第五章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)

第5章代數(shù)系統(tǒng)的一般性質(zhì)5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)5.2代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)5.3代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)與同構(gòu)5.1二元運(yùn)算及其性質(zhì)一.二元運(yùn)算定義:設(shè)S為集合,函數(shù)f:S×S->S稱為S上的一個(gè)二元運(yùn)算,(對運(yùn)算封閉）簡稱為二元運(yùn)算.通常用o,*,·等符號表示二元運(yùn)算,稱為算符.例5.1(1)自然數(shù)集N上的乘法是N上的二元運(yùn)算,但除法不是.(2)整數(shù)集合Z上的加法,減法和乘法是Z上的二元運(yùn)算,而除法不是.(3)非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算,而加法和減法不是.(4)Mn(R)上的加法和乘法是Mn(R)上的二元運(yùn)算.(5)S為任意集合,則∪,∩,～,⊕為S的冪集P(S)上二元運(yùn)算(6)S為集合,SS是S上的所有函數(shù)集合,則合成運(yùn)算是SS上的二元運(yùn)算.二.運(yùn)算性質(zhì)1.算律交換律:?x,y∈S,有x·y=y·x

例如:實(shí)數(shù)集上的加法和乘法是可交換的,但減法不可交換.冪集P(S)上的∪,∩,⊕都是可交換的,但相對補(bǔ)(差)不是可交換的.Mn(R)上加法是可交換的;乘法和減法是不可交換的.

結(jié)合律:?x,y,z∈S,有(x·y)·z=x·(y·z)例如:N.Z,Q,R上的加法和乘法是可結(jié)合的.P(S)上的∪,∩,⊕是可結(jié)合的.Mn(R)上的加法和乘法是可結(jié)合的冪等律:?x∈S,有x·x=x;x稱為冪等元.

例如:冪集P(S)上的∪和∩運(yùn)算適合冪等律(A∪A=A,A∩A=A),但對稱差⊕運(yùn)算不適合冪等律.

分配律:?x,y,z∈S,有

x*(y·z)=(x*y)·(x*z)(y·z)*x=(y*x)·(z*x)稱*對·適合分配律.例如:在實(shí)數(shù)上乘法對加法是可分配的在Mn(R)上矩陣的乘法對加法是可分配的.在冪集P(S)上∪和∩是互相可分配的.

吸收律:設(shè)·和*是S上的兩個(gè)可交換的二元運(yùn)算,

?x,y∈S,有x*(x·y)=xx·(x*y)=x則稱·和*滿足吸收律.例如:在冪集P(S)上∪和∩是滿足吸收律的.(A∩(A∪B)=A,

A∪(A∩B)=A)

消去律:?x,y∈S,有(1)若x·y=x·z且x不是零元,則y=z(2)若y·x=z·x且x不是零元,則y=z例如:Z,Q,R上的加法,乘法滿足消去律P(S)上的⊕滿足消去律,但∪不滿足消去律(A∪B=A∪C非有B=C)2.幺元,零元和逆元幺元:若?el(或er)∈S,使得?x∈S,都有el·x=x(或x·er=x)則el(或er)為左幺元(或右幺元);若e∈S既是左幺元,又是右幺元,則稱e為S上關(guān)于運(yùn)算·的幺元.并且幺元是唯一的.

例如:N上的加法幺元是0,乘法的幺元是1;Mn(R)上加法的幺元是零元矩陣,乘法矩陣是單位矩陣.P(S)上∪運(yùn)算的幺元是φ,∩運(yùn)算的幺元是S.

零元:若?θl(或θr)∈S,使得?x∈S,都有θl·x=θl(或x·θr=θr),則稱θl(或θr)為左零元(或右零元).

若θ∈S既是左零元,又是右零元,則稱θ為S上關(guān)于運(yùn)算·的零元.并且零元θ是唯一的.例如:N上的乘法的零元是0,而加法無零元.Mn(R)上乘法矩陣零元是零元矩陣.而加法無零元.P(S)上∪運(yùn)算的零元是S,∩運(yùn)算的零元是φ.如下二元運(yùn)算表的幺元是c。逆元:設(shè)·為S上的二元運(yùn)算,e∈S為運(yùn)算·的幺元,

?x∈S,若?yl(或yr)∈S,使得yl·x=e(或x·yr=e),則稱yl(或yr)為x的左(或右)逆元.

若y∈S既是x的左逆元,又是x的右逆元,則稱y是x的逆元,并且逆元是唯一的,記作x-1.例如:在N上加法只有0∈N,有逆元0;在Z上加法幺元為0,逆元為它的相反數(shù).Mn(R)上乘法矩陣的幺元是單位矩陣,它的逆元是逆矩陣.P(S)上∪運(yùn)算的幺元是φ,只有φ有逆元,就是它自己.

5.2代數(shù)系統(tǒng)及其子代數(shù)和積代數(shù)一.代數(shù)系統(tǒng)定義:非空集合S和S上的k個(gè)運(yùn)算f1,f2,…,fk組成的系統(tǒng),稱為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng),簡稱代數(shù).記作<S,f1,f2,…,fk>例如:<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>都是代數(shù)系統(tǒng).<Mn(R),+,·>是代數(shù)系統(tǒng).<P(S),∪,∩,～>是代數(shù)系統(tǒng).

說明:若代數(shù)系統(tǒng)中,對于給定的二元運(yùn)算存在幺元和零元,則幺元和零元稱