圓板的軸對稱彎曲

考慮板的平衡條件，有

關于板的變形，仍保留彈性薄板的克?；舴蚣僭O：1、板中面上的各點只產生平等于中面的位移；2、與中面垂直的法線在彎形后仍是直線，并垂直于彎形后的中面。在軸對稱的情況下，板的撓度環(huán)向位移而應變分量為應變增量為應變增量比值注意不記彈性變形及，有則由剛塑性的利維-米塞斯流動法則同理可知

忽略擠壓應力和剪應力對屈服的影響，由Mises條件得可得：表明在材料屈服時，的絕對值沿中面法線不變。意味著：將用彎矩表示的屈服條件代入平衡微分方程若采用Tresca條件邊界條件：1、自由邊2、簡支邊3、固支邊采用Tresca條件，代入平衡微分方程，得出的是線性方程，但主應力的排序要根據邊界條件作分析判斷。a

周邊簡支，半徑為b，承受均布荷載q的圓板，求其塑性極限荷載問題。解：因為彎矩的最大值在原點處，且顯然，根據Tresca屈服條件,首先從原點開始屈服?？紤]到彎矩都是正的，則在塑性極限狀態(tài)時，原點相當于屈服線上的A點。但在板邊上，

相當于屈服線上的B點，則從板圓心到半徑邊緣的相對應力空間為從A到B。即有代入平衡方程，積分得：由邊界條件和限值條件計算得：計算板的變形，按流動法則，在AB邊上則有其解為由得注意：c1不是確定的，表明在塑性流動狀態(tài)時，板的變形是不受限制的。

其塑性極限狀態(tài)時的變形如右圖。

作業(yè)：4-4一矩形載面梁（b*h），材料為理相彈塑性的，受純彎曲作用，當加載到時完全卸載，求卸載后殘余曲率半徑。解：當彎矩大于彈性極限有值時，在純彎曲的情況下，梁的橫載面上有彈塑性兩個區(qū)域，由橫截面上的應力組合，有在純彎曲狀況下，梁處于單向受力狀態(tài)，對彈性區(qū)在彈塑性區(qū)交界處，則：或者在卸載后，其曲率半徑為卸載后的曲率為則若按彈塑性時的曲率與彈性極限時曲率的比例關系由卸載后恢復曲率關系殘余曲率關系現在來分析梁在彈塑性狀態(tài)下的撓度對于理想彈塑性材料，當梁處于彈塑性狀態(tài)時，其截面上有彈性區(qū)與塑性區(qū)兩個區(qū)域，而梁抵抗變形的能力則由彈性區(qū)承擔，所以在彈塑性區(qū)混合所在截面，有在彈塑性區(qū)交界處有這就是彈塑性狀態(tài)下，梁的撓曲微分方程。

試計算理想彈塑性材料、跨中受集中荷載作用的矩形（b*h)簡支梁在達到塑性極限狀態(tài)瞬時的撓曲線方程。解：由內、外彎矩條件先確定純彈性梁段（取右段分析）可知彈塑性梁段在內。

再確定彈塑性梁段的彈塑性交界線將梁分為兩段，求其撓度在彈塑性段在彈性段分別積分考慮邊界條件和連續(xù)條件由邊界條件得撓曲線塑性極限時的最大撓度，在跨中彈性極限時的最大撓度，在跨中則第六章理想剛塑性體的平面應變問題

在前面分析的彈塑性力學問題是一些簡單問題，對于許多具有重大實際意義的問題由于其復雜性，要獲得準確解答非常困難，因此，不得不引入某些假設，使問題得到簡化，然后找出近似解答。忽略彈性變形，而把材料視為剛塑性的，即把材料作了簡化。當塑性變形可以自由發(fā)展時，這種簡化是合理的。如果不僅忽略彈性變形，而且不計硬化，這樣的材料就是理想剛塑性材料。本章就是按照增量理論解決理想剛塑性體的平面應變問題——滑移線理論的塑性問題求解。6-1平面應變問題的基本方程1、應變狀態(tài)及應力狀態(tài)

平面應變狀態(tài)問題，物體內的各點位移平行于xy平面，且與z無關根據幾何方程則其應變張量為相應的應變增量張量和應變率張量為

對于應力分量，根據理想的剛塑性體的(Levy-Mises)利維—米塞斯關系Levy-Mises流動法則

由此可見，不論是增量理論或是全量理論，增面應變問題引入體積不可壓縮假定以后，都有則塑性區(qū)應力張量為這里，是主應力之一。其它兩個主應力由此，三個主應力為而最大剪應力作用在最大剪應力作用面上的正應力為注意，在些單元體的Z方向的正應力也是平均應力在xy平面上的主方向為如右圖所示2、滑移線在平面應變狀態(tài)下，其上每一點皆與最大剪應力面相切的線叫滑移線。由于剪應力成對且互相垂直，則過xoy平面內的每一點可以作兩條這樣的線。所以在整個xoy平面內滑移線是兩族正交曲線，分別稱為族和族。規(guī)定：α、β的正方向成右手坐標系，并使τ在該坐標系內成正方向。α的切線與x軸的夾角用θ表示，由x軸的正方向按逆時針算起。不難看出，最大主應力σ1的方向在α—β坐標系的第一及第三象限，所以σ1方向順時針轉過π/4就是α方向，逆時針轉過π/4就是β方向。

