簡便方法做彎曲內(nèi)力圖

彎曲第9章9-4

求慣性矩的平行移軸公式9-2

剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究9-3

彎曲正應(yīng)力9-6

梁的強(qiáng)度條件9-5

彎曲切應(yīng)力9-8

彎曲應(yīng)變能9-10

超靜定梁9-7

撓度和轉(zhuǎn)角§9-1

剪力和彎矩?剪力圖和彎矩圖9-9

斜彎曲內(nèi)容提要剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究§9-2

剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究例題：畫梁的剪力圖和彎矩圖1.2m4KN3KN.m1.2m+-1.83-4AB4m2mq=6KN/mCM=12KN.MRARC1a2例題：畫梁的剪力圖和彎矩圖+6KN18KN-剪力圖a＝3m12彎矩圖a=3m+2427單位：KN.M1.2m4KN3KN.m1.2m-4AB4m2mq=6KN/mCM=12KN.MRARC1a2+6KN18KN-剪力圖a從上面的FS，M

圖中容易看出（1）在梁上無荷載作用的區(qū)段，剪力圖的圖線為平行于梁軸的直線；在梁上均布荷載作用的區(qū)段，剪力圖的圖線為斜直線，而且dFs/dx

就等于均布荷載的集度q

。（2）在剪力為零的區(qū)段，彎矩圖的圖線為平行于梁軸的直線；在剪力為常數(shù)的區(qū)段，彎矩圖的圖線為斜直線，且斜率dM/dx就等于該區(qū)段內(nèi)剪力FS的值；在剪力不為常數(shù)的區(qū)段，彎矩圖的圖線為曲線，且曲線上各點處切線斜率的變化與剪力值的變化相對應(yīng)。+-1.83-412彎矩圖a+2427單位：KN.M+6KN18KN-剪力圖a一、彎矩、剪力與分布荷載集度間的關(guān)系設(shè)梁上作用有任意分布荷載，其集度q=q(x)xyq(x)Pm規(guī)定：q(x)向上為正。將坐標(biāo)原點取在梁的左端。xyq(x)Pm假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx

的兩橫截面m—m

和n—n

從梁中取出dx

一段。q(x)mmnnCxyq(x)Pmdxxmmnn略去q(x)沿dx

的變化q(x)mmnnCxyq(x)Pmdxxmmnnm—m

截面上內(nèi)力為

FS(x)

，M(x)Fs(x)M(x)x+dx

截面處則分別為

FS(x)+dFS(x)

，M(x)+dM(x)Fs(x)+d

Fs(x)M(x)+dM(x)FS(x)-[FS(x)+dFS(x)]+q(x)dx=0得到

寫出平衡方程Fs(x)M(x)mmnnq(x)CFs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)

Fy=0dx略去二階無窮小量即得

Mc=0dx2=0[M(x)+dM(x)]-M(x)-FS(x)dx-q(x)dx.FS(x)M(x)mmnnq(x)CFS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dxFS(x)M(x)mmnnq(x)CFS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dx由和知，公式的幾何意義（2）

概括了關(guān)于彎矩圖的規(guī)律，即彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。（1）概括了關(guān)于剪力圖的規(guī)律，即剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。（3）二階導(dǎo)數(shù)的符號用來判定曲線的凹向。q(x)<0時，彎矩圖的圖線凹向上，反之凹向下。q(x)=0，即梁段上無荷載作用，剪力圖為一條平行于桿軸的直線彎矩圖為一斜直線xFS(x)oxM(x)oxoM(x)當(dāng)FS(x)>0時，彎矩圖向右下方傾斜。當(dāng)FS(x)<0時，彎矩圖向右上方傾斜。FS(x)>0FS(x)<0二、剪力圖、彎矩圖的規(guī)律q(x)=常數(shù)<0，即梁上有向下的均布荷載，M(x)圖為一凹向上的二次拋物線FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線xFS(x)oxM(x)o梁上最大彎矩可能發(fā)生在Fs(x)=0的截面上

或梁段邊界的截面上。最大剪力發(fā)生在全梁或梁段的界面。在集中力作用處剪力圖有突變，其突變值等于集中力的值。彎矩圖的相應(yīng)處形成尖角。在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化。q<0向下的均布荷載無荷載集中力PC集中力偶mC向下傾斜的直線

或凹向上的二次拋物線或在FS=0的截面或梁段邊界的截面上水平直線+一般斜直線或在C處有突變P在C處有尖角或在C處無變化C在C處有突變m在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征剪力圖的特征一段梁上的外力情況彎矩圖的特征最大彎矩所在截面的可能位置三、利用上表中所列的外力與內(nèi)力圖間的規(guī)律來畫剪力圖和彎矩圖：從表中的規(guī)律可見：根據(jù)梁上的外力情況，⑴首先分段（以集中力、集中力偶作用處，分布荷載開始或結(jié)束處，及支座截面處為界點將梁分段

