(z)，唯一決定該系統(tǒng)單位樣值響應h[n]函數形式的是______。A.H(z)的零點B.H(z)的極點C.系統(tǒng)的輸入序列D.系統(tǒng)的輸入序列與H(z)的極點48.已知某離散時間LTI系統(tǒng)的響應y[n]=(-2)-nu[n]+δ[n]+u[n]，其穩(wěn)態(tài)響應分量為______。A.(-2)-nu[n]B.δ[n]C.δ[n]+u[n]D.u[n]49.求圖(a)、(b)所示系統(tǒng)的系統(tǒng)函數并粗略繪其頻率響應。

50.如圖所示，x(t)為原始信號，y(t)為變換信號，y(t)的表達式是______。

A．x(-t+1)

B．

C．x(-2t+1)

D．x(t+1)第1卷參考答案一.歷年考點試題黑鉆版1.參考答案：2.參考答案：C3.參考答案：B4.參考答案：B5.參考答案：證明對于實函數f(t)來說，其頻譜函數的實部為偶函數，虛部為奇函數，即

R(ω)=R(-ω)，X(ω)=-X(-ω)

f(t)的偶分量

其頻譜函數

f(t)的奇分量

其頻譜函數6.參考答案：解

當N=3時，CN矩陣等于

(1)

故

(2)

故

(3)

故7.參考答案：解

(a)由圖(a)可知該序列在0≤k≤4時值為2，故可利用單位階躍序列表示為

f(k)=2[ε(k)-ε(k-5)]

(b)由圖(b)可知該序列是一個以為首項，以為公差的等差右邊序列，故其函數表達式為

(c)由圖(c)可知該序列在-3≤k≤-1時值為1，在1≤k≤3時值為-1，故利用單位階躍序列可表示為

f(k)=[ε(-k-1)-ε(-k-4)]-[ε(k-1)-ε(k-4)]

(d)由圖(d)可知該序列在區(qū)間[-3，-1]上值滿足表達式8+2k，在區(qū)間[1，3]上滿足表達式8-2k，且k=0時值為6，故其函數表達式為

f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]

+6δ(k)+(8-2k)[ε(k-1)-ε(k-4)]

或f(k)=(8+2k)[ε(-k-1)-ε(-k-4)]

-2δ(k)+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]

或f(k)=(8+2k)[ε(-k)-ε(-k-4)]-10δ(k)

+(8-2k)[ε(k)-ε(k-4)]8.參考答案：解

求出目標系統(tǒng)的單位函數響應

如果采用三角窗，則

hd(k)=h(k)·ω(k)

其中

故得

hd(k)={0，-0.0101，0.0283，0.1415，0.2831，0.2831，0.1415，0.0283，-0.0101，0}

如果采用漢寧窗，則

hd(k)=h(k)·ω(k)

其中

故得

hd(k)={0，-0.0053，0.0263，0.1592，0.3088，0.3088，0.1592，0.0263，-0.0053，0}

如果采用漢明窗，則

hd(k)=h(k)·w(k)

其中

故得

hd(k)={-0.0057，-0.0085，0.0293，0.1635，0.3096，0.3096，0.1635，0.0293，-0.0085，-0.0057}

如果采用布萊克曼窗，則

hd(k)=h(k)·ω(k)

其中

故得

hd(k)={0，-0.0023，0.0164，0.1337，0.3028，0.3028，0.1337，0.0164，-0.0023，0}9.參考答案：[解]當系統(tǒng)函數出現重極點時，在并聯型實現中，為減少單位延時器的使用數量，可以采用一階項的級聯來實現高階項。由此實現的模擬框圖如圖所示，H(z)中項是通過兩個一階系統(tǒng)的串聯來實現的，即由的串聯來實現。這樣實現這個三階系統(tǒng)仍然只需3個單位延時器。本題若單獨設計三階系統(tǒng)H(z)中的三個并聯部分，則共需要使用4個單位延時器。

系統(tǒng)的并聯型實現10.參考答案：[解]先求出系統(tǒng)的單位響應h(t)，再求頻響函數H(jω)。

當零階保持電路的輸入x(t)=δ(t)時，有

ω(t)=δ(t)-δ(t-T)