對于曲線的幾何方程，結合導數的幾何意義，不難得到兩滑移線的微分方程，為

滑移線以正交網絡布滿塑性區(qū)，稱為滑移線場。由滑移線分割成的無限小單元體的應力如圖。3、基本方程對平面應變問題，在不計體力的情況下，其平衡方程為滑移線場對理想剛塑性體，在塑性區(qū)的應力應該滿足屈服條件。

如果邊界上給定面力的邊界條件，則問題可以不考慮變形而直接根據平衡方程和屈服條件求解。重點是要確定剛性區(qū)和塑性區(qū)的分界面。6-2滑移線的基本方程和滑移線的性質若邊界上面力給定，假設則屈服條件被滿足，代入平衡方程，有

如果在各點，使x和y的方向與α和β滑移線的方向重合，于是θ=0。這樣x、y就成為流動坐標，而對x、y的導數就相當于對Sα

和Sβ的導數。改寫為

上式中參數ξ、η分別沿同一條滑移線是常數，但沿不同滑移線，一般來說是不同數值的。其物理意義是表示了沿滑移線的靜力平衡關系。再由上式，改寫為

只要知道滑移線場中每一點的參數ξ、η，則可確定各點的σ和θ值，整個滑移線場內的應力分量都可確定，由此即知滑移線對解題的重要性。下面來介紹一些滑移線的重要性質。（1）沿滑移線的平均應力σ的變化與滑移線α和x軸的夾角θ的變化成正比。（2）當一條滑移線沿著另一族滑移線的任一條過渡到同族的另一條滑移線時，所轉過的角度Δθ和平均應力的變化Δσ都是相同的。（3）如果已知滑移線場，并已知場中任一點的σ值，則場中內各點的σ均可算出。（4）如果滑移線的某些線段是直引，則沿這些線段的σ、θ

、ξ

、η以及應力分量σx

、σy、τxy和都是常數。（5）如果β族（或α族）滑移線的某一線段是直線，則被α族（或β族）所切截的所有β（或α

）線的相應線段皆是直線，并且它們的長度相同。（6）一族滑移線沿另一族滑移線移動時的曲率半徑變化等于沿另一族滑移線移動的距離。6-3簡單的滑移線場1、均勻場——滑移線是由兩組正交的直線族所組成。其物理意義是應力為均勻狀態(tài)。2、中心場——滑移線場是由部分同心圓族和在圓心共點的直線族所組成。其物理意義是代表簡單應力狀態(tài)。3、對數螺旋線形滑移線場（軸對稱滑移線場）?？紤]邊界面為圓，其上不受外力或僅作用均勻分布的法向面力的平面軸對稱問題，則該邊界附近產生塑性變形時，其滑移線場為對數螺旋線形。例用滑移線理論，計算外半徑為b，內半徑為a的理想剛塑性體的厚壁圓筒，在平面應變狀態(tài)下承受內壓力q，圓筒的塑性極限荷載。解：第一主應力為意味著在筒上任一點的滑移線與圓周線的方向成π/4，有積分得：圖上所示的滑移線即為α族線，其坐標表示為在內邊界上在處邊界上由螺旋線的幾何關系沿同一條α線6-4邊界條件

若在邊界上給定法向應力和切向應力，基邊界條件可寫成若邊界處于塑性區(qū)域，則應力分量應滿足屈服條件代入邊界條件式，可得改寫為

由此可以根據邊界條件確定邊界上各點的σ、θ值，從而確定出滑移線場中的σ、θ值。6-5速度場

對剛塑性材料，由利維—米塞斯流動法則，沿滑移線的應變增量為因得

其物理意義是：沿滑移線方向的正應變增量為零，也就是塑性區(qū)的變形只有沿著滑移線方向的剪切流動。將應變率方程改寫為速度方程，得此即Geiringer（哥瑞根）方程6-6應力和速度的間斷面

