方程和方程組復(fù)習(xí)指導(dǎo)(全文)

精品文檔-下載后可編輯方程和方程組復(fù)習(xí)指導(dǎo)(全文)方程和方程組是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

一、一元一次方程的解及解法

例1（2022?賀州）解方程：[x6]-[30-x4]=5.

分析：將方程兩邊同時(shí)乘以分母的最小公倍數(shù)，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.

解：去分母，得2x-3（30-x）=60.

去括號(hào)，得2x-90+3x=60.

移項(xiàng)，得2x+3x=60+90.

合并同類項(xiàng)，得5x=150.

系數(shù)化為1，得x=30.

評(píng)注：去分母時(shí)，注意將方程中的每一項(xiàng)都乘以最小公倍數(shù)，不能漏乘.

練習(xí)1解方程：[12]x+2×（[54]x+1）=8+x.

二、二元一次方程組的解及解法

例2（2022?成都）已知[x=3，y=-2]是方程組[ax+by=3，bx+ay=-7]的解，求代數(shù)式（a+b）（a-b）的值.

分析：將關(guān)于x，y的方程組的解代入方程組中，得到關(guān)于a，b的方程組，解此方程組，然后求代數(shù)式的值.

解：把[x=3，y=-2]代入方程組，得[3a-2b=3，①3b-2a=-7.②]由①+②，得a+b=-4.

由①-②，得5a-5b=10，即a-b=2.

所以（a+b）（a-b）=-4×2=-8.

評(píng)注：解決此類題目時(shí)注意觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，嘗試運(yùn)用整體代入法求代數(shù)式的值，不一定要解出方程組的解，有的題目可以根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)選擇較簡(jiǎn)單的解題方法.

練習(xí)2已知x，y滿足方程組[x+6y=12，3x-2y=8.]則x+y的值為（）

A.9B.7C.5D.3

三、二元一次方程（組）的應(yīng)用

例3（2022?徐州）小麗購(gòu)買學(xué)習(xí)用品的收據(jù)如下表，因污損導(dǎo)致部分?jǐn)?shù)據(jù)無(wú)法識(shí)別，根據(jù)下表：[商品名＼&單價(jià)（元）＼&數(shù)量（個(gè)）＼&金額（元）＼&簽字筆＼&3＼&2＼&6＼&自動(dòng)鉛筆＼&1.5＼&?＼&?＼&記號(hào)筆＼&4＼&?＼&?＼&軟皮筆記本＼&?＼&2＼&9＼&圓規(guī)＼&3.5＼&1＼&?＼&合計(jì)＼&＼&8＼&28＼&]

解決下列問(wèn)題：

（1）小麗買了自動(dòng)鉛筆、記號(hào)筆各幾支？

（2）若小麗再次購(gòu)買軟皮筆記本和自動(dòng)鉛筆兩種文具，共花費(fèi)15元，則有哪幾種不同的購(gòu)買方案？

分析：（1）由“購(gòu)買數(shù)量為8”和“購(gòu)買總金額為28元”得出兩個(gè)等量關(guān)系，由此列出方程組.

（2）由題意可列出二元一次方程，根自動(dòng)鉛筆和記號(hào)筆是正整數(shù)分析該二元一次方程的解.

解：（1）設(shè)小麗購(gòu)買自動(dòng)鉛筆x支，記號(hào)筆y支.根據(jù)題意，得

[x+y=8-2+2+1，1.5x+4y=28-6+9+3.5.]

解得[x=1，y=2.]

答：小麗購(gòu)買自動(dòng)鉛筆1支，記號(hào)筆2支.

（2）設(shè)小麗購(gòu)買軟皮筆記本m本，自動(dòng)鉛筆n支.根據(jù)題意，得

[92]m+1.5n=15，即n=10-3m.

又因?yàn)閙，n都是正整數(shù)，

所以[m=1，n=7]或[m=2，n=4]或[m=3，n=1.]

答：共有三種方案：

方案一：1本軟皮筆記本和7支記號(hào)筆；

方案二：2本軟皮筆記本和4支記號(hào)筆；

方案三：3本軟皮筆記本和1支記號(hào)筆.

評(píng)注：運(yùn)用方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要找出實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，通過(guò)設(shè)未知數(shù)來(lái)列出方程（組）.運(yùn)用二元一次方程求解某物體的數(shù)量時(shí)，注意該物體的數(shù)量為非負(fù)整數(shù)，由此可討論出該二元一次方程的解.