），⑵然后判斷各段內(nèi)力圖的形狀。進(jìn)而確定梁的幾個控制截面并算出控制截面上的內(nèi)力值，就可畫出各段的內(nèi)力圖。這樣，繪制剪力圖和彎矩圖就變成求幾個截面的剪力和彎矩的問題，而不需列剪力方程和彎矩方程，因而非常方便。例題：一外伸梁荷載如圖所示，已知l=4m。畫此梁的內(nèi)力圖。l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRBRB=20KN,RD=8KN解：求支座反力l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRB將梁分為AB，BC，CD

三段l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRBAB段：（

）FSA=0FSB左=-ql/2=-8KNBC段：（—）FSB右=RB-ql/2=12KNCD段：（—）FSD左=-RD=-8KN（1）剪力圖+--8KN8KN12KNFSD右=0l/2ABCDq=4KN/mF=20KNl/2l/2RDRB+--8KN8KN12KN（2）彎矩圖AB段：（

）BC段：（

）CD段：（

）MA=0168++-EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)例題：

一簡支梁受均布荷載作用，其集度q=100KNm,

如圖a所示。試作此梁的剪力圖和彎矩圖。解：計算梁的支反力將梁分為AC，CD,DB三段。AC和DB上無荷載，CD段有向下的均布荷載。BAC段：水平直線

Fs1

=RA=80KN

CD段：

向右下方的斜直線DB段：水平直線在C，D兩點無集中力，所以剪力圖無突變。最大剪力發(fā)生在AC和DB段的任一橫截面上。+80KN80KN(b)剪力圖EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)剪力圖EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)彎矩圖AC段：向下傾斜的直線CD段：向下凸的二次拋物線其極值點在FS=0的中點E處的橫截面上。BDB段：向上傾斜的直線MB

=0+161648單位：KN。m(C)彎矩圖EqACD0.2m1.6m1m2m12(a)+161648單位：KN.m(C)B全梁的最大彎矩：梁跨中E點的橫截面上。若極值點的位置不能通過觀察得到，必須進(jìn)行求解。例題：畫內(nèi)力圖AC:(—)CB:(

)qa2aACBxx+-x(1)剪力圖設(shè)距A端為x的截面上剪力等于零x=1.5aqa2aACBxxx=1.5a+-AC:(

)(2)彎矩圖CB:()(支座反力為例題：畫剪力圖和彎矩圖RA=22KNRB=18KNq=10kN/mm=8kN?mABC4m2mRARB剪力圖CA段：水平直線FSC=0AB段：斜直線FSA右=RA=22KNFSB左=-RB=-18KN+-22KN18KNFSmax=22kN,

發(fā)生在A

截面右側(cè)

q=10kN/mm=8kN?mABC4m2mRARB+-22KN18KN令X=1.8mxEFS(x)

=-RB+qx=0q=10kN/mm=8kN?mABC4m2mRARB彎矩圖CA段：水平直線MC右=-m=-8KN.mAB段：二次拋物線MB=016.2KN.m8KN.m-+x=1.8Eq=10kN/mm=8kN?mABC4m2mRARB彎矩圖qP=2qam=2qa2CABDaa2aRARB（1）剪力圖CA段：(—)FS=0AB段：(

)FSA右=RA=-qaFSB左=P-RB=-3qaBD段：(—)FSB右=P=2qa+-qa3qa2qaFSD右=0RA=－qa,RB=5qa例題：畫剪力圖和彎矩圖qP=2qam=2qa2CABDaa2aRARB（2）彎矩圖CA段：(—)MC左=m=2qa2AB段：(

)MB=-Pa=-2qa2BD段：(

)+-qa3qa2qaMD=02qa22qa2+-練習(xí)題：作內(nèi)力圖3aABCq7q2/2aRBRARA=2qa,RB=qa解：求支座反力3aABCq7q2/2aRBRA畫剪力圖AC：（—）FSA左=RA=2qaCB：(

)FSB左=-RB=-qaFSB右=0+-2qaqax令FS(x)=qx-RB=0x=a3aABCq7q2/2aRBRA畫彎矩圖AC：（

）MA=0CB：(

)+-2qaqaxMmax

=RBx-qx2/2=qx2/2=ga2/2MC左=Raa=2qa2MC右=Raa-7qa2/2=-3qa2/2MB=02qa23qa2/2qa2/2++-q<0向下的均布荷載無荷載集中力PC集中力偶mC向下傾斜的直線

或凹向上的二次拋物線或在FS=0的截面或梁段邊界的截面上水平直線+一般斜直線或在C處有突變P在C處有尖角或在C處無變化C在C處有突變

總結(jié)---在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征剪力圖的特征一段梁上的外力情況彎矩圖