從而可寫出系統(tǒng)的單位沖激響應為

對上式求傅里葉變換，得

11.參考答案：級聯型

首先，對H(z)進行整理，表示為

上式表明，可以通過兩個一階子系統(tǒng)H1(z)和H2(z)的級聯來實現一個二階系統(tǒng)H(z)，如下圖(a)所示。每個子系統(tǒng)又可以用直接Ⅱ型實現，如下圖(b)所示。

系統(tǒng)的級聯型實現

(2)并聯型

將H(z)作部分分式展開，得

上式表明可以通過三個低階子系統(tǒng)H3(z)、H4(z)和H5(z)的并聯來實現一個二階系統(tǒng)H(z)，如下圖(a)所示。每個子系統(tǒng)可以用直接Ⅱ型實現，如下圖(b)所示。

系統(tǒng)的并聯型實現12.參考答案：[解]由零極點圖可得

根據初值定理

已知h[0]=3，求得K=3。于是系統(tǒng)函數為

由于

對上式交叉相乘，得

對上式作逆變換，得系統(tǒng)的差分方程為

13.參考答案：[解]X(z)可以表示為

的部分分式展開形式為

于是，得

本題沒有給定ROC，因此需要根據極點位置來討論。X(z)有兩個極點，因此存在三種可能的ROC，如圖所示。

三種收斂域

(1)對于圖(a)，ROC為|z|＞2，它位于以極點的最大模為半徑的圓外且包含∞，根據前面討論的ROC性質可知逆變換對應于因果信號。因此

(2)對于圖(b)，收斂域為因此，它的逆變換為雙邊信號，其中展開式中第一項對應的逆變換為因果信號。

展開式中第二項(極點z=2)對應的逆變換為反因果信號。

由此，得逆變換為

(3)對于圖(c)，收斂域為因此所有項對應于反因果信號。

14.參考答案：[解]先寫出齊次方程

根據前面的分析知齊次解的形式為yn(t)=A1eα1t，其中α1是特征方程

RCα1+1=0

的根。解得從而得到該系統(tǒng)的齊次解為

15.參考答案：B16.參考答案：證

由卷積和的定義得

令j-k1=x，則

17.參考答案：證明

設頂點Ak(k=1，2，…，N)的電位為Ek，導線OAk的電阻為r。

由圖，對頂點Ak，由KCL，有

I(k)=Ik+I(k+1)

①

又

代入式①得

整理得

由圖知，，于是，故最終得差分方程

再回到需證明的結論上來，由雙曲正弦、雙曲余弦函數的積化和、差公式2sinhA·sinhB=cosh(A+B)-cosh(A-B)，知

將其與進行對比，可設想

于是

這里，即

將式③、④、⑤代入式②的左邊，得

左邊

將式⑥代入上式，同時考慮到

cosh(N-2k-4)θ+cosh(N-2k)θ=2cosh(N-2k-2)θ·cosh2θ

從而有左邊

說明式③中的Ek是方程②的解，從而證明了任意相鄰兩頂點Ak與Ak-1間的電流為

18.參考答案：解根據題圖，可寫出節(jié)點電流方程

由①式得

對②式微分得

將③式代入④式得

即

由②式得

將⑥式代入①式得

即

對⑦式再微分一次，得

根據⑤式和⑧式可得轉移算子

19.參考答案：[解]根據系統(tǒng)的差分方程可寫出特征方程為

α2+3α+2=0

解得特征根為α1=-2，α2=-1。因此可設系統(tǒng)的零輸入響應形式為

yzi[n]=Azi1(-2)n+Azi2(-1)n

根據起始狀態(tài)，有

解得Azi1=-4，Azi2=2。所以該系統(tǒng)的零輸入響應為

yzi[n]=[-4(-2)n+2(-1)n]u[n]

下面討論零狀態(tài)響應yzs[n]的求解方法。yzs[n]是在不考慮起始時刻系統(tǒng)儲能的作用下，由系統(tǒng)外加輸入信號單獨作用下的響應，它滿足方程

及起始狀態(tài)y[-k]=0(k=1，…，N)。如果系統(tǒng)特征方程有N個不同的特征根αk(k=1，2，…，N)，則yzs[n]的一般形式為

式中D[n]為特解，Azsk為待定常系數?？梢钥吹?，零狀態(tài)響應是由一部分自由響應和強迫響應組成的。20.參考答案：解

(a)由圖(a)所示電路圖可得系統(tǒng)的轉移導納函數

即

(b)由圖(b)所示電路圖可得系統(tǒng)的輸入阻抗函數

即21.參考答案：解設系統(tǒng)的零輸入響應為rzi(t)，當激勵為e(t)時的零狀態(tài)響應為rzs(t)，則有

聯立解得

所以，激勵為3e(t)時系統(tǒng)的全響應為

r3(t)=rzi(t)+3rzs(t)=4cos(πt)-e-t，t＞022.參考答案：C23.參考答案：[解]由于x[n]為一實偶信號，則

x[n]=x[-n]