采用剛塑性材料的假設，在物體的應力場和速度場中，常有應力或速度不連續(xù)現象，這種不連續(xù)的分界面稱之為間斷面。1、應力間斷面設L為應力間斷面，L的兩側分別為（1）、（2）區(qū)。N、T為L上任一點的法向和切向，則該點處的應力分量用表示。在兩區(qū)的應力分量分別記為和注意：和是作用與反作用的關系，所以其值應相等，而作用于垂直于間斷面L的微面上的應力分量由1區(qū)過渡到2區(qū)時將有突變，所以，在應力間斷面上的各點，只有應力分量的間斷。有人已證明：應力間斷面與滑移線（面）不重合。2、速度間斷面設L為速度間斷面，為了保證材料的連續(xù)性，即不發(fā)生材料堆積或裂縫，L上各點的法向速度必須保持連續(xù)。2、速度間斷面設L為速度間斷面，為了保證材料的連續(xù)性，即不發(fā)生材料堆積或裂縫，L上各點的法向速度必須保持連續(xù)。所以速度不連續(xù)是指切向速度的不連續(xù)，且兩側切向速度的不連續(xù)量為可以證明：速度間斷面必為滑移線（面）或滑移線的包絡線，且沿同一速度間斷面各處切向速度的不連續(xù)量相等。6-7平沖頭（上部結構）壓入半平面的極限荷載

當沖頭壓力P增加時，在奇異點A、B處率先進入塑性，但A、B兩點的塑性區(qū)沒有連通時，按照剛塑性的假設，兩個局部塑性區(qū)之間的剛性區(qū)將阻止塑性區(qū)的流動，即阻止沖頭的壓入，只有當P繼續(xù)增加，直至兩分部塑性連成整體，自由表面將處于要變形而還未來得及變形時，沖頭荷載達到極限。

在此所述說的塑性流動是初始塑性流動。不計摩擦，現用滑移線理論來分析此塑性極限荷載。在三角形BED中，BE面是自由表面，其法向為第一主應力方向，可知與x軸成45角的方向為α族滑移線由屈服條件，平均應力沿α線，通過中心場到達部頭下的均勻場，即三角形ABC區(qū)域，經分析：根據屈服條件平均應力由滑移線理論：6-8解的性質1、完全解的條件一理想剛塑性體V的總表面為在上給定外力，在給定速度。在某一時刻，物體形成兩個區(qū)域，一部分塑性區(qū)、一部分剛性區(qū)。完全解應滿足下列條件：1、應力在V內滿足平衡方程；2、在塑性區(qū)滿足屈服條件在剛性區(qū)內應3、應力在SP上滿足靜力邊界條件；4、在塑性區(qū)內，速度及應變速度是連續(xù)的；在剛性區(qū)，速度為零或為常數；5、體積是不變的；6、在SV上滿足速度邊界條件；7、外力在靜力邊界上外力功率為正功；8、在塑性區(qū)內，應力和應變率滿足L-M塑性流動法則。

滿足前1-3三個條件的應力場稱為靜力可能應力場；滿足后4-8五個條件的速度場稱為運動許可速度場。2、解的唯一性3、極限荷載的下限和上限滿足靜力許可應力場的極限荷載為真實解的下限，而滿足運動許可速度場的極限荷載為真實解的上限。

這為結構塑性極限分析提供了一種實用方法，一般尋求多個下限解，取其最大值為近似真實解；尋求多個上限解，取其是最小值為近似真實解；或者以上、下限解的平均值作為近似解。7-1虛功率原理設有一組應力分量它們在物體V內滿足平衡微分方程在面力已知的邊界，滿足靜力邊界條件這組應力分量，稱為靜力可能的應力。靜力可能的應力未必是真實的應力，因為真實的應力還需滿足以應力表示的應變協調方程。但反之，真實的應力，必然是靜力可能的。為了區(qū)別真實應力，用表示靜力可能的應力。

相同地，設有一組速度分量和一組應變率分量，它們在物體內滿足幾何方程在速度已知的邊界上，滿足速度邊界條件這組速度稱為運動可能的速度。運動可能的速度未必是真實的，因為真實的速度，還需在體內滿足以速度表示的平衡微分方程，在面力已知的邊界上，須滿足以速度表示的靜力邊界條件。但反之，真實的速度必定是運動可能的。運動可能的速度和應變速度分別用和表示。

對于上述的靜力可能的應力和運動可能的速度及其對應的應變速度，有以下的恒等式：

上式所揭示的功率關系，稱為變形體的虛功率原理。它可以表述為：在物體上，外力在任意一組運動可能速度上作的功率，等于任意一組靜力可能的應力在與上述運動可能速度所對應的應變速度上所作的功率。若忽略體力，且考慮平面應變問題時，則上式虛功率原理就成為教材的式7-1a，如果存在速度間斷面，則虛功率公式為7-2上、下限定理可以證明：

下限定理，由靜力可能的應力場求得的荷載是真實解的一個下限近似值。

上限定理，由運動可能的速度場求得的荷載是真實解的一個上限近似值。

下面就用靜力法和機動法求解圖示的一次超靜定梁的塑性極限荷載。

材料為理想剛塑性的，梁為等直梁，塑性極限彎矩為解：先用機動法求解對一圖，外力功率為