gs函數(shù)的極限與連續(xù)

會計學(xué)1gs函數(shù)的極限與連續(xù)前面討論了數(shù)列xf=(n)的極限,它是函數(shù)極限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然數(shù),且n趨于無窮大.n第1頁/共133頁現(xiàn)在討論x)=y(f的極限,自變量x大致有兩種變化形式x)1(.x2),(x(有限數(shù).)0并且x,不是離散變化的,而是連續(xù)變化的.第一節(jié) 函數(shù)的極限一、x

時,

f(x)的極限內(nèi)有定義,也可記為(fx)x,(a+)定義1.設(shè)f

(x)在(M,+若>,0X,0>當(dāng)x>X(或<xX)時,相應(yīng)的函數(shù)值(f)x滿足(|fx)a|<.則稱常數(shù)a為f(x)當(dāng)x+時的極限,記作(或()))(或x)也可記為f(x)a,(x))第2頁/共133頁此時也稱當(dāng)x

+

(x

–

)時,

f

(x)的極限存在.否則,稱它的極限不存在.若>0,X>0,當(dāng)x>X(或x<X)時,有|f(x)a|<.若>0,正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有|xna|<,第3頁/共133頁注第4頁/共133頁1.將這個定義和數(shù)列極限定義相比較,n就是將x=f(n)換成了f(x).將“正整數(shù)N”換成“實(shí)數(shù)X>0”.但是,數(shù)列極限中n是離散變化的,而這里x是連續(xù)變化的.例11..證明其中0a<1.<證::0<<1,要使x|a|0<xa=.看圖.yy=axx10yx

x只須若

>0,

X

>0,

當(dāng)x>X

(或x<

X)

時,

有|f

(x)

a

|<第5頁/共133頁.定義2.設(shè)f

(x)在(,

M)

(M,

+)內(nèi)有定義.X

>0,當(dāng)|x|>X時,相應(yīng)的若

>0,函數(shù)值滿足|f(x)a|<則稱a為f(x)當(dāng)x時的極限,由定義1,2可知記作第6頁/共133頁直觀地,表示當(dāng)自變量x

無限增大時,曲線y

=f

(x)上的對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)會無限接近于數(shù)a.從而曲線y=f(x)會越來越貼近直線y=a.第7頁/共133頁即,當(dāng)x無限增大時,曲線y=f(x)以直線y=a為漸近線.如圖xoyy

=

f

(x)a第8頁/共133頁任作直線

y

=

a

.

( >

0),

都存在X

>

0.當(dāng)x

>X

時,函數(shù)y

=f

(x)的圖形夾在這兩直線之如圖間.xyoa+aaXy

=

f

(x)第9頁/共133頁直觀地,這個式子表示當(dāng)x<0且|

x

|無限增大時,函數(shù)y=f

(x)圖象以y

=a為漸近線.按定義,作直線

y

=

a

.

( >

0),

存在X

>

0.之當(dāng)

x

<

X

時,

y

=

f

(x)的圖形夾在兩直線y

=

a如圖間.xyoa+

aaXy

=

f

(x)第10頁/共133頁按定義,作直線

y

=

a

.

( >

0),

存在X

>

0.xo當(dāng)|

x

|

>X

時,y

=f

(x)的圖形夾在兩直線y

=a如圖之間.ya+

aaXX第11頁/共133頁比如,由y=arctgx的圖象yoy

=

arctg

xx第12頁/共133頁二、當(dāng)x

x0時,

f

(x)的極限第13頁/共133頁x0時的極限,f

(x)a可用|

f

(x)

a

|<

刻劃,x0時,

對應(yīng)的函數(shù)值f

(x)

a,

則如何用精確的數(shù)學(xué)而xx0則可用x||<x0刻劃.若當(dāng)x稱a是f

(x)當(dāng)x語言刻劃這一事實(shí)?定義3.設(shè)f

(x)在x0的某個去心鄰域?(x0)內(nèi)有定義,a時,f

(x)的極限存在,第14頁/共133頁若>0,>0,當(dāng)0<|xx0|<時,相應(yīng)的函數(shù)值)x(f滿足)x(f|<|a,則稱常數(shù)a為)(fx的當(dāng)xx0時的極限,記作此時也稱當(dāng)x否則,稱當(dāng)xa時,f(x)的極限不存在.注1.與數(shù)列極限定義比較:將“)nf=nx(”換成x,)(f將“N”換成“0>”,將“Nn>”換成“x|<0x<|0”.若