練習(xí)3某商場(chǎng)投入13800元資金購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價(jià)和銷售價(jià)如下表所示：[＼&成本價(jià)（元/箱）＼&銷售價(jià)（元/箱）＼&甲＼&24＼&36＼&乙＼&33＼&48＼&][類別][單價(jià)]

（1）該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種礦泉水各多少箱？

（2）全部售完500箱礦泉水，該商場(chǎng)共獲得利潤(rùn)多少元？

四、一元二次方程的解及解法

例4（2022?山西）解方程：2（x-3）2=x2-9.

分析：先移項(xiàng)，然后運(yùn)用平方差公式和提公因式法解方程.

解：移項(xiàng)，得2（x-3）2-（x2-9）=0.

因式分解，得2（x-3）2-（x+3）（x-3）=0，

（x-3）（2x-6-x-3）=0，

（x-3）（x-9）=0.

x-3=0或x-9=0.

x1=3，x2=9.

評(píng)注：解方程時(shí)要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇比較簡(jiǎn)單的方法解方程.

練習(xí)4解方程：x2-6x-4=0.

五、一元二次方程的應(yīng)用

例5（2022?畢節(jié)）為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2022年以來(lái)，某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬(wàn)元.2022年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元.假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同.

（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；

（2）若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元.

分析：設(shè)年平均增長(zhǎng)率，根據(jù)兩年增長(zhǎng)率相同列出2022年教育經(jīng)費(fèi)投入資金表達(dá)式，由此列出方程.

解：（1）設(shè)該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x.根據(jù)題意，得

6000（1+x）2=8640.

解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20%.

（2）因?yàn)?022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8640萬(wàn)元，且增長(zhǎng)率為20%，

所以2022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)為8640×（1+20%）=10368（萬(wàn)元）.

答：預(yù)算2022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10368萬(wàn)元.

評(píng)注：有關(guān)增長(zhǎng)率的問(wèn)題，往往要用到公式：M=a（1+x）n，這里a表示增長(zhǎng)的基數(shù)，x表示每次的增長(zhǎng)率，n表示增長(zhǎng)的次數(shù)，M表示增長(zhǎng)n次后的量.

練習(xí)5某服裝店原計(jì)劃按每套200元的價(jià)格銷售一批保暖內(nèi)衣，但上市后銷量不佳，為減少庫(kù)存積壓，兩次連續(xù)降價(jià)打折處理，最后價(jià)格調(diào)整為每套128元.若兩次降價(jià)折扣率相同，則每次的降價(jià)率為（）

A.8%B.18%C.20%D.25%

例6（2022?湖北）如圖1，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2？[住房墻][1m][圖1]

分析：設(shè)豬舍垂直于住房墻一邊的長(zhǎng)為xm，用x表示出平行于墻的一邊的長(zhǎng)，由矩形的面積公式即可列出方程.

解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊的長(zhǎng)為xm，則平行于墻的一邊的長(zhǎng)為（25-2x+1）m，即（26-2x）m.由題意，得

x（26-2x）=80，

化簡(jiǎn)，得x2-13x+40=0.

解得x1=5，x2=8.

當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12（舍去），

當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10

答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為8m.

評(píng)注：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要根據(jù)實(shí)際情況驗(yàn)證方程的根是否符合題意，不符合題意的根舍去.

練習(xí)6某小區(qū)在綠化工程中有一塊長(zhǎng)為18m、寬為6m的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，使它們的面積之和為60m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖2），求人行通道的寬度.[6m][18m][圖2]

六、分式方程的解及解法

例7（2022?樂(lè)山）解方程：[1x-2]-3=[x-12-x].

分析：先去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后按照整式方程的步驟求解，最后檢驗(yàn)根.

解：方程兩邊同乘以x-2，得

1-3（x-2）=-（x-1），即-2x=-6.

解得x=3.

z驗(yàn)：當(dāng)x=3時(shí)，x-2≠0.

所以原方程的解為x=3.

評(píng)注：解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)方程的根是否有意義，注意增根.

練習(xí)7關(guān)于x的方程[3x-2x+1]=2+[mx+1]無(wú)解，則m的值為（）

A.-5B.-8

C.-2D.5

七、分式方程的應(yīng)用

例8（2022?岳陽(yáng)）我市某學(xué)校開(kāi)展“遠(yuǎn)是君山，磨礪意志，保護(hù)江豚，愛(ài)鳥(niǎo)護(hù)鳥(niǎo)”為主題的遠(yuǎn)足活動(dòng).已知學(xué)校與君山島相距24千米，遠(yuǎn)足服務(wù)人員騎自行車，學(xué)生步行，服務(wù)人員騎自行車的平均速度是學(xué)生步行平均速度的2.5倍，服務(wù)人員與學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，到達(dá)君山島時(shí)，服務(wù)人員所花時(shí)間比學(xué)生少用了3.6小時(shí)，求學(xué)生步行的平均速度是多少千米/小時(shí).

