高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限

微積分（高等數(shù)學(xué)）——中國藥科大學(xué)龍益如01初等數(shù)學(xué)預(yù)備知識(shí)03導(dǎo)數(shù)與微分05不定積分07多元函數(shù)微分學(xué)02極限與連續(xù)04導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用06定積分08微分方程C目錄ONTENTS2023/9/2函數(shù)與極限3數(shù)學(xué)既是對于自然界事實(shí)的總結(jié)和歸納，如英國的哲學(xué)家培根所說“一切多依賴于我們把眼睛緊盯在自然界的事實(shí)之上”；又是抽象思考的結(jié)果，如法國哲學(xué)家笛卡爾所說“我思故我在”。這兩個(gè)方法造就了目前絢麗多彩，美麗非凡的數(shù)學(xué)，非常值得欣賞。從事科學(xué)研究，最重要的是掌握思維方法。在這里，我舉兩個(gè)例子：牛頓是偉大的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中敘述了四條法則。其中“法則1：除那些真實(shí)而已足夠說明其現(xiàn)象者外，不必去尋找自然界事物的其他原因”。這條法則后來被人們稱作“簡單性原則”，正如愛因斯坦所說：“從希臘哲學(xué)到現(xiàn)代物理學(xué)的整個(gè)科學(xué)史中，不斷有人力圖把表面上極為復(fù)雜的自然現(xiàn)象歸結(jié)為幾個(gè)簡單的基本概念和關(guān)系。這就是整個(gè)自然哲學(xué)的基本原理。”數(shù)學(xué)之美2023/9/2函數(shù)與極限4函數(shù)1234小結(jié)與練習(xí)反函數(shù)函數(shù)的特性函數(shù)基本概念一、基本概念2023/9/2函數(shù)與極限51.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集2023/9/2函數(shù)與極限6數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.2023/9/2函數(shù)與極限72.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,2023/9/2函數(shù)與極限8稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.2023/9/2函數(shù)與極限93.鄰域:2023/9/2函數(shù)與極限104.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x,y,t等表示變量.2023/9/2函數(shù)與極限115.絕對值:運(yùn)算性質(zhì):絕對值不等式:2023/9/2函數(shù)與極限12因變量自變量數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念2023/9/2函數(shù)與極限13自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.2023/9/2函數(shù)與極限14定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．2023/9/2函數(shù)與極限15(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyo2023/9/2函數(shù)與極限16(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線2023/9/2函數(shù)與極限17有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限18(4)取最值函數(shù)yxoyxo2023/9/2函數(shù)與極限19在自變量的不同變化范圍中,

對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).2023/9/2函數(shù)與極限20例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號(hào)的電壓2023/9/2函數(shù)與極限212023/9/2函數(shù)與極限22例2解故三、函數(shù)的特性2023/9/2函數(shù)與極限23M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數(shù)的有界性:2023/9/2函數(shù)與極限242．函數(shù)的單調(diào)性:xyo2023/9/2函數(shù)與極限25xyo2023/9/2函數(shù)與極限263．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x2023/9/2函數(shù)與極限27奇函數(shù)yxox-x2023/9/2函數(shù)與極限284．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2023/9/2函數(shù)與極限29

直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.四、反函數(shù)五、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限30基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限31思考題2023/9/2函數(shù)與極限32思考題解答設(shè)則故2023/9/2函數(shù)與極限33練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限342023/9/2函數(shù)與極限35練習(xí)題答案2023/9/2函數(shù)與極限36初等函數(shù)1234小結(jié)與練習(xí)雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限371.冪函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限382.指數(shù)函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限393.對數(shù)函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限404.三角函數(shù)正弦函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限41余弦函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限42正切函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限43余切函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限44正割函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限45余割函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限465.反三角函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限472023/9/2函數(shù)與極限482023/9/2函數(shù)與極限49

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限501.復(fù)合函數(shù)定義:2023/9/2函數(shù)與極限51注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.2.初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).2023/9/2函數(shù)與極限52例1解2023/9/2函數(shù)與極限53綜上所述三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限54奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限55奇函數(shù),有界函數(shù),2023/9/2函數(shù)與極限56雙曲函數(shù)常用公式2023/9/2函數(shù)與極限572.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),2023/9/2函數(shù)與極限582023/9/2函數(shù)與極限59奇函數(shù),四、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限60函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))2023/9/2函數(shù)與極限61思考題2023/9/2函數(shù)與極限62思考題解答不能．2023/9/2函數(shù)與極限63一、填空題:練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限642023/9/2函數(shù)與極限65練習(xí)題答案2023/9/2函數(shù)與極限662023/9/2函數(shù)與極限67數(shù)列的極限1234小結(jié)與練習(xí)數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的定義一、概念的引入2023/9/2函數(shù)與極限68“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放——?jiǎng)⒒?023/9/2函數(shù)與極限69正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2023/9/2函數(shù)與極限702、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數(shù)列的定義2023/9/2函數(shù)與極限71例如2023/9/2函數(shù)與極限72注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)2023/9/2函數(shù)與極限73播放三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限74問題:當(dāng)