>0,

正數(shù)數(shù)N,

使得當(dāng)n>N

時,

都有|xn

a|<

,>0,

>0,當(dāng)0<|xx0|<

時,

|

f

(x)

a

|<

,則記第15頁/共133頁00第16頁/共133頁而現(xiàn)在x,x“<|x0<|x”表示了這一意思.這是因?yàn)樵跀?shù)列極限中.n.而“N>n”表示了n充分大這一意思.x0|<

”.

表示x

x0.例22..設(shè)c為常數(shù),則例33..x0x總表示x無限接近,0x但x0x這一意思.注2.定義中“0<|x因此,f(x)在0x是否有定義與fx)(在0x是否有極限無關(guān).>0,

>0,當(dāng)0<|xx0|<時,

|

f

(x)

a

|< ,

則記第17頁/共133頁例44..證明證::,0>要使|f(x)–2|<,只須|x–1|<.(本例說明x()f在0x無定義,但其極限可能存在)取=.則當(dāng)0<|x1|<時,有|(x)f–<2|,故x0|<

時,>0,有|

f

(x)>0,

當(dāng)0<|xa

|<

,第18頁/共133頁看圖.x01第19頁/共133頁y2yyy=f

(x)x

1

x

xx

1證：>0,第20頁/共133頁|x31|=|x(+x+1)|=|xx()121||x2+x+1|因x1,故不妨設(shè)0|x<1|<1,即<20<x故|=x2+x+1|x+2x+1<4+2+1=7從而3|x7<||1x.1|例55..考慮要使|x31|<,只須7|x1|<,即|x1|<即可.取=min(,1),則當(dāng)0<|x1|<時,(有|x1|<1及|x1|<)有|x31|<.第21頁/共133頁例66..證明證::注意到不等式|sin|x|x|>0,要使x|sin–0xnis<|,只須x|–<|0x,取=.x0|<

時,>0,有|

f

(x)>0,

當(dāng)0<|xa

|<

,第22頁/共133頁(本例說明sinx和cosx在x0處的極限值就等于它在x0處的函數(shù)值。)第23頁/共133頁證::>0要使|lnxln|0x或,第24頁/共133頁0e-x<x<x0e-即只須(1x0e-)<x0<x0(ex

1).取min{x0(=1e-),x0(e

1)},則當(dāng)0<|xx0|<時,(有xx0<<x0(e

1),(1x0e-)<

<xx0)例77..有|lnxlnx0|<.從本例可見,一般,與和x0有關(guān),第25頁/共133頁對同一個,當(dāng)x0不同時,可能不同。曲線y=f(x)上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)會無限接近于a.即第26頁/共133頁如圖xyoa+aax0y

=

f

(x)xx0+第27頁/共133頁定義4：設(shè)f

(x)在x0的右邊附近(左邊附近)有定義，>0.

當(dāng)0<x–x0<

(或0<

x0–

x若

>0,<

)時，有則稱a為f(x)當(dāng)xx0的右極限(或左極限,)記作左、右極限第28頁/共133頁即，f(x)在點(diǎn)0x處的極限存在的充要條件是(fx)在0x的左、右極限存在，并且相等。定理11..>0,

>0,當(dāng)0<|xx0|<時,

|

f

(x)