由時域反轉性質，得

X(z)=X(z-1)

由此可知，去也必是X(z)的零點和極點。24.參考答案：sintu(t)-sin(t-τ)u(t-τ)；25.參考答案：B26.參考答案：D27.參考答案：[解]根據差分理論，當已知起始狀態(tài)y[-3]，y[-2]，y[-1]及，n≥0時的輸入x[n]就可確定系統(tǒng)未來的狀態(tài)，由此得到啟示，可選取狀態(tài)變量為

q1[n]=y[n-3]

q2[n]=y[n-2]

q3[n]=y[n-1]

于是有狀態(tài)方程

q1[n+1]=y[n-2]=q2[n]

q2[n+1]=y[n-1]=q3[n]

q3[n+1]=y[n]=-a0y[n-3]-a1y[n-2]-a2y[n-1]+x[n]

=-a0q1[n]-a1q2[n]-a2q3[n]+x[n]

輸出方程為

y[n]=q3[n+1]=-a0q1[n]-a1q2[n]-a2q3[n]+x[n]

將狀態(tài)方程寫成矢量矩陣形式有

28.參考答案：1-e-jωt0；29.參考答案：C30.參考答案：[解]流圖的化簡依次如圖(b)、(c)、(d)所示。

第一步，消去節(jié)點x3和x4，得到圖(b)。

第二步，消去節(jié)點x2，得到圖(c)。

第三步，消去節(jié)點x1，得到圖(d)。

信號流圖化簡過程31.參考答案：[解]將差分方程整理為

要求y[1]，可用迭代法，先求出y[0]，再求y[1]。

所以用迭代法求得32.參考答案：解

反饋系統(tǒng)的閉環(huán)轉移函數

當s在s平面中沿jω軸從-j∞變到j∞時，按照F(jω)=1+G(jω)H(jω)，可在F(jω)平面中作出相應的復軌跡，此軌跡是s平面中jω軸映射到F(jω)平面的曲線，稱之為奈奎斯特圖。

奈奎斯特判據：若F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面有n：個零點和np個極點，則當ω由-∞變到∞時，在G(jω)H(jω)平面中的奈奎斯特圖按順時針方向圍繞-1+j0點nz-np次；若nz＜np，則按逆時針方向圍繞-1+j0點np-nz次。

為判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需考察系統(tǒng)函數分母多項式F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面是否有零點，利用上述奈奎斯特圖的方法，還需了解F(s)在右半s平面的極點情況，事情比較麻煩。然而在一般情況下，系統(tǒng)未接入反饋時，此即開環(huán)特性是穩(wěn)定的，這時G(s)H(s)沒有極點在右半s平面，隨之，F(s)也沒有極點在右半s平面，即np=0，于是可得出在開環(huán)特性穩(wěn)定條件下的奈奎斯特判據：

當ω由-∞變到∞時，在G(jω)H(jω)平面中的奈奎斯特圖按順時針方向圍繞-1+j0點的次數等于系統(tǒng)函數分母多項式F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面的零點數，即反饋系統(tǒng)閉環(huán)轉移函數的極點數。因此，若在G(jω)H(jω)平面中的奈奎斯特圖不包含-1+j0點，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

因為奈奎斯特圖中的ω從0到∞的部分與ω從0到-∞的部分在G(jω)H(jω)平面中關于實軸成鏡像對稱，所以K＞0時的奈奎斯特圖如圖(c)所示。

由圖(c)可知，K＞0時的奈奎斯特圖不包含-1+j0點，故此時系統(tǒng)穩(wěn)定。又由圖(a)可知，在該反饋系統(tǒng)中

開環(huán)頻響特性為

根據上式可知，若K可取負值，則其奈奎斯特圖可由K＞0時的奈奎斯特圖繞原點順時針方向旋轉180°得到，如圖(d)所示。

幅頻特性

相頻特性φ(ω)=-[arctanω)+arctan(ω/2)]

