巖石力學與工程巖石本構關系與強度理論

3.流變本構關系

如果巖石在外載荷作用條件不變的條件下，巖石的應變或應力還隨時間而變化，則稱該巖石具有流變性，此時的本構關系稱為巖石的流變本構關系。（2）強度理論

指采用判斷、推理的方法，推測材料在復雜應力狀態(tài)下破壞的原因，而建立強度準則，所提出的一些假設。總之，巖石的力學性質可分為變形性質和強度性質兩類，變形性質主要通過本構關系來反映，而強度性質則主要通過強度準則來反映。

2023/9/215.2巖石彈性問題的求解（1）巖石彈性問題的求解步驟（2）平衡微分方程2023/9/22（3）幾何方程

（4）物理方程（彈性本構關系）

2023/9/23（5）邊界條件

1.位移邊界條件2.應力邊界條件3.混合邊界條件2023/9/24（在上）（在上）5.3巖石流變理論5.3.1概念（1）研究背景1.各種巖土工程，無一不和時間因素有關；2.是巖石力學的重要研究內容之一；3.存在的問題尚多，理論與實驗研究仍有待進一步加強。（2）流變現象

1.流變性質：是指材料的應力-應變關系與時間因素有關的性質。

2.流變現象：材料變形過程中具有時間效應的現象。

3.巖石的流變包括蠕變、松弛和彈性后效。

2023/9/254.蠕變：是當應力不變時，變形隨時間的增加而增長的現象。

5.松弛：是當應變不變時，應力隨時間增加而減小的現象。6.彈性后效：是加載或卸載時，彈性應變滯后于應力的現象。7.粘性流動：即蠕變一段時間后卸載，部分應變永久不恢復的現象。（3）研究蠕變的意義1.中硬以下巖石及軟巖中開挖的地下工程，大都需要經過半個月甚至半年時間變形才能穩(wěn)定；或處于無休止的變形狀態(tài)，直至破壞失穩(wěn)。2.解決地下工程的設計和維護問題。2023/9/26（4）蠕變的三個階段

如圖5-1中的abcd曲線所示，蠕變過程可分為三個階段：1.第一蠕變階段：如曲線中ab段所示，應變速率隨時間增加而減小，故稱為減速蠕變階段或初始蠕變階段；2.第二蠕變階段：如曲線中bc段所示，應變速率保持不變，故稱為等速蠕變階段；3.第三蠕變階段：如曲線中cd段所示，應變速率迅速增加直到巖石破壞，故稱為加速蠕變階段。

2023/9/27εdcbat0圖5-1巖石蠕變曲線

（5）巖石的長期強度

當巖石的應力超過某一臨界值時，蠕變向不穩(wěn)定蠕變發(fā)展；當巖石的應力小于該臨界值時，蠕變按穩(wěn)定蠕變發(fā)展。通常稱此臨界應力為巖石的長期強度。5.3.2流變模型理論流變性主要研究巖石在流變過程中的應力、應變和時間的關系，即通過應力、應變和時間組成的流變方程來表示。流變方程主要包括本構方程、蠕變方程和松弛方程。在一系列的巖石流變試驗基礎上建立反映巖石流變性質的方程，通常有兩種方法：2023/9/28（1）經驗方程法

即根據巖石蠕變試驗結果，由數理統(tǒng)計學的回歸擬合方法建立的方程。通常形式為：（2）微分方程法

本方法是將巖石介質理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有基本性能（彈性、塑性和粘性）的元件組合而成。通過這些元件不同形式的串聯(lián)和并聯(lián)得到一些典型的流變模型體，相應地推導出它們的有關微分方程。

2023/9/29（5-10）

5.3.3基本元件（1）彈性元件（虎克體H）

1.定義

如果材料在載荷作用下，其變形性質完全符合虎克定律，即是一種理想的彈性體，則稱此種材料為虎克體，用符號H代表。

2.力學模型2023/9/210圖5-2虎克體力學模型及其動態(tài)3.本構方程

4.虎克體的性能

1）具有瞬時彈性變形性質，無論載荷大小，只要不為零，就有相應的應變，當為零時，也為零，說明虎克體沒有彈性后效，即與時間無關；2）應變恒定時，應力也保持恒定不變，應力不會因時間增長而減小，故無應力松弛性質；3）應力保持恒定時，應變也保持不變，即無蠕變性質。2023/9/211（5-11）

