n維向量向量組的線性相關(guān)性向量組線性相關(guān)性的判定一

第七次課§3.2

向量組的線性相關(guān)性§3.1n維向量了解n維向量的概念理解向量組的線性組合、線性相關(guān)（無關(guān)）的概念掌握向量組相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì)及判定定理教學(xué)內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)及基本要求§3.3

向量組線性相關(guān)性的判定向量組的線性相關(guān)性重點(diǎn)難點(diǎn)向量組的線性相關(guān)性2023/9/22§3.1N維向量一、基本概念及運(yùn)算Vector1、def：由n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組或，稱為n維向量。列向量(列矩陣)，記作行向量(行矩陣)，記作實(shí)向量復(fù)向量全為0零向量至少存在一個(gè)非零元素非零向量2023/9/232、向量組：若干個(gè)維數(shù)相同的行向量（列向量）所組成的集合3、矩陣與向量的內(nèi)在聯(lián)系列向量組行向量組2023/9/24二、n維向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律1、同型向量：維數(shù)相同的行（列）向量2、向量相等：3、數(shù)乘：4、加（減）法：5、運(yùn)算律：略，見教材2023/9/25設(shè)求1）例12）2023/9/26§3.2-§3.3向量組的線性相關(guān)性一、向量組的線性組合(P72定義3.2.1)2023/9/27則2023/9/28故判斷向量組的線性組合（表示）可轉(zhuǎn)化為判斷其所對(duì)應(yīng)的非齊次線性方程組是否有解。無解有解存在唯一解有無窮多解線性方程組的向量形式2023/9/29當(dāng)方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)時(shí),也可用Cramer法則來判斷結(jié)論1：任一向量都能被基本單位向量組線性表示“非不唯”均可由n維基本向量組表示為α=a1e1+a2e2+…+anen.2023/9/210例12023/9/211線性表示（表出）復(fù)習(xí)無解有解存在唯一解有無窮多解2023/9/212二、向量組的線性相關(guān)性AX=0的向量表示形式

則,當(dāng)不全為0時(shí)（存在非零解）稱線性相關(guān)

當(dāng)時(shí)（只有零解）稱線性無關(guān)

(P73定義3.2.2)2023/9/2132、定理1：只有零解(線性無關(guān))存在非零解(線性相關(guān))結(jié)論：基本單位向量組必線性無關(guān)。(P78定理3.3.2)(P74例3.2.1)2023/9/214例12023/9/215例22023/9/216(P75定理3.2.1)例1(P76例3.2.4)2023/9/217(P76定理3.2.2)2023/9/218簡(jiǎn)單結(jié)論：(1)：

(2)：相關(guān)對(duì)應(yīng)分量成比例。(3)：含零向量的向量組一定線性相關(guān)。(4)：相關(guān)組加個(gè)仍相關(guān)。(5)：無關(guān)組減個(gè)仍無關(guān)。(6)：無關(guān)組增維仍無關(guān)。(7)：相關(guān)組降維仍相關(guān)。(P73)(P79推論3.3.4)2023/9/219三、向量組等價(jià)(1)：反身性(2)：對(duì)稱性(3)：傳遞性2、性質(zhì)(P79定義3.3.1)2023/9/220定理3.3.4（P79）推論3.3.5（P80）推論3.3.6（P80）等價(jià)無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相等2023/9/221小結(jié)線性表示（表出）無解有解存在唯一解有無窮多解2023/9/222線性相關(guān)性只有零解(線性無關(guān)