當，位于負實軸上，即

當，即K＞-2時，奈奎斯特圖不包含-1+j0點，所以當K＞-2時系統(tǒng)穩(wěn)定。

又由于系統(tǒng)函數

系統(tǒng)特征方程為s2+3s+K+2=0

R-H陣列：

據羅斯-霍維茨判據可知，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，須有

K+2＞0

故當K＞-2時，該網絡穩(wěn)定，其結果與上述用奈奎斯特判據得到的結果一致。33.參考答案：[解]由于

因此

得

當然，該題也可以利用z域微分性質來求解。具體步驟如下。

由于

則

由z域微分性質及移位性質，得

nx[n]=x[n-1]。

上式是一個x[n]的遞歸表示式。為求此遞歸式，需知初始值。根據初值定理，得

這樣

結合上述兩式，可得

34.參考答案：[解]輸入信號的復頻率為因此

這樣系統(tǒng)的強迫響應

35.參考答案：[解]根據傅里葉變換的時移特性，可寫出

如果對信號f(t)不僅進行了時移，還同時進行了尺度變換，則帶有尺度變換的時移特性為

根據傅里葉變換的定義，可得傅里葉變換的頻移特性

FT{f(t)ejω0t}=F(j(ω-ω0))

FT{f(t)e-jω0t}=F(j(ω+ω0))

頻移特性表明信號在時域中與復因子ejω0t相乘，則在頻域中將使整個頻譜向右平移ω0。綜合FT{f(t)ejω0t}=F(j(ω-ω0))和FT{f(t)e-jω0t}=F(j(ω+ω0))，并利用歐拉公式，可得到

36.參考答案：解

本題中涉及的循環(huán)卷積的長度及DFT、FDFT的長度均為4，故只需考慮W4方陣。以下計算均利用矩陣，W4方陣直接給出其值。

(1)f1(k)={4，2，10，5}，f2(k)={3，7，9，11}

先求F1(m)和F2(m)。

即

F1(m)=(21，-6+j3，7，6-j3}

F2(m)={30，-6+j4，-6，-6-j4}

則F(m)=F1(m)·F2(m)={630，24-j42，-42，24+j42}

通過IDFT，可得

即f1(k)與f2(k)的4點循環(huán)卷積結果為{159，189，135，147}。

(2)f1(k)={1，2，3，4}，f2(k)={1，1，1，1}

先求F1(m)和F2(m)。

即

F1(m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}

F2(m)={4，0，0，0}

則F(m)=F1(m)·F2(m)={40，0，0，0}

通過IDFT，可得

即f1(k)與f2(k)的4點循環(huán)卷積結果為{10，10，10，10}。

(3)f1(k)={1，1，1，1}，f2(k)={1，1，1}

由第(2)小可知F1(m)={4，0，0，0}，而

即

F2m={3，-j，1，j}

則F(m)=F1(m)·F2(m)={12，0，0，0}

通過IDFT，可得

即f1(k)與f2(k)的4點循環(huán)卷積結果為{3，3，3，3}。

(4)f1(k)={1，2，3，4)，f2(k)={0，1，0)

由第(2)小題可知F1(m)={10，-2+j2，-2，-2-j2}，而

即

F2(m)={1，-j，-1，j}

則F(m)=F1(m)·F2(m)={10，2+j2，2，2-j2}

通過IDFT，可得

即f1(k)與f2(k)的4點循環(huán)卷積結果為{4，1，2，3}。37.參考答案：解(a)由圖(a)可寫出回路電壓方程。

對兩方程再微分一次，得

解之得

又

由此可得

(b)由圖(b)可寫出網絡的節(jié)點方程。設節(jié)點1、2的電位分別為u1(t)、u2(t)，則有

對兩方程再微分一次，得

解之得

又

由此可得

(c)對圖(c)可由歐姆定律，得

由此可得

38.參考答案：B39.參考答案：

40.參考答案：極點；41.參考答案：解設上下兩個電容上的電壓分別為u1(t)和u2(t)，極性均為上正下負。

(1)當激勵源為電流源時，根據圖可得節(jié)點方程：

寫成算子形式為

由此解得

系統(tǒng)轉移算子為

則系統(tǒng)單位沖激響應為

于是在iS(t)=ε(t)A激勵下的響應為

(2)當激勵源為電壓源時，根據圖可得方程：

寫成算子形式為

由此解得

系統(tǒng)轉移算子為

則系統(tǒng)單位沖激響應