a

|< ,

則記若>0,>0.當(dāng)0<x–x0<(或0<x0–x

<)時，有第29頁/共133頁第30頁/共133頁例88..設(shè)=)(fxx,n,xsi當(dāng)當(dāng)0>x時x,0時,解：由于當(dāng)x0時,對應(yīng)的函數(shù)值.x=)x(f由于當(dāng)x>0時,對應(yīng)的函數(shù)值f=sinx.(x))fx(是一個分段函數(shù)，=0x是這個分段函數(shù)的分段點(diǎn).對一個分段函數(shù)來說，其分段點(diǎn)處的極限要分左、右極限討論.第31頁/共133頁例99..設(shè)(x)=fx,cosx,當(dāng)當(dāng)x>0時x,0時,左、右極限存在,但不相等,解：第32頁/共133頁以后,常用下列記號表示函數(shù)的左,右極限看圖0+cosxxx0ˉy1yyx第33頁/共133頁定理22..定理33..三、函數(shù)極限性第34頁/共133頁質(zhì)推論11::第35頁/共133頁推論22..(1)若存在>0,使當(dāng)0<|xx0|<時,有f(x)g(x).當(dāng)0<|xx0|<時,有f(x)g(x).(2)則存在>0,第36頁/共133頁證::(1)由于當(dāng)0<|xx0|<時,有f(x)g(x).所以,若記F(x)=f(x)g(x),則當(dāng)0<|xx0|<時,有F(x)=f(x)g(x)0.由推論1及第四節(jié)極限的運(yùn)算法則,有從而(2)自證第37頁/共133頁當(dāng)x時情形類似,自述,自證.定義5:若存在x

的某去心鄰域?(x

)，使得f(x)0

0第38頁/共133頁在?

(x

)內(nèi)有界，則稱f

(x)是x

x

時0

o的有界量.若>0，使得f(x)在(–,–X)(X,+)內(nèi)有界,則稱f(x)是x時的有界量.比如y=x2在定義域(– ,

+ )

內(nèi)是無界的,但在x=0的某個小鄰域內(nèi)是有界的.因此,y=x2是x0時的有界量.y=x20xy–第39頁/共133頁M0yx–第40頁/共133頁在(–

,+

)內(nèi)有界，是x比如:y=sinx時的有界量.但定理44..第41頁/共133頁定理4的逆命題不成立.xy1第42頁/共133頁y=sinx0–1則稱f

(x)是該極限過程中的一個無窮小量(省去x

xo

,

x的極限符號“l(fā)im”表示任一極限過程).第43頁/共133頁第二節(jié) 無窮大量、無窮小量一、無窮小量定義11.若0,limf(x)=小量,但第44頁/共133頁注1：無窮小量與極限過程分不開,不能脫離極限過程談無窮小量如xnis是x0時的無窮,例：注2第45頁/共133頁由于limC

=C(常數(shù)),所以,除0外：的任何常數(shù)不是無窮小量.注3：0是任何極限過程的無窮小量.是該極限過程中的無窮小量.A為常數(shù).,0>0>,當(dāng)0<|x–x0|<時,有|f(x)–A|<定理11..第46頁/共133頁證：類似可證x時情形.第47頁/共133頁定義2：若>0(無論多么大),記作：第48頁/共133頁(>0或,)0>X當(dāng)<|x0–xo|<(或||x>X)時，有Mf,|x()|>則稱f(x)是xx0(或x)時的無窮大量.二、無窮大量(x)|>M

”,就得到正無窮大量的定義.若以“f

(x)>M

”代替定義中的“|f若以“f()<x–M”代替定義中的“)x(f|>M|”,就得到負(fù)無窮大量的定義.分別記作：>0,

>0(或

X>0),

當(dāng)0<|x–xo|<

(或|x|>X)時，有|f

(x)|>M,第49頁/共133頁-10 1

x第50頁/共133頁x

yyx1+x11–例11：證：例22::試從函數(shù)圖形判斷下列極限.第51頁/共133頁解：(1)xy0y

=

tgxxx

yy第52頁/共133頁第53頁/共133頁(2)xoyxyyxx

+第54頁/共133頁x

–第55頁/共133頁注1：若在定義2中，將“f

(x)”換成“nx

”