無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:2023/9/2函數(shù)與極限752023/9/2函數(shù)與極限76如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：2023/9/2函數(shù)與極限77幾何解釋:其中2023/9/2函數(shù)與極限78數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：2023/9/2函數(shù)與極限79例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.2023/9/2函數(shù)與極限80例3證2023/9/2函數(shù)與極限81例4證四、數(shù)列極限的性質(zhì)2023/9/2函數(shù)與極限821.有界性例如,有界無界2023/9/2函數(shù)與極限83定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.2023/9/2函數(shù)與極限842.唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.2023/9/2函數(shù)與極限85例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時(shí)位于長度為1的區(qū)間內(nèi).3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a2023/9/2函數(shù)與極限86五.小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限87數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.2023/9/2函數(shù)與極限88思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng)時(shí)，必有成立2023/9/2函數(shù)與極限89思考題解答~（等價(jià)）證明中所采用的實(shí)際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大”的值2023/9/2函數(shù)與極限90從而時(shí)，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為2023/9/2函數(shù)與極限91練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限92“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：——?jiǎng)⒒找弧⒏拍畹囊肴?、?shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限932023/9/2函數(shù)與極限94三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限95三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限96三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限97三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限98三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限99三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限100三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限101三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限102三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限103三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限104三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限105三、數(shù)列的極限2023/9/2函數(shù)與極限106函數(shù)的極限1234小結(jié)與練習(xí)函數(shù)極限的性質(zhì)自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限107播放2023/9/2函數(shù)與極限108通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.2023/9/2函數(shù)與極限1092023/9/2函數(shù)與極限1102.另兩種情形:2023/9/2函數(shù)與極限1113.幾何解釋:2023/9/2函數(shù)與極限112例1證二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限1132023/9/2函數(shù)與極限1142023/9/2函數(shù)與極限1152.幾何解釋:注意：2023/9/2函數(shù)與極限116例2證例3證2023/9/2函數(shù)與極限117例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.2023/9/2函數(shù)與極限118例5證2023/9/2函數(shù)與極限1193.單側(cè)極限:例如,2023/9/2函數(shù)與極限120左極限右極限2023/9/2函數(shù)與極限121左右極限存在但不相等,例6證三、函數(shù)極限的性質(zhì)2023/9/2函數(shù)與極限1221.有界性2.唯一性2023/9/2函數(shù)與極限123推論3.不等式性質(zhì)定理(保序性)2023/9/2函數(shù)與極限124定理(保號(hào)性)推論2023/9/2函數(shù)與極限1254.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理2023/9/2函數(shù)與極限126證2023/9/2函數(shù)與極限127例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2023/9/2函數(shù)與極限128例7證2023/9/2函數(shù)與極限129二者不相等,四、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限130函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)2023/9/2函數(shù)與極限131過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后2023/9/2函數(shù)與極限132思考題2023/9/2函數(shù)與極限133思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.2023/9/2函數(shù)與極限134一、填空題:練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限1352023/9/2函數(shù)與極限136練習(xí)題答案2023/9/2函數(shù)與極限137一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限138一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限139一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限140一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限141一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限142一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限143一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限144一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限145一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/9/2函數(shù)與極限146無窮大與無窮小1234小結(jié)與練習(xí)反函數(shù)無窮大無窮小一、無窮小2023/9/2函數(shù)與極限1471.定義:極限為零的變量稱為無窮小.2023/9/2函數(shù)與極限148例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2023/9/2函數(shù)與極限1492.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性2023/9/2函數(shù)與極限150意義1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證2023/9/2函數(shù)與極限151注意

無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.2023/9/2函數(shù)與極限152定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證2023/9/2函數(shù)與極限153推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大2023/9/2函數(shù)與極限154絕對值無限增大的變量稱為無窮大.2023/9/2函數(shù)與極限155特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.2023/9/2函數(shù)與極限156不是無窮大．無界，2023/9/2函數(shù)與極限157證三、無窮小與無窮大的關(guān)系2023/9/2函數(shù)與極限158定理4在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證2023/9/2函數(shù)與極限159意義

