銳角三角比課件青島版數(shù)學九年級上冊

2.1銳角三角比問題:為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌．現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準備多長的水管？情境探究這個問題可以歸結(jié)為,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A＝30°,BC＝35m,求AB根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是說，需要準備70m長的水管．【解析】1.在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？結(jié)論:在一個直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么不管三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比值都等于思考ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'＝2×50＝100(m)在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此ABC2.如圖,任意畫一個Rt△ABC,使∠C＝90°,∠A＝45o,計算∠A的對邊與斜邊的比,你能得出什么結(jié)論？即在直角三角形中，當一個銳角等于45°時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于ABC一般地,當∠A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？結(jié)論綜上可知,在一個Rt△ABC中,∠C＝90°,當∠A＝30o時,∠A的對邊與斜邊的比都等于,是一個固定值；當∠A＝45°時,∠A的對邊與斜邊的比都等于,也是一個固定值.問題是在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關系.你能解釋一下嗎？探究ABCA'B'C'

這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．并且直角三角形中一個銳角的度數(shù)越大，它的對邊與斜邊的比值越大

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦（sine），記作：sinA即，例如，當∠A＝30°時，我們有當∠A＝45°時，我們有ABCcab對邊斜邊

正弦函數(shù)探究如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？為什么？ABC鄰邊b對邊a斜邊c

當銳角A的大小確定時，∠A的鄰邊與斜邊的比我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即A、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形).A、cosA是一個比值（數(shù)值）.A、cosA

的大小只與∠A的大小有關，與直角三角形的邊長無關。如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°，

當直角三角形的一個銳角的大小確定時，其對邊與鄰邊比值也是惟一確定的嗎？

想一想在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,不管三角形的大小如何,∠A的對邊與鄰邊的比是一個固定值.所以問：如圖,Rt△ABC和Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90o,∠A=∠A′=α由于∠C=∠C′=90o，∠A=∠A′=α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′有什么關系？即如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°,我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA.一個角的正切表示定值、比值、正值.ABC┌思考：銳角A的正切值可以等于1嗎？為什么？可以大于1嗎？對于銳角A的每一個確定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的確定的值與它對應，所以把銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的三角比.可以可以坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i表示，即i＝

，把坡面與水平面的夾角α叫做坡角(或稱傾斜角)．坡度i與坡角α之間的關系：i＝

＝tanα.例1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90o,a=2,b=4.求∠A的正弦、余弦、正切的值.解:如圖,在Rt△ABC中，∠C=90o∵a=2,b=4，∴例2.如圖,例3.如圖,在Rt△ABC中,兩直角邊AC=12,BC=5,求∠A的三角比.解:在Rt△ABC中,AC=12,BC=5,∠C=90o，得例4.如圖,在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（3,4）,連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角

的正弦、余弦、正切的值.解:過點P作x軸的垂線，垂足為

Q.在Rt△PQO中，

OQ=3，QP=4，得1.如圖.在Rt△ABC中.∠C＝90°.求sinA和sinB的值．解:(1)在Rt△ABC中,因此ABC34跟蹤訓練【解析】求sinA就是要確定∠A的對邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對邊與斜邊的比（2）在Rt△ABC中，因此ABC1352.如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB=10,BC＝6，求:sinA、cosA、tanA的值．解：又ABC6103.如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,

cosA＝求sinA、tanA的值．解：ABC設AC=15k，則AB=17k所以1.下圖中∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D.指出∠A和∠B的對邊、鄰邊.試一試：ABCD(1)tanA==AC()CD()(2)tanB==BC()CD()BCADBDAC2.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的鄰邊和斜邊同時擴大100倍,tanA的值（）

A.擴大100倍B.縮小100倍

C.不變D.不能確定ABC┌C練一練1.判斷對錯:A10m6mBC(1)如圖(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)sinB=0.8（）√√××sinA是一個比值（注意比的順序），無單位；(2)如圖,sinA=（）

×2.在Rt△ABC中，銳角A的對邊和斜邊同時擴大

100倍，sinA的值（）

A.擴大100倍B.縮小

C.不變D.不能確定C3.如圖ACB3730°則sinA=______.4.如圖，Rt△ABC中，∠C=90度，CD⊥AB，圖中sinB可