（2）塑性元件（庫侖體C）

1.定義

當物體所受的應力達到屈服極限時，便開始產生塑性變形，即使應力不再增加，變形仍然不斷增長，具有這一性質的物體為塑性體，用符合Y來代表。

2.力學模型

2023/9/212圖5-3塑性體力學模型及其動態(tài)3.本構方程4.塑性體的性能1）當物體所受的應力小于屈服極限時，模型表現為剛形體；2）當物體所受的應力大于或等于屈服極限時，模型表現為理想塑性體，即具有塑性流動的特點。2023/9/213（5-12）

（3）粘性元件（牛頓體N）

1.定義

牛頓流體是一種理想粘性體，即應力與應變速率成正比，用符號N表示

。

2.力學模型

2023/9/214圖5-4牛頓流體力學模型及其動態(tài)3.本構方程

將（5-13）式積分，得：式中：C——積分常數，當時，C=0，則：4.牛頓體的性質1）從（5-15）式可以看出，當t=0時，ε=0。當應力為時，完成其相應的應變需要時間，說明應變與時間有關，牛頓體無瞬時變形。2023/9/215或（5-13）

（5-14）

（5-15）

2）當時，即，積分后得，表明除去外力后應變?yōu)槌?，活塞的位移立即停止，不再恢復，只有再受到相應的壓力時，活塞才回到原位。所以牛頓體無彈性后效，有永久形變。3）當應變時，，說明當應變保持某一恒定值后，應力為零，即無應力松弛性能。2023/9/2165.4組合流變模型

三種基本元件進行組合時應力、應變的計算規(guī)則：

1.串聯(lián)組合體中各元件的應力相等；應變等于各元件應變之和。

2.并聯(lián)組合體中各元件的應變相等；應力等于各元件應力之和。5.4.1圣維南體（St.V:H-C）（1）力學模型

2023/9/217圖5-5圣維南體力學模型（2）本構方程

本構圖形2023/9/218（5-16）圖5-6圣維南體本構關系示意圖

（3）卸載特性

如在某一時刻卸載，使，則彈性變形全部恢復，塑性變形停止，但已發(fā)生的塑性變形永久保留。（4）圣維南體的特性

1.代表理想彈塑性體，它無蠕變，無松弛也無彈性后效。

2.本構關系與時間t無關，故不屬于流變模型，但它是復合體模型中常見的一個組成部分。2023/9/2195.4.2馬克斯威爾體（M:H-N）（1）力學模型（2）本構方程

由串聯(lián)關系可得：

2023/9/220圖5-7馬克斯威爾體力學模型

由于所以本構方程為：（3）蠕變方程

在恒定載荷作用下，則，其本構方程可化簡為：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程：

2023/9/221

（5-17）

（5-18）

（4）松弛方程

當保持不變時，則有，因此本構方程可變?yōu)椋航獯朔匠蹋氤跏紬l件，可得松弛方程：（5）松弛時間

令，則（5-19）式可變?yōu)椋寒攖=t1時定義：規(guī)定應力降到初始應力的37%時，所需要的時間為松弛時間。2023/9/222（5-19）

（6）馬克斯威爾體的特性

1.具有瞬時變形，并隨著時間增長應變逐漸增大，即具有等速蠕變的性質；

2.當應變恒定時，應力隨時間的增長而逐漸減小，即馬克斯威爾體模型具有松弛效應。

2023/9/223圖5-8馬克斯威爾體的蠕變曲線和松弛曲線5.4.3開爾文體（K:H/N）（1）力學模型（2）本構方程

由于二元并聯(lián)關系可得：因此開爾文體的本構方程為：

2023/9/224圖5-9開爾文體力學模型（5-20）

（3）蠕變方程

如果在時，施加一個不變的應力后，保持恒定，根據本構方程可得：解上述微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：（4）卸載方程

在時卸載，即，代入本構方程：

2023/9/225（5-21）

解上述微分方程可得：當時，，結合本構方程，可得卸載方程

：由式（5-21）和（5-22）可得如下曲線2023/9/226或

（5-22）

圖5-10開爾文體蠕變曲線和彈性后效曲線

（5）松弛方程

當模型的應變恒定時，即，此時的本構方程為：

由（5-23）式可以看出，當應變保持恒定時，應力也保持恒定，并不隨時間增加而減小，即本模型沒有應力松弛性質。（6）開爾文體的特性

1.屬于穩(wěn)定蠕變模型；

2.具有彈性后效性質，沒有松弛性質。

2023/9/227（5-23）

5.4.4理想粘塑性體（C/N）（1）力學模型

2023/9/228圖5-11理想粘塑性體力學模型（2）本構方程

根據并聯(lián)規(guī)則：

這兩個元件的本構關系為：根據本構關系可知，當時，，說明此時模型表現為剛體性質。但當時，，此時為理想粘塑性體。因此，本模型的本構方程為：2023/9/229（5-24）