分析：由“路程÷速度=時(shí)間”和“服務(wù)人員所花時(shí)間比學(xué)生少用了3.6小時(shí)”即可列出方程.

解：設(shè)學(xué)生步行的平均速度是每小時(shí)x千米，則服務(wù)人員騎自行車的平均速度是每小時(shí)2.5x千米.根據(jù)題意，得

[24x]-[242.5x]=3.6.

解得x=4.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解，且符合題意.

答：學(xué)生步行的平均速度是每小時(shí)4千米.

評(píng)注：運(yùn)用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，既要考慮方程的根是否使方程有意義，又要考慮方程的根是否符合實(shí)際意義.

練習(xí)8“母親節(jié)”前夕，某商店根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，用3000元購(gòu)進(jìn)第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5000元購(gòu)進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購(gòu)花的盒數(shù)是第一批所購(gòu)花盒數(shù)的2倍，且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元？

八、方程與函數(shù)的綜合應(yīng)用

例9已知一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點(diǎn)P（2，-1），則關(guān)于x的方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解是.

分析：理解方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解與一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象的交點(diǎn)P（2，-1）的縱橫坐標(biāo)的關(guān)系.

解：一次函數(shù)y=-mx+3和y=3x-n的圖象交于點(diǎn)P（2，-1），

方程組[mx+y=3，3x-y=n]的解是[x=2，y=-1.]

評(píng)注：本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解函數(shù)的圖象的交點(diǎn)與方程組的解之間的關(guān)系.

練習(xí)9已知二元一次方程組[x-y=-5，x+2y=-2]的解為[x=-4，y=1，]則在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=x+5與直線l2：y=[-12]x-1的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

例10（2022?菏澤）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+2過(guò)B（-2，6），C（2，2）兩點(diǎn).

（1）試求拋物線的解析式；

（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，求BDC的面積；

（3）若直線y=[-12]x向上平移b個(gè)單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點(diǎn)B，C）部分有兩個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.[O][x][y][B][C][D][圖3][-2-112345][7

6

5

4

3

2

1

-1][?][?][?]

分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法列方程組求拋物線的解析式.

（2）運(yùn)用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo)，根據(jù)SBDC=SBDH+SDHC求出SBDC.

（3）聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b和二次函數(shù)的解析式，列方程組，根據(jù)題意求出b的取值范圍.

解：（1）將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入解析式中，得

[4a-2b+2=6，4a+2b+2=2.]

解得[a=12，b=-1.]

拋物線的解析式為y=[12]x2-x+2.

（2）y=[12]x2-x+2，

y=[12]（x-1）2+[32].

拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，[32]）.

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把B（-2，6），C（2，2）代入，得[-2m+n=6，2m+n=2.]

解得[m=-1，n=4.]

直線BC的解析式為y=-x+4.

拋物線的對(duì)稱軸直線x=1與直線BC的交點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，3）（如圖4）.[O][x][y][B][C][D][圖4][-2-112345][7

6

5

4

3

2

1

][?][?][?][-1][H]

DH=3[-32][=32].

SBDC=SBDH+SDHC[=12]×[32]×3[+12]×[32]×1=3.

（3）直y=[-12]x向上平移b個(gè)單位得直線y=[-12]x+b，

聯(lián)立一次函數(shù)y=[-12]x+b與二次函數(shù)的解析式，得[y=-12x+b，y=12x2-x+2.]

消去y，得x2-x+4-2b=0.

當(dāng)Δ=0，即1-4（4-2b）=0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).

解得b=[158].

當(dāng)直線y[=-12]x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，2）時(shí)，b=3，

當(dāng)直線y[=-12]x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，6）時(shí)，b=5.

直線y[=-12]x向上平移b個(gè)單位所得的直線與拋物線段BDC（包括端點(diǎn)B，C）部分有兩個(gè)交點(diǎn)，

[158]

評(píng)注：求直線與拋物線是否有交點(diǎn)時(shí)，可將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根的判別式判斷交點(diǎn)情況.當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與拋物線沒(méi)有交點(diǎn).

練習(xí)10如圖5，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)A，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn).[O][x][y][A][B][C][圖5]

（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

九、方程與幾何的綜合應(yīng)用

例11（2022?柳州）如圖6，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿ADC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.[A][B][C][P][Q][圖6][D]

（1）從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQ∥CD？

（2）從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，當(dāng)t取何值時(shí)，PQC為直角三角形？

分析：（1）已知AD∥BC，添加PD=CQ即可判斷以P，Q，D，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

（2）分三種情況討論：①∠CQP=90°，

②∠CPQ=90°，③∠PCQ=90°.

解：（1）由題意，得點(diǎn)P在AD上，PD∥BC，當(dāng)PD=CQ時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，即12-2t=t.

解得t=4.