,注2：若lim

f

(x)=

,將“X”換成“N”,將“x”換成就得到數(shù)列xn為無窮大量定義.“n

”,則表示在該極限過程中(x)f的極限不存在.>0,

X>0,當(dāng)|x|>X

時,有|f

(x)|>M,第56頁/共133頁注3：不能脫離極限過程談無窮大量.第57頁/共133頁注4：無窮大量一定是無界量,任何常量都不是無窮大量.但無界量不一定是無窮大量.說明>0,x0(–,+)，使得M|>x0inx0|s即可.例33：第58頁/共133頁解：第59頁/共133頁例44：第60頁/共133頁定理22：在某極限過程中,若)x(f為無窮大量,則反之,若(f)x為無窮小量三、無窮小與無窮大量的關(guān)系第61頁/共133頁第62頁/共133頁證：只證兩個無窮小量的情形.設(shè)當(dāng)x0x時,(要證(x))x(為無窮小量),,>0(x),0)x(,0四、無窮小量的運(yùn)算定理定理33：有限個無窮小量的代數(shù)和為無窮小量.第63頁/共133頁故(x)(x)是無窮小量.第64頁/共133頁注：定理3中“有限個”不能丟，無限個無窮小量的和不一定是無窮小量,n個第65頁/共133頁比如：定理4：若)(x是某極限過程中的無窮小量,f(x)是該過程的有界量,則f(x)(x)為該過程的無窮小量.即,有界量與無窮小量之積為無窮小量.第66頁/共133頁證：第67頁/共133頁推論：設(shè)

(x),

(x)是某極限過程中的無窮小量,.C為常數(shù)則)(x

,)x(Cx)(都是無窮小量.例22：第68頁/共133頁解：

±

，

都不一定是無窮大量，也不一定是無窮小量.0 ,

(有界量)

不一定是無窮大量，也不一 定是無窮小量(其中0表無窮小量).第69頁/共133頁33..無窮大量是無界量,但無界量不一定是無窮大量.五、無窮大量的運(yùn)算性質(zhì)44..((++

))++((++

))==++

,,((

))++((

))==

..第70頁/共133頁55..==,,±((有界量))==，±常量==..66..CC==((其中CC等非00常量))..(1)lim[fx)((x]g=)mlif(x))]=limgx(AB]=x(f[gil)2()(xm)ml(f)xi·])x(gmil=A·B)3(第三節(jié) 極限運(yùn)算法則第71頁/共133頁一、極限四則運(yùn)算法定理則理則11..若存在則,A=lB=)x(gmi,)x(fmil證::(2)因limf(x)=A,limg(x)=B,均存在,第72頁/共133頁則f(x)=A+(x),g(x)=B+(x).從而f(x)·g(x)=[A+(x)]·[B+(x)]=AB+[A(x)+B(x)+(x)(x)]得lim[f(x)·g(x)]=AB同理可證(1),(3).推論::設(shè)limf(x)存在.C為常數(shù),n為自然數(shù).則第73頁/共133頁(1)lim[Cf(x)]=Climf(x)(2)lim[f(x)]n=[limf(x)]n例11..解::由于=2–6=–4=2·23+22–4=16,第74頁/共133頁例22..解::由定理1及其推論,有第75頁/共133頁例33..第76頁/共133頁更一般的,以后將有結(jié)論:若f

(x)為初等函數(shù).且f

(x)在點(diǎn)x0處有定義.則比如:第77頁/共133頁例44..解:將x=1代入分母,分母為0,不能用例3或定理1(3)的方法求極限.想辦法約去使分子分母都為零的因子x–1.有第78頁/共133頁例55..解:將x=0代入.分子,分母都為0.不能用定理1(3).想法約去零為此,有理化.因子x.第79頁/共133頁例66..時的極限問題.分子,.不存在.不能用定理解:這是有理函數(shù).當(dāng)x分母的極限都為同除以分母的最高次冪x2.1(3).第80頁/共133頁將本題改為x3=0x3=第81頁/共133頁改為例77..則第82頁/共133頁總結(jié)::設(shè)f(x),g(x)為多項(xiàng)式.=第83頁/共133頁例88..解:這是兩個無窮大量之差的極限問題.無窮大量的和,差不一定是無窮大這類問題,稱為“”型.量.第84頁/共133頁通分例99..解::這是兩無窮大量之差的問題.即“”型.對無理函數(shù),可考慮有理化.第85頁/共133頁解::這是一分段函數(shù).分段點(diǎn)x=0.在分段點(diǎn)處極限要分左,右極限討論.分段函數(shù)2=b=故,當(dāng)=b2時0)=f(00,f(+–=2,0)例1100..何值時,問常數(shù)b為第86頁/共133頁例1111..證::先用“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”證明((11))單調(diào)性..=xn–1故xn單調(diào)遞增.0n–1個an個a第87頁/共133頁((22))有界性..故nx有界.<xn0n個an個an–1個a第88頁/共133頁綜合(1),(2),知xn單調(diào),有界.由于n+1個a從而第89頁/共133頁A2=a+A解出A.因xn>0,由保號性定理,A0從而即第90頁/共133頁求復(fù)合函數(shù)的極限時,?？捎谩皳Q元法”簡化運(yùn)算.第91頁/共133頁二、復(fù)合函數(shù)的極限例1122..解::直觀地看.當(dāng)x