（3）蠕變方程

1.當時，本模型屬于剛體，沒有蠕變性質。

2.當時，設有恒載，代入本構方程有：解此微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：（4）理想粘塑性體特性

本模型沒有彈性和彈性后效，有不穩(wěn)定蠕變。2023/9/230（5-25）

5.4.5廣義開爾文體（廣義K:H-K）（1）力學模型

（2）本構方程

由于串聯(lián)有：對于彈簧有：對于開爾文體有：2023/9/231圖5-14廣義開爾文體力學模型所以2023/9/232化簡上式可得廣義開爾文體本構方程：

（5-26）

（3）蠕變方程在恒定載荷作用下，由于廣義開爾文體由彈簧和開爾文體兩部分組成，其蠕變也是由兩部分組成。對于彈簧只有瞬時變形，對于開爾文體，其蠕變方程為，可應用疊加法，所以廣義開爾文體在恒定應力作用下的蠕變方程為：

2023/9/233（4）彈性后效（卸載效應）

如果在時刻卸載，虎克體產生的彈性變形立即恢復，但是開爾文體的變形則需要經過較長時間才能恢復到零，其卸載方程和開爾文體的卸載方程相類似，只是用代替即可。其蠕變曲線和彈性后效曲線，如圖5-15所示。

2023/9/234蠕變曲線t0彈性后效圖5-15廣義開爾文體蠕變曲線和卸載曲線5.4.6飽依丁-湯姆遜體（PTh：H/M）（1）力學模型（2）本構方程

本模型是由馬克斯威爾體與虎克體并聯(lián)而成，由并聯(lián)規(guī)則：2023/9/235圖5-16飽依丁-湯姆遜體力學模型由馬克斯威爾體的本構關系可得：由虎克體可得：即：代入化簡，即可得到本模型的本構方程：

2023/9/236則：

且有

（5-28）

（3）蠕變方程當在恒定的應力作用下，此時，則本構方程變?yōu)椋航馍鲜鍪轿⒎址匠?，可得：從?-29）分析可以得出：

1.當時，；

2.當時，可得：。2023/9/237（5-29）

由1、2可知（5-29）式所表達的蠕變曲線如圖5-17所示，且此蠕變屬于穩(wěn)定蠕變。（4）卸載方程（彈性后效）若本模型在受恒載的時刻突然卸載，此時產生的蠕變應變?yōu)椋?/p>

2023/9/2380t圖5-17飽依丁-湯姆遜體蠕變曲線

為了研究模型卸載后應變變化情況，因此令此時刻為零時刻，即，并且有，根據本構方程可得：解上式微分方程可得：從（5-30）式可以看出：當時的應變；當時，。應力在時刻就已經為零了，而應變則需要更長時間才能回零，因而，本模型具有彈性后效性質。2023/9/239（5-30）

（5）松弛效應

飽依丁-湯姆遜體是由一個馬克斯威爾體和一個虎克體并聯(lián)而成，馬克斯威爾體具有松弛效應，因此，如果保持本模型的不變，即保持不變，此時保持恒定，而由于松弛效應而減小，使得也減小。由此看來，本模型具有松弛性質。5.4.7賓漢姆體（1）力學模型

2023/9/240圖5-18賓漢姆體力學模型（2）本構方程

由串聯(lián)可得：

對于虎克體有：

對于理想粘塑性體有：因此，賓漢姆體的本構方程為：

2023/9/241（5-31）

（3）蠕變方程

當模型在恒定應力的作用下，此時。若時，理想粘塑性體沒有變形，只有彈簧有變形，但沒有蠕變；若時，根據本構方程（5-31）式第二式可得：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程為

：

2023/9/242（5-32）

（）

0圖5-19賓漢姆體蠕變曲線

（4）松弛方程如果保持應變恒定，即，則。1.若應力值，則理想粘塑性體為剛體，沒有形變，此時的賓漢姆體相當一個虎克體，沒有松弛。2.若應力值在的條件下，根據本構方程可知：解此微分方程，代入初始條件，可得松弛方程：