關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.四、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限1601、主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.2、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.2023/9/2函數(shù)與極限161思考題2023/9/2函數(shù)與極限162思考題解答不能保證.例有2023/9/2函數(shù)與極限163一、填空題:練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限1642023/9/2函數(shù)與極限165練習(xí)題答案一、極限運(yùn)算法則2023/9/2函數(shù)與極限167定理證由無窮小運(yùn)算法則,得2023/9/2函數(shù)與極限1682023/9/2函數(shù)與極限169推論1常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.推論2有界，二、求極限方法舉例2023/9/2函數(shù)與極限170例1解2023/9/2函數(shù)與極限171小結(jié):2023/9/2函數(shù)與極限172解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例22023/9/2函數(shù)與極限173解例3(消去零因子法)2023/9/2函數(shù)與極限174例4解(無窮小因子分出法)2023/9/2函數(shù)與極限175小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.2023/9/2函數(shù)與極限176例5解先變形再求極限.2023/9/2函數(shù)與極限177例6解2023/9/2函數(shù)與極限178例7解左右極限存在且相等,三、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限1791.極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.2023/9/2函數(shù)與極限180思考題

在某個(gè)過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？2023/9/2函數(shù)與極限181思考題解答沒有極限．假設(shè)有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤．2023/9/2函數(shù)與極限182一、填空題:練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限183二、求下列各極限:2023/9/2函數(shù)與極限1842023/9/2函數(shù)與極限185練習(xí)題答案一、無窮小的比較2023/9/2函數(shù)與極限187例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限2023/9/2函數(shù)與極限188定義:2023/9/2函數(shù)與極限189例1解例2解2023/9/2函數(shù)與極限190常用等價(jià)無窮小:用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,二、等價(jià)無窮小替換2023/9/2函數(shù)與極限191定理(等價(jià)無窮小替換定理)證2023/9/2函數(shù)與極限192例3解不能濫用等價(jià)無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意2023/9/2函數(shù)與極限193例4解解錯(cuò)2023/9/2函數(shù)與極限194例5解三、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限1951.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價(jià)無窮小;無窮小的階.2023/9/2函數(shù)與極限196思考題任何兩個(gè)無窮小量都可以比較嗎？2023/9/2函數(shù)與極限197思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng)時(shí)2023/9/2函數(shù)與極限198練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限1992023/9/2函數(shù)與極限2002023/9/2函數(shù)與極限201練習(xí)題答案2023/9/2函數(shù)與極限202一、函數(shù)的連續(xù)性2023/9/2函數(shù)與極限2041.函數(shù)的增量2023/9/2函數(shù)與極限2052.連續(xù)的定義2023/9/2函數(shù)與極限2062023/9/2函數(shù)與極限207例1證由定義2知2023/9/2函數(shù)與極限2083.單側(cè)連續(xù)定理2023/9/2函數(shù)與極限209例2解右連續(xù)但不左連續(xù),2023/9/2函數(shù)與極限2104.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,2023/9/2函數(shù)與極限211例3證二、函數(shù)的間斷點(diǎn)2023/9/2函數(shù)與極限2122023/9/2函數(shù)與極限2131.跳躍間斷點(diǎn)例4解2023/9/2函數(shù)與極限2142.可去間斷點(diǎn)例52023/9/2函數(shù)與極限215解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).2023/9/2函數(shù)與極限216如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)2023/9/2函數(shù)與極限2173.第二類間斷點(diǎn)例6解2023/9/2函數(shù)與極限218例7解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).2023/9/2函數(shù)與極限219狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★★2023/9/2函數(shù)與極限220在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).★判斷下列間斷點(diǎn)類型:2023/9/2函數(shù)與極限221例8解三、小結(jié)2023/9/2函數(shù)與極限2221.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)(見下圖)2023/9/2函數(shù)與極限223可去型第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx2023/9/2函數(shù)與極限224思考題2023/9/2函數(shù)與極限225思考題解答且2023/9/2函數(shù)與極限226但反之不成立.例但2023/9/2函數(shù)與極限227練習(xí)題2023/9/2函數(shù)與極限2282023/9/2函數(shù)與極限229練習(xí)題答案2023/9/2函數(shù)與極限230一、四則運(yùn)算的連續(xù)性2023/9/2函數(shù)與極限232定理1例如,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性2023/9/2函數(shù)與極限233定理2嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2023/9/2函數(shù)與極限234定理3證2023/9/2函數(shù)與極限235將上兩步合起來:2023/9/2函數(shù)與極限236意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例1解2023/9/2函數(shù)與極限237例2解同理可得2023/9/2函數(shù)與極限238定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三、初等函數(shù)的連續(xù)性2023/9/2函數(shù)與極限239三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)