1時,

lnx

0,

而當(dāng)lnx0時,cos(lnx)cos0=1.或者,令=ulnx,當(dāng)x1時,u0,代入這種方法稱為換元法.使用時,將原式中所有x換寫成u的表達(dá)式.極限過程x

x0換成相應(yīng)的u的極限過程.第92頁/共133頁定理22..設(shè)y=f[(x)]由y=f(u),u=(x)復(fù)合而成.且在x0的某去心鄰域?(x0)內(nèi),(x)u0證(略).第93頁/共133頁例1133..解::(1)令u=sinx.代入.(2)也可直接利用例3后介紹的結(jié)論,有第94頁/共133頁例1144..解::代入,x第95頁/共133頁0+1)內(nèi),則第四節(jié) 函數(shù)極限存在定理第96頁/共133頁一、夾逼定理定理1.設(shè)在點(diǎn)x0的某去鄰域?(x0,有

F(x)

f

(x)

G(x),證::>0.當(dāng)0<|x–x0|<2時,有F(x)|–A|<且x)|G(–A|<.從而,2>0.故A–<F(x),G(x)<A+即|f(x)–A|<.注::定理對x的情形也成立.第97頁/共133頁定理2.其中a可為有限數(shù)，也可為。證：只就a為有限數(shù)的情形證明.D

(

f

),

n，并任取數(shù)列xn

x0+

)。必要性：設(shè)(xn

x0,

xn要證(，0當(dāng)時，有)|fx(n>nNN>0,|<a)第98頁/共133頁二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系的充要條件是任何以x0為極限的數(shù)列(xnxn0,xnxD(f)),有由于則0,0,當(dāng)0xx0時,有f(x)a.由于xnx0(n+).當(dāng)nN時,有0|xnx0|

(xn.x0)從而，對0,N0,當(dāng)nN時,有故所以，對上述0,N,0第99頁/共133頁f

(xn)

a充分性：用反證法..若對任何數(shù)列xnx0(xnx0),有但(注意，)就是“00,對0,存在x"D(f),雖然0x"x0,但f(x")a.”對上述00,取依次等于1,……可設(shè)相應(yīng)的x1,x2,…,xn,…,滿足第100頁/共133頁0x1x0

1,但f(x1)a

00

x2x0,但f(x2)a

0……0

xnx0,但f(xn)a

0……第101頁/共133頁左邊一列說明nx(nx0+,xn),x0此與條件矛盾.故充分性成立.右邊一列說明f)nx(不以a為極限,例11..證明

不存在.證：只須證可取兩個數(shù)列xn0,的極限不相等即可.第102頁/共133頁第103頁/共133頁如圖,若當(dāng)xx0時,f(x)a.f

(x1)x12xx3f

(x2)

f

(x3)f

(xn)xn0x0xax(f=y)第104頁/共133頁y顯然,當(dāng)xnx0時,f(xn)a.反過來,若對任意的數(shù)列xn,xnx0(xnx0),有f(xn)a,則f(x)a(xx0).注:1.若對某個數(shù)列xn不能得出f

(x)x0

(xna

(xx0),

有

f

(xn)

a

,x0

)的結(jié)論.考慮x=0處的極限.第105頁/共133頁2.該定理對x也成立.的充要條件是0,0,,

0

x2

x0當(dāng)x1,

x2

D(f

)且0

x1

x0時,

有

f

(x1)

f

(x2).證：略第106頁/共133頁x時的柯西收斂準(zhǔn)則可依照定理3給出.三、柯西收斂準(zhǔn)則定理3.10xy1AxDBC總有SS<COA扇形OS<BABOD第107頁/共133頁第五節(jié) 兩個重要極限一、重要極限證::)(1先證第108頁/共133頁(2)再證事實(shí)上,令u=