2023/9/243

（5-33）

（）

5.4.8四元件組合體——伯格斯體

（1）力學模型

（2）本構方程

在推導本構方程時，可將開爾文體和馬克斯威爾體看成單個元件，然后應用串聯(lián)運算規(guī)則，即可求出整個模型體的本構方程如下：2023/9/244圖5-21伯格斯體力學模型（5-34）

（3）蠕變方程

在推導蠕變方程時，也可把開爾文體和馬克斯威爾體的蠕變方程進行疊加，就可得出本模型的蠕變方程：（4）卸載效應

如果在某一時刻卸載，馬克斯威爾體的彈簧k2產生瞬時變形，但它的粘性元件也產生了永久變形；對于開爾文體卸載后，由于粘性元件的作用，使彈簧的形變不能馬上恢復，而只能經過相當一段時間后，才能使這兩個元件的變形得以恢復，因此，這就使本模型具有了彈性后效效應。2023/9/245

（5-35）（5）伯格斯體的特性1.具有瞬時彈性變形；2.具有減速蠕變、等速蠕變、彈性后效以及松弛效應等性質；3.比較適合描述軟巖的性質。

2023/9/246卸載曲線蠕變曲線0圖5-22伯格斯體蠕變和卸載曲線5.4.9五元件組合體——西原體

（1）力學模型

（2）本構方程

1.本模型在時，理想粘塑性體表現為剛體，沒有形變。因此，它就是廣義開爾文體，它具有瞬時彈性變形、彈性后效、蠕變和松弛等性質。

2.當時，它與伯格斯體模型相似，只是應力要扣除即可。因此本模型的本構方程為：

2023/9/247圖5-23西原體力學模型

（3）蠕變方程

本模型的蠕變方程也可以應用疊加和變化列出：

2023/9/248（5-36）

（5-37）

（4）西原體的特性

1.在應力水平較低時具有廣義開爾文體的性質，表現出穩(wěn)定蠕變；

2.當應力水平超過巖石某一臨界值后，理想塑性體的性質以充分表現出來，本模型逐漸轉化為不穩(wěn)定蠕變性質；

3.本模型比較適合模擬軟巖的流變特性。2023/9/2495.6巖石強度理論5.6.1概述（1）巖石強度理論是研究巖石在各種應力狀態(tài)下的強度準則的理論。（2）強度準則表征巖石在極限應力狀態(tài)下的應力狀態(tài)和巖石強度參數之間的關系。（3）應力正負號的規(guī)定

1.以壓應力為正，拉應力為負。

2.剪應力使物體產生逆時針轉動為正，反之為負。

3.角度以x軸正向沿逆時針方向轉動所形成的夾角為正，反之為負。

2023/9/250（4）基本應力公式

任意角度截面的應力計算公式最大主應力和最小主應力的表達式

最大主應力與作用面的夾角2023/9/251圖5-25二維的應力狀態(tài)

5.6.2最大正應力強度理論（1）實質材料破壞取決于絕對值最大的正應力。因此，對于作用于巖體的三個主應力，只要有一個主應力達到巖體或巖石的單軸抗壓強度或單軸抗拉強度，巖體或巖石就會破壞。（2）強度條件其中：——巖體或巖石單軸抗壓強度及單軸抗拉強度的泛稱。

2023/9/252或

（3）應用條件

本理論只適用于巖體單向受力狀態(tài)或者脆性巖石在二維應力條件下的受力狀態(tài)，所以對于處于復雜應力狀態(tài)中的巖體不宜采用這種強度理論。5.6.3最大正應變強度理論（1）實質

材料破壞取決于最大正應變，材料發(fā)生張性破壞的原因是由于其最大正應變達到或超過一定的極限應變所致。所以只要巖體中任意一方向的最大正應變達到其單軸壓縮或單軸拉伸破壞時的應變值時，巖體或巖石就會破壞。

2023/9/253（2）強度條件

式中：根據廣義虎克定律求出；由巖體或巖石單軸壓縮或單軸拉伸試驗確定。或由廣義虎克定律，可寫成如下形式：其中：——三個主應力；——巖體泊松比；——泛指巖體單軸抗壓強度及單軸抗拉強度。（3）應用條件

