【高中數(shù)學】充要條件+課件+高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

1.4.2充要條件復習引入思考：下列“若P，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？（1）若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；（2）若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；（3）若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則（4）若是空集，則A與B均是空集.探究一：充要條件提示：（1）原命題：若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；真逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等.真（2）原命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；真逆命題：若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等.假（3）原命題：若一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則假逆命題：若，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根.

真

（4）原命題：若是空集，則A與B均是空集；真命題(1)、（4）和它們的逆命題都是真命題.

逆命題：若A與B均是空集，則是空集.真說明：（1）符號“”稱為等價符號，與“當且僅當”含義相同.（2）p與q互為充要條件，也可以說成“p與q等價”.歸納總結(jié)上面思考中，命題（1）（4）中，p

與

q互為充要條件.例3：下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;（4）

p:x=1是一元二次方程解：（1）因為正方形的對角線一定互相垂直且平分，所以；又因為對角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以，因此p不是q的充要條件.例題說明：這里，且，因此可以說p是q的充分不必要條件.課本21頁例3：下列各題中，哪些p是q的充要條件？（2）p:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;（4）

p:x=1是一元二次方程解：（2）因為“若p，則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，即.因此p是q的充要條件.（3）因為xy>0時，x>0,y>0不一定成立，所以，又因為x>0,y>0時，xy>0一定成立，所以

.因此p不是q的充要條件.說明：這里，且，因此可以說p是q的必要不充分條件.課本21頁例3：下列各題中，哪些p是q的充要條件？（4）

p:x=1是一元二次方程解：因為

p:x=1是一元二次方程所以即所以

由可得所以x=1是一元二次方程所以于是有因此p是q的充要條件.

課本21頁思考：通過上面的學習，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？提示：“四邊形的兩組對角分別相等”，“四邊形的兩組對邊分別相等”，“四邊形的一組對邊平行且相等”，“四邊形的對角線互相平分”，“四邊形的兩組對邊分別平行”都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件.（1）確定條件p是什么，結(jié)論q是什么；（3）確定條件p是結(jié)論q的什么條件.1.直接用定義判斷充分條件、必要條件可按以下三個步驟進行：（2）嘗試從條件p推導結(jié)論q，從結(jié)論q推導條件p；歸納總結(jié)1.下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等；（2）p：⊙O內(nèi)兩條弦相等，

q：⊙O內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；（3）p：為空集，q：A與B之一為空集.

解：（1）因為，所以p是q的充要條件.練習（2）因為⊙O內(nèi)兩條弦相等，它們所對的圓周角相等或互補，所以，因此p不是q的充要條件.（3）因為“”

為空集，推不出“A與B之一為空集”，如，所以.因此p不是q的充要條件.課本22頁2.分別寫出“兩個三角形全等”和“兩個三角形相似”的幾個充要條件.解：“兩個三角形全等”的充要條件：（1）兩個三角形三邊對應相等；（2）兩個三角形的兩邊及夾角對應相等.“兩個三角形相似”的充要條件：（1）兩個三角形三邊對應成比例；（2）兩個三角形三角對應相等.課本22頁例題分析：設(shè)p:d=r,q:

直線l與⊙O相切.要證p是q的充要條件，只需分別證明充分性（）和必要性（）即可.課本22頁由（1）（2）可得，d=r是直線l與相切的充要條件.證明：如圖，梯形ABCD為等腰梯形的充要條件為AC＝BD.

練習課本22頁隨堂檢測5.求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0.證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”．∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即