本強度理論只適用于無圍壓或低圍壓條件下的脆性巖石或巖體，而不宜用于巖體的塑性變形。

2023/9/2545.6.4最大剪應力強度理論

（1）實質

材料的破壞取決于最大剪應力。即當巖體所承受的最大剪應力達到其極限剪應力時，巖體便發(fā)生剪切破壞。（2）強度條件

或者可寫成如下解析形式：（3）應用條件

本理論比較適合巖體彈塑性分析，但這種強度理論沒有考慮中間主應力的影響。2023/9/255或5.6.5庫侖準則（1）實質

巖石的破壞主要是剪切破壞，巖石的強度，即抗摩擦強度等于巖石本身抗剪切摩擦的粘結力和剪切面上的法向力產生的摩擦力。（2）強度條件庫侖準則的莫爾應力圓直觀圖解

應力摩爾圓方程

2023/9/256圖5-26

坐標下庫侖準則

（3）庫倫-摩爾圓的力學意義

1.如果應力圓上的點落在強度曲線AR之下，則說明該點表示的應力還沒有達到材料的強度值，故材料不會破壞；

2.如果應力圓上的點超過了該區(qū)域，則說明該點表示的應力以超過了材料的強度并發(fā)生破壞；

3.如果應力圓正好與強度曲線相切，則說明材料處于極限平衡狀態(tài)，巖石所產生的剪切破壞將可能在該點所對應的平面上發(fā)生。（4）定義

破斷角是指最大主應力方向與剪切面間的夾角。

由圖5-26可得：

2023/9/257（5）一些重要關系由圖5-26可知若用平均主應力和最大剪應力表示，則上式變?yōu)椋毫硗膺€可以得到：

2023/9/258（5-51）

（5-52）

若令，則極限應力為巖石的單軸抗壓強度，即：利用三角恒等式有：根據（5-53）式和（5-54）式，（5-52）式可變成：

2023/9/259（5-54）

（5-55）

（5-53）

5.6.6莫爾強度理論（1）實質材料性質本身也是應力的函數。且指出“到極限狀態(tài)時，滑動面上的剪應力達到一個取決于正應力與材料性質的最大值”?？捎煤瘮店P系表示：

（2）函數曲線的力學意義

1.表示對應于各種應力狀態(tài)下的破壞莫爾應力圓包絡線，即各破壞莫爾圓的外公切線，稱為莫爾強度包絡線。所謂莫爾強度包絡線就是指有各極限應力圓的破壞點所組成的軌跡線。

2023/9/2602.這條曲線可以判斷巖石中一點是否發(fā)生剪切破壞，如果應力圓與包絡線相切或相割，則研究點將產生破壞；如果在包絡線下方，則不會產生破壞。

3.包絡線形式有：斜直線型、二次拋物線型、雙曲線型等，其中斜直線型與庫侖準則基本一致，可以說，庫侖準則是莫爾準則的一個特例。

2023/9/261圖5-27完整巖石的莫爾強度曲線

a–單向抗拉；b-單向抗壓；c-三向受壓

（3）二次拋物線型

1.包絡曲線圖2023/9/262圖5-28二次拋物線型強度包絡線

2.函數形式式中：——巖石的單軸抗拉強度；n——待定系數。利用圖5-28，有下列關系式：并且有：

2023/9/263（5-57）

（5-58）

（5-59）

將（5-59）式代入（5-58）式，并消除式中的，得二次拋物線型包絡線的主應力表達式為：在單軸壓縮條件下，有則可根據（5-60）式解得待定系數n，即：因此，利用（5-57）式、（5-60）式和（5-61）式，可判斷巖石試件是否破壞。

2023/9/264（5-60）

（5-61）

（4）雙曲線型

函數表達式：式中：——包絡線漸近線的傾角，。（5）適用范圍

1.二次拋物線形的比較適合巖性為中軟以下的巖石，如泥灰?guī)r、砂巖、泥質頁巖等；

2.雙曲線形比較適合巖性為中硬以上的巖石，如砂巖、灰?guī)r、花崗巖等。2023/9/265（5-62）

（6）優(yōu)缺點

1.優(yōu)點：

1）實質上是一種剪應力強度理論，該理論比較全面的反映了巖石的強度特征，它既適用于塑性巖石也適用于脆性巖石的剪切破壞；

2）反映了巖石的抗拉強度遠小于抗壓強度這一特性；

3）能解釋巖石在三軸等拉時會破壞，而在三軸等壓時不會破壞的特點。

2.缺點：